2015-2016学年高中数学 1.3.2第1课时 余弦函数的图象与性质课件 新人教B版必修4
π cos10；
(2)cos515° 与 cos530° .
[解析]
π π (1)cos －18 ＝cos18.
π π ∵0<18<10<π，而 y＝cosx 在[0，π]上是减函数，
π π π π － ∴cos18>cos10，即 cos 18 >cos10.
π 函数 y＝cos(2x－6)的单调递减区间为________． π 7π [答案] 12＋kπ，12＋kπ(k∈Z) π [解析] 令 2kπ≤2x－6≤2kπ＋π，k∈Z， π 7π 解得12＋kπ≤x≤12＋kπ，k∈Z， π ∴函数 y＝cos2x－6的单调递减区间为 π 7π ＋kπ， ＋kπ(k∈Z)． 12 12
故
3π 3π sincos 8 <sinsin 8 .
课堂典例讲练
余弦函数的定义域
求下列函数的定义域：
(1)y＝ cosx＋ 25－x2； (2)y＝ 1＋2cosx＋lg(2sinx＋ 3)．
[解析] (1)由题意，x
cosx≥0 应满足的条件为 2 25 － x ≥0
，
π π 2kπ－ ≤x≤2kπ＋ k∈Z 2 2 即 ， －5≤x≤5
由数轴(如图)得原函数的定义域为 3π π π 3π [－5，－ 2 ]∪[－2，2]∪[ 2 ，5]．
(2)由题意，x 应满足的条件为 1 cosx≥－2 1 ＋ 2cos x ≥ 0 ，即 2sinx＋ 3>0 sinx>－ 3 2 2π 2π 2kπ－ 3 ≤x≤2kπ＋ 3 ，k∈Z ∴ 2kπ－π<x<2kπ＋4π，k∈Z 3 3
5．若函数y＝acosx＋b(a、b为常数)的最大值为1，最小值
为－7，则y＝3＋absinx的最大值为________．
[答案] 15
a＋b＝1 时，有 －a＋b＝－7
[解析] 当 a>0
a＝4 解得 b＝－3
，
.
a＝－4 ，解得 b＝－3
当 a<0
a＋b＝－7 时，有 －a＋b＝1
(0,1) 、 (2)画余弦曲线，使用“五点法”时，五个点是________ 3π π ( 2 ，0) (2，0) (2π，1) (π，－1) 、 ________ 、___________ ________、________.
2．余弦函数的性质
R (1)定义域：余弦函数 y＝cosx 的定义域是________ ． [－1,1]，当 x (2)值域：余弦函数 y＝cosx，x∈R 的值域是______ 2kπ(k∈Z) 时， 2kπ＋π(k∈Z) ＝____________ y 取最大值 1， 当 x＝________________ 时，
②描点：
③连线：用光滑的曲线依次连接各点，即得所求的图象.
[点评] 作形如 y＝asinx＋b(或 y＝acosx＋b)，x∈[0,2π]的 图象时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取 x＝0、 π 3π 2、π、 2 、2π；②描点；③用光滑曲线连成图．这是一种基本 作图方法，应该熟练掌握．
(2)cos515°＝cos(515°－360°)＝cos155°，
cos530°＝cos(530°－360°)＝cos170°， ∵ 90°<155°<170°<180°而 y ＝ cosx 在 [90°， 180°] 上 是减函数． ∴cos155°>cos170°即cos515°>cos530°. [点评] 比较两个三角函数值的大小时，首先将函数名称 统一，再利用诱导公式将角转化到同一个单调区间内，通过函 数的单调性进行比较．
故 Z)，
kπ 5π π y ＝ 3 － 2cos 2x－3 的对称中心坐标为 2 ＋12，3 (k ∈
kπ π 对称轴方程为 x＝ 2 ＋6(k∈Z) ∵当 x＝2kπ(k∈Z)时，y＝3－2cosx 取得最小值， π π ∴当 2x－3＝2kπ，即 x＝kπ＋6(k∈Z)时， π y＝3－2cos(2x－3)取得最小值 1. 2π π 同理可得当 x＝kπ＋ 3 (k∈Z)时，y＝3－2cos(2x－3)取得最 大值 5.
2
∵－1≤cosx≤1， ∴当 cosx＝1 时，ymin＝0.
