函数极限的习题课
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15极限概念习题课
第五讲 极限概念习题课
极限概念习题课
一、内容小结 二、题型练习
极限概念习题课
一、内容小结 二、题型练习
一、内容小结
（一）极限的概念 （二）极限的性质 （三）主要研究问题
一、内容小结
（一）极限的概念 （二）极限的性质 （三）主要研究问题
（一）极限的概念
1．概念纵览 2．不同变化过程的联系 3．不同概念的联系 4．不同概念的定义
(1) 0 (0 1), 正整数 N , 当n N 时,
恒有：xn a .
(2) 0 , 正整数 N , 当n N 时, 恒有：
xn a k (k 0).
（一）概念辨析
➢对N的理解 数列极限的定义是否可叙述为：
0 , 使不等式 xn a 成立的正整数n
（三）主要研究问题
1．存在性 2．唯一性 3．性质 4．求法
➢证明极限存在 利用定义 利用不同过程之间的关系 利用极限与无穷小的关系 利用无穷小的性质
➢证明极限不存在 利用定义的反面说法 利用极限的性质：无界→极限不存在 利用不同过程之间的关系
（三）主要研究问题
1．存在性 2．唯一性 3．性质 4．求法
x x0
➢定理2 lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x
x
x
➢定理3
lim
n
xn
A
lim
k
xnk
A
({xnk } {xn})
函数的变化趋势
有趋势
无趋势
趋势为 常数A
趋势为 无穷大
无界 有界 振荡
n
A≠0 有极限
A=0 无穷小 ∞ ＋∞ －∞
自 x
变 量
极限概念习题课
一、内容小结 二、题型练习
极限概念习题课
一、内容小结 二、题型练习
一、内容小结
（一）极限的概念 （二）极限的性质 （三）主要研究问题
一、内容小结
（一）极限的概念 （二）极限的性质 （三）主要研究问题
（一）极限的概念
1．概念纵览 2．不同变化过程的联系 3．不同概念的联系 4．不同概念的定义
(1) 0 (0 1), 正整数 N , 当n N 时,
恒有：xn a .
(2) 0 , 正整数 N , 当n N 时, 恒有：
xn a k (k 0).
（一）概念辨析
➢对N的理解 数列极限的定义是否可叙述为：
0 , 使不等式 xn a 成立的正整数n
（三）主要研究问题
1．存在性 2．唯一性 3．性质 4．求法
➢证明极限存在 利用定义 利用不同过程之间的关系 利用极限与无穷小的关系 利用无穷小的性质
➢证明极限不存在 利用定义的反面说法 利用极限的性质：无界→极限不存在 利用不同过程之间的关系
（三）主要研究问题
1．存在性 2．唯一性 3．性质 4．求法
x x0
➢定理2 lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x
x
x
➢定理3
lim
n
xn
A
lim
k
xnk
A
({xnk } {xn})
函数的变化趋势
有趋势
无趋势
趋势为 常数A
趋势为 无穷大
无界 有界 振荡
n
A≠0 有极限
A=0 无穷小 ∞ ＋∞ －∞
自 x
变 量
高等数学 习题课1-2 极限与连续
n
xn 1 x
n
( x 0)的连续性。
解 当x [0,1)时, f ( x ) 0;
0, 0 x 1 1 1 即 f ( x) , x 1 当x 1时, f ( x ) ; 2 2 1, x 1 1 当x 1时, f ( x ) lim 1 n 1 n ( ) 1 x
x )
lim
x 0
e x sin 2 x e
2 x
x
2
1
例6 问x 1时, f ( x ) 3 x 2 x 1 ln x
2
是x 1的几阶无穷小 ?
