消元法
消元法
解：由方程可知，5x-2y=1①；3x+2y=7 ②。①+②可得，(3x+5x)+2y-2y=(7+1)即8x=8，由此可得x=1。 再把x=1代入3x+2y=7，可得y=2。
教学应用
教学应用
设法把含有多个未知数的多个方程，转化为含有一个未知数的一个方程，先求出一个未知数，再逐步扩大 “战果”，求出其余的未知数，这是善于思考者很顺畅的思考结果，而它就是“消元”的思想。从培养良好的思 维习惯和方法的角度看，引导学生产生和理解消元思想，使其逐步感受合理思考问题的作用，在这部分教学中是 至关重要的。它是学生自觉、主动地理解和掌握代入法、加减法等具体解法的基础，也是避免死记硬背解法程序 的关键。
例1.聪明兔花1800元买了4件风衣和3条裤子。又花了1200元给兔弟弟买了同样的2件风衣和3条裤子。你能 算出风衣和裤子各是多少钱吗？
解：由题可知，4件风衣+3条裤子=1800（元）；2件风衣+3条裤子=1200（元）。
风衣：（1800-1200）/（4-2）=300（元）；裤子：（1200-300×2）/3=200（元）。所以风衣每件300元， 裤子每件200元。
消元法
数学术语
01 分类
03 相关计算
目录
02 解题要点 04 教Байду номын сангаас应用
基本信息
消元法是指将许多关系式中的若干个元素通过有限次地变换，消去其中的某些元素，从而使问题获得解决的 一种解题方法。
分类
代入
加减
代入
代入消元法简称代入法，是将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另 一个方程中去，这就消去了一个未知数，得到一个解。
知识点消元法
知识点：消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.知识点：代入消元法1.代入消元法是解方程组的两种基本方法之一。
代入消元法就是把方程组其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程，消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解。
这种解二元一次方程组的方法叫代入消元法，简称代入法。
2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤：(1)从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含量一个未知数的代数式表示；(2)将变形后的这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；(4)将求得的这个未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；(5)把求得的两个未知数的值用符号“｛”联立起来写成方程组的解的形式⎩⎨⎧b y a x ＝＝. 要点诠释：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单和代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法。
如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法。
整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率。
知识点：加减消元法1.加减消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，加减消元法是通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫做加减消元法，简称加减法。
消元的方法
消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组：x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。
加减消元法例：解方程组：x+y=9①x-y=5②解：①+②2x=14即x=7把x=7代入①，得7+y=9解，得：y=2∴x=7y=2 为方程组的解像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。
二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
编辑本段构成加减消元法例：解方程组x+y=5①x-y=9②解：①+②，得2x=14即x=7把x=7带入①，得：7-y=9解，得：y=-2∴x=7y=-2 为方程组的解编辑本段解法二元一次方程组有两种解法,一种是代入消元法,一种是加减消元法.例:1)x-y=32)3x-8y=43)x=y+3代入得３×（y+３)-8y=4y=1所以x=4这个二元一次方程组的解x=4y=1以上就是代入消元法，简称代入法。
利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，是方程只含有一个未知数而得以求解。
这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。
线性方程组的消元法