2a－3 4． 要使 cosx＝ 有意义， 则 a 的取值范围是________． 4－a
[答案]
7 －1， 3
[解析]
2
2a－3 ∵|cosx|≤1，∴ 4－a ≤1，
7 ∴3a －4a－7≤0，解得－1≤a≤3.
y 取最小值－1.
2kπ (3)周期性：y＝cosx，x∈R 是周期函数，周期是________( k 2π ∈Z，k≠0)，最小正周期为________ ．
偶 (4)奇偶性：y＝cosx，x∈R 是________ 函数，因为其图象 y轴 是关于________ 对称的．余弦曲线是轴对称图形，其对称轴方 x＝kπ(k∈Z) 程为______________ ，也是中心对称图形，其对称中心坐标为 π (kπ＋2，0)(k∈Z) ． __________________
又 0<1.39<1.47<1.5<π，y＝cosx 在[0，π]上是减函数，∴ cos1.5<cos1.47<cos1.39. 3 1 7 即 cos2<sin10<－cos4.
π 3π 3π π (2)∵cos 8 ＝sin2－ 8 ＝sin8， π π 3π π 而 0<8< 8 <2，y＝sinx 在0，2上是增函数， π π 3π π ∴0<sin8<sin 8 <1<2，y＝sinx 在0，2上是增函数， π 3π ∴sinsin8<sinsin 8 .
2π 8π 3 ≤x≤ 3 ， 即
2π 8π f(x)的单调递增区间为 3 ， 3 ；
π x (2)∵－1≤cos3－2≤1，∴[f(x)]max＝2，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[f(x)]min＝－2.
[辨析]
(1) 忽略了函数f(x)的周期性．(2)忽略了x∈[－π，
[答案] C
[解析] 1 将函数 y＝cos2x 的图象向左平移2个单位长度， 得
1 到函数 y＝cos2(x＋2)＝cos(2x＋1)的图象，故选 C．
3．函数 y＝cos2x－3cosx＋2 的最小值是( A．2 1 C．4 B．0 D．6
)
[答案] B
32 1 [解析] y＝cos x－3cosx＋2＝(cosx－2) －4，
(5) 单 调 性 ： 函 数 y ＝ cosx ， x ∈ R 在 每 一 个 闭 区 间 [(2 k＋1)π，2(k＋1)π](k∈Z) 上都是增函数，在每一个闭区间 _________________________
[2 kπ，(2k＋1)π](k∈Z) _______________________ 上都是减函数．
余弦函数的最值、对称问题
求函数
π y＝3－2cos2x－3的对称中心坐标， 对称
轴方程，以及当 x 为何值时，y 取得最大值或最小值． π [解析] 由于 y＝cosx 的对称中心坐标为kπ＋2，0(k∈Z)，
对称轴方程为 x＝kπ(k∈Z)． π π kπ 5π 又由 2x－3＝kπ＋2，得 x＝ 2 ＋12(k∈Z)； π kπ π 由 2x－3＝kπ，得 x＝ 2 ＋6(k∈Z)．
.
∴y＝3＋absinx＝3± 12sinx，∴其最大值为 15.
6．比较下列各组数的大小： 3 1 7 (1)cos2，sin10，－cos4；
3π 3π (2)sinsin 8 ，sincos 8 .
π 1 1 [解析] (1)∵sin10＝cos2－10≈cos1.47， 7 7 3 －cos4＝cos π－4 ≈cos1.39，cos2＝cos1.5，
，
，
π 2π ∴2kπ－3<x≤2kπ＋ 3 ，k∈Z. π 2π ∴函数的定义域为(2kπ－3，2kπ＋ 3 ]k∈Z.
1 1 求函数 y＝ 2sinx－ 2＋log2(cosx－2)的定义域．
2 sinx≥ 2 ① [解析] 根据题意，得 cosx>1 ② 2 π 3π 解①得，2kπ＋4≤x≤2kπ＋ 4 (k∈Z)，
，
π π 解②得，2kπ－3<x<2kπ＋3(k∈Z)， π π ∴2kπ＋4≤x<2kπ＋3(k∈Z)， π π 故其定义域为[2kπ＋4，2kπ＋3)(k∈Z)．
用“五点法”画余弦函数的图象 画出函数y＝1＋cosx，x∈[0,2π]的图象.
