几何画板中的度量功能实验报告：椭圆的画法
信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
*轨迹与轨迹方程
轨迹：动点按照一定条件运动所形成的曲线 （几何图形）
轨迹方程：动点运动，其坐标(x,y)所满足的 关系式
（代数方程）
例1 如图，F是定点，l 是不经过F的定直线，动点 M到定点F的距离与到定直线 l 的距离的比e是小于
1的常数，动点M的轨迹是什么？
所以，这样的动点Q的轨迹即为椭圆.
定义法：利用所学过的曲线的定义直接写出 所求的动点的轨迹方程
课堂小结 1.用几何画板探究点的轨迹. 2.轨迹方程的常见求法.
作业
1、已知点P(2,0),Q(8,0)，点M与点P
的距离是它与点Q的距离的
1 5
，求点M轨
迹方程.并说明轨迹是什么图形.
2、点M与定点F(2,0)的距离和它到定 直线x=8的距离的比是1:2，求点M轨迹
解：设d是M到直线l : x 245的距离，设M(x,y) 根据题意有 MF 4
d 5
即
(x 4)2 y 2 4
x
25 4
5
将上式两边平方并化简，得：9x2 25y2 225
y
.M(x,y) .O
F(-4,0)
即
x2 y2
25 9
1
x 所以，点M的轨迹是长轴、短轴分 别为10、6的椭圆.
又 OQ PQ 为定值 ，等量代换有 OQQAr，分析这个 式子本身的几何意义即得点Q的轨迹.
Pl
Q
..
O
A
演示轨迹三
解：因为点Q是线段PA垂直平 分线上的点，所以有
PQ QA
又 OQPQr
Pl
Q
..
O
A
所以，OQQAr 此即为动点Q到两个定点O、A的距离之和
用几何画板绘制椭圆的方法
用几何画板绘制椭圆的方法作椭圆的方法很多，在此仅举4种方法。
例1：利用椭圆的定义作椭圆。
[简要步骤]：（1）作点A、B，以及线段CD（定长）；（2）以点A为圆心，CD为半径作圆，并在圆A上任意取一点E；（3）连接AE、BE，并作BE的垂直平分线FG，交BE于点F，交AE于点G；（4）同时选中点G和点E，作轨迹，如图1。
图1例2：利用椭圆的参数方程作椭圆。
本例的作图原理就是先计算x = a cos t，y = b sin t（-π≤t ≤π），然后根据算得的x、y的值作出点（x，y），最后作出轨迹。
[简要步骤]：（1）显示坐标轴，在x、y轴上分别取点C、D，测量并计算出点C的横坐标和点D的纵坐标，然后将标签分别改为a和b；（2）以任意点E为圆心，点F为圆上一点作圆，在圆上任取一点G，测量角FEG的值，并将标签改为t；（3）将角度设置为弧度制，计算a cos t和b sin t的值，并依次选中，画出点H (a cos t，b sin t)；（4）同时选中点H和点G，作轨迹，如图2。
图2例3：利用椭圆的参数方程的几何意义作椭圆。
[简要步骤]：（1）作水平线段AB，在线段AB上取一点C，以点A为圆心，分别以点B、C为圆上一点作两个同心圆，在大圆上任取一点D，连接AD，交小圆于点E；（2）过点D作线段AB的垂线，并过点E作垂线的垂线，两线交于点F；（3）同时选中点D和点F，作轨迹，如图3。
图3例4：利用压缩圆的方法作椭圆。
我们知道，将圆压缩就成了椭圆，因此，我们可以以椭圆的短轴与长轴之比作为压缩比，将圆压缩成椭圆。
[简要步骤]：（1）作线段AB，以线段AB的中点C为圆心，以点B为圆上一点作圆，在圆上任取一点D；（2）过点D作线段AB的垂线，交线段AB于点E；（3）作线段FG、GH，依次选中线段FG、GH，并标识为比例；（4）以点E为缩放中心，将点D以标识的比例压缩，得点D'；（5）同时选中点D和点D'，作轨迹，如图4。
信息技术应用用几何画板探究点的轨迹椭圆
• [3]用铅笔尖（M）把细绳拉 紧，在板上移动观察图像
. M.
