例谈由具体到抽象原则在近世代数教学中的应用
近世代数学习系列一 学习方法
近世代数学习方法“近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。
为此，下面介绍五种常用的学习方法。
一、通过例子来加深对基本理论的理解针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。
例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。
当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。
要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。
通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。
例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。
那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。
例：设R是所有偶数构成的环，Z表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。
二、通过变换角度来寻求问题的解法通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。
下面举例说明这种方法：例：设是从G1到G2的满同态，N2是G2的不变子群，N1= -1(N2)，证明G1/N1同构于G2/N2。
对于这个问题，我们不直接证明G1/N1同构于G2/N2，而是将问题进行变换，先构造从G1到G2/N2的满同态，再证明N1是的核，然后根据同态基本定理知结论正确。
三、通过“同构”的观点将知识点（问题）归类“同构”的概念非常重要，因为凡是具有同构性质的结构在本质上可看成是同一结构。
近世代数心得
近世代数心得
近世代数学让我们探索世界的知识，进行有效的统计和分析，从而有利于人们的生活。
近期的发展将数学的理论与实际的应用融为一体，使得近期的代数发展更加完整。
通过近世代数学的发展，人们可以基于正确的原则，推导出正确的结果。
首先，近世代数学更多地关注数学研究的内在联系，而不仅仅是一些基础计算。
通过对数学研究方法的深入理解，人们可以更好地理解数学研究的本质，从而得出更为准确的结果。
其次，近世代数学引入了抽象代数学，其理论可以应用于多种数学模型，使得数学计算更加灵活。
例如，抽象代数学可以用于表示复杂函数的几何性质，以及复杂数学模型的结构。
此外，抽象代数学也可以应用于数学图论，用于完善数学模型的分析和推理，从而得出更有价值的结论。
此外，近世代数学也引入了非参数和多元统计学，以更精确地区分和描述一组数据，精确地估计一组数据的分布，以及准确地预测一组数据的变化趋势。
这些方法可以应用于社会科学的研究，帮助人们深入理解数据库所表示的社会现象，从而得出较为准确的结论。
最后，近世代数学也引入了信息论。
信息论的研究将数学理论与计算机科学相结合，可以帮助我们从复杂的数据中提取出有效的信息，并对信息进行有效的分类和分析，从而有助于人们做出更准确的决策。
总之，近世代数学已经发展成为一门拥有多样性、活跃性和有效性的学科，旨在探索、实践和应用数学知识。
这一趋势将使数学研究
的视野更加宽广，并且有助于为现实世界的实际问题提供科学的解决方案。
近世代数课程的教学探讨
近世代数课程的教学探讨近世代数课程的教学探讨在近世代数教学中，要注重知识的主线和应用价值，加强与高等代数相关知识的联系。
在教学方法上，要把具体的事例引入课堂，把前后的知识联系起来，形成知识体系，从而调动和鼓励学生主动学习的积极性。
标签：近世代数；教学内容；教学方法近世代数也称为抽象代数是数学与应用数学专业一门非常重要的专业必修课，其特点是高度抽象，逻辑性强，推理严谨。
学生普遍认为是一门难懂难学的课程，加之课程由大学三年一期开设，提前到二年一期，更加大了学习难度，导致很多学生苦不堪言。
但是，如果降低难度和要求，学生就不能学到应有的知识，达不到教学的效果，抽象思维能力和逻辑推理能力也得不到应有的提高，这与我们的教学目标相违背。
那么如何解决学生在学习过程中认为太抽象、难度大的问题，如何提高学生的学习兴趣，这给教师们提出了新的要求和挑战。
本文结合近世代数课程教学的情况，以文献为例，[1]从以下方面，提出几点建议，以供读者参考。
一、教学内容方面近世代数课程涉及大量抽象概念、命题、定理和推论。
对于刚接触这门课程的学生来说，学习起来无疑是非常困难的。
他们觉得内容很无聊，更不用说对这门课的兴趣了。
随着我国高等教育的改革，为适应当前社会发展的需要，高校必须增设其他新课程。
相应的，专业教学计划也做了相应的调整，减少了课时。
这样的话，完全不可能把整本书的所有内容都详细看完。
因此，教师应根据实际需要和其他课程安排，合理安排教学任务，调整教学节奏，激发学生的积极性和主观能动性，不减少教学内容，保证教学质量。
1、抓主线，教内容教材内容主要包括群、环、域三部分，是近世代数的核心内容。
在这三个部分的教学过程中，要抓住主线，围绕这些主线进行系统的教学。
