含参不等式的解法教案
第2章含参不等式(教案)
（1）含参不等式的图像法：对于一元二次含参不等式，学生需通过图像来理解不等式的解集，这对学生的直观想象能力要求较高。
举例：x^2 - 2ax + a^2 > 0，通过图像分析解集。
（2）含参不等式的证明：学生需要掌握不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等，这要求学生具备较强的逻辑推理能力。
我反思自己在教学难点和重点的讲解上，可能需要更多的例子和练习来帮助学生巩固。特别是在含参不等式的证明部分，学生们似乎对逻辑推理的要求感到有些困惑。我考虑在下一节课中，引入更多的直观图形和实际情境，以帮助学生们更好地理解证明的步骤和逻辑。
此外，我也认识到在总结回顾环节，我需要更加强调对知识点的整合和应用。学生们需要明白，含参不等式的学习不仅仅是为了解决数学题目，更是为了培养解决实际问题的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元一次含参不等式和一元二次含参不等式的解法这两个重点。对于难点部分，如图像法和判别式法，我会通过具体的例子和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与含参不等式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如绘制一元二次不等式的图像，以演示其基本原理。
二、核心素养目标
1.理解含参不等式的概念，掌握其基本性质，培养数学抽象和逻辑推理能力；
2.学会一元一次和一元二次含参不等式的解法，提高问题解决能力和数学运算能力；
3.能够运用图像法、判ห้องสมุดไป่ตู้式法等方法解决含参不等式问题，增强直观想象和数学建模能力；
4.通过含参不等式的实际应用，提升数学在实际生活中的应用意识，培养数学素养；
在实践活动中，学生们分组讨论并展示了他们的成果，这部分的互动让我看到了他们的合作精神和解决问题的能力。不过，我也观察到，在讨论含参不等式在实际生活中的应用时，有些学生还是比较拘谨，可能是因为他们对这些概念还不够熟悉，或者是不太敢将自己的想法表达出来。
含参不等式的解法教案
含参不等式的解法教案一、教学目标1. 让学生掌握含参数的不等式的解法，提高解题能力。
2. 培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 通过教学，使学生能够运用含参数的不等式解法解决实际问题。
二、教学内容1. 含参数不等式的概念及特点。
2. 含参数不等式的解法：图像法、代数法、不等式组法等。
3. 典型例题解析及练习。
三、教学重点与难点1. 教学重点：含参数不等式的解法及应用。
2. 教学难点：含参数不等式解法在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法、示范法、练习法、讨论法等相结合的教学方法。
2. 利用多媒体辅助教学，直观展示含参数不等式的解法过程。
3. 组织学生进行小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入新课：复习相关知识点，如不等式的概念、性质等，引出含参数不等式。
2. 讲解含参数不等式的解法：a) 图像法：通过绘制不等式的图像，找出解集。
b) 代数法：运用不等式的性质，求解含参数的不等式。
c) 不等式组法：将多个含参数的不等式组合起来，求解公共解集。
3. 典型例题解析：分析例题，引导学生运用所学解法解决问题。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，提醒学生注意解题中可能出现的问题。
6. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对含参数不等式解法的掌握程度以及解决实际问题的能力。
2. 评价方法：课堂练习、课后作业、小组讨论、个人总结等。
3. 评价内容：a) 学生能理解含参数不等式的概念及特点。
b) 学生能运用图像法、代数法、不等式组法等解法解决含参数不等式问题。
c) 学生能将所学知识应用于实际问题，提高问题解决能力。
七、教学反思1. 教师应在课后对教学效果进行反思，分析学生的反馈意见，调整教学方法及内容。
2. 关注学生在解题过程中的困难，针对性地进行辅导，提高学生的解题技巧。
专题11：含参不等式组的整数解问题 教学设计
专题11：含参不等式组的整数解问题教学目标1.能正确的求解含参不等式（组）或方程组，培养学生的运算能力和抽象能力。
2.能利用数轴讨论界点的取值范围，能根据题意，推理出参数的取值范围，培养学生数形结合的能力。
3.体会有等号和没有等号时，含参不等式组的整数解问题的区别与联系。
教学重点含参不等式的求解教学难点利用数轴谈论参数的取值范围教学过程一、 例题精讲例1：若不等式组0,10a x x ->+>⎧⎨⎩无解，求a 的取值范围 解：解得：,1a x x ＞＞-⎧⎨⎩ 因为不等式组无解，不等式组解集表示在数轴上无公共区域由数轴可得a≤-1变式1：若不等式组0,10a x x -≥+≥⎧⎨⎩无解，求a 的取值范围 解：解得：,1a x x ≥≥-⎧⎨⎩ 因为不等式组无解，不等式组解集表示在数轴上无公共区域由数轴可得a ＜-1变式2：若不等式组010a x x -≤+>⎧⎨⎩的解集为x ＞-1，求a 的取值范围 解：解得： ,1a x x ≤>-⎧⎨⎩ 因为不等式组x ＞-1 ，不等式组解集表示在数轴公共区域x ＞-1由数轴可得a ≤-1变式3：若不等式组0,10a x x ->+≥⎧⎨⎩有2个整数解，求a 的取值范围 解：解得：,1a x x ＞≥-⎧⎨⎩因为不等式组有2个整数解 ，所以整数解为-1、0不等式组解集表示在数轴为:由数轴可得0＜a≤1例2：若关于x 的不等式组214333x x x m x --⎧<⎪⎨⎪-≤-⎩恰有2个整数解，且关于x 、y 的方程组430mxy x y 也有整数解，则所有符合条件的整数m 的和为多少？ 