圆曲线半径
圆曲线切线长公式
圆曲线切线长公式
在几何学中，圆曲线的切线长是曲线在某一点的切线长度。
在道路设计和施工等许多领域，圆曲线切线长是一个重要的参数。
本文将介绍圆曲线切线长的计算公式。
首先，我们需要知道圆曲线的半径R和圆心角θ。
圆心角通常用弧度表示，它描述了曲线偏离直线的程度。
圆曲线切线长的计算公式为：T=R×θ
其中T为圆曲线切线长，R为圆曲线半径，θ为圆心角（弧度）。
这个公式简单明了，易于理解和应用。
为了更好地理解这个公式，我们可以看一个具体的例子。
假设一条道路转弯处的圆曲线半径为30米，圆心角为60度（弧度），那么圆曲线切线长就是：T=30×(60/180)π=10π≈31.4米
这个结果告诉我们，在这个转弯处，道路的直线部分应该至少有31.4米的长度，才能平滑地过渡到圆曲线上。
在实际应用中，圆曲线切线长的计算还需要考虑其他因素，如道路宽度、车辆速度、交通流量等。
因此，在设计道路时，我们需要根据实际情况对圆曲线切线长进行精细化计算，以确保道路的安全性和舒适性。
总之，圆曲线切线长的计算公式是T=R×θ，其中T为圆曲线切线长，R为圆曲线半径，θ为圆心角（弧度）。
这个公式简单实用，是道路设计中的重要工具。
圆曲线元素计算和主点里程公式
一、概述圆曲线是道路、铁路等工程中常见的曲线形式，其设计和计算对工程建设具有重要意义。
在圆曲线中，曲线元素的计算是一项关键工作，而主点里程公式则是计算圆曲线主点里程的重要方法之一。
本文将对圆曲线元素计算和主点里程公式进行介绍和分析。
二、圆曲线元素计算圆曲线的设计和建设需要对其曲率、切线角等曲线元素进行精确的计算。
曲线元素的计算是通过复杂的数学方法和公式进行的，主要包括以下几个步骤：1. 曲率半径的计算圆曲线的曲率半径是曲线的一个重要参数，它反映了曲线的弯曲程度。
曲率半径的计算是通过测量曲线的实际弧长以及曲线的夹角来完成的，具体的计算方法是利用三角函数公式来求解。
2. 切线角的计算在圆曲线的设计中，切线角是一个重要的参量，它可以影响车辆或列车在曲线上行驶时的安全性和稳定性。
切线角的计算是通过测量曲线的实际弧长和曲线的曲率半径来完成的，具体的计算方法同样是利用三角函数公式来求解。
3. 圆曲线上任意点的坐标计算在实际的工程设计中，常常需要知道圆曲线上任意点的坐标，以便进行进一步的设计和施工。
圆曲线上任意点的坐标计算是通过数学方法和几何原理进行的，其中涉及到参数方程、极坐标等数学概念和公式。
三、主点里程公式主点里程是指在道路或铁路设计中，与特定主要参考点（如桥梁、隧道等）相对应的里程值。
在圆曲线设计中，计算主点里程是确保设计和施工准确性的重要步骤。
主点里程的计算可以通过主点里程公式来完成，其具体表达式如下：主点里程 = 基准点里程 + 曲线长度 * （1 + （曲线长度 / 2 * 曲线半径）） / 2在这个公式中，基准点里程是从起始点到基准点的里程值，曲线长度是圆弧的长度，曲线半径是圆曲线的曲率半径。
四、总结圆曲线元素计算和主点里程公式是圆曲线设计中两个重要的计算方法。
通过精确的曲线元素计算和主点里程计算，可以确保圆曲线设计的精准性和可靠性。
在实际工程中，工程师和设计人员需要注意这些计算方法的细节和技巧，以保证工程建设的高质量和安全性。
一级公路最小圆曲线半径
一级公路最小圆曲线半径稿子一：嗨，朋友们！今天咱们来聊聊一级公路最小圆曲线半径这个话题。
你们知道吗，这最小圆曲线半径啊，就像是公路的小脾气，可得好好琢磨。
它可不是随便定的，那是有讲究的！想象一下，要是这半径太小了，司机开车在上面拐来拐去，多吓人呀！就像坐过山车一样，心里直突突。
而且车也容易失控，多危险呐！那为啥要有个最小的限制呢？这就好比咱们跑步，弯道太急，是不是容易摔跟头？公路也一样，半径太小，车辆转弯的难度就大，速度不好控制，事故就容易找上门。
所以啊，设计师们在规划一级公路的时候，得把这个最小圆曲线半径考虑得妥妥的。