比如一个群的主线是群同态，这是一种保持运算的映射，揭示两个群的一些共同性质，从而区分两者的异同。
群的内容可以围绕群的同态展开；环的主线比较理想；域的主线是域扩展。
如果能抓住这些主线，在实际教学中就能达到事半功倍的效果。
数学中的抽象代数及其应用
数学中的抽象代数及其应用在现代数学领域中，抽象代数是一门研究代数结构的学科。
它以代数系统的广义概念为基础，通过研究各种代数结构及其性质，来揭示数学本质的一门学科。
本文将探讨抽象代数的基本概念、理论及其在实际应用中的重要性。
一、群论群论是抽象代数的基础，它研究的是集合上的一种代数运算——群运算。
群是一个集合和一个运算的组合，满足封闭性、结合律、单位元和逆元四个条件。
通过研究群的性质及其变换规律，群论为其他分支提供了坚实的基础。
群论的应用非常广泛，尤其在密码学领域中起着重要的作用。
群论的概念和性质为密码学提供了理论基础，通过利用群论中的数论运算，可以设计出安全性较高的密码算法，保护信息的传输和存储安全。
二、环论环论是抽象代数中的另一个重要分支，它研究的是环这种代数结构及其性质。
环是一个集合，配以两个二元运算——加法和乘法，并且满足一定的条件。
环论的研究主要集中在环的性质、理论和相关结构上。
环论在数论、代数几何、图论等领域有广泛的应用。
例如，在数论中，环论可以用来研究数的整除性、同余关系等性质；在代数几何中，环论可以用来研究代数簇的结构和性质；在图论中，环论可以用来研究图的生成树、哈密顿路径等问题。
三、域论域论是抽象代数的又一个重要分支，它研究的是域这种代数结构及其性质。
域是一个包含加法和乘法两个运算的集合，并且满足一系列条件，如交换律、结合律、存在加法和乘法的单位元及其逆元等。
域论在代数几何、密码学、编码理论等领域中有广泛应用。
在代数几何中，域论为研究代数簇和其上的函数提供了基础；在密码学中，利用域论中的有限域概念可以设计出高效且安全的密码算法；在编码理论中，域论可以用来研究纠错码和解码算法。
四、线性代数线性代数是抽象代数的一个重要应用领域，它研究的是向量空间及其上的线性变换。
线性代数的主要内容包括线性方程组、矩阵理论、特征值与特征向量等。
线性代数在计算机图形学、量子力学、信号处理等领域中有广泛的应用。
具体与抽象相结合原则在数学教学中的运用
具体与抽象相结合原则在数学教学中的运用
一、具体与抽象相结合原则在数学教学中的运用
1、用具体求解练习加强抽象思维培养
在数学教学中，要鼓励学生体验多态性，利用具体求解练习，加强学生抽象思维的能力。
让学生从具体求解中获取经验，让学生在实践的基础上学会抽象，既要完成具体求解，又要在具体求解上体验抽象思考，通过练习提高思维能力和认识能力。
2、多种教学方法的运用
数学教学要有多种教学方法，结合具体抽象，结合理论实践，不只是教授理论，还要让学生用具体求解和抽象思考结合起来，运用手绘、硬笔板等多种方式让学生快速了解理论中的知识点，提高理解能力。
3、理解变换联系
要让学生一步步从具体到抽象的思考，通过理解变换的联系和角度，逐步构建数学模型，理解理论，学会做题。
理解变换的联系可以引导学生从单一变换，到将多种变换整合起来，从而形成独立的思考能力。
4、变换法推导运算
在数学教学中，应结合具体求解、抽象推理，利用变换法推导数学运算，从而运用变换法形成变换思维，在介入新例子时，能够快速应用变换法求解。
通过直观的具体，加强学生对变换法的灵活运用，提高学生数学处理能力。
总之，在数学教学中，要注重结合具体和抽象，多种教学方法的采用，有效期带引导学生由具体向抽象转变，从而提高学生数学思维的水平，培养学生的习惯，灵活运用数学知识解决实际问题的能力。
近世代数学习心得论文(中文英文对照)
近世代数学习心得《抽象代数》是一门比较抽象的学科，作为初学者的我感到虚无飘渺，困难重重。
我本来英语学的就不好，看到全英的《近世代数》我似乎傻眼了。
通过两个月的学习，发现它还是有规律有方法的。
针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。
多看多做，举一反三。
比如群论里面有一个最基本的问题就是n阶有限群的同构类型有多少。
围绕这个问题可以引出很多抽象的概念，比如元素的阶数，abel群，正规子群，商群，Sylow定理等，同时也会学到如何把这些理论应用到具体的例子分析中学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。
要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。
其次是通过变换角度寻求问题的解法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等先参考着答案做题，然后自己总结方法思路，自己就开始会做了。
问题在是否善于总结归纳。
以前学代数的时候从来没有意识到代数是门很抽象的学科，总在练习的过程中靠点小聪明学过来，也由于这段路一直走得非常平坦，我从来没停下来去想想其本身的理论体系的问题。
现在想想，也许这就是我一直停留在考试成绩一般，却难以有所作为的原因吧。
所以有时走得太快可能未必时间好事。
