长春市中考数学试卷及答案
2020年吉林省长春市中考数学试卷(含解析)
13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作 ，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为（结果保留π）．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣ （x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝ AB，则k的值为．
②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．
下列说法不一定正确的是（ ）
A．∠BDN＝∠CDNB．∠ADC＝2∠B
C．∠ACD＝∠DCBD．2∠B+∠ACD＝90°
8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝ （x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（ ）
17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．
要求：
（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；
（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
则BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c，
∴△PCD∽△ACB，
∴ ，
∵AP＝2PC，
∴ ，
∴PD＝ ，CD＝1﹣ c，
∴OD＝OC+CD＝1+ c，
∴P（1+ c， ），
把P（1+ c， ）代入函数y＝ （x＞0）中，得
k＝ c，
∵0≤c≤3
∴ ，
2020年吉林省长春市中考数学试卷(含答案)
2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）I.（3分）如图，数轴卜破墨水遮盅的数可能为（）-4 W -2 -1 0 1 ~A.- IB.- 1.5C.- 3D. -4.22. （3分）为了刖加青少年的校外教育活动场所,长春市将建成面积约为79000平方米的新少切宫,预计2020年12月正式投入使用.79000这个数用科学记数法表小为（）A. 79XIO3B. 7.9X104C. O.79X1O5D. 7.9X1053.（3分）下列图形是四棱林的侧面展开图的是（）A U b> c> D 口4.（3分）不等式x+2N3的解集在数轴上表示正确的是（）A. -2 -1 0 1 2B. -2-1012C -2-1012D. -2-10125.（3分）比萨・斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点从塔身中心线AB与垂宜中心线AC的夹角为/A,过点B向垂电中心线AC引垂线，垂足为点D通过测域可得AB、BD、拉）的长度，利用测显所得的数据计算NA的三角函数仅，进而可求NA的大小.下列关系式正斫的是（）A. sinA=^B. cosA=妆C. 1也认=皎D. sinA=地.AB AD BD AB6.（3分）如图，八〃是。
的直径，点C、上，//"）C=20" ,则/AOC.的大小为（）A. 4（TB. 140°C. I6O JD. 170°7. （3分）如图，在Z\A6c中，N54C=90"，八5>AC.按卜列步骤作图：①分别以点.8和点。
为圆心，大一半的长为半径作圆弧，两弧相交J点M和点N： 5作直线与边相交于点连结CD.下列说法不一定正确的是（）C. NACD=NQCBD. 2Z£/+ZACD=90°8.（3分）如图,在平面宜角坐标系中，点4的坐标为（3. 2）. A“_Lx轴干点",点C是线段O4上的点，连结入C 点〃在线段AC I：. H. AP=2PC.函数y=—（.v>0）的图象经过点当点C在续段OHA. 0CAW2B. C- 24上£2 D.2W攵W43 3 3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9. （3分）长春市;争月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元.若购买小张成人票和〃张儿球票，则共需花费元.10.（3分）分解因式,：/-4=.11.（3分）若关于K的一元二次方程i-2r+m=（）行两个相等的实数根，则实数m的伯•・为.12.（3分）正五边形的•个外用的大小为度.13 .（3分）如图，在AABC 中，NABC=90> , 48=BC=2,以点C 为圆心，线段C4的长为半在作标,交CB 的延长线十点Q.则阴影部分的面积为 （结果保苗n ）.14 .（3分）如图,住平面口.角坐标系中,点八的坐标为（0. 2）•点N 的坐标为（4. 2）.若抛物线）=- 二Cr-/z ） 2U （h. 人为常数）与线段交7•（：、。
2024年长春市中考数学试卷
选择题在平面直角坐标系中，点A(3, -2)关于x轴对称的点的坐标是：A. (-3, 2)B. (-3, -2)C. (3, 2)（正确答案）D. (2, 3)已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则这个等腰三角形的周长为：A. 8B. 11C. 13（正确答案）D. 11或13函数y = 2x + 1与y = 2x - 3的图象：A. 平行且关于x轴对称B. 平行且关于y轴对称C. 相交且交点在y轴上D. 平行且关于直线y = x对称（正确答案）若关于x的一元二次方程x2 - 4x + m = 0有两个相等的实数根，则m的值为：A. -4B. 4（正确答案）C. 2D. -2下列计算正确的是：A. 3a + 2b = 5abB. a2 · a3 = a6C. (a2)3 = a6（正确答案）D. a6 ÷ a3 = a1已知圆的半径为r，圆心到直线l的距离为d，若直线l与圆相切，则：A. d > rB. d < rC. d = r（正确答案）D. d与r的大小关系不确定在比例尺为1:1000的地图上，测得某矩形区域的图上面积为2cm2，则该矩形区域的实际面积为：A. 2m2B. 20m2C. 200m2（正确答案）D. 2000m2下列不等式组中，解集为x > 2的是：A. {x | x > 1, x > 3}B. {x | x > 1, x ≤ 2}C. {x | x ≥ 2, x < 3}D. {x | x > 1, x > 2}（正确答案）若a、b、c为三角形的三边长，且满足(a - 5)2 + |b - 12| + c2 - 26c + 169 = 0，则此三角形的形状为：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形（正确答案）D. 等腰直角三角形。