要让司机们开得顺顺当当，安安全全的。
再说啦，这半径大小还和地形有关系呢。
要是在山区，路本来就不好修，那半径可能就得稍微大一些，不然车在山上转来转去，司机的小心脏可受不了。
呢，一级公路最小圆曲线半径可不是个小事情，关系着咱们的出行安全和舒适。
大家以后在路上开车，也可以留意留意这些弯弯绕绕，感受一下公路设计的巧妙之处哟！稿子二：亲爱的小伙伴们，今天咱们来扯扯一级公路最小圆曲线半径！哎呀，一说这个，是不是感觉有点专业？别担心，听我慢慢道来。
其实啊，这就好比咱们玩的赛车游戏，赛道上的弯道大小可重要啦！一级公路也一样，圆曲线半径不能太小。
要是太小了，车子拐起来费劲不说，还容易跑偏。
你想啊，一辆大货车呼呼地开着，突然遇到个小半径的弯道，那不得吓出一身冷汗！而且哦，这半径还影响着咱们坐车的感受。
太小的话，左摇右晃，能把人给晃晕喽！设计师们在定这个最小半径的时候，那可是费了不少心思。
要考虑车流量、车速，还得看看周围的环境。
比如说，在平坦的地方，半径可以稍微小一点，但也不能太过分。
要是在河边或者悬崖边，那可得大大地放大半径，保证安全第一。
另外呀，不同的车型对这个半径的要求也不一样。
小汽车灵活点，能适应稍微小一点的半径，可大货车、大客车就不行啦，得给它们留出足够的空间。
呢，一级公路最小圆曲线半径可关系着咱们的出行，大家多了解了解，以后在路上也能更明白为啥路是这样修的啦！。
曲线计算公式
缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道（计算公式）一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反xZ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反xZ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)③变坡点桩号：SZ④变坡点高程：HZ⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x 求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”) 求：①线路匝道上点的坐标：xy②待求点的切线方位角：αT计算过程：注：sgn(x)函数是取符号函数，当x0。
圆曲线测设
偏 角（°′″）
正拨
反拨
0 00 00
360 00 00
0 23 25
359 36 35
0 57 48
359 02 12
1 32 10
358 27 50
2 06 33
357 53 27
2 40 56
357 19 04
3 15 18
356 44 32
3 49 41
356 10 19
4 24 04
355 35 56
（2）偏角法
偏角法测设圆曲线是以
曲线起点ZY或曲线终点
YZ为测站，计算出测站
至曲线上任一点弦线与
切线的夹角（弦切角，
也称偏角）和弦长C，据
此确定点位。 1）计算公式：
偏角：
l 180
2 2R π
弦长：
C 2R sin 2
2R sin
弧弦差：
l
C
l3 24R 2
4、主点放样
（1）用盘左位后视直线上的转点（ZD）， 固定水平制动螺旋，沿视线方向定线，并 用钢尺量出切线长初步定出曲线起点 （ZY），钉下木桩，用铅笔标记点位，并 返测该段距离，当相对误差小于1/2000时， 取两次丈量结果的平均值准确定出ZY点。
（2）用望远镜瞄准另一切线的转点，固定水 平制动螺旋，按上法定出曲线终点（YZ） （打ZY或YZ点桩，用盘左、盘右其中一个盘 位即可）。
（3）把望远镜从切线方向转（180－α ）／2 的角值，定出方向线（分角线），从交点沿 分角线方向量出外矢距E0，初步得曲中点 （QZ），（定下木桩，用铅笔定出点位）再 用另一盘位瞄准切线方向，转（180－α ）／ 2角再定出分角线又得一曲中点位置，取正、 倒镜分中位置钉下小钉作为曲中点QZ。