很可惜现在才了解到这一点，同时也还算幸运，毕竟人还在青年，还来得及改正Modern Algebra learning experience "Abstract Algebra" is a more abstract subjects, as a beginner , I feel vague , difficult. I had to learn English is not good to see the UK 's "Modern Algebra" I seem dumbfounded. Through two months of the study, it is found that there is a regular method .For the " Modern Algebra " course abstract concept , difficult to understand the characteristics , I believe that an effective way to understand the concept is to have learned to cite a typical example . See more and more , by analogy . Such as group theory which has a fundamental problem is a finite group of order n is isomorphic to type numbers . Around this problem can lead to many abstract concepts , such as the order of elements , abel group , normal subgroups , quotient groups , Sylow theorems , etc. , but also learn how to put these theories to the analysis of specific examples to learn " Modern Algebra ", it is just back down a number of propositions , properties and theorems , does not mean that truly understand. To truly understand the need to clear these propositions , properties and theorems prerequisite Why is necessary ? To achieve this purpose the most effective way is to construct counterexample.Followed by changing the angle seek a solution, usually known or unknown to the more complex problem is converted into an equivalent simpler problem , or is transformed into a new problem has been solved , or is unknown with the known relations fewer problems become more known and unknown relationship problems, etc.Do question the answer to the first reference , and then summarize their way thinking that he began to do it. Whether good at summarizing the problem . Previously learned algebra algebra is never realized when the door is very abstract subject , always in the process of practice by learning a little smarter over, but also because this section has gone very flat , I never stopped to think about their own theoretical system problems . Now think about it , maybe this is what I have been stuck in test scores in general, but the reason it is difficult to make a difference . So sometimes a good thing going too fast may not be time . Unfortunately now I understand this, but also lucky , after all, people are still young , still have time to correct。
浅谈数学的抽象性与具体性与其在教学中的应用
