电磁学新概念物理教程(赵凯华)第二章习题课
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赵凯华所编《电磁学》第二版参考答案
精心整理第一章 静电场§1.1静电的基本现象和基本规律思考题：1、 给你两个金属球，装在可以搬动的绝缘支架上，试指出使这两个球带等量异号电荷的方向。
你可以用丝绸摩擦过的玻璃棒，但不使它和两球接触。
你所用的方法是否要求两球大小相等？答：先使两球接地使它们不带电，再绝缘后让两球接触，将用丝绸摩擦后带正电的玻璃棒靠近金属球一侧时，由于静电感应，靠近玻璃棒的球感应负电荷，较远的球感应等量的正电荷。
然后两球分开，再移去玻璃棒，两金属球分别带等量异号电荷。
本方法不要求两球大小相等。
因为它们本来不带电，根据电荷守恒定律，由于静电感应而带电时，无论两球大小是否相等，其总电荷仍应为零，2、答：3、 §1.2思考题：1、 2、 荷量q0答：q03、 4、 答：由对称性可知，圆环中心处电场强度为零。
轴线上场强方向沿轴线。
当带电为正时，沿轴线向外；当带电为负时，沿轴线向内，-----------------------------------------------------------------------------------------------------------§1.3高斯定理思考题：1、 一般地说，电力线代表点电荷在电场中运动的轨迹吗？为什么？答：一般情况下，电力线不代表点电荷在电场中运动的轨迹。
因为电力线一般是曲线，若电荷沿电力线作曲线运动，应有法向力存在；但电力线上各点场强只沿切线方向，运动电荷必定偏离弯曲的电力线。
仅当电力线是直线，且不考虑重力影响时，初速度为零的点电荷才能沿着电力线运动。
若考虑重力影响时，静止的点电荷只能沿竖直方向电力线运动。
2、 空间里的电力线为什么不相交？答：电力线上任一点的切线方向即为该点场强方向。
如果空间某点有几条电力线相交，过交点对每条电力线都可作一条切线，则交点处的场强方向不唯一，这与电场中任一点场强有确定方向相矛盾。
3、一个点电荷q放在球形高斯面的中心处，试问在下列情况下，穿过这高斯面的电通量是否改变？（1）如果第二个点电荷放在高斯球面外附近；（2）如果第二个点电荷放在高斯球面内；（3）如果将原来的点电荷移离了高斯球面的球心，但仍在高斯球面内。
电磁学第三版赵凯华陈煕谋 思考题和课后习题答案详解全解解析(上册)
第一章静电场§1.1 静电的基本现象和基本规律思考题：1、给你两个金属球，装在可以搬动的绝缘支架上，试指出使这两个球带等量异号电荷的方向。
你可以用丝绸摩擦过的玻璃棒，但不使它和两球接触。
你所用的方法是否要求两球大小相等？答：先使两球接地使它们不带电，再绝缘后让两球接触，将用丝绸摩擦后带正电的玻璃棒靠近金属球一侧时，由于静电感应，靠近玻璃棒的球感应负电荷，较远的球感应等量的正电荷。
然后两球分开，再移去玻璃棒，两金属球分别带等量异号电荷。
本方法不要求两球大小相等。
因为它们本来不带电，根据电荷守恒定律，由于静电感应而带电时，无论两球大小是否相等，其总电荷仍应为零，故所带电量必定等量异号。
2、带电棒吸引干燥软木屑，木屑接触到棒以后，往往又剧烈地跳离此棒。
试解释之。
答：在带电棒的非均匀电场中，木屑中的电偶极子极化出现束缚电荷，故受带电棒吸引。
但接触棒后往往带上同种电荷而相互排斥。
3、用手握铜棒与丝绸摩擦，铜棒不能带电。
戴上橡皮手套，握着铜棒和丝绸摩擦，铜棒就会带电。
为什么两种情况有不同结果？答：人体是导体。
当手直接握铜棒时，摩擦过程中产生的电荷通过人体流入大地，不能保持电荷。
戴上橡皮手套，铜棒与人手绝缘，电荷不会流走，所以铜棒带电。
计算题：1、真空中两个点电荷q1=1.0×10-10C，q2=1.0×10-11C，相距100mm，求q1受的力。
解：2、真空中两个点电荷q与Q，相距5.0mm,吸引力为40达因。
已知q=1.2×10-6C,求Q。
解：1达因=克·厘米/秒=10-5牛顿3、为了得到一库仑电量大小的概念，试计算两个都是一库仑的点电荷在真空中相距一米时的相互作用力和相距一千米时的相互作用力。