[解析] ①列表如下： x cosx 1＋cosx 0 1 2 π 2 0 1 π －1 0 3π 2 0 1 2π 1 2
利用“五点法”作函数y＝－cosx在[0,2π]上的图象．
[解析] ①列表如下： x cosx y＝－cosx 0 1 －1 π 2 0 0 π －1 1 3π 2 0 0 2π 1 －1
②描点：
③连线：用光滑的曲线依次连接各点，即得所求的图象．
余弦函数单调性的应用 比较下列各数的大小：
π (1)cos－18与
[点评]
解关于余弦函数的性质的题目时，一定要联系余
弦函数的图象，切勿死记性质．
求下列函数的值域： π π (1)y＝cos(x＋6)，x∈[0，2]； (2)y＝cos2x－4cosx＋5.
π π π 2π [解析] (1)∵x∈[0，2]，∴6≤x＋6≤ 3 . ∴y＝cosx 在区间[0，π]上单调递减， π 2π 而[6， 3 ] [0，π]， π 2π ∴y＝cosx 在区间[6， 3 ]上也单调递减， 2π π 1 3 ∴cos 3 ≤y≤cos6，即－2≤y≤ 2 . π π 1 3 ∴y＝cos(x＋6)，x∈[0，2]的值域为[－2， 2 ]．
高中数学必修一课件：正弦函数、余弦函数的图象
Ⅱ.对称变换 ①函数y＝|f(x)|的图象是将函数y＝f(x)的图象在x轴的上方的部分不动，下方 的部分对称翻折到x轴上方得到． ②函数y＝f(|x|)的图象是将函数y＝f(x)的图象在y轴右边的部分不动，并将其 对称翻折到y轴左侧得到． ③函数y＝－f(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于x轴对称． ④函数y＝f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于y轴对称． ⑤函数y＝－f(－x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
的五点的横坐标相同，即0，π2 ，π，3π 2 ，2π.故选B.
2．在同一平面直角坐标系内，函数 y＝sin x，x∈[0，2π]与 y＝sin x，x∈[2
π，4π]的图象( B )
A．重合
B．形状相同，位置不同
C．关于 y 轴对称
D．形状不同，位置不同
解析 根据正弦曲线的作法可知函数 y＝sin x，x∈[0，2π]与 y＝sin x，x∈ [2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．
5.4 三角函数的图象与性质 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
要点 正弦函数、余弦函数的图象
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
图象画法
五点法
五点法
关键五点 正(余)弦曲线
_____(_0，__0_)___， π2 ，1 ，___(_π__，__0_)___， (0，1)，______π_2_，__0_____，(π，－1)，
(2)函数y＝cos x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点坐标为_________
____π2__，_4__，__3_π 2__，__4 ________． 【解析】 由yy＝ ＝c4o，s x＋4，得cos x＝0， 当x∈[0，2π]时，x＝π2 或x＝3π 2 ， 所以交点坐标为π2 ，4，3π 2 ，4.
2018-2019版高中数学人教B版必修四课件：第一单元 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(一)
函数的性质和有界性求最值.
跟踪训练 2
求实数a的值.
已知函数
π π 2 x ＋ 0 ， y＝acos ＋3，x∈ 的最大值为 3 2
4，
解
当
π π 4π π π 1 ∵x∈0，2，∴2x＋3∈3， 3 ，∴－1≤cos2x＋ ≤ . 3 2
最小值－1？余弦函数的周期性如何？
答案 对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
和正弦函数一样，余弦函数也是周期函数，最小正周期为2π.
答案
思考3
观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些
区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？
π π [－ ＋2kπ， ＋2kπ](k∈Z) 2 2 在_______________________ π 单调性 [ ＋2kπ， 2 上单调递增；在___________ 3π ＋2kπ] (k∈Z)上单调递减 2
最值
π 在 x＝2＋2kπ (k∈Z) 时，ymax 在 x＝2kπ (k∈Z) 时，ymax＝1； π 在 x＝π＋2kπ (k∈Z) 时，ymin ＝1； 在 x＝－2＋2kπ (k∈Z) 时， ＝－1 ymin＝－1
类型二 余弦函数的值域或最值
例2 求函数 y＝3cos2x－4cos
π 2π x＋1，x∈3， 3 的值域.