圆曲线(偏角法,切线支距法,极坐标法
圆曲线(偏角法,切线支距法,极坐标法一、圆曲线测量方法（一）偏角法1. 原理- 偏角法是以曲线起点（或终点）至曲线上任一点的弦线与切线之间的弦切角（偏角）和弦长来确定待放点的位置。
- 设圆曲线半径为R，弧长为l，对应的圆心角为φ（弧度制），则φ=(l)/(R)。
偏角δ=(φ)/(2)（因为弦切角等于圆心角的一半）。
2. 计算步骤- 首先计算圆曲线的要素，如切线长T = Rtan(α)/(2)（α为圆曲线的转角），曲线长L = Rα（α为弧度制），外矢距E = R(sec(α)/(2)-1)。
- 然后将曲线按一定的弧长l进行分段（一般为等分段），计算每段弧长对应的偏角δ_i。
- 对于第i段弧长l_i，偏角δ_i=(l_i)/(2R)（弧度制），换算为度分秒形式方便测量。
- 根据起点（或终点）的切线方向，依次拨出偏角δ_i，并量取相应的弦长c_i = 2Rsinδ_i，从而确定曲线上各点的位置。
（二）切线支距法1. 原理- 切线支距法是以曲线起点（或终点）为坐标原点，以切线为x轴，过原点的半径为y轴，建立直角坐标系。
曲线上任一点P的位置用坐标(x,y)表示，根据圆曲线的方程来计算坐标值。
- 圆曲线的方程为y = R(1 - cosφ)，x = Rsinφ，其中φ为圆心角（从起点到该点所对应的圆心角）。
2. 计算步骤- 同样先计算圆曲线的要素。
- 将曲线按一定的圆心角Δφ进行分段（一般为等分段）。
- 对于第i段圆心角φ_i = iΔφ，计算该点的坐标x_i = Rsinφ_i，y_i = R(1 - cosφ_i)。
- 根据计算出的坐标值，从原点沿切线方向量取x值，再垂直于切线方向量取y 值，从而确定曲线上各点的位置。
（三）极坐标法1. 原理- 极坐标法是在已知控制点的基础上，以控制点为极点，以某一方向为极轴，通过测量待定点相对于极点的极径ρ和极角θ来确定待定点的位置。
- 在圆曲线测量中，一般以曲线起点（或终点）附近的控制点为极点，以切线方向为极轴方向。
圆曲线最小半径
考虑了汽车在这种曲线上以设计速度或接近设计速度 行驶时，旅客有充分的舒适感。
考虑到地形比较复杂的情况下不会过多增加工程量。
推 荐 采 用
3.不设超高的最小半径
不必设置超高就能满足汽车行驶稳定性的最小半径。
三种最小半径的对比
例：
例：已知某平原区高速公路，其计算行车速度V=120km/h， 设该公路的横坡度i=1.5%，试计算该公路不设超高的最小 半径为多少？ 《标准》规定不设超高最小半径时， 解：已知i=0.015， 设μ=0.035
当i<=2%时，μ=0.035~0.04； 当i > 2%时，μ=0.04~0.05。 （p87）
R
V
2
127( i)
120
2
1 2 7 (0 .0 3 5 0 .0 1 5)
5 5 6 9 .2 9 m
与《公路工程技术标准》规定相对照。
表5-1
例：已知某平原区高速公路，其计算行车速度V=120km/h， 设该公路的横坡度i=1.5%，试计算该公路不设超高的最小 半径为多少？ 《标准》规定不设超高最小半径时， 解：已知i=0.015， 设 μ=0.035
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
V
2
1 2 7 ( ih ) V
2
X F co s i h G sin i h +
X F G ih Gv
2
X G
127 R
+
2
ih
+
gR
+
G ih G (
v
2
gR
ih )
+
v
gR
缓和曲线、竖曲线、圆曲线、计算