F1
F2
观察作图过程：
由于绳长固定，所以 M 点到 两个定点F1、F2的距离和为定值。
回顾：我们把平面上到定点的距离 等于定长的点组成的图形叫做圆。
请同学们类比圆的定义归纳总结出 椭圆的定义。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点， 两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。
动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和记为常数 2a
M
F1
F2
MF1 MF2 2a 2c
• 问题1：为什么衬托部分恰好是一个椭圆？ • 问题2：折痕上究竟有几个点在椭圆上？
问题1：为什么形成的空白部分是椭圆？
证明： 过点F2做直线m的垂线交圆于点A 连接AF1交m于点P，连接F2P
直线m垂直平分 AF2
PA PF2
PF2 PF1 PA PF1 AF1 R F1F2
点P在以F1、F2为焦点的椭圆上
A
P
F2
m
F1
问题2：折痕上究竟有几个点在椭圆上？
证明： 在m上任取异于P点的点Q 连接AQ,F1Q,F2Q AQ F2Q
A
P
F2
Q
m
F1
F1Q F2Q AQ F1Q AF1 R
点Q在该椭圆外，点P是唯一的公共点，
即m是椭圆的切线
在生活实践中我们经常用到椭圆，比如木工吊顶时不知道椭圆的两个定点，又 怎么来画椭圆呢？
机械制图中常用到的四心圆法又是如何画椭圆的呢？
MF1 MF2 2a 2c
课堂小结
课堂有限，知识无限。椭圆作为圆锥曲线中 的一种。这节课我们通过两个小游戏，探索 出了它的定义。同学们能否利用这节课学习 到的方法，去探索和发现其他圆锥曲线的美
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
2018年安徽省第三届微课大赛
联系信箱：XXX
2018年安徽省第三届微课大赛
人教版本数学学科高二年级选修1-1第二章第一节
椭圆及其标准方程
滁州市明光市第二中学 明光市第二中学 郑伟
郑伟
课件、微课名
教学目标
01
人教版本数学学科高二年级选修1-1第二章第一节
理解椭圆的定义
02
能由椭圆定义推导椭圆的方程 明确焦点、焦距的概念
熟练掌握椭圆的标准方程，
03
会根据所给的条件画出椭圆的草 图并确定椭圆的标准方程
2018年安徽省第三届微课大赛 2018年安徽省第三届微课大赛
联系信箱：704531508@
2018年安徽省第三届一师一优课
人教版本数学学科高二年级选修1-1第二章2.1椭圆
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
明光市明光第二中学 郑伟
课件名
知识回顾
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
我们在前面学习了椭圆的哪些知识？ 回顾
求曲线方程的方法步骤
建系 点的轨迹：椭圆
例6 点M（x,y)与定点F（4，0）的距离和它到定直线
l: x 25 的距离的比为 4 ，求点M的轨迹.