解：4、氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。
根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是r=5.29×10-11m。
已知质子质量M=1.67×10-27kg，电子质量m=9.11×10-31kg。
电磁学第三版赵凯华答案
子放在点电荷Q的电场内，p的中
O到Q的距离为r（r>>l）。分别求（1）p// QO（图a）和
pQO（图b）时偶极子所受的力F和力矩L。
解：（1）在图中（上图） p// QO 时，P受力：
正电荷F：
qQ
4 0 (r l
/ 2)2
(N)
Q
P
r
O
负电荷F：
qQ
4 0 (r l
电荷重合在一起。证明：在它们的延长线上离中心（即负电荷）
为r处，
E
3Q
4 0r 4
(r
l ),
+q -2q +q
P
式中Q＝2ql2叫做它的电四极矩。
-l l
r
解：依电场叠加原理，三个点电荷在P处的场强：
E
q
4 0 (r
l)2
2q
4 0r 2
q
4 0 (r
l)2
q
4 0
利用1
r2
x
1
1
l
解：（1）q受的库仑力为：
F
F 2
qQ
h
4 0 (h2 l 2 / 4)2 h2 l 2 / 4
qo
2
qQh 0(h2 l2
/
4)3/ 2
（N）
(2) 若Q与q同号，q向上运动；
h
Qo o
oQ
l
若Q与q异号，q以o为中心作往复运动。
10. 两个小球质量都是m，都用长为l的细线挂在同一点； 若它们带上相同的电量，平衡时两线夹角为2θ（见附图）。 设小球的半径都可以略去不计，求每个小球上的电量。
qQl QP
4 0r3 4 0r3
l/2 r2 l2 /4
O到Q的距离为r（r>>l）。分别求（1）p// QO（图a）和
pQO（图b）时偶极子所受的力F和力矩L。
解：（1）在图中（上图） p// QO 时，P受力：
正电荷F：
4 0 (r l
/ 2)2
(N)
Q
P
r
O
负电荷F：
4 0 (r l
电荷重合在一起。证明：在它们的延长线上离中心（即负电荷）
为r处，
E
3Q
4 0r 4
(r
l ),
+q -2q +q
P
式中Q＝2ql2叫做它的电四极矩。
-l l
r
解：依电场叠加原理，三个点电荷在P处的场强：
E
q
4 0 (r
l)2
2q
4 0r 2
q
4 0 (r
l)2
q
4 0
利用1
r2
x
1
1
l
解：（1）q受的库仑力为：
F
F 2
h
4 0 (h2 l 2 / 4)2 h2 l 2 / 4
qo
2
qQh 0(h2 l2
/
4)3/ 2
（N）
(2) 若Q与q同号，q向上运动；
h
Qo o
oQ
l
若Q与q异号，q以o为中心作往复运动。
10. 两个小球质量都是m，都用长为l的细线挂在同一点； 若它们带上相同的电量，平衡时两线夹角为2θ（见附图）。 设小球的半径都可以略去不计，求每个小球上的电量。
qQl QP
4 0r3 4 0r3
l/2 r2 l2 /4
电磁学新概念物理教程(赵凯华)第二章习题课
r r × × × × ×a×. ×r o. o r × 1 × × × × r . × . × r r R r P m 0 2
j r 2
× × × × × × × × ×
第二章 习题课
5.如图所示，一半径为R的均匀带电无限长直圆筒， 电荷面密度为s，该筒以角速度w绕其轴匀速旋转。 试求圆筒内部的磁感应强度。 解：ι= s 2p Rw/2p = sRw 取矩形有向闭合环路如图
dl''
dl' a
b
第二章 习题课
[解二]用典型磁场叠加 无限大导体平板视为由无限多的无限长导线组成 y 则 dI = ιdl m 0dI m 0i dl l dl dl
dB = 2πr
2 2
=
2πr
如图由对称性知
Q r = l + y
B =0 y
y cos = = q r y y2 + l2
y q
ò
0
0
内
ò
R
外
=ò
R
m I r 0
2π R
2 R 2
d + r
ò
2R
R
d r 2 πr
2R
m0I
2R
m0I r m0I m0I m 0I = + lnr = + ln2 2 4 R O 2 p p 4 p 2 p R