速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道) 一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反x Z ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反x Z ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R 2——曲线终点处的半径P——曲线起点处的曲率1——曲线终点处的曲率P2α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i(上坡为“＋”，下坡为“－”)1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2③变坡点桩号：SZ④变坡点高程：HZ⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x 求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y⑤曲线起点切线方位角：α⑥曲线起点处曲率：P(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P(左转为“－”，右转为“＋”)1求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：注：sgn(x)函数是取符号函数，当x<0时sgn(x)=-1，当x>0时sgn(x)=1，当x=0时sgn(x)=0。
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横向力系数
超高横坡度 ib
第二节 圆曲线半径
1．关于横向力系数
横向力系数可近似为单位车重上受到的横向力。 横向力的存在对行车产生不利影响，而且越大越不利，主 要表现在以下几方面：
考虑汽车行驶的横向稳定性 考虑驾驶员操作 考虑燃料消耗和轮胎磨损 考虑乘车的舒适性
第二节 圆曲线
（1）考虑汽车行驶的横向稳定性 汽车在圆曲线上行驶的稳定性包括横向倾覆稳定性和横
v2 gR
ih
V2 127R
ih
（三）汽车转弯时横向稳定性分析
▪ 横向倾覆：汽车在平曲线上行驶时，由于横向力的 作用，使汽车绕外侧车轮触地点产生向外横向倾覆。
▪ 汽车内侧车轮支反力N1为0。 ▪ 倾覆力矩等于或大于稳定力矩。
1、横向倾覆平衡条件分析：
▪ 倾覆力矩：Xhg
稳定力矩：
Y
b 2
(Fih
10
积雪冰冻 地区/%
8 6
第一节 圆曲线半径
❖圆曲线是公路平面设计中最常用的线形之一。
一、圆曲线的几何要素及计算式
切线长：T=R·tanα
曲线长：L=Rα
外 距： E=R（secα－1） 切曲差：J=2T－L
式中：
T—切线长，m；
L—曲线长，m；
E —外距，m；
J—切曲差（或校正值），m;
横向滑移：汽车在平曲线上行驶时，因横向力的存 在，可能使汽车沿横向力的方向产生横向滑移。
横向力大于轮胎和路面之间的横向附着力。
极限平衡条件：X Yh Gh
μ
X G
h
横向滑移稳定条件：
或
μ h
R
V2
127(h ih )
3．横向稳定性的保证
汽车在平曲线上行驶时的横向稳定性主要取决于
横向力系数μ值的大小。
X Fcosα Gsinα
Y Fsinα Gcosα
由于路面横向倾角α一般很小，则
sinα≈tgα=ih ， cosα≈1 ， 其 中 ih 称 为 横 向 超 高
坡度，
X
F Gih
Gv2 gR
Gih
v2 G(
gR
ih)
采用横向力系数来衡量稳定性程度，其意义为单位车
重的横向力，即
X G
第二章 平 面 设 计
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节
圆曲线半径 圆曲线上的全超高 圆曲线上的全加宽 缓和段 缓和曲线 平曲线最小长度 行车视距 平面线形设计要点 平面设计成果
第一节 圆曲线半径
一、汽车转弯时力的平衡