解 f ( x ) 3 x 1 x 1 ln[1 ( x 1)]
lim
x 1
2
n
(2)设x0 1, xn 1
1 xn 1
(n 1, 2,), 试证{ xn }收敛 ,
并求 lim xn。
n
5.求极限
(1) lim
x 0
x 1 cos x
(2) lim
x a
tan x tan a xa xe
(a k
2
)
(3) lim
其中 x=0为跳跃间断点,
例 10 证明: 方程 tanx = x 有无穷多个实根。
分析 从图形看 y=tanx与 y = x 有无穷多个交点。 证 设 f(x) = tan x- x (要在无穷个闭区间上用零点定理)
k Z ,
(1) k
lim
x ( k
2
f ( x ) ， lim
8. 设f ( x )在[0,1]上非负连续, 且f (0) f (1) 0, 则对任意实
xn 1 x
n
( x 0)的连续性。
解 当x [0,1)时, f ( x ) 0;
0, 0 x 1 1 1 即 f ( x) , x 1 当x 1时, f ( x ) ; 2 2 1, x 1 1 当x 1时, f ( x ) lim 1 n 1 n ( ) 1 x
x )
lim
x 0
e x sin 2 x e
2 x
x
2
1
例6 问x 1时, f ( x ) 3 x 2 x 1 ln x
2
是x 1的几阶无穷小 ?
解 f ( x ) 3 x 1 x 1 ln[1 ( x 1)]
lim
x 1
2
n
(2)设x0 1, xn 1
1 xn 1
(n 1, 2,), 试证{ xn }收敛 ,
并求 lim xn。
n
5.求极限
(1) lim
x 0
x 1 cos x
(2) lim
x a
tan x tan a xa xe
(a k
2
)
(3) lim
其中 x=0为跳跃间断点,
例 10 证明: 方程 tanx = x 有无穷多个实根。
分析 从图形看 y=tanx与 y = x 有无穷多个交点。 证 设 f(x) = tan x- x (要在无穷个闭区间上用零点定理)
k Z ,
(1) k
lim
x ( k
2
f ( x ) ， lim
8. 设f ( x )在[0,1]上非负连续, 且f (0) f (1) 0, 则对任意实
北科大高数课件第一章
第一章
习题课
8/24
1 2 n ⎛ ⎞ lim ⎜ 2 + 2 + + 2 例5 求极限 ⎟. n→∞ n + n + 1 n +n+2 n +n+n⎠ ⎝ n( n + 1) 1 2 n < 2 + 2 + + 2 解 2 n + n+1 n + n+ 2 n +n+n 2 n +n+n
(
)
n( n + 1) 1 = , 而 lim n→∞ 2 n 2 + n + n 2 n( n + 1) 1 lim = , n→∞ 2 n 2 + n + 1 2
3 ⎛ ⎛ 1 + tan x tan x − sin x ⎞ x 3 ⎞⎞x ⎛ 1 − 1 ⎟ ⎟ = lim ⎜ 1 + 原式 = lim ⎜ 1 + ⎜ x →0 x →0 1 + sin x 1 + sin x ⎟ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝
1
解
1
∞
1
⎛⎛ tan x − sin x ⎞ = lim ⎜ ⎜ 1 + x →0 ⎜ 1 + sin x ⎟ ⎠ ⎝⎝
第一章
习题课
7/24
x− y x+ y sin x − sin y = 2sin cos 2 2 x+ y x− y sin x + sin y = 2sin cos 2 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin sin 2 2 x+ y x− y cos x + cos y = 2cos cos 2 2
高数第一次课随堂练习函数与极限
随堂练习 一第一章 函数与极限一、填空题1、432lim23=-+-→x kx x x ，则k= 。
2、函数xxy sin =有间断点 ，其中 为其可去间断点。
3、若当0≠x 时 ，xxx f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。
4、=++++∞→352352)23)(1(limx x x x x x 。
5、3)21(lim -∞→=+e nknn ，则k= 。
6、函数23122+--=x x x y 的间断点是 。
7、当+∞→x 时，x1是比3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。
9、函数xe y 1=在x=0处是第 类间断点。