解
y＝3cos x－4cos
2
x＋1＝3 cos
1 1 x∈－2，2.
高中数学三角函数的图像与性质优秀课件
1
2 3
2
2
1 2
3 2
2
y cos x，x R
3 2
2
正、余弦函数的性质
y
2
sin
1 2
x
4
④周期性：形如y Asin x 或y Aco1sx 的
函数的周期T 2 .
2 1
3 2 5 3 7 4
2
2
2
2
y sin 2x 1
1
2 3 2
2 1
2
3 2
例1：已知函数y
Asin x A
0，
0，
2
，x
R
的部分图像，求函数解析式.
解：由图知A 2.
又 T 3 1 2，故T 8， 即 2 8， .
4
4
令 1 = 得= .
4
2
4
综上得，y
2sin
4
x
4
.
例2：函数f
x
Asin
x
0，
2
，x
R
的部分图像如图，则函数表达式为（
x
0
4
3
2
4
2x
0
3
2
2
2
y sin 2x
0
1
0
1
0
五点：0，0， 4 ，1， 2 ，0，
3
4
，1，，0.
1
3 2
2 1 2
2
五点作图法
例1：用“五点法”作y
2sin
1 2
x
4
，x
2
，7 2
的图像.
x
3
5
7
2
2
高中数学 第一章 基本初等函数(II)1.3 三角函数的图象与性质 1.3.2 余弦函数、正切函数的
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质第一课时 余弦函数的图象与性质1．余弦函数的图象(1)把正弦曲线向左平移π2个单位就可以得到余弦函数的图象．余弦函数y ＝cos x 的图象叫做余弦曲线．(2)余弦曲线．除了上述的平移法得到余弦曲线，还可以用：①描点法：按照列表，描点，连线顺序可作出余弦函数图象的方法．②五点法：观察余弦函数的图象可以看出，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)这五点描出后，余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．【自主测试1】画出函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的简图．分析：运用五点作图法，首先要找出起关键作用的五个点，然后描点连线． 解：列表：ω＞0)的周期为T ＝2πω.今后，可以使用这个公式直接求这类函数的周期．【自主测试2－1】函数y ＝2cos x ＋1的最大值和最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．3，－1 C ．1，－1 D ．2，－1 答案：B【自主测试2－2】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下列结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )，f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数． 答案：D正弦函数与余弦函数的图象和性质的区别与联系(4)sin x ＋cos x ＝1题型一 用“五点法”作函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象 【例题1】用“五点法”画出函数y ＝2cos 2x 的简图．分析：先找出此函数图象上的五个关键点，画出其在一个周期上的函数图象，再进行扩展得到在整个定义域内的简图．解：因为y ＝2cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，所以先在区间[0，π]上按五个关键点列表如下．然后把y ＝2cos 2x 在[0，π]上的图象向左、右平移，每次平移π个单位长度，则得到y ＝2cos 2x 在R 上的简图如下．反思在用“五点法”画出函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象时，所取的五点应由ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π来确定，而不是令x ＝0，π2，π，3π2，2π.题型二 三角函数的图象变换【例题2】函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象平移得到，若使平移的距离最短，则应( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移7π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π8个单位长度解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4＋π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8，故函数y ＝sin 2x 的图象可由y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位长度得到．故选D ．答案：D反思一定要注意看清变换的顺序，即看清是以哪个函数图象作为基准． 题型三 函数的定义域问题【例题3】求函数y ＝36－x 2＋lg cos x 的定义域．分析：首先根据函数解析式列出使函数有意义的条件不等式组，然后分别求解，最后求交集即可．解：要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧36－x 2≥0，cos x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，2k π－π2<x <2k π＋π2k ∈Z .利用数轴求解，如图所示：所以函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－6，－3π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，6. 反思利用数轴或者单位圆取解集的交集或并集非常简捷、清晰，但要注意区间的开闭情况．题型四 余弦函数的最值或值域【例题4】(1)求函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3的值域；(2)求函数y ＝2＋cos x2－cos x的最值；(3)求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．分析：(1)结合y ＝cos x 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上先增后减即可求解；(2)利用|cos x |≤1这一性质；(3)利用配方法，结合二次函数的性质求解．解：(1)∵y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上单调递减，∴y ma x ＝cos 0＝1，y min ＝cos 2π3＝－12，∴y ＝cos x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. (2)由y ＝2＋cos x 2－cos x ，求得cos x ＝2y －1y ＋1.∵|cos x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y －1y ＋1≤1，∴[2(y －1)]2≤(y ＋1)2.解得13≤y ≤3，∴y ma x ＝3，y min ＝13.(3)y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos x －232－13，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12， 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y ma x ＝154.当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154.反思求函数的最值的方法有以下几种：(1)直接法．根据函数值域的定义，由自变量的取值范围求出函数值的取值范围． (2)利用函数的单调性．(3)利用函数的图象，转化为求函数图象上最高点和最低点的纵坐标的问题．(4)利用换元法，转化为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数问题．