2022年吉林省长春市中考数学试题及答案解析
2022年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是( )A.B.C.D.2.长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约1800000度电，将数据1800000用科学记数法表示为( )A. 18×105B. 1.8×106C. 1.8×107D. 0.18×1073.不等式x+2>3的解集是( )A. .x<1B. .x<5C. x>1D. .x>54.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )A. a>0B. a<bC. b−1<0D. ab>05.如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C.设∠ABC=α，下列关系式正确的是( )A. sinα=ABBC B. sinα=BCABC. sinα=ABACD. sinα=ACAB6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD=121°，则∠BOD的度数为( )A. 138°B. 121°C. 118°D. 112°7.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是( )A. AF=BFB. AE=12ACC. ∠DBF+∠DFB=90°D. ∠BAF=∠EBC8.如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ//y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM.若点M也在该反比例函数的图像上，则k的值为( )A. √32B. √3C. 2√3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.分解因式：m2+3m=______．10.若关于x的方程x2+x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为______．11.《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有x间房，可求得x的值为______．12.将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点．若OA=5厘米，则AB⏜的长度为______厘米．(结果保留π)13.跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB=27厘米，则这个正六边形的周长为______厘米．14.已知二次函数y=−x2−2x+3，当a≤x≤1时，函数值y的最小值为1，则a的值2为______．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.先化简，再求值：(2+a)(2−a)+a(a+1)，其中a=√2−4．16.抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图(或列表)的方法，求两次分数之和不大于3的概率．17.为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？18.图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)网格中△ABC的形状是______；(2)在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；(3)在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；(4)在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．19.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB<BC.点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E.延长ED至点F，使得DF=DE，连结AE、AF、CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BEEC =14，则tan∠BCF的值为______．20.党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市2016年到2020年专利授权情况的统计图．根据以上信息回答下列问题：(1)长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是______年；(2)长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是______；(3)与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了______件，专利授权量年增长率提高了______个百分点；(注：1%为1个百分点)(4)根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”．①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量就最小．______②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上×100%，所以只要升．这是因为专利授权量年增长率=当年专利授权量−上一年专利授权量上一年专利授权量专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加．______③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献吉林力量．______21.已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y(千米)与各自的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示．