第4章 希尔伯特空间 研究生 数值分析 教学课件
数值分析第4章(2)
12/14
0.76 −0.01 −0.14 −0.16 x1 −0.01 0.88 −0.03 0.05 x 2 −0.14 −0.03 1.01 −0.12 x3 −0.16 0.05 −0.12 0.72
Back Close
“g ê N , ˜ k := 0.
(2) d ª (4.16) ½ ª (4.18) O Ž x(k+1). (3) e b − Ax(k+1) / b
C q ).
ε, K Ê Ž, Ñ Ñ x(k+1) Š • • § |
(4) ˜ x(k) := x(k+1), k := k + 1, = Ú ½ (2).
(I − ω D −1L)x(k+1) = [(1 − ω )I + ω D −1U ]x(k) + ω D −1b,
=
9/14
(D − ω L)x SOR S “
(k +1)
= [(1 − ω )D + ω U ]x
(k )
+ ω b.
OŽ‚ª•
x(k+1) = (D − ω L)−1 [(1 − ω )D + ω U ]x(k) + ω b ,
Š â Ž { 4.3, ? › MATLAB § S X e.
11/14
• SOR S “ { MATLAB § S %§ S4.3--msor.m function [x,iter]=msor(A,b,omega,x,ep,N) if nargin<6, N=500; end if nargin<5, ep=1e-6; end if nargin<4, x=zeros(size(b)); end if nargin<3, omega=1.2; end
希尔伯特空间
一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在1900年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。
希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间，也就是无穷序列空间的性质。
大家知道，在一个欧几里得空间R^n上，所有的点可以写成为：X=（x1，x2，x3，...，xn）。
那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X= （x1，x2，x3，....xn，.....），一个点的序列。
欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），||X||^2=∑xn^2，可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个xn，∑xn^2可以不存在（为无穷大）。
于是希尔伯特将所有∑xn^2为有限的点做成一个子空间，并赋以X*X'=∑xn*xn' 作为两点的内积。
这个空间我们现在叫做l^2，平方和数列空间，这是最早的希尔伯特空间了。
注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数可以由点与自身的内积推出，所以内积是一个更加强的条件，有内积必有范数，反之不然。
只有范数的空间叫做Banach空间，（以后有时间再慢慢讲:-）。
如果光是用来解决无穷维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。
Hilbert空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上∑xn^2为有限的点。
这个最早的Hilbert space叫做l^2（小写的l 上标2，又叫小l2空间），非常类似于有限维的欧氏空间。
数学的发展可以说是一部抽象史。
最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在算术运算中可以都被抽象为“一”，也就是“数学”本身的起源（脱离具体物体的数字运算）了，而Hilbert space理论发展就正是如此：“内积+ 线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了Hilbert space。
数值分析课件 第4章 数值积分与数值微分
第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。
在微积分中，我们熟知，牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上有很大作用。
对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ，则可计算定积分()()()ba f x dx Fb F a =-⎰ 似乎问题已经解决，其实不然。
如1）()f x 是由测量或数值计算以数据表形式给出时，Newton-Leibnitz 公式无法应用。
2）许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-=等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。
3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。
例如下列积分24111ln11arc 1)arc 1)xdxxtg tg C++=+⎡⎤+++-+⎣⎦⎰对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法—数值积分法。
1.1 数值求积分的基本思想根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。
由积分中值定理：对()[,]f x C a b∈，存在[,]a bξ∈，有()()()baf x dx b a fξ=-⎰表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a-而高为()fξ的矩形面积（图4-1）。
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()fξ。
我们将()fξ称为区间[,]a b上的平均高度。
这样，只要对平均高度()fξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。
如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b a T f a f b -=+ (1.1)便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。