10、设113--=x x y ，则x=1为y 的 间断点。
11、已知33=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。
12、设⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0)1(02sin )(1x ax x xxx f x 若)(lim 0x f x →存在 ，则a= 。
13、设⎩⎨⎧>≤+=0,cos 0,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。
二、计算题1、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++∞→ ； （2）2)1(321lim nn n -++++∞→ ；（3）35lim 22-+→x x x ； （4）112lim 221-+-→x x x x（5）)12)(11(lim 2xx x -+∞→ ； （6）x x x 1sin lim 20→ ；（7）xx x x +---→131lim21； （8）)1(lim 2x x x x -++∞→ ；2、计算下列极限 （1）x wx x sin lim0→ ； （2）xxx 5sin 2sin lim 0→ ； （3）x x x cot lim 0→ ；（4）x x x x )1(lim +∞→ ； （5）1)11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1)1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶（1）32220x x x x x --→与，时 ； （2）)1(21112x x x --→与，时 ； (3)当0→x 时 ， 232-+xx与x 。
数学分析第一章 习题课
n n 3 n1 n 2 lim 2 2 2 n n 1 n 2 n n 2 1 a 例7 设x1 0, 证明xn1 ( xn )有极限(a 0) 2 xn 证 显然 xn 0 1 a xn 1 ( xn ) a 2 xn
解
注意到分子成等差数列
( n 1) ( n 2) ( n n) 2 n n ( n 1) ( n 2) ( n n) n2 1
n( 3n 1) n( 3n 1) 即 2 2( n n) 2( n2 1) n( 3n 1) 3 lim 2 n 2( n n ) 2 n( 3n 1) 3 lim 2 n 2( n 1) 2
② lim(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ), (| x | 1)
2 4 n
2n
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) 原式 lim n 1 x 2 n 1 1 x 1 lim n 1 x 1 x
1 x 1 2( x 1) ) f ( ) , 1 x x x
解联立方程组
x 1 f ( x) f ( x ) 2 x 1 2 ) f ( x) f ( 1 x 1 x 1 x 1 2( x 1) f (1 x ) f ( x ) x
p( x ) x 3 例8 设p( x )是多项式, 且 lim 2, 2 x x p( x ) lim 1, 求p( x ). x 0 x 3 解 lim p( x ) 2 x 2, x x 可设p( x ) x 3 2 x 2 ax b(其中a , b为待定系数 ) p( x ) 又 lim 1, x 0 x p( x ) x 3 2 x 2 ax b ~ x ( x 0)
大学高数第一章例题
2
解
x
lim
1 x
0,
| arctan
x |
- 12 -
2
. lim
a rcta n x x
x
0
习题课（一）
(3)
第 一 章 函 数 极 限 连 续
lim
sin 2 x x 2 2
x 0
解
原式
lim
(
x 2
2 ) sin 2 x
x 0
x 22
n
lim x n
N 0,
M 0,
使得当 n
N
时， 恒有
xn M
成立, 则称 x n 是 n
时的负无穷大量
-7-
习题课（一）
(2) lim f ( x ) 2
x 3
第 一 章 函 数 极 限 连 续
0, 0,
使当
0 x 3
第 一 章 函 数 极 限 连 续
x n x n1 x n1 ,
2
证明 lim
n
xn
存在, 并求 lim 解 由于 x 1
n
xn .
2
x 0 x 0 x 0 ( 1 x 0 ),
0 x 0 1,
所以 0
x1 1 .