解：解得：2,34x m x ＞≤-+⎧⎪⎨⎪⎩ 因为不等式组恰有2个整数解 ，所以整数解为-1、0，不等式组解集表示在数轴为由数轴可得0≤3+m 4＜1,则-3≤m＜1,m 可取整数-3、-2、-1、0 解得4,3123x m y m ⎧⎪⎪⎨=+=+⎪⎪⎩ 因为m 可取整数-3、-2、-1、0，且x 、y 有整数解所以m 可以取-2、-1，则-2-1=-3归纳：含参问题要注意那些细节：1.含参不等式（方程）求解，参数看成常数2.利用数轴谈论界点取值范围，注意空心或实心对应的结果不一样3.利用数轴谈论界点取值范围，端点可不可取二、 课堂练习1.不等式组 {2x +9>6x +1,x −k <1的解集为 x <2，则 k 的取值范围为 (C )A ． k >1B ． k <1C ． k ≥1D ． k ≤12.关于x 的不等式组{2x >a +1x+62≥x +1的解集中所有整数之和最大，则a的取值范围是（ D ）A ．﹣3≤a ≤0B ．﹣1≤a ＜1C ．﹣3＜a ≤1D ．﹣3≤a ＜13.已知关于x 的不等式组{5−2x >0x −m ≥0的整数解有3个，则m 的取值范围为 -1＜x ≤0 ．4.若关于x ，y 的二元一次方程组{3x +y =1+a x +3y =3的解满足x ＋y ＜2，则a 的取值范围为__a ＜4___．5.如果方程组：{x −y =a +32x +y =5的解x 、y 满足x ＞0，y ＜0，求a 的最小整数值． 解：解得8,3213a x a y ⎧⎪⎪⎨+=--=⎪⎪⎩ 因为x 、y 满足x ＞0，y ＜0 ，说以80,32103a a ＞＜⎧⎪⎪⎨+--⎪⎪⎩ 解得：8,12a a ＞＞⎧-⎪⎨⎪⎩ 由数轴可得a ＞12， a 的最小整数值为1 三、课堂小结通过本节课学习同学们有那些收获和疑问？四、课后练习见精准作业单五、板书设计。
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教学重点 教学难点
高中数学
河南省
含参不等式的解法；高次不等式的解法。 掌握含参不等式的讨论方法； 掌握高次不等式的解法及注意事项。 含参不等式的解法；高次不等式的解法。 含参不等式的解法。
含参不等式的解法
适用年级
课时时长（分钟） 60
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要写5卷求、重保技电要护术气设装交设备置底备高4动。调、中作管试电资，线高气料并敷中课试3且设资件、卷拒技料中管试绝术试调路验动中卷试敷方作包技设案，含术技以来线术及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
含参数的不等式问题---公开课教案
2014~2015上学期高二理科数学公开课教案高二（3）班 2014.10.16周四上午第二节 斗门一中肖爱萍课题：含参数的不等式的有关问题.目标：使学生掌握含参数的一元二次不等式的解法以及不等式成立的条件下求参数的范围问题. 内容：与含有参数的不等式有关的数学问题，大致有以下三种类型：第一种类型：解含有参数的不等式；第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围；第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立，求参数的范围.重点：解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，使学生掌握一元二次不等式模型、将其他不等式化为一元二次不等式并求解、一元二次不等式的解集是实数集和空集的含义及应用. 难点：对参数进行恰当的分类以及分类的原则和方法.过程：一、作业点评二、基础热身(1)(2012·高考重庆卷)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( ) A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2)(2011·高考上海卷)不等式x ＋1x≤3的解集是________． （4） 若不等式x 2－kx ＋k －1>0对x ∈(1,2)恒成立，则实数k 的取值范围是________．三、新课讲解1.解含有参数的不等式【例1】解关于x 的不等式：ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0.【例2】解下列关于x 的不等式：ax x －1<1，(a >0)2. 已知不等式成立的条件，求参数的范围. 有些含参数的不等式是在给定的条件下成立的,在解题时,要注意所给出的条件对含参数的不等式的作用,从而弄清给定的条件与含参数的不等式的解集的相互关系【例3】已知不等式x2－ax ＋1≥0.(1)若不等式对于一切x ∈(0,2］恒成立，则a 的取值范围为____________.(2)若不等式对一切x ∈［－2,2］恒成立，则a 的取值范围为____________.(3)若不等式对一切a ∈［－2,2］恒成立，则x 的取值范围为____________.审题】分析信息，形成思路(1)切入点：分离参数求解;关注点：注意应用基本不等式.(2)切入点：转化为恒成立问题求解；关注点：注意对x 分类讨论.（3）不等式2x －1x ＋3＞1的解集是________．(3)切入点：利用函数求解;关注点：注意自变量.【解题】规范步骤，水到渠成(1)原不等式可化为a ≤ 而 当且仅当x=1时等号成立，所以a 的取值范围是(－∞，2］.答案：(－∞，2］(2)因为x ∈［－2,2］，当x ＝0时①，原式为02－a ·0＋1≥0恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，则当x ∈(0,2］①时，由(1)知a ∈(－∞，2］，所以当x ∈［－2,0)时①，可得 ②，令f(x)=由函数的单调性可知，f(x)max ＝f(－1)＝－2，所以a ∈［－2，＋∞)，综上可知，a 的取值范围是［－2,2］.