(1)m=______，n=______；(2)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；(3)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．22.【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD=√2AB.他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．由折叠可知，∠BAF=12∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=√2AB=AD请你补全余下的证明过程．【结论应用】(1)∠DAG的度数为______度，FG的值为______；AFAB，点Q在线段AG上，连结FQ、(2)在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=12PQ，如图②.设AB=a，则FQ+PQ的最小值为______.(用含a的代数式表示) 23.如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=BD=√13，点M为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AD−DB以每秒√13个单位长度的速度向终点B运动，连结PM.作点A 关于直线PM的对称点A′，连结A′P、A′M.设点P的运动时间为t秒，(1)点D到边AB的距离为______；(2)用含t的代数式表示线段DP的长；(3)连结AD，当线段A′D最短时，求△DPA′的面积；(4)当M、A′、C三点共线时，直接写出t的值．24.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−bx(b是常数)经过点(2,0).点A在抛物线上，且点A的横坐标为m(m≠0).以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ=2|m|，且PQ⊥x轴．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC.当BC=4时，求点B的坐标；(3)若m>0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；(4)当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为3时，直接4写出m的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：从几何体的正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为3、1、1，故选：A．找到从几何体的正面看所得到的图形即可．此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．2.【答案】B【解析】解：1800000=1.8×106，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】解：x+2>3，x>3−2，x>1．故选：C．利用不等式的性质，移项、合并同类项即可．本题考查了不等式的性质：熟练掌握不等式的性质是解决此类问题的关键．4.【答案】B【解析】解：根据图形可以得到：−2<a<0<1<b<3；所以：A，C，D都是错误的；故选：B．利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，由锐角三角函数的定义可知，sinα=sin∠ABC=AC，AB故选：D．根据直角三角形的边角关系进行判断即可．本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．6.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠A=180°−121°=59°，∴∠BOD=2∠A=2×59°=118°，故选：C．根据圆的内接四边形对角互补得到∠A=180°−121°=59°，根据圆周角定理即可得到∠BOD=2∠A的度数．本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：由图中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线．由垂直平分线的性质可得AF=BF，故A选项不符合题意；∵DF为线段AB的垂直平分线，∴∠BDF=90°，∴∠DBF+∠DFB=90°，故C选项不符合题意；∵BE为∠ABC的平分线，∴∠ABF=∠EBC，∵AF=BF，∴∠ABF=∠BAF，∴∠BAF=∠EBC，故D选项不符合题意；根据已知条件不能得出AE=12AC，故B选项符合题意．故选：B．由图中尺规作图痕迹可知，BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可．本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质是解答本题的关键．8.【答案】C【解析】解：作MN⊥x轴于N，∵P在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ//y轴，交x轴于点Q，∴P(k2,2)，∴PQ=2，∵将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．∴QM=QP=2，∠POM=60°，∴∠MQN=90°−60°=30°，∴MN=12QM=1，∴QN=√22−12=√3，∴M(k2+√3,1)，∵点M也在该反比例函数的图象上，∴k=k2+√3，解得k=2√3，故选：C．作MN⊥x轴于N，根据题意P(k2,2)，PQ=2，由于将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM，得出QM=QP=2，∠POM=60°，即可得出∠MQN=30°，即可得出MN=1 2QM=1，QN=√22−12=√3，得到M(k2+√3,1)，代入反比例函数解析式即可求得k的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化−旋转，表示出M点的坐标是解题的关键．9.【答案】m(m+3)【解析】解：m2+3m=m(m+3)，故答案为：m(m+3)．利用提公因式法，进行分解即可解答．