- 11 -
习题课（一）
(1)
第 一 章
x 8
lim
1 x 3 2
3
x
( 1 x 3 )(
1 1
1
2
解
原式
x 8
lim
1 x 3 )( 4 2 x 3 x 3 )
微积分B(1)第3次习题课(Stolz定理、函数极限)答案
n n
( A − ε )(1 −
即
( A − ε )(−
bN +1 a a b a ) + N +1 < n < ( A + ε )(1 − N +1 ) + N +1 bn bn bn bn bn
因为
n →∞
lim bn = +∞
，所以 lim bb
n →∞
bN +1 a a b a ) + N +1 − ε < n − A < ( A + ε )( − N +1 ) + N +1 + ε bn bn bn bn bn
n →∞
+ 2m + ⋯ + n m n m +1
，其中 m 为自然数．
lim 1m + 2m + ⋯ + nm (n + 1) m = lim n →∞ n →∞ ( n + 1) m +1 − n m +1 nm +1
= lim
( n + 1) m 1 = n →∞ (m + 1)m m −1 m +1 m (m + 1) n + n +⋯ +1 2
1 1
．
（3）求
n− 2 2n −1 2 2 2n−1 22 2 lim 2 3 ⋯ n n →∞ 2 − 1 2 −1 2 −1
1
．
解：令
所以
n−2 2n−1 2 2 2n−1 22 2 an = 2 3 ⋯ n 2 −1 2 −1 2 −1
( A − ε )(1 −
即
( A − ε )(−
bN +1 a a b a ) + N +1 < n < ( A + ε )(1 − N +1 ) + N +1 bn bn bn bn bn
因为
n →∞
lim bn = +∞
，所以 lim bb
n →∞
bN +1 a a b a ) + N +1 − ε < n − A < ( A + ε )( − N +1 ) + N +1 + ε bn bn bn bn bn
n →∞
+ 2m + ⋯ + n m n m +1
，其中 m 为自然数．
lim 1m + 2m + ⋯ + nm (n + 1) m = lim n →∞ n →∞ ( n + 1) m +1 − n m +1 nm +1
= lim
( n + 1) m 1 = n →∞ (m + 1)m m −1 m +1 m (m + 1) n + n +⋯ +1 2
1 1
．
（3）求
n− 2 2n −1 2 2 2n−1 22 2 lim 2 3 ⋯ n n →∞ 2 − 1 2 −1 2 −1
1
．
解：令
所以
n−2 2n−1 2 2 2n−1 22 2 an = 2 3 ⋯ n 2 −1 2 −1 2 −1
同济高等数学第一章习题课
f (x) b k = lim [ − ] x→+∞ x x ∴ f (x) k = lim x→+∞ x
(或x →−∞)
f (x) b lim x[ −k − ] = 0 x→+∞ x x f (x) b lim [ −k − ] = 0 x→+∞ x x
b = lim [ f (x) − kx]
1
lim(cos x )
x →0
x2
ln cos x ln(1 + cos x − 1) lim = lim 2 x→ 0 x →0 → x x2 cos x − 1 = lim x→ x →0 x2 x2 − 1 = lim 2 = − x →0 x 2 1 2 − 所以， 所以，原式 = e 2
二、无穷小的比较
例11 当 下列函数分别是x的几阶无穷小 时，下列函数分别是 的几阶无穷小
~ ~
x2 2
x
1 2
2x = 1+ x + 1− x
~
x
练习： 练习： P74，3（1） ， （ ）
求分段函数的极限， 三、求分段函数的极限，判断分段函数的 连续性， 连续性，间断点的类型
例12
解：
1 x>0 x sin x , f ( x) = , 求 lim f ( x ). x x→ 0 → 1 − cos x − x sin 2 , x<0 x2 x 1 − cos x − x sin 2 lim− f ( x ) = lim− x x →0 x →0 x2 x sin 1 − cos x 1 1 2 = lim− − lim− = − =0 x →0 x →0 x2 x2 2 2 1 lim+ f ( x ) = lim+ x sin = 0 x →0 x →0 x lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = 0
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无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.
记 lif ( 作 m x ) 0( 或 lif ( m x ) 0 ).
x x 0
x
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
定理3
lif( m x ) A f( x ) A ( x ),
x x 0
1
1 22n1
从 ln i 而 m 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n 2
例4 当 x1时 ,
求 li(m 1x)1 (x2)1 (x4) (1x2n). n
解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
原 li ( 式 1 m x )1 (x )1 (x 2 )1 (x 4 ) ( 1 x 2 n )
xx0 ( x)
xx0 ( x)
那末lim f (x)存在,且等于A. (夹逼准则) xx0 ( x)
准 则 Ⅱ 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 .