题型五 余弦函数图象的应用【例题5】求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的对称中心、对称轴方程、单调递减区间和最小正周期．分析：利用整体换元，设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝cos t 的相关性质．解：设t ＝2x ＋π4，则函数y ＝cos t 的图象如图所示．令t ＝k π(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π(k ∈Z )．故x ＝k ·π2－π8(k ∈Z )即为所求的对称轴方程．令t ＝k π＋π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k ·π2＋π8(k ∈Z )．故⎝ ⎛⎭⎪⎫k ·π2＋π8，0(k ∈Z )即为所求的对称中心．当t ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，2x ＋π4∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． 故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． ∵cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2π＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋π＋π4， ∴最小正周期T ＝π.反思整体换元思想是解决较复杂三角函数问题常用的一种方法，它能将问题化归为对基本三角函数的考查．〖互动探究〗若将本例中的函数改为“y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4”呢？ 解：设t ＝2x ＋π4，则问题转化为考查函数y ＝|cos t |，如图所示：解答过程同例题，可得无对称中心．令t ＝k ·π2(k ∈Z )，则2x ＋π4＝k ·π2(k ∈Z )，∴对称轴为x ＝k ·π4－π8(k ∈Z )；令t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )， ∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ·π2－π8，k ·π2＋π8(k ∈Z )．最小正周期T ＝π2.反思(1)若三角函数式子中带绝对值号，则通常通过观察图象得到周期和单调区间． (2)正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 取绝对值后，周期缩为原来的一半，即 ①y ＝|sin x |的周期为π； ②y ＝|cos x |的周期为π.1．下列说法不正确的是( )A ．正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[－1,1]B ．余弦函数当且仅当x ＝2k π(k ∈Z )时取得最大值1，当且仅当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时取得最小值－1C ．正弦函数在每个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上都是减函数 D ．余弦函数在每个区间[2k π－π，2k π](k ∈Z )上都是减函数 答案：D2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2答案：A3．(2012·重庆期末)把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到图象的解析式为( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3 答案：D4．若函数y ＝a cos x ＋b 的最小值为－12，最大值为32，则a ＝__________，b ＝__________.解析：由于y ma x ＝32，y min ＝－12，且－1≤cos x ≤1，则当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，－a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.当a ＜0时，有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝32，a ＋b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝12.综上，a ＝±1，b ＝12.答案：±1 125．函数y ＝|cos x |的单调增区间为________，单调减区间为________，最小正周期为________．解析：函数y ＝|cos x |的图象，如图所示．由图可知它的最小正周期为π.又因为在一个周期⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上，函数的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.而函数的周期是k π(k ∈Z )，因此函数y ＝|cos x |的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) π 6．函数f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域是__________．解析：由已知0≤cos x ≤1，得2k π－π2≤x ≤2k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) 7．已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)用“五点法”画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)求函数f (x )的最大值，并求出取得最大值时自变量x 的取值集合； (3)求函数f (x )的单调增区间． 解：(1)列表：(2)当2x －π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，y ma x ＝3，此时x 取值的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z. (3)当2k π－π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )时，k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，故函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )．。
《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-4-1正弦函数、余弦函数的图象
关于三角函数的图象，有下列说法： ①y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称； ②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同； ③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称； ④y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称． 其中正确的序号是________．
解析：对②，y＝cos(－x)＝cosx，y＝cos|x|＝cosx， 故其图象相同；对④，y＝cos(－x)＝cosx， 故其图象关于y轴对称，由作图可知①③均不正确．
域为{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}．
而y＝csoinsxx· cos2x
＝csoinsxx|cosx|
＝s－insxi，nxc，oscxo>s0x<0
即y＝s－insxi，nxx，∈x∈－2π2π＋ ＋22kkππ， ，π322π＋＋22kπkπ
，k∈Z
其函数图象如图所示：
解决此类问题)
(2)用数形法结合判断k的取值范围．
f(x)＝3－sisninx，x，0≤ π<xx≤≤π2，π. 图象如下图所示． 结合图象可知1<k<3.