第二章 习题课
7.如图所示，一平面塑料圆盘，半径为R，表面带有面密 度为σ的电荷。假定圆盘绕其轴线AA’以角速度w转动， 磁场的方向垂直于转轴AA’。 psw R4B 试证：磁场作用于圆盘的力矩的大小为 L= 4 r 解：取半径为r 宽度为dr 的圆环 B A
3 I 29 = = 28 10 m -3 . \n = -19 -4 - 2 -5 . . evS 16 10 67 10 10 10
电磁学第三版赵凯华答案
2. 真空中两个点电荷q与Q，相距5.0毫米，吸引力为40达 因。已知q=1.2 10-6 库仑，求Q。
解： 依库仑定律：F
4 0r 2
Q F • 4 0r 2
q
4.0104
4 3.14 8.85 1012 1.2 10 6
5.0 10 3
2
9.310（13 库仑）
3. 为了得到一库仑电量大小的概念，试计算两个都是一库 仑的点电荷在真空中相距一米时的相互作用力和相距一千 米时的相互作用力。
解：若此处的电场为E，则
E
mg q
9.110 31 9.8 1.6 10 19
5.6 10 11
伏/米
2. 电子说带的电荷量（基本电荷 -e ）最先是由密立根通过油
滴试验测的。密立根设计的试验装置如附图所示。一个很小的 带电油滴在电场E内。调节E，使作用在油滴上的电场力与油滴 的总量平衡。如果油滴的半径为1.64 10－4厘米，在平衡时， E＝1.92 105牛顿/库仑。求油滴上的电荷（已知油的密度为 0.851克/厘米3）。
5.141011伏 / 米或牛顿/ 库仑
5. 两个点电荷，q1 ＝＋8.0微库仑，q2= - 16.0微库仑（1微 库仑＝10－6库仑），相距20厘米。求离它们都是20厘米处的 电场强度E。
解：依题意，作如图所示：
E1
q1
4 0r12
E2
q2
4 0r22
E y E1y E2 E1 cos 600 E2 cos 600
电荷重合在一起。证明：在它们的延长线上离中心（即负电荷）
为r处，
E
3Q
4 0r 4
(r
l ),
+q -2q +q
赵凯华陈煕谋《电磁学》第三版的思考题和习题答案
第一章
静电场
§1.1 静电的基本现象和基本规律
思考题：
1、 给你两个金属球，装在可以搬动的绝缘支架上，试指出使这两个球带等量异号电荷的方
向。你可以用丝绸摩擦过的玻璃棒，但不使它和两球接触。你所用的方法是否要求两球大小
相等？
答：先使两球接地使它们不带电，再绝缘后让两球接触，将用丝绸摩擦后带正电的玻璃棒靠
3、 为了得到一库仑电量大小的概念，试计算两个都是一库仑的点电荷在真空中相距一米时 的相互作用力和相距一千米时的相互作用力。 解： 4、 氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电 子绕核作圆周运动，轨道半径是 r=5.29×10-11m。已知质子质量 M=1.67×10-27kg，电子质 量 m=9.11×10-31kg。电荷分别为 e=±1.6×10-19 C,万有引力常数 G=6.67×10-11N·m2/kg2。 （1）求电子所受的库仑力；（2）库仑力是万有引力的多少倍？（3）求电子的速度。 解： 5、 卢瑟福实验证明：当两个原子核之间的距离小到 10-15 米时，它们之间的排斥力仍遵守 库仑定律。金的原子核中有 79 个质子，氦的原子核（即α粒子）中有 2 个质子。已知每个 质子带电 e=1.6×10-19 C，α粒子的质量为 6.68×10-27 kg.。当α粒子与金核相距为 6.9× 10-15m 时（设这时它们仍都可当作点电荷）。求（1）α粒子所受的力；（2）α粒子的加速 度。 解： 6、 铁原子核里两质子间相距 4.0×10-15m,每个质子带电 e=1.6×10-19 C。（1）求它们之间 的库仑力；（2）比较这力与所受重力的大小。 解： 7、 两个点电荷带电 2q 和 q，相距 l，第三个点电荷放在何处所受的合力为零？ 解：设所放的点电荷电量为 Q。若 Q 与 q 同号，则三者互相排斥，不可能达到平衡；故 Q
静电场
§1.1 静电的基本现象和基本规律
思考题：