浅谈数学的抽象性与具体性与其在教学中的应用在对传统数学教学原则的认识中，具体与抽象相结合原则是呼声最高的原则之一。
抽象是数学的特点，从认识论角度讲,人们对客观世界的认识都是由具体到抽象,由感性认识到理性认识,以至无穷的循环往复过程。
在数学教学过程中，抽象思维与生动具体的对立统一是由教学过程与人的认识的共同性与特殊性决定的，在数学教学中具有特殊意义。
人们对数学科学的认识从具体的丈量土地、统计粮食储量、观察天象得到具有明显直观意义的初等几何和简单的数字计算,又通过这些明显直观的初始概念与逻辑推理得到不太明显的派生概念，伟大的数学研究者们借助派生概念又构建远离现实的数学抽象物，从而形成数学体系。
概括讲就是从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他的属性，借助定义和推理进行逻辑构建的思维过程和方法。
数学的抽象性有着几点明显的特征：具有明显的目标，无对象的具体内容，仅仅保留空间形式和数量关系，不管是高中生还是初中生，较难直接理解抽象概念，直观具体分析依旧是主要思考模式；适用范围广泛，既有提炼数学概念的表征性抽象，又有探索数学理论的原理性抽象；含有丰富的层次，不仅表现在直接从现实世界中抽象出相应的空间形式和数量关系，而且还表现为已有数学知识基础上的再抽象。
数学抽象性是数学最基本的抽象性，要求和保证了数学的严谨性，高度的抽象性是出现数学应用的广泛性和数学美的主要根源。
没有了抽象性，也就没有了数学的研究对象。
因此说抽象性是数学的本质。
抽象能力是最基本的数学能力，也就是说把数学形式从内容中分离出来，把数学材料形式化，从具体的数值关系和空间形式中抽象出它们本质特征的能力。
这种能力是发现问题、形成概念的最主要的能力。
数学尤其是初等数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己的研究对象。
任何抽象的数学思想和数学方法，都就有具体、生动的现实模型。
数学的抽象性不仅以具体行为基础，而且更以广泛的具体性作为归宿。
因此数学中的具体和抽象是对立统一的，相互区别相互联系相互转化。
让“抽象代数”生动起来——多举例子,善用例子
统就是带有运算 的集 合 ， 群、 环、 域 就 是 三 种 带 有 运 算 的 集 合， 它 们 是 把 集 合 中 运 算 共 同 点 抽 象 出来 做 成 不 同 的 代 数 体系 ， 从 这点上 看 ， “ 近世 代数 ” 是 研 究 本 质 规 律 的 一 门 学
科． “ 近世代数 ” 又名 “ 抽象 代数 ” ， 以 其 抽 象 性 让 学 生 望 而 生畏． 近 年来 ， 国 内众 多 学 者 和 教 育 工 作 者 在 该 学 科 教 学 方 面 的 研 究 在 不 断 探 索 和完 善 中． 当代 数 学 家 冯 克 勤 这 样 说 ：
生 自己 判 断 ， 这样反复判断 中 ， 学 生 在 自然 记 忆 群 的 定 义 的
个 寝 室 的并 集 ， 而这些寝室之间没有交集．
生对概念 、 理 论 有 比较 直 观 而 又 清 晰 的认 识 和 理 解 ． １ ． 多 举 例 子
另外 ， 集 合 的一 种 等 价 关 系 会 做 出 一 种 集 合 的分 类 ， 一 种 集 合 的分 类 方 法 会 决 定 一 个 等 价 关 系 ， 在 实际教学 中 ， 学
生会觉得这个 结论似 懂非 懂 ， 用 刚 才 的 例 子 也 能 轻 松 解 决 这 个问题 ， 只 需 要 把 关 系 定 义 为 Ａ与 曰 有 关 系 当 且 仅 当住
让 学 生变 抽 象 为具 体 的 技 巧． 主要 途 径 有 多 举 例 子 ， 举 身 边 的例 子 ， 举 学科前沿 的例 子， 用 例子 解释 定义 和定 理 ， 把 定
设 Ａ是 绵 阳 师 范 学 院 毕 业 的所 有 大 学 生 组 成 的集 合 ， Ｂ
是 学 校 设 立 过 的所 有 专 业 的集 合 ， 其 中对 应 法 则 是 ： Ａ 中元
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| S 3 / A3 | 思考： 用一般有限群 G 去替换特殊有限群 S3 命 题是否仍然成立． 由此提出如下猜想． 猜想 1 若 H 是 G 的正规子群， 则 | G | = | H |· | G | | G /H | ． 结论是 肯 定 的． 由 此 还 可 以 进 一 步 验 证 若 m | n， | G | = n， G 中是否存在阶为 m 的子群 H？ 这对 有限交换群的确是成立的， 可用于证明 Sylow 第一定 理． 例 2 S3 的 共 轭 类 划 分 S3 = C （ 1） ∪ C （ 12） ∪ C （ 123） ， 即为 S3 的共轭类的不交并， 其中 C （ 1） = ｛ a （ 1 ） a －1 | a ∈ S3 ｝ = ｛ （ 1 ） ｝ ， C （ 12） = ｛ a（ 12 ） a －1 | a ∈ S3 ｝ = ｛ （ 12 ） ， （ 13 ） ， （ 23 ） ｝ ， C （ 123） = ｛ a（ 123 ） a －1 | a ∈ S3 ｝ = ｛ （ 123 ） ， （ 132 ） ｝ ， 于是 | S3 | = 6 = 1 + 3 + 2 ， 观察发现命题 2 ． 2 S 命题 3 的共轭类划分为 S 3 = C （ 1 ） ∪ C （ 12 ） ∪ C （ 123） ， 则 | S3 | = | C （ 1） | +| C （ 12） | +| C （ 123） | ． C （ 1） 是 S3 的中心， C （ 12） 、 C （ 123） 中元素均大 其中， 于 1 个． 将这个等式抽象到一般有限群 G 便可得到 类方程．