8、两个重要极限
(1) lim six n1 x 0 x
limsin1; 某过程
(2) li(m 11)xe x x
1
lim (1x)x e
n
1 x
li(1 m x 2 )1 ( x 2 )1 ( x 4 ) (1 x 2 n)
n
1 x
(1x2n)1(x2n)
1 x2n1
lim
lim
n
பைடு நூலகம்1x
n 1 x
1 . ( 当 x 1 时 ,lix m 2 n 1 0 .)
1 x
n
例5 求 ln i m 12 1 2 13 1 2 1n 1 2 .
解 设 u n 12 1 2 13 1 2 1n 1 2 . ( 2 1 2 ) 2 2 ( 1 ) ( 3 1 3 ) 2 3 ( 1 ) ( n 1 n ) 2 n (1 ) .
n1 2n ln i m 12 1 2 13 1 2 1n 1 2 1 2.
例6 求下列极限
arctaxn (1) lim
x0ln1(sinx)
lim x x0 sinx
=1.
1xsix n1
(2)lim x 0
ex2
1
lxim0 x2sixn2x
1. 2
ex2 cosx
(3)
lim x0 ln1(
x2)
lx i0m ln e1 x2 (x 12)l1n 1c (x ox 2)s
lim(x)0
xx0
定理4(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 li m 存 ,则 l在 i m li m .
6、极限的运算
定理1 设 lim f (x) A,lim g(x) B,则
(1) lim[ f (x) g(x)] A B;
(2) lim[ f (x) g(x)] A B;
lim f(x)A x
X
A
X
(3).""定义
0,0,使0 当 xx0时 , 恒f有 (x)A. lim f(x)A
x x0
y
A
yf(x)
A
A
o x0 x 0 x0
x
左极限 0,0,使x0当 xx0时 , 恒f有 (x)A.
记 x lx 0 i 作 0m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
f ( x 1) x
2( x 1) x
f(x)x11 1. x 1x
例3 求 ln i m 11 2 12 1 2 12 1 2n .
解 设 u n 11 2 12 1 2 12 1 2n
则 1 1 2 u n 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n
x0
1
lim(1) e.
某过程
9、求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限; f.极限的运算; g.两个重要极限及两个收敛准则; h.用定义验证.
二、例题选讲
例1 求函 yl数 o(x g 1)(1 6x2)的定 . 义域
右极限 0,0,使x0当 xx0时 , 恒f有 (x)A.
记 x lx 0 i 作 0m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
定 : x l x 0 i f ( x ) m 理 A f ( x 0 0 ) f ( x 0 0 ) A .
5、无穷小的性质
1t
1t
1x 1x
令 1 u1, 即x 1 ,
1x u
1u
代入上式得
f(1)f(u 1 )2 (u 1 ),即 f(1)f(x 1 ) 2 (x 1 ),
1u u u
1 x x x
解联立方程组
f
(
x
)
f ( x 1) 2x x
f
(
x
)
f( 1 ) 2 1 x 1 x
f( 1 ) 1 x
解 16x20, x10, x11,
x 4
x
1
x
2
1 x 2 及 2 x 4 ,
即 (1 ,2 ) (2 ,4 ).
例2 设 f(x)f(x1)2x,其x中 0,x1.
x 求 f(x).
解 利用函数表示法的无关特性
令t x1, x
即x 1 , 1t
代入原方程得
f( 1)f(t) 2, 即 f(x)f( 1) 2,
定理2
(3) lim f (x) A, 其中B 0. g(x) B
lim f[(x)] 令u(x)
xx0
alim (x)
xx0
limf(u)
ua
7、判定极限存在的准则
准则Ⅰ′ 如果当xU0(x0,r)(或x M)时,有 (1) g(x) f (x) h(x),
(2) limg(x) A, limh(x) A,
函数极限的习题课
•
•
4、极限的定义
(1)."N"定义
0 , N 0 , 使 n N 时 , 恒 x n a 有 .
ln i m xna
a 2 a
x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
(2)."X"定义
0 , X 0 , 使 x X 时 , 恒 当 f ( x ) A 有 .