4
5
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
课件名
用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
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用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
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用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
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用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
运用几何画板绘制椭圆的有效方法
运用几何画板绘制椭圆的有效方法作者：于翠玲来源：《黑龙江教育·中学》2019年第06期在圆锥曲线中，曲线上的点到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e，且0<e<1时为椭圆。
椭圆教学是中学数学教学中的重点和难点，椭圆的知识和图像都极为抽象，学生很难理解。
不仅如此，有些教师在绘制椭圆图形时也会感到困难，并且准确性不够。
而运用几何画板软件画出的椭圆既准确又美观，还能增加教学的趣味性，引发学生的学习兴趣，可以让学生轻松、直观地观察并理解椭圆的定义及其性质，从而收到很好的教学效果。
几何画板以点、线、圆作为基础图形，对这些基础图形进行拼接、平移、变换、度量、构造、轨迹追踪以及对基本图形的性质进行运用。
学生可以在此过程中探究图形的内在关系并发现数学的本质，探究数学的奥妙和趣味性，激发学习数学的兴趣。
笔者结合自身教学经验，在总结、归纳、提炼和创新的基础上整理出七种常用的运用几何画板绘制椭圆的方法，分享如下：一、定义法定义法的原理是圆锥曲线的统一定义，即焦点距离与到准线距离的商是定值的点的轨迹。
椭圆的定义，即平面内一个动点到两个定点的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
绘制的具体步骤为：打开软件，新建文件，在绘画板内画线段AB的同时在AB上绘制出C点，然后在AB外选取D、E两点，满足DE>AB;选中A、C两点进行标记向量，然后通过标记向量将D平移，得到D';选中D和D'点，绘制出一个以D为圆心，以D和D'间距离为半径的圆并且隐藏;同理，标记B、C两个点为标记向量，并且作出E的平移点到E'点，构造出圆，隐藏E'点;运用点工具做出两个圆周交点为F、G两点。
接下来分两种方法研究。
分别选中F、C和G、C两组点进行构造轨迹绘制出椭圆曲线，如图1所示。
点击F点，点击显示、追踪交点，同理操作G点;点击C点，选择操作类按钮、动画、确定，完成设置;点击绘画板上的动画键，绘画板就绘制出一个椭圆，如图2所示。
椭圆的五种画法及各种弦的制作(很不错的几何画板教程).
椭圆的画法和性质一．椭圆的定义： 1．在平面内，到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2．椭圆的标准方程：设M (x , y )是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距为2c (c >0)，则如图建立直角坐标系，又F 1、F 2的坐标分别是F 1(－c , 0), F 2(c , 0)，若M 点与F 1、F 2两点的距离的和等于2a (a >c >0)，则 |MF 1|＋|MF 2|＝2a ,∴a y c x y c x 2)()(2222=+-+++, 图9－1整理化简，并且设b 2＝a 2－c 2得椭圆的标准方程12222=+b y a x . 3．椭圆的第二定义：设动点M (x , y )与定点F (c , 0)的距离和它到定直线l : x ＝ca2的距离的比是常数ac(a >c >0)，则点M 的轨迹是椭圆。