本题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握因式分解−提公因式法是解题的关键．10.【答案】14【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+c=0有两个相等的实数根，∴Δ=b2−4ac=12−4c=0，．解得c=14．故答案为：14若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ=b2−4ac=0，建立关于c的方程，求出c的值即可．此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．11.【答案】8【解析】解：依题意得：7x+7=9(x−1)，解得：x=8，故答案为：8．由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程组求得．本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．12.【答案】5π2【解析】解：AB ⏜=nπR 180 =90π⋅5180 =5π2．故答案为：5π2．弧长的计算(1)圆周长公式：C =2πR ．(2)弧长公式：l =nπR180(弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R)．本题考查了弧长公式的应用，注意以下几点：①在弧长的计算公式中，n 是表示1°的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．13.【答案】54【解析】解：由图象的对称性可得，AM =MN =BN =13AB =9(厘米)，∴正六边形的周长为9×6=54(厘米)，故答案为：54．根据对称性和周长公式进行解答即可．本题考查等边三角形的性质，正多边形与圆，理解图形的对称性以及等边三角形的判定是解决问题的前提．14.【答案】−1−√3【解析】解：∵y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴图象开口向下，顶点坐标为(−1,4)，根据题意，当a ≤x ≤12时，函数值y 的最小值为1，当y =1时，−(x +1)2+4=1，∴x =−1±√3，∵−1+√3>12，∴−1−√3≤x ≤12时，函数值y 的最小值为1，∴a =−1−√3．故答案为：−1−√3． 函数配方后得y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，当y =1时，−(x +1)2+4=1，可得x =−1±√3，因为−1+√3>12，所以−1−√3≤x ≤12时，函数值y 的最小值为1，进而可以解决问题．本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．15.【答案】解：(2+a)(2−a)+a(a +1)=4−a 2+a 2+a=4+a ，当a =√2−4时，原式=4+√2−4=√2．【解析】先去括号，再合并同类项，然后把a 的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．16.【答案】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中两次分数之和不大于3的结果有3种，∴两次分数之和不大于3的概率为34．【解析】画树状图，共有4种等可能的结果，其中两次分数之和不大于3的结果有3种，再由概率公式求解即可．本题考查了用树形图概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17.【答案】解：设乙班平均每小时挖x 千克土豆，根据题意，得1500x+100=1200x ，解得x =400，经检验，x =400是原方程的根，且符合题意；答：乙班平均每小时挖400千克土豆．【解析】设乙班平均每小时挖x千克土豆，根据“甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同”列分式方程，求解即可．本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．18.【答案】直角三角形【解析】解：(1)∵AC=√22+12=√5，AB=√22+42=2√5，BC=5，∴AC2+AB2=BC2，∴∠BAC=90°，∴△ABC是直角三角形；故答案为：直角三角形；(2)如图①中，点D，点D′即为所求；(3)如图②中，点E即为所求；(4)如图，点P，点Q即为所求．(1)利用勾股定理的逆定理证明即可；(2)根据全等三角形的判定，作出图形即可；(3)根据相似三角形的判定作出图形即可；(4)作出AB，BC的中点P，Q即可．本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】√15【解析】(1)证明：∵点D是AC的中点，∴AD=CD，∵DF=DE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵DE⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；(2)解：∵BEEC =14，∴CE=4BE，设BE=a，则CE=4a，由(1)可知，四边形AECF是菱形，∴AE=CE=4a，AE//CF，∴∠BEA=∠BCF，∵∠ABC=90°，∴AB=√AE2−BE2=√(4a)2−a2=√15a，∴tan∠BCF=tan∠BEA=ABBE =√15aa=√15，故答案为：√15．(1)先证四边形AECF是平行四边形，再由DE⊥AC，即可得出结论；(2)设BE=a，则CE=4a，由菱形的性质得AE=CE=4a，AE//CF，则∠BEA=∠BCF，再由勾股定理得AB=√15a，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．20.【答案】202018.1%547930.2×√√【解析】解：(1)根据题意得：从2016年到2020年，专利授权量最多的是2020年，故答案为：2020；(2)把专利授权量年增长率从小到大排列为：15.8%，16.0%，18.1%，25.4%，46.0%，位于正中间的是18.1%，∴专利授权量年增长率的中位数是18.1%，故答案为：18.1%；(3)与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了17373−11894=5479件；专利授权量年增长率提高了46.0%−15.8%=30.2%，专利授权量年增长率提高了30.2个百分点，故答案为：5479，30.2；(4)①因为2017年的专利授权量的增长量为8190−7062=1128件，2019年的专利授权量的增长量11894−10268=1626件，所以2019年的专利授权量的增长量高于2017年的专利授权量的增长量，故①错误， 故答案为：×；②因为专利授权量年增长率=当年专利授权量−上一年专利授权量上一年专利授权量×100%，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加，故②正确， 故答案为：√；根据题意得：从2016年到2020年，每年的专利授权量都有所增加，所以长春市区域科技创新力呈上升趋势，故③正确，故答案为：√．