答案：［－2,2］(3)因为a ∈［－2,2］，则可把原式看作关于a 的函数③，即g(a)＝－xa ＋x2＋1≥0，由题意可知， 解之得x ∈R ，所以x 的取值范围是(－∞，＋∞).答案：(－∞，＋∞)【变题】变式训练，能力迁移若不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈ 恒成立，则a 的最小值为 （ ） A.0 B.-2 C. D. -33．含参数的不等式的恒成立, 能成立, 恰成立等问题的操作程序在近几年的高考数学试题中，常常出现这类含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数，导数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，这些题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式恒成立，能成立或恰成立.①恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A ,若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .②能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立,,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, 则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值小于B .③恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ,若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D ,如果从解题模式看,好象问题很简单, 但是, 由于试题的结构千变万化, 试题的设问方式各不相同, 就使得题目变得十分灵活, 如何对这类题目进行思辨和模式识别, 把问题化归到常见的基本的题型, 是高考复习的一个课题.【例4】若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是 ；若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ． 【解】第一个填空是不等式恒成立的问题,设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >⇔x f ,1(0,]252-即(),0442min >+-=a a x f 解得04<<-a 第二个填空是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥. 4.课堂巩固练习1：(Ⅰ)已知(),22xa x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; (Ⅱ)已知(),22xa x x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值. 【解】 这两问给出的函数的表达式相同,x 的范围相同,()f x 的取值区间也相同,但是,由于设问的含义不相同,所以解题的目标也不相同.本题的第(Ⅰ)问是一个恒成立问题,()022≥++=xa x x x f 对任意[)+∞∈,1x 恒成立 等价于()022≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立.由于()()112-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数, 则()()31min +==a x ϕϕ, 所以 3,03-≥≥+a a .第(Ⅱ问是一个恰成立问题, 这相当于()022≥++=xa x x x f 的解集是[)+∞∈,1x . 当0≥a 时,由于1≥x 时,()3222≥++=++=xa x x a x x x f ,与其值域是[)+∞,0矛盾, 当0<a 时, ()222++=++=xa x x a x x x f 是[)+∞,1上的增函数, 所以,()x f 的最小值为()1f ,令()01=f ,即.3,021-==++a a练习2：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,()n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N 均在函数32y x =-的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m .【解】（Ⅰ）依题意得，32,n S n n=-即232n S n n =-. 当n ≥2时，()221(32)312(1)65n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦; 当n =1时，113121615,a S ==⨯-==⨯-×21-2×1-1-6×1-5所以65()n a n n *=-∈N .（Ⅱ）由（Ⅰ）得[]131111(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+--+⎝⎭， 故11111111277136561n n ii T b n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑L =111261n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭. 