数值分析PPT教案
遗传算法
模拟生物进化过程的优 化算法，适用于多变量、 非线性、离散的最优化
问题。
数值积分和微分的方法
01
02
03
04
矩形法
将积分区间划分为若干个小的 矩形区域，每个矩形区域上的 函数值乘以宽度然后相加。
梯形法
将积分区间划分为若干个小的 梯形区域，每个梯形区域上的 函数值乘以宽度然后相加。
理解和应用能力。
培养创新思维和解决问题的能力
03
学生应该培养创新思维和解决问题的能力，以便在未来的学习
和工作中更好地应对挑战。
THANK YOU
感谢聆听
误差累积效应
误差的来源和传播
初始误差放大 误差传递规律
误差的度量和控制
绝对误差和 相对误差
误差的估计 和容忍度
提高数据精 度
选择合适的 算法和数值 方法
控制误差的 方法
迭代收敛性 和稳定性分 析
方法的稳定性和收敛性
方法的稳定性 不受初始条件和舍入误差的影响
对输入数据的变化具有稳健性
方法的稳定性和收敛性
课程目标
02
01
03
掌握数值分析的基本概念、原理和方法。
能够运用数值分析方法解决实际问题，提高计算能力 和数学素养。
培养创新思维和实践能力，为后续学习和工作奠定基 础。
02
数值分析基础
数值分析的定义和重要性
数值分析的定义
数值分析是一门研究数值计算方法及其应用的学科，旨在解决各 种数学问题，如微积分、线性代数、微分方程等。
电子工程
在电子工程中，数值分析用于 模拟电路的行为和性能。通过 电磁场理论和数值方法，可以 优化电路设计和性能，提高电 子设备的效率和稳定性。
北大随机信号分析基础课件 4.1 希尔伯特变换和解析过程
第四章 窄带随机过程 4.1 希尔伯特变换和解析过程4.1.1 希尔伯特变换 一． 希尔伯特变换的定义设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(ˆt x或)]([t x H ，并定义为τττπd t x t x H t x ⎰∞∞--==)(1)]([)(ˆ用'ττ+=t 代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为：'')'(1)(ˆτττπd t x t x ⎰∞∞-+-=也可得'')'(1)(ˆτττπd t x t x ⎰∞∞--=希尔伯特反变换为τττπd t xt x H t x ⎰∞∞----==)(ˆ1)](ˆ[)(1经变量替换后得τττπτττπd t xd t xt x ⎰⎰∞∞-∞∞-+=--=)(ˆ1)(ˆ1)(二． 希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。
从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和t π1的卷积，即tt x t xπ1*)()(ˆ=于是，可以将)(ˆt x看成是将)(t x 通过一个具有冲激响应为t t h π1)(=的线性滤波器的输出。
由冲激响应可得系统的传输函数为)sgn()(ωωj H -=式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为0101)sgn(<-≥=ωωω可得滤波器的传输函数为00)(<≥-=ωωωj j H即1)(=ωH202)(<≥-=ωπωπωϕ上式表明，希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。
由上述分析可得，)(ˆt x的傅立叶变换)(ˆωX 为)()sgn()sgn()()(ˆωωωωωX j j X X-=-⋅= 2. )(ˆt x的希尔伯特变换为)(t x -，即)()](ˆ[t x t x H -=。
3. 若)(*)()(t x t v t y =，则)(t y 的希尔伯特变换为)(*)(ˆ)(ˆ*)()(ˆt x t v t x t v t y==4.)(t x 与)(ˆt x的能量及平均功率相等，即 dt t xTdt t x Tdt t xdt t x TTT TT T ⎰⎰⎰⎰-∞→-∞→∞∞-∞∞-==)(ˆ21lim )(21lim )(ˆ)(2222此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率。
研究生数值分析课件ch
数值分析是数学的一个重要分支，主要研究如何利用数值方法求解数学问题和近似计算 实际问题的数值解。它为科学研究、工程技术和实际应用等领域提供了重要的数学工具。 数值分析的重要性在于它能够将许多抽象的数学概念和理论转化为具体的数值计算方法，
使得我们能够更加方便地解决各种复杂的实际问题。
数值分析的应用领域
在金融领域，数值分析也被 广泛应用于风险评估、投资 组合优化、期权定价等方面 。通过数值分析的方法，我 们可以更加准确地评估投资 风险和收益，从而做出更加 明智的决策。
数值分析的发展历程
总结词
数值分析的发展历程可以追溯到上世纪初，随着计算 机技术的不断发展，数值分析的理论和方法也在不断 更新和完善。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式与复化求积法
牛顿-莱布尼兹公式
该公式是微积分中的一个基本定理，用于计算定积分。 通过将积分区间分成若干小区间，并在每个小区间上应 用微积分基本定理，再利用定积分的线性性质进行求和 ，最后取极限得到定积分的值。
复化求积法
当被积函数是复杂函数或者积分区间是复杂形状时，直 接应用牛顿-莱布尼兹公式可能会遇到困难。此时，可以 采用复化求积法，即将积分区间分成若干个小区间，然 后在每个小区间上应用牛顿-莱布尼兹公式，最后将所有 的结果相加得到定积分的近似值。
改进欧拉法
为了提高欧拉方法的精度，可以对欧拉方法进行改进。一种常见的改进方法是使用二阶 欧拉方法，它考虑了更多的函数值，从而提高了逼近的精度。
龙格-库塔方法
龙格-库塔方法是一种高阶数值方法，用于求解常微分方程。它基于泰勒级数的思想，通过迭代的方式逐步逼近方程的精确解 。与欧拉方法相比，龙格-库塔方法具有更高的精度和更好的稳定性。
数值分析PPT
A为待定系数，利用导数条件 P3'(x1) m1 ，求出A， 但求出的 P3(x)通常为3次多项式，
一般情况下 P3(x) 也有可能为二次多项式，
原来方法更加准确。
（2）求余项: R(x)=f(x)－P3(x)
易知: x0, x2是R(x)的一重零点，x1 为R(x)的二重零点,
∴ R(x)可写为
多项式，则对任何 x a,b 有:
Rn (x)
f (n1) ( ) (n 1)!