(1)观察统计图可得专利授权量最多的是2020年，即可求解；(2)先把专利授权量年增长率从小到大排列，即可求解；(3)分别用2020年长春市专利授权量减去2019年长春市专利授权量，2020年专利授权量年增长率减去2019年专利授权量年增长率，即可求解；(4)①根据题意可得2017年的的专利授权量的增长量低于2019年的，可得①错误；②根据专利授权量年增长率当年专利授权量−上一年专利授权量x100%，可得②正确；③观察统计图可得从2016年到2020年，每年的专利授权量上一年专利授权量都有所增加，可得③正确，即可求解．本题主要考查了折线统计图和条形统计图，理解统计图中数据之间的关系是正确解答的关键．21.【答案】2 6【解析】解：(1)由题意知：m =200÷100=2，n =m +4=2+4=6，故答案为：2，6；(2)设y =kx +b ，将(2,200)，(6,440)代入得：{2k +b =2006k +b =440， 解得{k =60b =80， ∴y =60x +80，(2≤x ≤6)；(3)乙车的速度为(440−200)÷2=120(千米/小时)，∴乙车到达A 地所需时间为440÷120=113(小时)，当x=113时，y=60×113+80=300，∴甲车距A地的路程为300千米．(1)由甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出m=2，根据以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地知n=6；(2)用待定系数法可得y=60x+80，(2≤x≤6)；(3)求出乙的速度，即可得乙到A地所有时间，即可求得甲车距A地的路程为300千米．本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．22.【答案】22.5√2−1√52a【解析】【问题解决】证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．∴∠EFA=∠BFA=45°，∴AF=√2AB=AD．由折叠得，∠CFG=∠GFH=45°，∴∠AFG=∠AFE+∠GFE=45°+45°=90°，∴∠AFG=∠D=90°，又AD=AF，AG=AG，∴△ADG≌△AFG(HL)．【结论应用】(1)由折叠得，∠BAF=∠EAF，又∠BAF+∠EAF=90°，∴∠EAF=12∠BAE=12×90°=45°，由△ADG≌△AFG得，∠DAG=∠FAG=12∠FAD=12×45°=22.5°，∠AFG=∠ADG=90°，又∠AFB=45°，∴∠GFC=45°．∴∠FGC=45°．∴GC=FC．设AB=x，则BF=x，AF=√2x=AD=BC，∴FC=BC−BF=√2x−x=(√2−1)x，∴GF=√2FC=(2−√2)x．∴GFAF =(2−√2)x√2x=√2−1．故答案为：22.5；√2−1．(2)如图，连接FD，∵DG=FG，∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作PR⊥AD交AD于点R，∵∠DAF=∠BAF=45°，∴∠APR=45°，∴AR=PR，又AR2+PR2=AP2=(a2)2=a24，∴AR=PR=√24a，∴DR=AD−AR=√2a−√24a=34√2a.在Rt△DPR中，AR2+PR2=DP2，∴DP=√52a.∴PQ+FQ的最小值为√52a.故答案为：√52a.【问题解决】根据折叠的性质可得AD=AF，∠AFG=∠D=90°，由HL可证明结论；【结论应用】(1)根据折叠的性质可得∠DAG=12∠DAF=22.5°；证明△GCF是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论；(2)根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=√24a，求出DR，根据勾腰定理可得结论．本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．23.【答案】3【解析】解：(1)连接DM ，∵DA =DB ，点M 是AB 的中点，∴DM ⊥AB ，AM =2，在Rt △ADM 中，由勾股定理得，DM =√AD 2−AM 2=√13−4=3，故答案为：3．(2)当点P 在AD 上时，即0≤t <1时，PD =AD −AP =√13−√13t ，当点P 在BD 上时，即1≤t ≤2时，PD =√13t −√13，∴PD ={√13−√13t(0≤t <1)√13t −√13(1≤t ≤2)； (3)∵A′M =2，DM =3，∴A′D ≥1，∴当点D 、A′、M 共线时，DA′最短，∴∠AMP =∠DMP ，∴AP PD =AM DM =23，∴S △APM =22+3×S △ADM =25×12×2×3=65，∴S △PDA ′=S △ADM −2S △AMP =3−2×65=35；(4)当点A′在CM 上时，如图，作CH ⊥AB ，交AB 的延长线于H ，作MQ 平分∠CMH ，交CH 于Q ，作QG ⊥MC 于G ，∵AD=BC，∠DAM=∠CBH，∠DMA=∠CHB，∴△AMD≌△BHC(AAS)，∴BH=AM=2，CH=DM=3，∵MQ平分∠CMB，∴∠GMQ=∠QMH，∵∠QGM=∠QHM，MQ=MQ，∴△MQG≌△MQH(AAS)，∴MG=AH=4，QH=QG，∴CG=1，∴tan∠MCH=QGCG =MHCH，∴QG1=43，∴QG=43，∴QHMH =13，∵AP=√13t，∴AN=2t，PN=3t，∵∠AMP=∠A′MP，∠CMQ=∠QMH，∴∠PMQ=90°，∴∠QMH=∠MPN，∴MN=t，∴2t+t=2，∴t=23；当A′在CM的延长线上时，作PT⊥AB于T，由题意知BP=2√13−√13t，同理得，PT=6−3t，BT=4−2t，MT=18−9t，∴18−9t+4−2t=2，∴t=2011，综上：t=23或2011．