答案：(1)x∈[2kπ＋6π，2kπ＋56π]，k∈Z (2)1<k<3
提高篇03
自我超越
——易错警示系列—— 忽视函数定义域致使出错 【例】 作函数y＝ta1nx·sinx的图象．
称；③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所
夹的范围．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
(2)对于余弦函数y＝cosx的图象，有以下三项描述： ①向左向右无限延伸； ②与x轴有无数多个交点； ③与y＝sinx的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2018版高中数学人教B版必修4课件：第一章 1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质 第一课时
解:列表 x 2xy 描点作图.
π 4 π 8 3π 8 π 2 5π 8 7π 8 3π 2 9π 8
0 1
π -1
2π 1
0
0
方法技巧 “五点法”作图,五个点的确定是关键,确定五点时可全ωx+ =0,得
第一个点的横坐标,依次递加周期的
1 ,即可得到其余的四个点的横坐标. 4
变式训练 1-1:用“五点法”作函数 y=-cos(x+ 的简图.
y=Acos(ω x+ )(A>0)的递减和递增区间.
自我检测
1.使cos x=1-m有意义的m满足的条件为( (A)m≥0 (B)0≤m≤2 (C)-1<m<1 (D)m<-1或m>1 解析:由|cos x|≤1得|1-m|≤1.解得0≤m≤2.故选B. B )
2.下列函数中,周期为 (A)y=sin (C)y=cos
x 2 x 4
π 的偶函数是( D 2
)
(B)y=sin 4x (D)y=cos 4x
2 π π = ,故选 D. 4 2
解析:对于函数 y=cos 4x 是偶函数,周期 T=
3.函数 f(x)的图象向右平移 f(x)的解析式是( C (A)f(x)=cos(2x(C)f(x)=cos(2xπ ) 3 π ) 6
π π 个单位后与函数 y=cos(2x- )的图象重合,则 6 2
) (B)f(x)=cos(2x+ (D)f(x)=cos(2x+
π ) 6 π ) 3
解析:由题意,只需将 y=cos(2x-
π π )的图象向左平移 个单位即可.y= 2 6
π π π )- ]=cos(2x- ). 6 2 6
《高中数学课件：几种常见函数的图像和性质》
探索几种常见函数的图像和性质，包括一次函数、二次函数、反比例函数、 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和常函数。
一次函数
一次函数是指具有形式y = kx + b的函数，图像为一条直线，斜率k决定了直 线的倾斜程度，纵截距b决定了直线与y轴的交点。
二次函数
Step 3
根据底数a的不同，求解指数函 数的通式。
推导对数函数的通式
1
Step 2
2
代入任意一点的坐标和底数a到对数函数
的通式y = log_a(x)中。
3
Step 1
通过两个点的坐标(x1, y1)和(x2, y2)计算 底数a：a = 10^((y1 - y2) / (x1 - x2))。
Step 3
推导反比例函数的通式
1 Step 1
2 Step 2
通过两个点的坐标(x1, y1)和(x2, y2)计算比例 系数k：k = y1 * x1 = y2 * x2。
代入一个点的坐标(x, y)和比例系数k到反比例 函数的通式y = k/x中，得到反比例函数的通 式。
推导幂函数的通式
Step 1
取幂函数的对数y = log_a(x)， 其中a为底数。
二次函数是指具有形式y = ax^2 + bx + c的函数，图像为一条开口向上或向下 的曲线，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
反比例函数
反比例函数是指具有形式y = k/x的函数，图像为一条曲线，呈现出一个反比 例的关系，x越大，y越小。
幂函数
幂函数是指具有形式y = kx^n的函数，图像的形态取决于指数n的值，n为正 偶数时，图像在原点右侧上升，n为正奇数时，则图像在全范围上升。
高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课件北师大版必修4
•学习目标 1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2. 理解“五点法”作出余弦函数的图像(重点).3.掌握余弦 函数的图像性质及其运用(难点)．
知识点 1 余弦函数的图像 余弦函数 y＝cos x(x∈R)的图像叫余弦曲线． 根据诱导公式 sinx＋π2＝cos x，x∈R.只需把正弦函数 y＝sin x， x∈R 的图像向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图像(如 图)．
• 答案 B
• 3．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像和直线y＝1围成 一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积是 ________．
• 解析 如图，可把x轴下方图形补到x轴上方阴影 部分，此时所围面积可变成一个矩形．
• 答案 2π
4．使 cos x＝11－＋mm有意义的实数 m 的取值范围是________． 解析 －1≤11－＋mm≤1；即11＋－mm≤1；|1＋m|≤|1－m|且 m≠1， 得 m≤0.