线性方程组的消元法线性方程组的消元法是解决线性方程组的常用方法之一，通过逐步消去未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
本文将详细介绍线性方程组的消元法及其应用。
1. 消元法简介消元法是一种通过逐步消除未知数的系数，将线性方程组转化为更简单形式的方法。
它的基本思想是通过不断的代入与消去操作，将方程组转化为三角形式或最简形式，从而求得方程组的解。
2. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为未知数的系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
3. 消元法的步骤（1）选取主元：根据方程组的特点，选择一项作为主元，并将其系数置为1，并且使其所在的其他行对应的列的系数皆为0，这样可以简化计算过程并减少误差。
（2）代入消元：选择一个非主元进行代入，将其代入主元所在的其他方程中，从而消去该未知数。
（3）重复步骤（1）和（2），直至将所有的非主元都消去为止。
（4）最后得到一个三角形形式的线性方程组，可以通过回代法求解该方程组的解。
4. 消元法的应用消元法广泛应用于各个领域，特别是在科学和工程领域中具有重要作用。
以下是几个应用实例：（1）经济学中的输入产出模型：通过消元法可以分析不同产业之间的投入产出关系，从而得出经济模型的解释。
（2）物理学中的电路分析：通过消元法可以简化复杂的电路方程组，从而计算出电路中各个节点的电压和电流。
（3）化学反应平衡问题：通过消元法可以解决化学反应平衡过程中的复杂线性方程组，从而得到反应物和生成物的浓度。
5. 总结消元法是一种解决线性方程组的有效方法，通过逐步消除未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
消元法的基本步骤-概述说明以及解释
消元法的基本步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述消元法是一种常用的数学求解方法，用于解决代数方程组或方程的问题。
通过使用代数运算，消元法能够将复杂的方程组转化为简单的形式，从而得到其解或者简化问题的求解过程。
消元法作为解决方程问题的经典方法，在数学和工程领域得到广泛应用。
本文将介绍消元法的基本步骤，包括定义、具体操作步骤以及应用领域。
通过了解消元法的原理和应用，读者可以更好地理解和运用这一方法来解决各类数学问题。
在接下来的章节中，我们将详细介绍消元法的定义和基本步骤。
首先，我们将通过对消元法的概述，了解其基本原理和工作方式。
接着，我们将介绍本文的结构和组织方式，以便读者能够更好地理解和阅读后续内容。
本文的目的是为读者提供一个清晰的消元法概述，并将其应用于实际问题中。
通过掌握消元法的基本步骤，读者将能够更加灵活地运用这一方法解决各种数学问题，并深入了解其在实际领域中的应用价值。
在下一章中，我们将详细介绍消元法的定义，包括其基本原理和使用方法。
请继续阅读下一章节，以了解更多有关消元法的知识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面进行阐述：1. 文章框架概述：在本节中，将对整篇文章的结构进行概括性的介绍，包括引言、正文和结论三个主要部分的内容以及各自的目的。
2. 引言部分：本部分主要用于引入文章的主题，并对消元法的基本概念进行简要阐述。
同时，说明为何对消元法进行研究和探讨的必要性。
3. 正文部分：本部分是文章的核心，详细讲解了消元法的基本步骤及其应用领域。
在对消元法的基本步骤进行阐述时，可以按照具体的操作流程进行分步骤的描述，并且可以配以图表进行说明，以便读者更好地理解和掌握。
在讲解消元法的应用领域时，可以列举一些常见或重要的实际案例并进行具体分析，说明消元法在不同领域的重要性和实用性。
4. 结论部分：本部分用于对全文进行总结和归纳。
首先，对消元法的重要性进行总结，强调其在实际问题求解中的作用和意义。
3.1 消元法(线性方程组解的判定)
0 x1 − x2 − x3 + x4 = 例4: 求解齐次方程组的通解: 0 x1 − x2 + x3 − 3 x4 = x − x − 2x + 3x = 0 2 3 4 1
解：对系数矩阵 A进行初等变换:
1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1 0 −1 1 1 1 3 0 0 2 4 0 0 1 2 A= − − → − → − 1 −1 2 3 0 0 −1 2 0 0 0 0
x称为未知量矩阵称为常数项矩阵 ,b .
线性方程组的矩阵形式为： Ax = b.
2. 高斯消元法： 2 x1 + x2 = 例: 用消元法解线性方程组： 3 x1 − x2 = 对应方程组的增广矩阵: 对线性方程组用消元法: 2 (1) x1 + x2 = 1 1 2 A= x − x = 3 (2) 1 2 − 1 1 3 消去 x1, (1)-(2)得： 0 2 −1 2 x2 = −1 (3) A1 = x − x = 3 (4) − 1 1 3 1 2 (3)×1/2 得： 1 1 0 1 − = (5) x2 = − A 2 2 2 1 1 3 − 3 (6) x1 − x2 = (5)↔(6) 得：
( )
0, x1 − x2 − x3 + x4 = 其同解方程组为： 2 x 3 − 4 x4 = 1.