因此，使得11126120m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭成立的m 必须满足 max 11126120m n ⎡⎤⎛⎫-≤ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦,即1220m ≤，即10m ≥,故满足要求的最小整数m 为10. 需要注意的是，在求得参数的范围时，什么时候有等号，什么时候没有等号？再如例7,第（Ⅱ）问等价于使得11126120m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭恒成立,显然, 111261n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭没有最大值,但是有n →∞是的极限值12,这里用极限值代替最大值,此时也需加上等号, 即1220m ≤,10m ≥. 练习3：已知函数()()22log f x x ax a =--在区间(,1-∞上是减函数,求实数a 的取值范围.【解】先看如下的解法:令()2g x x ax a =--,要使()()22log f x x ax a =--在区间(,1-∞-上是减函数,只要()2g x x ax a =--在区间(,1-∞上是减函数,且在区间(,1-∞-上()0g x >.因此,需()min 0g x >,()g x的最小值应在1x =,然而,题目给出的是开区间(,1-∞,为此应有(10,12g a ⎧≥⎪⎨⎪≥-⎩解得22a -≤≤.2014~2015上学期高二理科数学公开课教案高二（3）班 2014.10.16周四上午第二节 斗门一中肖爱萍课题：含参数的不等式的有关问题.目标：使学生掌握含参数的一元二次不等式的解法以及不等式成立的条件下求参数的范围问题. 内容：与含有参数的不等式有关的数学问题，大致有以下三种类型：第一种类型：解含有参数的不等式；第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围；第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立，求参数的范围.重点：解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，使学生掌握一元二次不等式模型、将其他不等式化为一元二次不等式并求解、一元二次不等式的解集是实数集和空集的含义及应用. 难点：对参数进行恰当的分类以及分类的原则和方法.过程：一、作业点评二、基础热身(1)(2012·高考重庆卷)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( ) A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2)(2011·高考上海卷)不等式x ＋1x≤3的解集是________． （4） 若不等式x 2－kx ＋k －1>0对x ∈(1,2)恒成立，则实数k 的取值范围是________．三、新课讲解1.解含有参数的不等式【例1】解关于x 的不等式：ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0.【例2】解下列关于x 的不等式：ax x －1<1.(a >0)2. 已知不等式成立的条件，求参数的范围. 有些含参数的不等式是在给定的条件下成立的,在解题时,要注意所给出的条件对含参数的不等式的作用,从而弄清给定的条件与含参数的不等式的解集的相互关系【例3】已知不等式x 2－ax ＋1≥0.(1)若不等式对于一切x ∈(0,2］恒成立，则a 的取值范围为____________.(2)若不等式对一切x ∈［－2,2］恒成立，则a 的取值范围为____________.(3)若不等式对一切a ∈［－2,2］恒成立，则x 的取值范围为____________.【变题】变式训练，能力迁移 若不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈ 恒成立，则a 的最小值为 （ ） A.0 B.-2 C. D. -3 1(0,]252-（3）不等式2x －1x ＋3＞1的解集是________．3．含参数的不等式的恒成立, 能成立, 恰成立等问题的操作程序在近几年的高考数学试题中，常常出现这类含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数，导数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，这些题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式恒成立，能成立或恰成立.①恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A ,若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .②能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立,,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, 则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值小于B .③恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ,若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D ,如果从解题模式看,好象问题很简单, 但是, 由于试题的结构千变万化, 试题的设问方式各不相同, 就使得题目变得十分灵活, 如何对这类题目进行思辨和模式识别, 把问题化归到常见的基本的题型, 是高考复习的一个课题.