C2 ， …， Cm ， i = 1， 2， …， m， 为 C1 ， 且 | C i | = ci ， 于是 G | G | = c + c + … + c ． 有限群 的类方程 0 1 m 注： 类方程可应用于证明 Sylow 第一定理． 例 3 S3 的共轭类划分 S3 = C （ 1） ∪ C （ 12） ∪ C （ 123） ， 进一步考察共轭类中元素的正规化子 ， 得到 · 45·
第 33 卷第 10 期 2012 年 10 月
通化师范学院学报 JOURNAL OF TO． 33 №10 Oct． 2012
例谈由具体到抽象原则在近世代数教学中的应用
张桂颖， 李武明
（ 通化师范学院 数学学院， 吉林 通化 134002 ） 摘 要： 该文以 群 的 同 态 定 理、 有 限 群 论 中 Sylow 定 理的 探 求 为 例 介绍 在 近 世 代 数 教 学中 先 察 具体， 后 行 抽象 的 原 则， 便于学
［2 ］ 引理 1 有限群 G 的中心 C 的元素个数 c0 ， 别的 共轭类（ 如果存在， 每类中元素的个数都大于 1 ） 设
1
Sylow 定理的探求
三元对称群 S3 = ｛ （ 1 ） ，（ 12 ） ，（ 13 ） ，（ 23 ） ， （ 123 ） ，（ 132 ） ｝ ． A3 = ｛ （ 1 ） ，（ 123 ） ，（ 132 ） ｝ ， A3 是 S 3 的 | S3 | = 6 = 正规子群， 商群 S3 / A3 = ｛ A3 ，（ 12 ） A3 ｝ ， 例1 3 × 2， 观察发现有关于这三个群的一个命题 ． 命题 1 A3 是 S3 的正规子群，则 | S3 | = | A3 | ·
生更好的理解近世代数这门抽象学科中的基本内容． 关键词： 近世代数; 抽象; 具体 中图分类号： G642 文献标志码： A 文章编号： 1008 － 7974 ( 2012 ) 10 － 0045 － 02 收稿日期： 2012 － 03 － 02 作者简介： 张桂颖（ 1981 － ） ， 女， 吉林通化人， 硕士， 通化师范学院数学学院讲师．
N（ （ 1 ） ） = S3， ［ S3 ： N（ （ 1） ） ］ = | C （ 1） | ， N（ （ 12 ） ） = ｛ （ 1 ） ， （ 12 ） ｝ = ＜ （ 12 ） ＞ ， S3 ： N（ （ 12） ） ］ = | C （ 12） | ， ［ N（ （ 123 ） ） = ｛ （ 1 ） ， （ 12 ） ， （ 123 ） ｝ = ＜ （ 123 ） ＞ ， ［ S3 ： N（ （ 123） ） ］ = | C （ 123） | ． 由此可得到关于特殊群 S3 的一个命题． S3 ： N（ a） ］ = | G a | ． 命题 3 a ∈ C a S3 ， 有［ 进一步考虑用一般有限群 G 去替换特殊有限群 S3 命题是否仍然成立． G ： N（ a） ］ = | C a | ， 猜想 2 a ∈ C a G ， 有［ G 为任一有限群， G a 为元素 a 的共轭类． 其中， 1］中的引理 7 ． 10 ， 结论当然是肯定的， 即为［ 结 论可用于证明 Sylow 第一定理． 例 4 考察三元对称群 S3 的子群 N（ （ 12 ） ） = ｛ （ 1） ， （ 12 ） ｝ = ＜ （ 12 ） ＞ 的共轭子群类 C ＜ （ 12） ＞ = ｛ a ＜ （ 12 ） ＞ a －1 | a ∈ S3 ｝ = ｛ ＜ （ 12 ） ＞ ，＜ （ 13 ） ＞ ，＜ （ 23 ） ＞ ｝ ， C ＜ （ 123）
近世代数也叫抽象代数， 这门课程是数学与应 而且对于以 用数学专业必开的一门重要的基础课， 后攻读代数学方向硕士研究生的学生来说， 近世代 数功底的深厚也直接影响着他们今后的学习情况． 对于我们这类院校的学生来说， 近世代数具有严密 学生很难学透， 即使像 的逻辑性和特有的抽象性， 群、 子群、 环、 子环这样的基本概念， 学生要想真正掌 握也非常吃力． 许多学生对近世代数产生了畏难甚 至厌恶情绪， 再加上学时有限， 要想让学生在这有限 的学时内较好的掌握近世代数的内容要领， 在讲课 方法上必须仔细揣摩． 实际上对于大学的数学课都适合运用由具体到 抽象原则的讲课方法， 尤其对于抽象的近世代数课 程， 在讲解定义、 定理时更应采用这种方法． 所谓由 具体到抽象的原则是指先举出具体实例， 由具体实 例得出性质、 结论， 进而猜想抽象到一般情况是否成 立， 再利用逻辑推演证明其正确性， 若能按照这样的 思路来处理每一个问题， 势必会使学生感觉到近世 代数也不是那么难， 也是有例可寻的． 在近世代数中 一个常被我们做引例而学生又比较熟悉的群就是三 元对称群， 本文将以有限群论中 Sylow 定理的探求 为例介绍由具体到抽象的原则， 再简要介绍这一原 ［1 ］ 则在群的同态定理中的应用方式 ．