（一）离心力计算 汽车在平曲线上行驶时会产生离心力，其作用
汽车轮胎的横向偏移角见图2-3
第二节 圆曲线
横向力X
无横向力作用 时的轮迹
横向力X
δ
有横向力作用 时的轮迹
a)
轮胎横向变形
b)
轮迹的偏移角
图2-3 汽车轮胎的横向偏移角
第二节 圆曲线
（3）考虑燃料消耗和轮胎磨损 由于横向力的影响，行驶在曲线上的汽车比在直线上的
汽车的燃料消耗和轮胎磨损都要大。
（4）考虑乘车的舒适性 汽车行驶在弯道上，随横向力系数值的大小不同，乘客
点在汽车的重心，方向水平背离圆心。
离心力
F Gv2 gR
受力分析： 横向力X——失稳 竖向力Y——稳定
（二）横向力系数 将离心力F与重力G分解为平行于汽车路面的横 向力X和垂直于路面的竖向力Y，
X Fcosα Gsinα Y Fsinα Gcosα
将离心力F与汽车重力G分解为平行于路面的横 向力X和垂直于路面的竖向力Y，
8 888 8 250 125 55 30 15
第二节 圆曲线
2.一般最小半径
❖ 一般最小半径介于极限最小半径和不设超高最小半径之
G)
b 2
G
b 2
横向倾覆平衡条件分析：
▪ 倾覆力矩：Xhg
稳定力矩：
Y
b 2
(Fih
G)
b 2
G
b 2
稳定、平衡条件：
Xhg
G
b 2
X b G 2hg
汽车在平曲线上行驶时，不产生横向倾覆的最小
平曲线半径R min：
R min
V2
127( b
2hg
ih )
V2 127R
ih
2.横向滑移条件分析
R—圆曲线半径，m； α —转角，（°）
第二节 圆曲线
圆曲线极限最小半径
表 2-4
设计速度 （Km/h）
120 100
横向力系数 μmax
0.10 0.12
超高值 ib（max）（%）
8
8
圆曲线极限 最小半径（m）
650
400
80 60 40 30 20 0.13 0.15 0.15 0.16 0.17
现代汽车在设计制造时重心较低，一般b≈2hg，
而 h线上行驶时，在发生横向倾覆之前先产 生横向滑移现象。
在道路设计中只要保证不产生横向滑移现象发生， 即可保证横向稳定性。
保证横向稳定性的条件：
μ h 或
R
V2
127(h ih )
第二节 圆曲线
二、圆曲线半径
（一）圆曲线半径的计算公式
《规范》对各级公路最大超横坡度的规定见 表2-3
（2）最小超高横坡度 ib,min
公路的超高横坡度不应该小于公路直线段的路拱横坡度，否则
不利于公路的排水，因此有
ib,min il
（il ——路拱横坡度）
第二节 圆曲线
各级公路圆曲线最大超高值
表23
公路等级 高速 一级 二级 三级 四级
一般地区/%
根据汽车行驶在曲线上的力的平衡式得到
R V2
127( ib )
式中 ： R—圆曲线半径，m； V—行车速度，km/h；
μ—横向力系数； ⅰb—超高横坡度，%。
（式２－１）
第二节 圆曲线
❖在指定车速V下，最小 Rmin 决定于容许的最大
横向力系数
和该曲线的最大超高
max
ib(max)
。
对这些因素讨论如下：
向滑移稳定性。
汽车在设计和制造时，已充分考虑横向倾覆稳定性，在
正常装载和行驶情况下，不会在横向上产生倾覆。
在平曲线设计过程中，主要考虑横向滑移稳定性，即保
证轮胎不在路面上产生滑移：
f （f——轮胎与路面间的摩阻系数）
第二节 圆曲线
（2）考虑驾驶员操作 弯道上行驶的汽车，在横向力作用下，轮
胎会产生横向变形，使轮胎的中间平面与轮迹 前进方向形成一个横向偏移角，致使增加了汽 车在方向操纵上的困难，尤其是车速较高时， 就更不容易保持驾驶方向上的稳定。
将有不同的感受。 ❖ 研究表明：的舒适界限，由0.10到0.16随行车速度而变 化，设计中对高、低速路可取不同的数值。
第二节 圆曲线
2．超高横坡度
（1）最大超高横坡度 ib max
考虑汽车在公路上的各种状况特别是兼顾快、慢车的行驶安全 等必须满足：
(fw —一年ib中,m气ax候恶劣f w季节路面的横向摩阻系数 ）