【例4】若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是 ；若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ． 【解】第一个填空是不等式恒成立的问题,设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >⇔x f ,即(),0442min >+-=a a x f 解得04<<-a 第二个填空是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥. 4、课堂巩固练习1：(Ⅰ)已知(),22xa x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; (Ⅱ)已知(),22xa x x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值. 练习2：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,()n S n n n *⎛⎫∈ ⎪⎝⎭N 均在函数32y x =-的图像上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m .练习3：已知函数()()22log f x x ax a =--在区间(,1-∞上是减函数,求实数a 的取值范围.。
含参不等式的解法教案
一、教学目标：1. 让学生掌握含参不等式的解法，能够独立解决相关问题。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
3. 通过对含参不等式的解法的学习，使学生体会数学与实际生活的联系。
二、教学内容：1. 含参不等式的定义及其性质。
2. 含参不等式的解法：图像法、代入法、不等式法等。
3. 含参不等式在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：含参不等式的解法及其应用。
2. 教学难点：含参不等式解法的选择和运用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解含参不等式的定义、性质和解法。
2. 利用案例分析法，分析含参不等式在实际问题中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论和练习，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，引导学生关注含参不等式的问题。
2. 讲解：讲解含参不等式的定义、性质和解法。
3. 案例分析：分析含参不等式在实际问题中的应用。
4. 练习：布置相关的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置适量的作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习完成情况：检查学生练习题的完成质量，评估学生对含参不等式解法的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力和解决问题能力。
七、教学资源：1. PPT课件：制作含参不等式解法的PPT课件，用于讲解和展示相关内容。
2. 练习题：准备适量的练习题，用于巩固学生对含参不等式解法的掌握。
3. 案例素材：收集一些与含参不等式相关的实际问题，用于案例分析。
八、教学进度安排：1. 第一课时：讲解含参不等式的定义、性质和解法。
2. 第二课时：分析含参不等式在实际问题中的应用，进行案例分析。
3. 第三课时：进行练习和总结，布置作业。
九、课后反思：1. 回顾本节课的教学内容，评估学生对含参不等式解法的掌握情况。
含参不等式的解法教案
一、教学目标1. 让学生掌握含参数的不等式的解法，提高他们的数学解题能力。
2. 通过解决实际问题，培养学生运用不等式解决问题的意识。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
二、教学内容1. 含参数不等式的基本概念。
2. 含参数不等式的解法：图像法、代数法、分析法。
3. 实际问题中的应用案例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：含参数不等式的解法。
2. 教学难点：如何运用不同的解法解决实际问题。
四、教学方法1. 采用案例教学法，让学生在解决实际问题的过程中掌握含参数不等式的解法。
2. 运用分组讨论法，培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。
3. 利用多媒体教学，直观地展示含参数不等式的解法过程。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际问题引入含参数不等式的概念。
2. 基本概念：讲解含参数不等式的定义和性质。
3. 解法讲解：a. 图像法：通过绘制函数图像，分析不等式的解集。
b. 代数法：运用代数运算，求解不等式的解集。
c. 分析法：从不等式的性质出发，推导出解集。
4. 案例分析：运用不同的解法解决实际问题，巩固所学知识。
5. 课堂练习：布置相关练习题，检测学生对含参数不等式解法的掌握程度。
7. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习题，及时了解学生对知识的掌握情况，针对性地进行讲解和辅导。
2. 课后作业：布置适量作业，要求学生在规定时间内完成，以检验他们对知识的掌握程度。
3. 小组讨论：观察学生在分组讨论中的表现，了解他们的团队协作能力和逻辑思维能力。
4. 期中期末考试：通过考试全面评估学生对含参数不等式解法的掌握情况。
七、教学资源1. 教材：选用权威、实用的教材，为学生提供系统的学习资源。