取 x2, x4 作为自由未知量，将自由未知量移到等式右端，得： x1 − x3 = x2 − x4 , x3 4 x4 + 1. 2=
令得 = : x2 k = k2 , 1 , x4 :
数学消元法种类
数学消元法种类1.引言1.1 概述概述部分的内容可以根据数学消元法的定义和背景进行描述。
可以提及其在数学领域中的重要性和应用，以及本文将要探讨的数学消元法种类。
以下是一个可能的概述内容：数学消元法是一种重要的数学方法，它在解决方程组、矩阵运算、线性代数等领域中具有广泛的应用。
通过应用不同的消元法，可以将复杂的数学问题简化为更易于解决的形式，从而更好地理解和解决问题。
本文将重点介绍数学消元法的种类。
消元法是一种基于变量消除的方法，通过逐步操作，将问题转化为更简单的形式。
这些方法通常涉及对系数矩阵进行初等变换，以减少未知数的数量或简化问题的结构。
然而，不同的消元法方法有着各自的特点和适用范围。
在接下来的章节中，我们将详细介绍两种常见的数学消元法。
第一种消元法将关注于要点1和要点2，通过某种特定的操作方式来完成变量的消除。
第二种消元法则着重介绍了另外两个要点，展示了一种不同的方法来解决数学问题。
通过理解和掌握这些不同的数学消元法，我们可以更有效地解决各种数学难题，并在实际应用中具有更广泛的运用价值。
在本文的最后一部分，将会对所介绍的数学消元法进行总结，并对未来可能的研究方向进行展望。
总之，数学消元法是一种重要的数学工具，它通过变量的消除或问题形式的简化，帮助我们深入理解和解决各种数学问题。
不同的消元法方法有着各自的特点和应用范围，本文将重点介绍两种常见的数学消元法，并提供对未来研究的展望。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文共分为三个部分：引言、正文和结论。
引言部分将首先简要介绍数学消元法的概念和背景，为读者提供一个对该主题的整体认识。
随后，将介绍文章的结构和各个部分的内容。
正文部分是本文的主体部分，包括两个小节：第一种消元法和第二种消元法。
在每个小节中，将详细介绍各自的要点，以及对应的原理、方法和特点。
通过对这两种消元法的深入讲解，读者能够全面了解它们的应用场景和解题步骤，为进一步的学习和应用打下基础。
消元法基本不等式求最值
消元法基本不等式求最值消元法是一种在解决数学问题中常用的方法，特别适用于求解最值问题。
消元法基于等式的性质，通过消去某些变量，使原方程组的数量减少，从而简化问题的求解过程。
本文将深入探讨消元法在基本不等式求最值问题中的应用。
1. 什么是消元法？消元法是一种利用等式的性质进行变量消去的方法。
在解决问题时，我们经常会面临一些复杂的方程组或不等式组。
通过消元法，我们可以将方程组中的某些变量表示为其他变量的函数，从而简化问题的求解过程。
2. 消元法在基本不等式求最值问题中的应用基本不等式是一类常见的数学问题，其求解过程通常包含了对一系列不等式进行变量消去和整理的步骤。
消元法在这类问题中发挥了重要的作用，能够帮助我们确定最值的存在，并通过化简问题来求解。
以一个简单的例子来说明消元法在基本不等式求最值问题中的应用。
假设我们要求解如下的不等式：（1）x + 2y ≤ 10（2）2x - y ≥ 4我们可以通过消元法将这个不等式组转化为一个只包含一个变量的不等式。
通过对（1）式乘以2，并与（2）式相加，我们可以消去变量y，得到如下的方程：3x ≤ 18我们可以求解这个简化后的不等式，得到x的取值范围为x ≤ 6。
将这个结果代入到原来的不等式组中，我们可以求得y的取值范围为0 ≤ y ≤ 7。
3. 消元法的优点和局限性消元法作为一种常见的数学方法，具有一些明显的优点和局限性。
消元法可以大大简化问题的求解过程。
通过变量消去，我们可以得到更简洁的方程或不等式，从而减少计算量和复杂性，提高解题效率。
消元法可以帮助我们确定最值的存在和取值范围。
在求解最值问题时，我们需要明确变量的取值范围，以便得到正确的结果。
消元法可以通过化简问题，帮助我们确定变量的取值范围，从而为最值问题的求解提供基础。
然而，消元法在应用中也存在一些局限性。
消元法只适用于满足等式性质的问题。
对于不满足等式性质的问题，消元法的应用会受到限制。
消元法在问题求解过程中容易出错。
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2(2x 5y ) 3.6,
5(3x
2y )
8.