(1)连接DM，根据等腰三角形的性质得DM⊥AB，AM=2，再利用勾股定理可得DM的长；(2)分点P在AD上或点P在BD上，分别表示PD的长；(3)由A′M=2，DM=3，则A′D≥1，当点D、A′、M共线时，DA′最短，利用角平分线的定理得APPD =AMDM=23，求出S△APM的面积，从而得出答案；(4)当点A′在CM上时，如图，作CH⊥AB，交AB的延长线于H，作MQ平分∠CMH，交CH于Q，作QG⊥MC于G，利用全等三角形的性质和三角函数求出QMMH =13，从而表示出MN的长，点点A′在CM的延长线上时，同理解决问题．本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出tan∠QMH=13是解题的关键．24.【答案】解：(1)把(2,0)代入y=x2−bx，得到b=2，∴该抛物线的解析式为y=x2−2x；(2)如图1中，∵y=x2−2x=(x−1)2−1，∴抛物线的顶点为(1,−1)，对称轴为直线x=1，∵BC//x，∴B，C故对称轴x=1对称，BC=4，∴点B的横坐标为−1，∴B(−1,3)；(3)如图2中，∵点A的横坐标为m，PQ=2|m|，m>0，∴PQ=PQM=MN=2m，∴正方形的边MN在y轴上，当点M与O重合时，由{y =x y =x 2−2x， 解得{x =0y =0或{x =3y =3， ∴A(3,3)，观察图象可知，当m ≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大． 如图3中，当PQ 落在抛物线的对称轴上时，m =12，观察图象可知，当0<m ≤12时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而减小．综上所述，满足条件的m 的值为0<m ≤12或m ≥3；(4)如图4−1中，当点N(0,34)时，满足条件，此时直线NQ 的解析式为y =−x +34，由{y =x 2−2x y =−x +34，解得，{x =32y =−34或{x =−12y =14， ∵点A 在第四象限，∴A(32,−34)， ∴m =32． 如图4−2中，当点N(0,−14)，满足条件，此时直线NQ 是解析式为y =−x −14，由{y =−x −14y =x 2−2x ，解得{x =12y =−34， ∴A(12,−34)，∴m =12． 如图4−3中，当正方形PQMN 的边长为34时，满足条件，此时m =−38，综上所述，满足条件的m 的值为32或12或−38．【解析】(1)把(2,0)代入y =x 2−bx ，得到b =2，可得结论；(2)判断出点B 的横坐标为−1，可得结论；(3)分两种情形：当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大．当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而减小．利用图象法解决问题即可；(4)分三种情形：如图4−1中，当点N(0,34)时，满足条件，如图4−2中，当点N(0,−14)，满足条件，如图4−3中，当正方形PQMN 的边长为34时，满足条件，分别求出点A 的坐标，可得结论．本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。
2024年长春市中考数学试卷及答案
2024年长春市中考数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题3分,共24分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.根据有理数加法法则,计算()23+-过程正确的是（）A.()32++ B.()32+- C.()32-+ D.()32--2.南湖公园是长春市著名旅游景点之一,图①是公园中“四角亭”景观的照片,图②是其航拍照片,则图③是“四角亭”景观的（）．A.主视图B.俯视图C.左视图D.右视图3.在剪纸活动中,小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形,其中正五边形的一条边与矩形的边重合,如图所示,则α∠的大小为（）A.54oB.60C.70D.72 4.下列运算一定正确的是（）A.236a a a ⋅= B.236a a a ⋅= C.()222ab a b = D.()235a a =5.不等关系在生活中广泛存在．如图,a ,b 分别表示两位同学的身高,c 表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（）A.若a b >,则a c b c +>+B.若a b >,b c >,则a c>C.若a b >,0c >,则ac bc >D.若a b >,0c >,则a b c c>6.2024年5月29日16时12分,“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A 时,位于海平面R 处的雷达测得点R 到点A 的距离为a 千米,仰角为θ,则此时火箭距海平面的高度AL 为（）A.sin a θ千米B.sin a θ千米C.cos a θ千米D.cos a θ千米7.如图,在ABC 中,O 是边AB 的中点．按下列要求作图:①以点B 为圆心、适当长为半径画弧,交线段BO 于点D ,交BC 于点E ;②以点O 为圆心,BD 长为半径画弧,交线段OA 于点F ;③以点F 为圆心,DE 长为半径画弧,交前一条弧于点G ,点G 与点C 在直线AB 同侧;④作直线OG ,交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（）A.AOM B∠=∠ B.180OMC C ∠+∠= C.AM CM = D.12OM AB =8.如图,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,点()4,2A 在函数()0,0k y k x x =>>的图象上．将直线OA 沿y 轴向上平移,平移后的直线与y 轴交于点B ,与函数()0,0k y k x x =>>的图象交于点C ．若BC =,则点B 的坐标是（）A.(B.()0,3C.()0,4D.(0,二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分．9.单项式22a b -的次数是_____．10.计算=____．11.若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点,则c 的取值范围是________．12.已知直线y kx b =+（k ,b 是常数）经过点()1,1,且y 随x 的增大而减小,则b 的值可以是________．