Wn
1
(
x)
n
其中 Wn1(x) (x xi ), (a,b) ，且与x有关。 i0
证明：考虑插值节点上有 Rn (xi ) 0 (i 0,1,,n)
∴ 这些节点是 Rn (x) 的零点,
可设 Rn (x) k(x) Wn1(x)
∴ K(x) 1 f 4 ( )
4!
∴插值余项为R(x) =
1 4!
f
4 (
)(x
x0
)(x
x1 )2
(x
x2
)
在插值区间内与x有关.
4.5 埃尔米特插值（Hermite 法国数学家）
有时插值函数不仅要求在节点上与原函数相同，还要求 其导数的值与原函数的值相同，即要求
H2n＋1(xi)=f (xi)， H’2n＋1(xi)=f ’(xi) i=0、1、…、n
1 i k lk (xi ) 0 i k
n
则插值多项式为: Ln (x) yi li (x) i0
lk (x) 构造过程：
上式表明：n 个点 x0 , x1, xk1, xk1, xn 都是 lk (x) 的零点。
lk (x) Ak (x x0 )(x x1) (x xk1)(x xk1) (x xn )
希尔伯特空间
一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤此后者更为有名，我想主要原由是他以前在 1900 年的世界数学家大会上提出了二十三个有名的希尔伯特问题，引导了本世纪前五十年数学的主攻方向，可是还有一个原由呢，我想就是有名的希尔伯特空间了。
希尔伯特空间是希尔伯特在解决无量维线性方程组时提出的观点，本来的线性代数理论都是鉴于有限维欧几里得空间的，没法合用，这迫使希尔伯特去思虑无量维欧几里得空间，也就是无量序列空间的性质。
大家知道，在一个欧几里得空间 R^n 上，全部的点能够写成为： X= （ x1，x2，x3，...，xn ）。
那么近似的，在一个无量维欧几里得空间上点就是： X= （ x1， x2， x3 ， ....xn， .....），一个点的序列。
欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或许说是一个点到原点的距离），||X||^2= ∑ xn^2 ，但是这一重要性质在无量维时被损坏了：关于无量多个 xn，∑ xn^2能够不存在（为无量大）。
于是希尔伯特将全部∑ xn^2 为有限的点做成一个子空间，并赋以∑xn*xn' 作为两点的内积。
这个空间我们此刻叫做 l^2 ，平方和数列空间，这是最早 X*X'=的希尔伯特空间了。
注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数能够由点与自己的内积推出，所之内积是一个更为强的条件，有内积必有范数，反之否则。
只有范数的空间叫做 Banach 空间，（此后有时间再慢慢讲 :- ）。
假如光是用来解决无量维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。
Hilbert 空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无量维欧氏空间上∑xn^2 为有限的点。
这个最早的 Hilbert space 叫做 l^2（小写的 l 上标 2，又叫小 l2 空间），特别近似于有限维的欧氏空间。
数学的发展能够说是一部抽象史。
最早的抽象大体是一个苹果和一头牛在算术运算中能够都被抽象为“一”，也就是“数学”自己的发源（离开详细物体的数字运算）了，而Hilbert space理论发展就正是这样：“内积 + 线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了 Hilbert space。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
范数
n
x (x, x)
xi 2 ，
i 1
则 n 按范数是完备的内积空间，即 Hilbert 空间。
n
n
特别的，在 Rn 中，内积(x, y)
xi yi ，范数 x
xi2 。
i 1
i 1
例 2 在 L2[a,b]中，x(t), y(t) L2[a,b]，
b
定义内积 (x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
M {y y M , y U}。
（5）设 M 为 U 的线性子空间，x U , 若x0 M , x1 M ，
使得
x x0 x1
（*）
则称 x0 为 x 在 M 上的正交投影，（*）式称为 x 关于 M 的
正交分解。
2) 性质 （1）设 U 是内积空间， x, y U , 若x y，则
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理） i 1
1
范数 x ( xi 2)2 ，
i1
则l 2 是 Hilbert 空间。
例 4 C[a,b]是按范数 x max x(t) 不是内积空间（因为 t[ a ,b ]
不满足平行四边形U 是内积空间，x, y U, M , N U