2. 教案：制定详细的教学计划和教案，确保教学目标的实现。
3. 课件：制作生动、直观的课件，帮助学生更好地理解含参数不等式的解法。
4. 练习题：收集和编写各类练习题，巩固学生所学知识。
含参一元二次不等式的解法
【课标要求】
1.掌握简单的含参一元二次不等式解法． 2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题。
【核心扫描】
1.含参一元二次不等式的解法．(重点) 2.一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)
题型一
含参数的一元二次不等式的解法
x2 – ax – 6a2 < 0. (x – 3a)(x +2a) < 0.
2
的定义域为R，则实数k的取值 范围是 [0,1] .
题型二
恒成立问题
优化设计P64 变式2
课后作业
1.优化设计课时训练P21
课后拓展
思考题1.不等式(a＋1)x2＋ax＋a＞m(x2＋x＋1)对任意x恒成立 ，试比较a与m的大小． 2.已知函数y＝x2＋2(a－2)x-8，对∀a∈[－3,1]，y＜0恒成立， 则求x的取值范围。
练1：解关于x的不等式：
x a x a
函数y x a x a的图像开口向上，所以
当a<-1时，原不等式的解集为
当a=-1时，原不等式的解集为 当a>-1时，原不等式的解集为 ； .
方程x a x a=的解为x=- ，x a
解: ①当 a2－ 1＝0 时，a＝1 或－1. 若 a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立． 1 若 a＝－1， 则原不等式为 2x －1＜0 即 x ＜ 不合题意， 2
舍去． ②当 a2－1≠ 0 时， 即 a≠±1 时，原不等式的解集为 R a2－1＜0 3 的条件是 ，解得－ ＜a＜1. Δ ＝ [－ a－1 ]2＋4 a2－1 ＜0 5
a－ m＋ 1＞ 0， ∴ a－ m [3 a－ m＋ 1＋ 1]＞ 0，
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教学过程一、课堂导入上次课我们学习了一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系，一元二次不等式的解法。
问题：如果遇到含参不等式的时候应该如何求解？二、复习预习一元二次不等式的解法：二次函数△情况一元二次方程一元二次不等式y=ax2+bx+c(a＞0) △=b2-4ac ax2+bx+c=0(a＞0)ax2+bx+c＞0(a＞0)ax2+bx+c＜0(a＞0)△＞0x1=x2=不等式解集为｛x｜x＜x1或x＞x2＝不等式解集为｛x｜x1＜x＜x2＝△=0x1=x2=x0=不等式解集｛x｜x≠x0,x∈R｝解集为△＜0 方程无解不等式解集为解集为R(一切实数)三、知识讲解考点1含参不等式对应方程能因式分解类，讨论两个根的大小解不等式。
按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<考点2含参不等式对应方程不能因式分解，讨论判别式。
按判别式∆的符号分类，即0>∆∆；,0<,0∆=考点3最高次项系数含参，先考虑最高次项系数为0情况。
按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;考点4高次不等式的解法元n次不等式(x-a1)(x-a2)…(x-a n)＞0,(x-a1)(x-a2)…(x-a n)＜0，其中a1＜a2＜…＜a n.把a1,a2,…a n按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区间如图所示：四、例题精析例1【题干】解不等式06522>+-a ax x ，0≠a【答案】{}|23x x a x a ><或【解析】原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a 时，即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0<a 时，即23a a ，解集为{}|23x x a x a ><或例2【题干】解不等式042>x+ax+【答案】∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或 【解析】∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例3【题干】解不等式()()R+01412-≥mxx+m∈2【答案】因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
【解析】因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
例4【题干】解不等式(x+4)(x+5)2(2-x)3<0【答案】不等式解集为{x∣x>2或x<-4且x≠5}. 【解析】原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图Array不等式解集为{x∣x>2或x<-4且x≠5}.五、课堂运用【基础】1、解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x【答案】原不等式可化为：()0)1(<--a x a x ，令aa 1=，可得：1±=a ∴当1-<a 或10<<a 时，a a 1< ，故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|； 当1=a 或1-=a 时，a a 1=,可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1>,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|。