点F 是椭圆的一个焦点，直线l 是椭圆中对应于焦点F 的准线。
常数e ＝ac(0<e <1)是椭圆的离心率。
图9－24．椭圆的参数方程：以原点为圆心，分别以a 、b (a >b >0)为半径作两个圆，点A 是大圆上的一个点，点B 是OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，当点A 在大圆上运动时，M 点的轨迹是椭圆。
设点M 的坐标是(x , y )，φ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，取φ为参数，那么x ＝|ON |＝|OA |cos φ＝a cos φ,y ＝|NM |＝|OB |sin φ＝b sin φ,∴ 椭圆的参数方程是⎩⎨⎧φ=φ=sin cos b y a x (φ是参数).二．椭圆的画法：画法1：1．在x 轴上取两点F 1、F 2，使|OF 1|＝|OF 2|，用它们作为两个焦点； 2．在图形外作一条线段CD ，使|CD |＝2a ，(|CD |>|F 1F 2|)； 3．以O 为中心，在x 轴上取两点A 1、A 2，使|A 1A 2|＝|CD |；4．在CD 上分别取C '、D '，使|CC '|＝|A 1F 1|＝|DD '|；作线段C 'D '，并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在C 'D '上作点M ；5．分别以F 1、F 2为圆心，用|CM |、|MD |为半径作圆，两圆相交于P 1、P 2两点；同样方法分别以F 1、F 2为圆心，用|DM |、|CD |为半径作圆，两圆相交于P 3、P 4两点；并将这四个点定义为“追踪点”；6．依次选中点M 、点P 1 (或点M 、点P 2)，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。
如何利用几何画板画椭圆？几何画板绘制椭圆的方法
如何利⽤⼏何画板画椭圆？⼏何画板绘制椭圆的⽅法如何利⽤⼏何画板画椭圆？⼏何画板是⼀款适⽤于数学、平⾯⼏何、物理的⽮量分析、作图，函数作图的动态⼏何⼯具。
这款⼯具可以画出各种类型的图形，本⽂⼩编给⼤家带来⼏何画板绘制椭圆的⽅法，⼀起来看看吧。
出⾊的教学软件⼏何画板 V5.06 中⽂绿⾊单⽂件版类型：理科⼯具⼤⼩：1.57MB语⾔：简体中⽂时间：2015-08-01查看详情⼀、到两定点的距离和等于定长。
打开⼏何画板，选择“显⽰”->“参数选择”，在⾃动选择标签栏中“P点”前的⽅框中画对号，然后确定。
选取“线段”⼯具，在绘图板中作⼀线段AB（线段AB的长度为椭圆的长轴长2a）。
⽤“点”⼯具在线段上任取⼀点C，按住shift键先后选中A，C点，选择“变换”->“标记向量 "A->C"”。
再⽤“点”⼯具再⽤点⼯具任取⼀点D，选中点D，选择“变换”->“平移”，选中“M按标记的向量”（如图1），然后确定，会得到点D'。
图1点的平移对话框按住shift键，先后选中点D和D'，选择“作图”->“以圆⼼和圆周上的点画圆”，选中点D'，按Ctrl+H键将其隐藏。
按住shift键，先后选中B，C点，选择“变换”->“标记向量 "B->C"”。
⽤点⼯具另作⼀点E，使其与D点的距离⼩于线段AB的长（线段DE的长为2c），选中点E，选择“变换”->“平移”，选中“M按标记的向量”，然后确定，会得到点E'。
按住shift键，先后选中点E和E'，选择“作图”->“以圆⼼和圆周上的点画圆”，选中点E'，按Ctrl+H键将其隐藏。
按住shift键，选中两个圆的圆周，选择“作图”->“交点”（或按Ctrl+I键），作出交点F和G。
以下可以分两个⽅向进⾏：1.按住shift键，先后选中点F和点C，选择“作图”->“轨迹”，作出椭圆的上半部分；同理先后选中点G和点C，作出椭圆的下半部分（如图2）。
技术篇用几何画板制作椭圆的图像_第一种方法压扁圆的法
用几何画板制作椭圆的图像佛山市南海区石门中学周伟松椭圆的方程不是一个函数，所以没有办法像作函数图象的方法直接作出椭圆的图象。
可先作出它x轴上面的图象，再把它关于x轴对称，作出另外一部分，但是如果这样子做想在椭圆上任意找一动点的话，这个功能就没办法做到，只能是点在x轴上方运动或者下方运动。