1、 给你两个金属球，装在可以搬动的绝缘支架上，试指出使这两个球带等量异号电荷的方
向。你可以用丝绸摩擦过的玻璃棒，但不使它和两球接触。你所用的方法是否要求两球大小
相等？
答：先使两球接地使它们不带电，再绝缘后让两球接触，将用丝绸摩擦后带正电的玻璃棒靠
3、 为了得到一库仑电量大小的概念，试计算两个都是一库仑的点电荷在真空中相距一米时 的相互作用力和相距一千米时的相互作用力。 解： 4、 氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电 子绕核作圆周运动，轨道半径是 r=5.29×10-11m。已知质子质量 M=1.67×10-27kg，电子质 量 m=9.11×10-31kg。电荷分别为 e=±1.6×10-19 C,万有引力常数 G=6.67×10-11N·m2/kg2。 （1）求电子所受的库仑力；（2）库仑力是万有引力的多少倍？（3）求电子的速度。 解： 5、 卢瑟福实验证明：当两个原子核之间的距离小到 10-15 米时，它们之间的排斥力仍遵守 库仑定律。金的原子核中有 79 个质子，氦的原子核（即α粒子）中有 2 个质子。已知每个 质子带电 e=1.6×10-19 C，α粒子的质量为 6.68×10-27 kg.。当α粒子与金核相距为 6.9× 10-15m 时（设这时它们仍都可当作点电荷）。求（1）α粒子所受的力；（2）α粒子的加速 度。 解： 6、 铁原子核里两质子间相距 4.0×10-15m,每个质子带电 e=1.6×10-19 C。（1）求它们之间 的库仑力；（2）比较这力与所受重力的大小。 解： 7、 两个点电荷带电 2q 和 q，相距 l，第三个点电荷放在何处所受的合力为零？ 解：设所放的点电荷电量为 Q。若 Q 与 q 同号，则三者互相排斥，不可能达到平衡；故 Q
新概念物理教程 电磁学 赵凯华 第二版2版 课后习题答案全解详解
可当作点电荷），求（"）! 粒于所受的力；（’）! 粒子的加速度。
解：（"）
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设两平行线中左边一条带负电右边一条带正电原点取在二者中间场点的坐标为利用书上例题的结果有均匀电场与半径为的半球面的轴线平行试用面积分计算通过此半球面的电通量
电磁学第二章
解：做一高斯面，无论介质内介质外其自由电荷都为Q， Q 且有 D dS Q，D =Q / 4 r 2 .介质内，E1 =D / r 0 4 r 2 r 0 介质外E2 = Q( r 1) Q ，P =( r 1) 0 E1 4 r 2 0 4 r r 2 Q( r 1) Q( r 1) ，外表面 e' P |r b . 2 2 4 r a 4 r b
（1）电容 （2）略去（和上一题完全相同）
D =Q / 4 r 2 .介质内，E1 =D / r 0 U
Ra
Q Q , 介质外E2 = 4 r 2 r 0 4 r 2 0 [
R1
E2 dl E2 dl E2 dl
Ra Rb
Rb
R2
Q 4 0 r
r Ra Rb ( R2 R1 ) (1 r )( Rb Ra ) R1 R2
R1 R2 Ra Rb
]
C Q /U
R1 R2 Ra Rb 4 0 r r Ra Rb ( R2 R1 ) (1 r )( Rb Ra ) R1 R2
2.3-24
Q eS
2.3-13 如右图所示，一平行板电容器两边面积都为S，相距为d，今在其间插入厚度 为t介电常数为 r ，面积为S/2. 设带电量为Q，忽略边缘效应，求： （1）电势差U （2）电容C
e' （3）介质的极化电荷面密度
解：因为介质的存在，其表面的极化电荷 e' , 必然会对电极板的电荷分布产生影响. 我们可以设左半边的面电荷密度为 e1 , 右边的为 e2 .再设右半边的电场为E1， 左半边介质中的电场为E2，空气中的电场为E3
2.3-38 略去 2.3-39 一平行板电容器面积为S，间距为d，接在电源维持电压U，将一块厚为d介质 常数为 r 的均匀电介质插入极板间隙，计算： （1）静电能的改变 （2）电场对电源所做的功 （3）电场对介质板做的功
（1）电容 （2）略去（和上一题完全相同）