去括号，得
4x 10y 3.6,(1) 15x 10y 8.(2)
xhm 2 和 yhm 2 ，那么 2 台大收割机和 （2）-（1），得
5 台小收割机同时工作 1h 共收割
11x 4.4 .
小麦
hm 2 ，3 台大收割机和 2
解这个方程，得
克苹果的 5 千克梨共花了 16 元， 解：设苹果每千克的售价为 x 元，
李老师以同样的价格买了 2 千克苹 梨每千克的售价为 y 元，由题意
果和 3 千克梨共花了 12 元，苹果 得：
和梨每千克的售价各是多少呢？
引导学生分析以上问题并能
教 找出其中的解答方法，并说明问题 然后让学生自主解出方程组后
解：设 1 台大收割机和 1 台小
3.6hm 2 ，3 台大收割机和 2 台小收 收割机每小时各收割小麦 xhm 2
割机同时工作 5h 共收割小麦
和 yhm 2 .根据题意，得方程组：
8hm 2 .1 台大收割机和 1 台小收割机 每小时各收割小麦多数公顷？
分析：如果 1 台大收割机和 1 台小收割机每小时各收割小麦
（七年级数学（下））
课
题 8.2 消元——解二元一次方程组（第二课时）
教 知识与技能目标：会用加减消元法解二元一次方程组，并掌握加减
学
消元法解二元一次方程组的步骤。
目 过程与方法目标：1、通过探索二元一次方程组解法过程，体会解
标
二元一次方程组的“消元”思想；
2、进一步体会解二元一次方程组时的“消元思想”
解：（1） 5，得 15x 20y 80. ⑤ （2） 3，得 15x 18y 99. ⑥
⑤-⑥，得 38y 19，
所以这个方程组的解是
y
x
6, 1
2
.
y
1
2.
把y
1 2
代入（1），得
4
思考： （1）、把x =6 代入（2），可以解得y 吗？ （2）、如果用加减消元法消去x 应
3x
学 在解决的过程中蕴涵了朴素的加 再交流方法，丰富自己的解题的
过 减消元的思想，反映出，科学的每 策略。
程 一次进步，都可以在实际的实践活
动中找到依据。
回顾解二元一次方程组的方法
——代入消元法，它的基本的解题
步骤，简单的称之为【变形】→【消
元】→【解方程】→【回代】
思考：对于本章引言中的篮球
这个方程中未知数y 的系数
y
1 2
知数的系数相反或相等 。
所以这个方程组的解是
解：（1） 3，得
9x 12y 48.
③
教
（2） 2，得
学
10x 12y 66. ④
过
③+④，得
程
9x 114 ，
x 6
把 x 6代入（1），得
3 6 4y 16 ，
4y 2 ，
y
1
2.
y
x
6, 1
2
.
