2019年全国各地中考数学压轴题分类汇编几何综合(浙江专版)含答案

2019年全国各地中考数学压轴题分类汇编（浙江专版）

几何综合打印版答案在最后

1．（2019?杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．

（1）求线段CE的长；

（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．

2．（2019?杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，

①求证：OD＝OA．

②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．

（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．

3．（2019?宁波）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．

（1）求证：BG＝DE；

（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．

4．（2019?宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．

（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．

（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC 于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．

5．（2019?宁波）如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，

CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F．

（1）求证：BD＝BE．

（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．

（3）设＝x，tan∠DAE＝y．

①求y关于x的函数表达式；

②如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．

6．（2019?温州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E 三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．

（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．

7．（2019?嘉兴）在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：

（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

8．（2019?嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．

（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC 内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PPQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．

（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．

（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM＝时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

9．（2019?湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1分别交x轴和y轴于点A（﹣3，0），B（0，3）．

（1）如图1，已知⊙P经过点O，且与直线l1相切于点B，求⊙P的直径长；

（2）如图2，已知直线l2：y＝3x﹣3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l2上的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆．

①当点Q与点C重合时，求证：直线l1与⊙Q相切；

②设⊙Q与直线l1相交于M，N两点，连结QM，QN．问：是否存在这样的点Q，使得△QMN

是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2019?湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x 轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC＝，D是BC的中点．

（1）求OC的长和点D的坐标；

（2）如图2，M是线段OC上的点，OM＝OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B 三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．

①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；

②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点

G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．

11．（2019?绍兴）在屏幕上有如下内容：

如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为2，过点C的切线交AB的延长线于点D．张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答．

（1）在屏幕内容中添加条件∠D＝30°，求AD的长．请你解答．

（2）以下是小明、小聪的对话：

小明：我加的条件是BD＝1，就可以求出AD的长

小聪：你这样太简单了，我加的是∠A＝30°，连结OC，就可以证明△ACB与△DCO全等．参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（可以添线添字母），并解答．

12．（2019?绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．

（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．

（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．

13．（2019?绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．（1）在旋转过程中，

①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．

②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．

（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．

14．（2019?绍兴）如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F 分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF．

（1）若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．

（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值．

（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．

15．（2019?金华）如图，在?OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．

（1）求的度数．

（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠OCE的度数．

16．（2019?金华）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．

（1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O．求证：BD＝2DO．

（2）已知点G为AF的中点．

①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．

②若AD＝6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试

说明理由．

17．（2019?衢州）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）若DE＝，∠C＝30°，求的长．

18．（2019?衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．

（1）求CD的长．

（2）若点M是线段AD的中点，求的值．

（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG＝60°？

19．（2019?台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．

（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．

①如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；

②如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：

（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）

如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．

①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（）

②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形．（）

20．（2019?台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP＝FD．

（1）求的值；

（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM＝EB，连接MF，求证：MF＝PF；

（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ＝AP，连接BQ，BN．将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上．请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由．

2019年全国各地中考数学压轴题分类汇编（浙江专版）

几何综合

参考答案与试题解析

1．（2019?杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．

（1）求线段CE的长；

（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．

解：（1）设正方形CEFG的边长为a，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴DE＝1﹣a，

∵S1＝S2，

∴a2＝1×（1﹣a），

解得，（舍去），，

即线段CE的长是；

（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，

∴CH＝0.5，

∴DH＝＝，

∵CH＝0.5，CG＝，

∴HG＝，

∴HD＝HG．

2．（2019?杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，

①求证：OD＝OA．

②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．

（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．

解：（1）①连接OB、OC，

则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，

∴∠OBC＝30°，

∴OD＝OB＝OA；

②∵BC长度为定值，

∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，

当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝，

△ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OB sin60°×＝；

（2）如图2，连接OC，

设：∠OED＝x，

则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，

则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，

∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，

∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，

∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，

即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，

化简得：m﹣n+2＝0．

3．（2019?宁波）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．

（1）求证：BG＝DE；

（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．

解：（1）∵四边形EFGH是矩形，

∴EH＝FG，EH∥FG，

∴∠GFH＝∠EHF，

∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，

∴∠BFG＝∠DHE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠GBF＝∠EDH，

∴△BGF≌△DEH（AAS），

∴BG＝DE；

（2）连接EG，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵E为AD中点，

∴AE＝ED，

∵BG＝DE，

∴AE＝BG，AE∥BG，

∴四边形ABGE是平行四边形，

∴AB＝EG，

∵EG＝FH＝2，

∴AB＝2，

∴菱形ABCD的周长＝8．

4．（2019?宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．

（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．

（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC 于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．