答案 D
(2)作出函数 y＝1－13cos x 在[－2π，2π]上的图像． 解 ①列表：
x y＝cos x
0
π 2
π
3π 2
2π
1 0 －1 0 1
y＝1－13cos x
2 3
1
4 3
1
2 3
②作出 y＝1－13cos x 在 x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数， 作关于 y 轴对称的图像．从而得出 y＝1－13cos x 在 x∈[－2π，2π] 上的图像．
•规律方法 对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函 数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题 规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致．
【训练 2】 (1)求函数 y＝1－12cos x 的单调区间； (2)比较 cos－π7与 cos187π的大小． 解 (1)∵－12＜0， ∴y＝1－12cos x 的单调性与 y＝cos x 的单调性相反． ∵y＝cos x 的单调增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，减区间是[2kπ， 2kπ＋π](k∈Z)． ∴y＝1－12cos x 的单调减区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，增区间 是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-4-2正弦函数、余弦函数的性质-2
若函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(|φ|<π2)与函数 g(x)＝cos(ωx－ π6)(ω>0)的图象具有相同的对称中心，则 φ＝________.
解析：∵两函数图象具有相同的对称中心， ∴它们的周期相同， ∴ω＝2.令 2x＋φ＝kπ(k∈Z)，则 x＝k2π－φ2(k∈Z)，即 f(x) 的图象的对称中心为(k2π－φ2，0)(k∈Z)．令 2x－π6＝k′π＋2π (k′∈Z)，则 x＝k′2 π＋π3(k′∈Z)，即 g(x)的图象的对称中 心为(k′2 π＋3π，0)(k′∈Z)．又 g(x)，f(x)的图象的对称中心
解：(1)由 x∈(－4π，π)知，23x∈(－6π，23π)． 当23x∈(－π6，2π]，即 x∈(－π4，34π]时， 函数 y＝－2sin23x 为减函数．
所以 2kπ<x＋π4<2kπ＋π，k∈Z， 即 2kπ－π4<x<2kπ＋34π，k∈Z. 所以 u＝ 2sin(x＋π4)的单调递减区间为[2kπ＋π4，2kπ＋34 π)，k∈Z. 所以 y＝log 1 [ 2sin(x＋4π)]的单调递增区间为[2kπ＋4π，
π
2kπ＋34π)，k∈Z.
求函数的单调区间：y＝－2sin23x，x∈(－4π，π)．
(4)要注意定义域对单调区间的制约．
2．求三角函数最值或值域的常用方法 (1)对于求形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最 值或值域问题，常利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx， cosx≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合 时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋ c)，x∈D的函数的值域或最值时，一般先通过换元，令t＝ sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，然后利用 配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或 cosx)的取值范围.