（2）、如果用加减消元法消去x 的话，同理可以这么做：
方法。
六、作业布置
教材：P97.习题 8.2
学生独立完成
第二题：（1）、（3）；第三题：（2）、
（4）；第四、五题。
7
8.2 消元——解二元一次方程组
板
书
一、复习 代入消元法及步骤
设 二、加减消元法
计
1、定义： 2、步骤：
三、小结
加减消元法
例 3、 例 4、
多媒体 展示区
教 学 反 思
8
和“化未知为已知”的划归思想。
情感、态度、价值观：感受知识形成过程，培养学生良好的探索习
惯。
重 运用加减消元法解二元一 难
点
次方程组
点
如何运用加减法进行消元
教
学
法
启发式教学
法
合作探究法
教
课
多媒体课件
具
时
1 课时
教师活动
学生活动
1
一、 新课导入、提出问题
学生能由老师的引导认真的分
老师昨天在水果市场买了 2 千 析题意，完成下列解答：
4
(
1) 2
16 ，
3x 18， x 6 所以这个方程组的解是
如何解？解得的结果一样吗？ 归纳：解方程组时，先消去哪个
y
x
6, 1
2
.
教 未知数都可以，结果是确定的，不
学 会因先消哪个未知数而产生变化。
过 一般地，先消哪个未知数简便就先
程 消去哪个。
例 4 2 台大收割机和 5 台小收
割机同时工作 2h 共收割小麦
台小收割机同时工作 1h 共收割小
x 0.4 .
5
麦
hm 2 ，由此考虑两种情况
下的工作量.
例 4 是收割机工作效率问题，
把生活实际问题与二元一次方程
把 x 0.4 代入（1），得
y 0.2
因此，这个方程组的解是
x 0.4, y 0.2.
组有机的结合起来，体现应用方程 答 1 台大收割机和 1 台小收割
比赛问题，列出的二元一次方程组
x y 10 (1)
相等，（2）-（1）可消去未知数y ，
2x y 16(2)
得
并用代入法求出了它的解。这个方
x =6.
程组的两个方程中，y 的系数有什 把x =6 代入（1），得
么关系？利用这种关系你能发现
y =4
2
新的消元方法吗？
所以这个方程的解是
x 6 y 4
二、 探究新知
思考：
教
联系上面的解法，想一想怎样
学 解方程组
过
3x 10y 2.8,
程
15x
10y
8.
从上面两个方程组的解法可
以看出：当二元一次方程组的两个
方程中同一个未知数的系数相反
或相等时，把这两个方程的两边分
别相加或相减，就能消去这个未知
数，得到一个一元一次方程，这种
方法叫做加减消元法，简称加减
求轮船在静水中的速度和水的流
速。
五、课堂小结
目前，我们研究了二元一次方程
组的两种解法，分别是代入消元
法和加减消元法，它们都是通过 教
“消元”使方程组转化为一元一 学
次方程，求出一个未知数后再求 过
另一个未知数，只是消元的方法 程
不同。对于一个方程组用哪种
“消元”方法解都可以，应根据
方程组的形式选择比较简便的
法。
3
三、 运用新知
例 3 用加减法解方程组
3x 4y 16,(1) 5x 6y 33.(2)
思考题：
分析：这两个方程中没有同一个
（1）把x =6 代入（2），可以解得
未知数的系数相反或相等，直接加
5 6 6y 33
减这两个方程不能消元。这对于方
6y 3
程变形，使得这两个方程中某个未
组分析，解决问题的全过程。上面 机每小时各收割小麦 0.4 hm 2 和
解方程的过程可以用下面的框图 0.2hm 2 。
表示：
教
二
4x 10y 3.6(1)
学
元 一
次
过
方
程
15x 10y 8(2)
程
组
解得 y
（2）—（1） x 0.4
y 0.2
两方程相
减，消去未
知数 y
一元一次方程
11x 4.4
四、 课堂练习
1、用加减法解下列方程组：
（1）
x 3x
2y 2y
9, 1.
（2）
5x 3x
2y 4y
25, 15.
（3）
2x 3x
5y 2y
8, 5.
6
学生独立完成
（4）
2x 3x
3y 2y
6, 2.
2、一条小船顺流航行，每小时行
20km;逆流航行，每小时航行 16km。