研究生课程《数值分析》第四章数值积分与数值微分

b
a
f
(x)dx
1 (b 6
a)
f
(a)
4
f
(a
2
b)
f
(b)
y=f(x)
梯形公式把 f(a), f(b) 的加权平均值
1 f (a) f (b)
2
aa ((aa++bb))//22 bb
作为平均高度 f( ) 的近似值而获得的一种数值积分方法。
中矩形公式把 [a,b] 的中点处函数值
f
ab 2
定义 （代数精度） 设求积公式（1）对于一切次 数小于等于 m 的多项式( f (x) 1, x, x2 , , xm 或 f (x) a0 a1x a2 x 2 am x m )是准确的，而对于 次数为 m+1 的多项式是不准确的，则称该求积公 式具有 m 次代数精度（简称代数精度）
作为平均高度 f( ) 的近似值而获得的一种数值积分方法。
Simpson公式是以函数 f(x)在 a, b, (a+b)/2 这三点的函数
值 f(a),
f(b),
f
a
2
b
的加权平均值
。
1 ( f (a) 4 f ( a b ) f (b))作为平均高度 f() 的近
6
2
似值而获得的一种数值积分方法。
将积分区间细分, 在每个小区间内用简单函数代替复 杂函数进行积分，这是数值积分的思想。本章主要讨论 用代数插值多项式代替 f(x) 进行积分。
5.1.1 数值积分的基本思想
积分 I b f (x)dx 在几何上可以理解为由 x=a, x=b, a
y=0 以及 y = f(x) 这四条边所围成的曲边梯形面积。如图 1 所 示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边 y=f(x)。
k 0
k 0
其中
Ak
b
a lk
(x)dx
b a
(x
( x) xk ) (xk
)
dx
称为求积系数。给出如下定义,
定义 1 求积公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
(1)
k 0
b
其系数 Ak a lk (x)dx 时，则称求积公式为插值求积公式。
设插值求积公式的余项为R( f ) ,由插值余项定理得
f ( )
f (a) 2
f (b)
和

f ( )
f
y( a
2
b
)
y=f(x)
则分别得到中矩形公式和梯形公式。
①梯形公式
b
a
f
(x)dx
1 (b 2
a) f
(a)
f
(b)
②中矩形公式
aa
bb x
y y=f(x)
b f (x)dx (b a) f ( a b)
a
2
aa (a+b)/2 b x
③辛普森 Simpson公式 y
jk
这里 (x) (x x0 )( x x1 )(x xn )
b
b
多项式 P(x) 易于求积, 所以可取 P(x)dx作为 f (x)dx
a
a
的近似值，即
b
b
bn
f (x)dx P(x)dx
a
a
a
f (xk )lk (x)dx
k 0
n
b
n
f (xk ) a lk (x)dx f (xk )Ak
（2）先用某个简单函数 (x)近似逼近 f(x), 用(x) 代替原被
b
积函数 f(x)，即 f (x)dx
b ( x)dx以此构造数值算法。
a
a
从数值计算角度考虑, 要求 (x) 充分的逼近应对 f(x) ,且
易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且易于计
算积分,因此将 (x) 选取为插值多项式，这样 f(x)的积分可用
R( f ) b f (x) P(x)dx b f (n1) ( ) (x)dx
a
a (n 1)!
其中 a,b.
当 f(x)是次数不高于n 的多项式时，有 f (n1) (x) 0， R( f ) 0，求积公式 (1) 能成为准确的等式。由于闭区间 [a, b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一个求积公式 能对高次多项式 f(x) 成为准确等式，是衡量该公式的精 确程度的重要指标，为此给出以下定义。
y=f(x) a
图1 数值积分的几何意义
b
建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的有两种：
(1)由积分中值定理可知，对于连续函数 f(x)，在积分区
间[a, b]内存在一点 ξ ，使得
b
a f (x)dx (b a) f ( )
a,b
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为 (b-a)，高为 f ( ) 的矩
(1) 被积函数 f(x) 并不一定能够找到用初等函数的
有限形式表示的原函数 F(x)，例如：
1 sin xdx和 1 ex2 dx
0x
0
Newton-Leibnitz公式就无能为力了
(2) 还有被积函数 f(x)的原函数能用初等函数表示，
f (x) x2 2x2 3
但积分后其表达式却很复杂, 积分后其原函数 F(x)为：
数值分析课件
第四章 数值积分与数值微分
5.1 数值积分问题
我们知道,若函数 f(x)在区间 [a,b] 上连续且其原函数为 F(x),则可用 Newton-Leibnitz 公式
b
a f (x)dx F (b) F (a)
求定积分的值 。Newton-Leibnitz 公式 无论在理论上还是在 解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积 分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且 极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：
其插值多项式的积分来近似代替。
5.1.2 插值求积公式
设已知 f(x) 在节点 xk (k 0,1,, n) 有函数值 f (xk ),作 n
次拉格朗日插值多项式
n
P(x) f (xk )lk (x) k 0
式中
lk (x)
n j0
x xj xk x j
(x) (x xk )(xk )
形面积。
但点 ξ 的具体位置一般是未知的, 因而 f ( ) 的值也是未知
的, 称 f ( )为 f(x) 在区间[ a,b ]上的平均高度。那么只要对平均
高度 f ( ) 提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法。
按照次思想，可三构造个出一求些求积积分分值公的近式似公式。
例如 f ( ) 分别取
F(x) 1 x2 2x2 3 3 x 2x2 3 9 ln( 2x x2 2x2 3)
4
16
16 2
(3) 被积函数 f(x) 没有具体的解析表达式, 其函数关 系由表格或图形表示。
对于以上情况, 计算积分的准确值十分困难。由此， 通过原函数计算积分有它的局限性, 因而，研究一种新 的积分方法来解决 Newton-Leibniz 公式所不能或很难解 决的积分问题，这时需要用数值解法来建立积分的近似 计算方法。