D =Q / 4 r 2 .介质内，E1 =D / r 0 U
Ra
Q Q , 介质外E2 = 4 r 2 r 0 4 r 2 0 [
R1
E2 dl E2 dl E2 dl
Ra Rb
Rb
R2
Q 4 0 r
r Ra Rb ( R2 R1 ) (1 r )( Rb Ra ) R1 R2
R1 R2 Ra Rb
]
C Q /U
R1 R2 Ra Rb 4 0 r r Ra Rb ( R2 R1 ) (1 r )( Rb Ra ) R1 R2
2.3-24
Q eS
2.3-13 如右图所示，一平行板电容器两边面积都为S，相距为d，今在其间插入厚度 为t介电常数为 r ，面积为S/2. 设带电量为Q，忽略边缘效应，求： （1）电势差U （2）电容C
e' （3）介质的极化电荷面密度
解：因为介质的存在，其表面的极化电荷 e' , 必然会对电极板的电荷分布产生影响. 我们可以设左半边的面电荷密度为 e1 , 右边的为 e2 .再设右半边的电场为E1， 左半边介质中的电场为E2，空气中的电场为E3
2.3-38 略去 2.3-39 一平行板电容器面积为S，间距为d，接在电源维持电压U，将一块厚为d介质 常数为 r 的均匀电介质插入极板间隙，计算： （1）静电能的改变 （2）电场对电源所做的功 （3）电场对介质板做的功
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q 2
m 0I l- a a \ B ＝ ( + ) 2 2 2 2 4 b b + ( - a) p l b + a
方向
第二章 习题课
2.有一闭合回路由半径为a和b的两个同心共面半圆连接 而成，如图。其上均匀分布线密度为l的电荷，当回路 以匀角速度w绕过O点垂直于回路平面的轴转动时，求 圆心O点处的磁感应强度。 I1 q1 lπb 1 b 解： I1 ＝ = = lw b T 2π w 2 O a dI 3 m0 1 1 B =B = ( lw ) I2 = lw a 1 2 I
dr r
R
4
第二章 习题课
3 8. 在霍耳效应实验中，一厚1.0×10 cm，宽1.0cm，长 4.0cm的导体，沿长度方向载有3.0A的电流，当磁感 应强度大小为1.5T的磁场垂直地通过该导体时，产 5 生1.0×10 V的横向电压。试求： ⑴载流子的漂移速度； ⑵每立方米的载流子数目。 解： H = evB 设b为导体宽度， eE 0 EH UH 1. 10 5 = - 2 = 67 10 4m× s-1 . 得 = v = . B bB 10 15 QI = nevS
w
a d
s
R b c
ò
L
r r B ×dl = m 0
( L内 )
I
B ab=m0 sRw ab B= m0 sRw 方向向右
第二章 习题课
6.一无限长圆柱形铜导体(磁导率m0),半径为R,通有均匀 分布的电流I。今取一矩形平面S(长为1米,宽为2R),位置 如图中画斜线部分所示,求通过该矩形平面的磁通量。 v v dr 解： d = B× d = Bdr F B S I r v v FB =òò B× d S s r r R r 2R r 1m S = B × d + S B × d S
3 I 29 = = 28 10 m -3 . \n = -19 -4 - 2 -5 . . evS 16 10 67 10 10 10
第二章 习题课 9.均匀带电刚性细杆AB，电荷线密度为l，绕垂直于直线 的轴O以w角速度匀速转动（O点在细杆AB延长线上） 求：(1)O点的磁感应强度；(2)磁矩；(3)若a>>b，求B 及p 0 m 解：(1)对r～r＋dr段，电荷dq＝ldr，旋转形成圆电流，则 dq w lw dI = = dr 2 p 2 p m dI lwm 0 dr dB = 0 = × 它在O点的磁感应强度 0 2 r 4 p r lwm0 a+bdr lm 0w a+ b B = 0 òa r = 4p ln a 4 p 1 2 2 (2) dp = pr dI = lw r dr m 2 a+ b 1 p = ò d p = ò lw 2 dr = lw [( + b 3 - a3]/6 r a ) m m a 2 mw lb m 0wq a+b b B = 0 × = (3)若a>>b，则 ln 0 a a 4 p a 4 a p