解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，

∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，

∠F AB与∠EBA互余，

∴四边形ABEF是邻余四边形；

（2）如图所示（答案不唯一），

四边形AFEB为所求；

（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，

∴BD＝CD，

∵DE＝2BE，

∴BD＝CD＝3BE，

∴CE＝CD+DE＝5BE，

∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，

∴DM＝ME，

∴∠MDE＝∠MED，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴△DBQ∽△ECN，

∴，

∵QB＝3，

∴NC＝5，

∵AN＝CN，

∴AC＝2CN＝10，

∴AB＝AC＝10．

5．（2019?宁波）如图1，⊙O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F．

（1）求证：BD＝BE．

（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．

（3）设＝x，tan∠DAE＝y．

①求y关于x的函数表达式；

②如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠C＝60°，

∵∠DEB＝∠BAC＝60°，∠D＝∠C＝60°，

∴∠DEB＝∠D，

∴BD＝BE；

（2）如图1，过点A作AG⊥BC于点G，

∵△ABC是等边三角形，AC＝6，

∴BG＝，

∴在Rt△ABG中，AG＝BG＝3，

∵BF⊥EC，

∴BF∥AG，

∴，

∵AF：EF＝3：2，

∴BE＝BG＝2，

∴EG＝BE+BG＝3+2＝5，

在Rt△AEG中，AE＝；（3）①如图1，过点E作EH⊥AD于点H，

∵∠EBD＝∠ABC＝60°，

∴在Rt△BEH中，，

∴EH＝，BH＝，

∵，

∴BG＝xBE，

∴AB＝BC＝2BG＝2xBE，

∴AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝（2x+）BE，

∴在Rt△AHE中，tan∠EAD＝，

∴y＝；

②如图2，过点O作OM⊥BC于点M，

设BE＝a，

∵，

∴CG＝BG＝xBE＝ax，

∴EC＝CG+BG+BE＝a+2ax，

∴EM＝EC＝a+ax，

∴BM＝EM﹣BE＝ax﹣a，

∵BF∥AG，

∴△EBF∽△EGA，

∴，

∵AG＝，

∴BF＝，

∴△OFB的面积＝，

∴△AEC的面积＝，

∵△AEC的面积是△OFB的面积的10倍，

∴，

∴2x2﹣7x+6＝0，

解得：，

∴，

6．（2019?温州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E 三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．

（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．

（1）证明：连接AE，

∵∠BAC＝90°，

∴CF是⊙O的直径，

∵AC＝EC，

∴CF⊥AE，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠AED＝90°，

即GD⊥AE，

∴CF∥DG，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD＝90°，

∴∠ACD+∠BAC＝180°，

∴AB∥CD，

∴四边形DCFG是平行四边形；

（2）解：由CD＝AB，

设CD＝3x，AB＝8x，

∴CD＝FG＝3x，

∵∠AOF＝∠COD，

∴AF＝CD＝3x，

∴BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，

∵GE∥CF，

∴，

∵BE＝4，

∴AC＝CE＝6，

∴BC＝6+4＝10，

∴AB＝＝8＝8x，

∴x＝1，

在Rt△ACF中，AF＝10，AC＝6，

∴CF＝＝3，

即⊙O的直径长为3．

7．（2019?嘉兴）在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：

（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

解：（1）由勾股定理得：

CD＝AB＝CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，

AD'＝BC＝AD''＝；

画出图形如图1所示；

（2）如图2所示．

8．（2019?嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．

（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC 内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PPQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．

（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．

（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM＝时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．