高中数学人教B版必修四第一单元：1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)学习目标 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.知识点一 正切函数的图象类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图象，阅读课本，了解具体操作过程.思考1 结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？思考2 一条平行于x 轴的直线与正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为多少？梳理 (1)正切函数的图象称作“正切曲线”，如下图所示.(2)正切函数的图象特征正切曲线是由通过点(π2＋k π，0)(k ∈Z )且与y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成的.知识点二 正切函数的性质 思考1 正切函数的定义域是什么？思考2 诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考3 诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考4 从正切线上看，在⎝⎛⎭⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？思考5 结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？梳理 函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：类型一 正切函数的定义域 例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x ).反思与感悟 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域.类型二 正切函数的单调性及其应用 命题角度1 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期.反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.跟踪训练2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调区间.命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小 例3 (1)比较大小： ①tan 32°________tan 215°； ②tan 18π5________tan(－28π9).(2)将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________.(用“<”连接)反思与感悟 比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可.正切函数的单调递增区间为(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z ，故在⎝⎛⎭⎫－π2，π2和⎝⎛⎭⎫π2，3π2上都是增函数.跟踪训练3 比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4________tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.类型三 正切函数的奇偶性与对称性问题 例4 (1)判断下列函数的奇偶性. ①y ＝tan 2x －tan x1－tan x ；②y ＝x tan 2x ＋x 4.(2)求y ＝3tan(2x ＋π3)的图象的对称中心.反思与感悟 (1)在利用定义判断与正切函数有关的函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f (－x )与f (x )的关系. (2)求函数y ＝tan(ωx ＋φ)的图象的对称中心，方法是把ωx ＋φ看作一个整体，由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )解出的x 的值为对称中心的横坐标，纵坐标为零. 跟踪训练4 判断下列函数的奇偶性. (1)f (x )＝tan x ＋1tan x ；(2)f (x )＝lg|tan x |.类型四 正切函数的图象及应用例5 画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.反思与感悟 (1)作出函数y ＝|f (x )|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是： ①保留函数y ＝f (x )图象在x 轴上方的部分；②将函数y ＝f (x )图象在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折.(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可. 跟踪训练5 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. (1)求函数f (x )的周期，对称中心；(2)作出函数f (x )在一个周期内的简图.1.函数y ＝tan(2x ＋π6)的最小正周期是( )A.πB.2πC.π2D.π62.函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A.(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB.(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD.(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z3.在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A.y ＝tan x B.y ＝cos x C.y ＝tan x2D.y ＝－tan x4.方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A.5 B.4 C.3 D.25.比较大小：tan 1________tan 4.1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增. 2.正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ) (Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.答案精析问题导学 知识点一思考1 我们作出了正切函数一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象，根据正切函数的周期性，把图象向左、右扩展，得到正切函数y ＝tan x (x ∈R 且x ≠π2＋k π(k ∈Z ))的图象．思考2 一条平行于x 轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为此函数的一个周期． 知识点二思考1 {x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．思考2 周期性． 思考3 奇偶性． 思考4 是．思考5 正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是增函数． 正切函数在整个定义域内不是增函数，而是在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )上都是增函数，正切函数不会在某一区间内是减函数．梳理 {x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z } R π 奇 ⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) 题型探究例1 解 (1)要使函数y ＝11＋tan x 有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z }．(2)因为3－tan x >0，所以tan x < 3. 又因为当tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象， 得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是{x |k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z }．跟踪训练1 ⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )． 例2 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4 ＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ， 周期T ＝π⎪⎪⎪－12＝2π.跟踪训练2 解 ∵y ＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π， k ∈Z ，即－π12＋k π2<x <5π12＋k π2，k ∈Z .∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2(k ∈Z )． 例3 (1)①< ②< (2)tan 2<tan 3<tan 1 跟踪训练3 >例4 解 (1)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，tan x ≠1，得x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4(k ∈Z )，即定义域为{x |x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z }，不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数，也不是偶函数．②函数定义域为{x |x ≠k π2＋π4，k ∈Z }，关于原点对称．令f (x )＝x tan 2x ＋x 4，则f (－x )＝(－x )tan 2(－x )＋(－x )4 ＝x tan 2x ＋x 4＝f (x )，∴该函数是偶函数． (2)解 由2x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )．故所求函数图象的对称中心为点 (k π4－π6，0)(k ∈Z )． 跟踪训练4 (1)函数f (x )为奇函数 (2)函数f (x )是偶函数． 例5 解 由y ＝|tan x |，得y ＝⎩⎨⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )，－tan x ，－π2＋k π<x <k π(k ∈Z )，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数， 单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )， 单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－π2＋k π，k π (k ∈Z )，周期为π.跟踪训练5 解 (1)∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )， 得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )，∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3； 令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3； 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3.∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．当堂训练1．C 2.C 3.C 4.B 5.＞。