如何作到点可以在椭圆上任意动呢？下面笔者提供一些做法，仅供参考。
第一种方法：压扁圆的法一、制作效果如下图：AC和AB分别决定椭圆的短、长半轴。
拖动C或D点，可改变椭圆的形状（实际上改变椭圆短半轴或长半轴的长）。
二、思路分析利用椭圆的参数方程，可以构造出椭圆，这种构造椭圆的方法，称为"同心圆法"。
三、操作步骤1、画直线AB （为了美观，最好按住Shift画一条水平线）2、画圆（A，C）和（A，D）其中C、D为直线AB上的点3、画直线（A，E）其中E点是圆（A，E）上的点，与圆（A，C）交于F点4、画垂线（E，直线AB）；画平行线（F，直线AB）；这两条直线的交点为G点5、画轨迹（E，G）第二种方法：斜二测水―――圆的斜二测水平放置一、制作效果二、操作步骤1）画线段AB2）画圆（AB为直径）→画点C C为圆上一点3）画垂线（C，线段AB），垂足为D4）对C作旋转变换（D，－45°）5）画中点（线段DC'）6）作轨迹（C，E）第三种方法：定长椭圆的构造在解析几何的教学中，大多时候要化定长的椭圆如下面这个问题：问题：已知椭圆的长半轴＝3厘米，短半轴＝2厘米，求作椭圆。
一、制作效果如下图，拖动单位点，改变单位长度，椭圆放大缩小，但长短半轴始终不变，交点、顶点各就各位选中参数a、b，按小键盘上的"＋""－"，可改变它们的值。
注意：，这里的a被定义为成长半轴，所以在改变值时，a应大于b二、操作步骤1）定长短半轴新建参数a、b，其值分别为3、2；度量点C、点D间的距离→计算a ×CD，b×CD的值2）构造椭圆建立坐标系→画同心圆（D，a×CD，b×CD）；画出小圆与y轴的交点；画出大圆与x轴的交点；画直线DK，K为大圆上一点，与小圆交于L点→画垂线（K，x轴）；画平行线（L，x轴）。
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几何画板中的度量功能实验报告
一、 实验目的
1． 学习应用数学知识原理来指导绘制圆锥曲线。
2． 掌握几何画板中的建立坐标系，绘制已知点以及运用几何画板中
内置计算器计算比值的方法，掌握度量菜单的用法。
3． 应用几何画板中的操作类按钮的功能动态显示圆锥曲线的变化
状况。
二、 实验原理
圆锥曲线基本定义，椭圆的参数方程以及椭圆的标准方程。
实验内容：根据椭圆的不同定义，标准方程以及参数方程，绘制不同的椭圆曲线。
三、 实验仪器
PC 计算机； 软件工具：几何画板5.04 四、实验课时：6课时 五、实验步骤 （一）知识储备
椭圆的第一定义：
平面内与两定点F 1、F 2(即焦点)的距离的和等于常数的动点P 的轨迹叫做椭圆. 其数学表达式为:|PF 1|+|PF 2|=2a (2a >|F 1F 2|)，焦距:｜F 1F 2｜=2c ≤2a.
椭圆的第二定义：
平面内到定点F(c ，0)的距离和到定直线l ：c
a x 2
=（F 不在l 上）的距离之比为常数,
即离心率a
c
e =
(0<e<1)的点的轨迹是椭圆. （二）椭圆的画法：
1、根据椭圆的第一定义画椭圆：2种画法。
2、缩放法画椭圆
3、双圆法画椭圆
（三）各种画法的实验步骤
1、根据椭圆的第一定义画椭圆：有两种画法 画法一：
（1）新建页：【文件】-【文档选项】-【增加页】-【空白页面】，命名为：根据椭圆的第一定义画椭圆——画法一。
（2）构造控制台：选择【线段工具】，在空白处画线段AB ，选中线段AB ，【构造】-【构造线段上的点】（点C ），选中点C ，【度量】-【点的值】（xx ____
上在AB C ），【数据】-【计算】-输入 ：
上
在____
1AB C ，选中比值，鼠标右击-【标记比值】。
（3）画圆：选择【点工具】，在空白处，作点D 、点E ，双击点D ，选中点E ，【变换】-【缩放】-【按标记比进行缩放】-【确定】，得到点E ’（通过拖动点C ，可以控制点E ’的位置，从而改变下面的椭圆的离心率。
）。