r r × × × × ×a×. ×r o. o r × 1 × × × × r . × . × r r R r P m 0 2
j r 2
× × × × × × × × ×
第二章 习题课
5.如图所示，一半径为R的均匀带电无限长直圆筒， 电荷面密度为s，该筒以角速度w绕其轴匀速旋转。 试求圆筒内部的磁感应强度。 解：ι= s 2p Rw/2p = sRw 取矩形有向闭合环路如图
r dB
x
B B = B = ò d cosq = x
m 0i y
2π
ò
-
1 dl m0i 2 2 = l + y 2
应用公式
du 1 u òa2 + u2 = aarctana + C
第二章 习题课
4. 在半径为R的无限长金属圆柱体内挖去一半径为r 的无 限长圆柱体,两圆柱体的轴线平行,相距为a,如图。今有 电流沿偏心柱体的的轴线方向流动,电流I 均匀分布在 偏心柱体的横截面上,求空腔内的磁感应强度。
I 解： j = p R2 - r2 r r r BP = B + B 1 2 r m r r B = 0 - j r 1 1 2
(
)
× × × × ×
× ×
× ×
× ×
2 r m 0 r r r m r r r 0 \ B = j (r - r ) = j a= C P 2 1 2 2
( )
r B = 2
ò
0
0
内
ò
R
外
=ò
R
m I r 0
2π R
2 R 2
d + r
ò
2R
R
d r 2 πr
2R
m0I
2R
m0I r m0I m0I m 0I = + lnr = + ln2 2 4 R O 2 p p 4 p 2 p R
第二章 习题课
7.如图所示，一平面塑料圆盘，半径为R，表面带有面密 度为σ的电荷。假定圆盘绕其轴线AA’以角速度w转动， 磁场的方向垂直于转轴AA’。 psw R4B 试证：磁场作用于圆盘的力矩的大小为 L= 4 r 解：取半径为r 宽度为dr 的圆环 B A
第二章 习题课
1.如图求P点的磁感应强度。 解：因P点在直线KL和MN的延长线上， \ B KL（P）＝0 K a B ＝0 I NM（P） 因而，P点的磁场仅与LM有关。
L q 1
la b
M
N
P m 0 I B ＝ (cos q 1 - cos q 2 ) 4p b - (l - a) a cos 2 = q 且cos 1 = q 2 2 2 b2 + ( - a) l b + a
w d q w s 2 rdr = ws rdr p d = = I d = q 2 p T 2p
2 3 I r 磁矩：dm =pr d = pws r d ω r v r L m 受到磁力矩：d =d B A ' 3 d =d B= pws r d L m rB R pswR4B L= ò d = pws Bò r3d = L r 方向垂直纸面向内 0
2
2 2
2
2 dr lw l dI3 = = dr 2 w p p
m 0lw m 0lw b B = ò dr = ln 3 a 2 p r 2 p a
b
m0lw b B = B + B2 + B3 = ( + ln ) p 1 2 p a
第二章 习题课
3. 设一无限大导体薄平板垂直于屏幕放置，其上有方向 垂直于屏幕朝外的电流通过，面电流密度（即指通过与 电流方向垂直的单位长度的电流）到处均匀，大小为 ι。求无限大平板电流的磁场分布。 [解一]用安培环路定理 ①分析场对称性 与平面等距各点B大小相等 v ②选环路 d '' B r r v l p òLB× dl = B2l = moil dB v d c moi d ' B \ B = 2 方向如图所示。 o
dl''
dl' a
b
第二章 习题课
[解二]用典型磁场叠加 无限大导体平板视为由无限多的无限长导线组成 y 则 dI = ιdl m 0dI m 0i dl l dl dl
dB = 2πr
2 2
=
2πr
如图由对称性知
Q r = l + y
B =0 y
y cos = = q r y y2 + l2
y q