【解析】原不等式可化为：()0)1(<--a x a x ，令aa 1=，可得：1±=a ∴当1-<a 或10<<a 时，a a 1< ，故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|； 当1=a 或1-=a 时，a a 1=,可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1>,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|。
2、解不等式()00652≠>+-a a ax ax【答案】()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x【解析】()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x【巩固】1、解不等式：()0122>+++x a ax【答案】∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 【解析】∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|222、x 2-4x+13x 2-7x+2 ≤1【答案】{x |x< 1 3 或 1 2≤x ≤1或x>2}. 【解析】变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2)≥0 根据穿根法如图不等式解集为{x |x< 1 3 或 1 2≤x ≤1或x>2}.【拔高】1、解不等式：033)1(22>++-ax x a【答案】当2-<a 或2>a 时，解集为R ；当2-=a 时，(1,∞-)⋃(+∞,1)； 当12-<<-a 或21<<a 时，解集为 (223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )；当1-=a 时，解集为(1,∞-)； 当11<<-a 时，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )；当1=a 时，)(*解集为(+∞-,1)；当2=a 时，解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1).【解析】033)1(22>++-ax x a )(*1012=⇒=-a a 或1-=a ；203)1(4922=⇒=⨯-⨯-=∆a a a 或2-=a ；∴当2-<a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R ；当2-=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,∞-)⋃(+∞,1)；当12-<<-a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )； 当1-=a 时，)(*1033<⇔>+-⇔x x ，)(*解集为(1,∞-)；当11<<-a 时，012<-a 且0>∆，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )； 当1=a 时，)(*1033->⇔>+⇔x x ，)(*解集为(+∞-,1)；当21<<a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )； 当2=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1)；当2>a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R .综上，可知当2-<a 或2>a 时，解集为R ；当2-=a 时，(1,∞-)⋃(+∞,1)； 当12-<<-a 或21<<a 时，解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )；当1-=a 时，解集为(1,∞-)； 当11<<-a 时，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )；当1=a 时，)(*解集为(+∞-,1)；当2=a 时，解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1).2、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax【答案】①当0<a 时，{11><x ax x 或}； ②当0=a 时，{1>x x }；③当10<<a 时，{ax x 11<<}； ④当1=a 时，φ；⑤当1>a 时，{11<<x a x }. 【解析】若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x若0<a ，原不等式ax x a x 10)1)(1(<⇔>--⇔或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--⇔x ax )(* 其解的情况应由a1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ；（2）当1>a 时，式)(*11<<⇔x a；（3）当10<<a 时，式)(*a x 11<<⇔. 综上所述，不等式的解集为：①当0<a 时，{11><x ax x 或}； ②当0=a 时，{1>x x }；③当10<<a 时，{ax x 11<<}； ④当1=a 时，φ；⑤当1>a 时，{11<<x a x}.课程小结1、含参不等式能因式分解讨论两根；2、不能因式分解讨论判别式；3、最高次项系数含参先讨论系数为0情况；4、高次不等式注意奇穿偶不穿。