（4）构造椭圆轨迹：选中〇DE ’,【构造】-【圆上的点】（点F ），【选中D 、F 】-【构造】-【线段】，【选中E 、F 】-【构造】-【线段】，【选中线段EF 】-【构造】-【中点】（为点H ），【选中点H 】-【选中线段EF 】-【构造】-【垂线】，作线段ED 和垂线的交点G ，【选中G 、E 】-【构造】-【线段】，（这里就实现了GD+GE=FD>DE,即GD+GE 为定长等于大圆半径，GD+GE 大于两焦点的距离DE ）。
【选中G 】-【选中F 】-【构造】-【轨迹】，得到的轨迹即为椭圆。
（5）隐藏不需要显示的对象：选中要隐藏的对象，【编辑】-【操作类按钮】-【显示/隐藏】，点击按钮：【隐藏对象】。
画法二：
（1）新建页：【文件】-【文档选项】-【增加页】-【空白页面】，命名为：根据椭圆的第一定义画椭圆——画法二。
（2）构造圆心：选择【线段工具】，在空白处画线段AB，点A、点分别作为圆心。
（3）构造半径：选择【线段工具】，在空白处画线段CD。
选中线段CD，【构造】-【线段上的点】，选中点C、点E，【度量】-【距离】（为线段CE长度值，）选中点D、点E，【度量】-【距离】（为线段ED长度值），两者度量值作为半径。
（4）构造圆：【选中点A+选中线段CE长度值】-【构造】-【以圆心和半径作圆】，【选中点B+选中线段ED长度值】-【构造】-【以圆心和半径作圆】。
（5）取两圆交点：选中两个圆，【构造】-【交点】（为点F、G）。
（6）构造椭圆：先选中点F，再选中点E-【构造】-【轨迹】，先选中点G，再选中点E-【构造】-【轨迹】，得到椭圆。
（7）隐藏不需要显示的对象：选中要隐藏的对象，【编辑】-【操作类按钮】-【显示/隐藏】，点击按钮：【隐藏对象】。
2、缩放法画椭圆： （1）新建页：【文件】-【文档选项】-【增加页】-【空白页面】，命名为：缩放法画椭圆。
（2）建立参数和椭圆方程：【数据】-【新建参数】，建立参数a ，b 。
选择【文本
工具】，在空白处拖出一个输入框，输入：1x 2222=+b
y a ，其中的a ，b 在输入时分
别选中（1）中的参数a ，b 。
（3）定义坐标系：【绘图】-【定义坐标系】
（4）构造圆：双击坐标原点A ，选中x 轴的单位点B-【变换】-【缩放】-【按参数a 的值进行缩放】-得到点B ’，选中点A ，点B ’-【构造】-【以圆心和圆周上的点作圆】，选中圆-【构造】-【圆上的点】（为点C ）。
（5）构造椭圆：【选中点C+选中x 轴】-【构造】-【垂线】-【取垂线和x 轴的交
点D 】。
【数据】-【计算】-计算a
b。
双击点D ，选中点C-【变换】-【缩放】-【按
a
b
的值缩放】-得到点C ’。
【先选中点C ’+再选中点C 】-【构造】-【轨迹】，即得到椭圆。
（6）设置参数按钮：选中参数a-【编辑】-【操作类按钮】-【动画】-【标签改为：横轴变化】-【范围改为1到10】-【确定】。
选中参数b -【编辑】-【操作类按钮】-【动画】-【标签改为：纵轴变化】-【范围改为1到10】-【确定】。
（7）隐藏不需要显示的对象：选中要隐藏的对象，【编辑】-【操作类按钮】-【显示/隐藏】，点击按钮：【隐藏对象】。
3、双圆法画椭圆： （1）新建页：【文件】-【文档选项】-【增加页】-【空白页面】，命名为：双圆法画椭圆。
（2）定义坐标系：【绘图】-【定义坐标系】
（3）选取半径和构建双圆：选择【线段工具】-在空白处画线段AB 、线段CD 。
选中线段AB 、线段CD-【度量】-【长度】。
将AB 作为大圆半径，CD 作为小圆半径，并以坐标原点O 为圆心，做双圆。
（4）构建椭圆：选中大圆-【构造】-【圆上的点】（为点E ），选中点E+再选中x 轴-【构造】-【垂线】（直线j ），选中点O+选中点E-【构造】-【线段】-取此线段与小圆的交点G ，选中点G+再选中x 轴-【构造】-【平行线】（直线k ），选中中直线j+选中直线k-【构造】-【交点】（为点H ），先选中点H+再选中点E-【构造】-【轨迹】，就得到椭圆。
（原理：如果大圆半径是a ，小圆半径是b ，∠EOF 为θ，则E 的坐标为（acos θ，asin θ），G 的坐标为（bcos θ，bsin θ），那么H 的坐标为（acos θ，bsin θ），
点H 满足椭圆方程1x 22
22=+b
y a ，即点H 的轨迹就为椭圆。
）
（7）隐藏不需要显示的对象：选中要隐藏的对象，【编辑】-【操作类按钮】-【显示/隐藏】，点击按钮：【隐藏对象】。