证： ①当 X 为实赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) 4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；
② 当 X 为复赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) i ( x iy 2 x iy 2 )
4
4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
x 2 2 Re(x, y) y 2
x 2 2 x y y 2 ( x y )2
(Q Re(x, y) (x, y) x y )
故
x y x y
3）内积空间的性质 （1）在内积空间 U 中，按内积导出的范数满足平行四边 形公式
证明：
x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 )
引理（柯西—许瓦兹不等式 Cauchy—Schwarz）：
x, yU ，有 x, y x y
验证 x (x, x) 满足范数的三条公理。
① 显然
② x ( x, x) x
③ 因为 x y 2 (x y, x y) (x, x) (x, y) (x, y) ( y, y)
（1）若(x, y) 0 ，称 x 与 y 正交，记作 x y ；
（2）若y N, 有(x, y) 0 ，称 x 与 N 正交，记作 x N ；
（3）若x M ,y N, 有(x, y) 0 ，称 M 与 N 正交，
记作 M N ；
（4） U 中与 M 正交的所有元素的全体称为 M 的正交 补，记作 M ，即
x x0
inf yM
x y
而且 x0 是 M 中使（**）成立的唯一点。
（**）
（
x x0
inf yM
x y 说明 x0 是 M 中逼近 x 的最好元）
问：当 U、M 满足什么条件时，x U 在 M 中有投影？
3）投影定理 设 M 是 Hilbert 空间中闭线性子空间，则
（即内积空间 U 按距离 (x, y) x y (x y, x y) 是 完备的，亦是 Banach 空间）
5）举例
例 1 在 n ——n 维（实或复数）向量空间中，
x (x1, x2,L , xn ), y ( y1, y2,L , yn ) n ， 定义
n
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理） i 1
范数
x(t)
(
b
x2
(t
)dt
)
1 2
，
a
则 L2[a,b]按范数是完备的内积空间。
若 L2[a,b]为复值函数，则定义内积
b
(x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
例 3 在l2 {x x (x1, x2,L ), xi2 , xi为复数}中， i 1
x (x1, x2,L ), y ( y1, y2,L ) l2，定义
① (x, y) (x, y) ② (x, y z) (x, y) (x, z)
2）内积空间中的范数 在内积空间 U 中，若令
x (x, x) ，即 x 2 (x, x)
可验证满足范数的三条公理，故 U 是按内积导出的赋 范线性空间。进一步也可由范数导出距离
(x, y) x y (x y, x y) ，则 U 也是距离空间。
x y 2 x 2 y 2 称为“商高定理”，即勾股定理。
（2）设 L 是内积空间 U 中的一个稠密子集，x U ，若 x L，则 x=0（零元素）。
（3）设 U 是内积空间，M U ，则 M 为 U 的闭线 性子空间。
（4）设 U 是内积空间， M U 为线性子空间，若 x0 为 x 在 M 上的投影，则
第4章 希尔伯特（ Hilbert）空间
§4.1 内积空间和Hilbert空间 §4.2 正交分解与投影定理 §4.3 广义Fourier分析
当 K 是实数域时，称 U 为实内积空间；K 为复数 域时，称 U 为复内积空间。通常 U 指的是复内积 空间。
当 U 为内积空间时，推得：x, y, z U,, 有
注：若赋范线性空间 X 的范数不满足平行四边形公式， 则 X 不能成为内积空间。
（3）内积的连续性
在内积空间 U 中，内积(x, y) 是两个变元 x, y 的连函数，
即当 xn x, yn y （按范数）时，数列 (xn, yn ) (x, y)
4）希尔伯特（Hilbert）空间 定义 完备的内积空间 U 称为 Hilbert 空间，记作 H
x y 2 x y 2 (x y, x y) (x y, x y) x 2 (x, y) ( y, x) y 2 x 2 (x, y) ( y, x) y 2 2( x 2 y 2 )
（2）判别定理 若赋范线性空间 X 的范数 g 满足平行 四边形公式 x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 ) ，则 X 可成为 内积空间。