（写出一个即可）13.一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示的方式摆放,边AB 与直线l 重合,12cm AB =．现将该三角板绕点B 顺时针旋转,使点C 的对应点C '落在直线l 上,则点A 经过的路径长至少为________cm ．（结果保留π）14.如图,AB 是半圆的直径,AC 是一条弦,D 是 AC 的中点,DE AB ⊥于点E ,交AC 于点F ,DB 交AC 于点G ,连结AD ．给出下面四个结论:①ABD DAC ∠=∠;②AF FG =;③当2DG =,3GB =时,2FG =;④当 2BD AD =,6AB =时,DFG ．上述结论中,正确结论的序号有________．三、解答题:本题共10小题,共78分．15.先化简,再求值:32222x x x x ---,其中x =．16.2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式,此模式有若干种学科组合,每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合,该校要将所有选报这种组合的学生分成A ,B ,C 三个班,其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法,求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．17.《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题:今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是:今有人合伙买金,每人出400钱,会剩余3400钱;每人出300钱,会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．18.如图,在四边形ABCD 中,90A B ∠=∠=︒,O 是边AB 的中点,AOD BOC ∠=∠．求证:四边形ABCD 是矩形．19.某校为调研学生对本校食堂的满意度,从初中部和高中部各随机抽取20名学生对食堂进行满意度评分（满分10分）,将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息:a ．高中部20名学生所评分数的频数分布直方图如下图:（数据分成4组:67x ≤<,78x ≤<,89x ≤<,910x ≤≤）x≤<这一组的是:b．高中部20名学生所评分数在898.08.18.28.28.48.58.68.78.8c．初中部、高中部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下:平均数中位数初中部8.38.5高中部8.3m根据以上信息,回答下列问题:（1）表中m的值为________;（2）根据调查前制定的满意度等级划分标准,评分不低于8.5分为“非常满意”．①在被调查的学生中,设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为a,b,则a________b;（填“>”“<”或“=”）②高中部共有800名学生在食堂就餐,估计其中对食堂“非常满意”的学生人数．20.图①,图②,图③均是33⨯的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点．点A,B 均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD ,使其是轴对称图形且点C ,D 均在格点上．（1）在图①中,四边形ABCD 面积为2;（2）在图②中,四边形ABCD 面积为3;（3）在图③中,四边形ABCD 面积为4．21.区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点,根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶,其间经过一段长度为20千米的区间测速路段,从该路段起点开始,他先匀速行驶112小时,再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计）,当他到达该路段终点时,测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y （千米）与在此路段行驶的时间x （时）之间的函数图象如图所示．（1）a 的值为________;（2）当112x a ≤≤时,求y 与x 之间的函数关系式;（3）通过计算说明在此区间测速路段内,该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）22.【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题:如图①,在等边ABC 中,3AB =,点M ,N 分别在边AC ,BC 上,且AM CN =,试探究线段MN 长度的最小值．【问题分析】小明通过构造平行四边形,将双动点问题转化为单动点问题,再通过定角发现这个动点的运动路径,进而解决上述几何问题．【问题解决】如图②,过点C ,M 分别作MN ,BC 的平行线,并交于点P ,作射线AP ．在【问题呈现】的条件下,完成下列问题:（1）证明:AM MP =;（2）CAP ∠的大小为________度,线段MN 长度的最小值为________．【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理,如图③．小明收集了该房屋的相关数据,并画出了示意图,如图④,ABC 是等腰三角形,四边形BCDE 是矩形,2AB AC CD ===米,30ACB ∠=︒．MN 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳,点M 在AC 上,点N 在DE 上．在调整钢丝绳端点位置时,其长度也随之改变,但需始终保持AM DN =．钢丝绳MN 长度的最小值为多少米．23.如图,在ABC 中,5AB AC ==,6BC =．点D 是边BC 上的一点（点D 不与点B ,C 重合）,作射线AD ,在射线AD 上取点P ,使AP BD =,以AP 为边作正方形APMN ,使点M 和点C 在直线AD 同侧．（1）当点D 是边BC 的中点时,求AD 的长;（2）当4BD =时,点D 到直线AC 的距离为________;（3）连结PN ,当PN AC ⊥时,求正方形APMN 的边长;（4）若点N 到直线AC 的距离是点M 到直线AC 距离的3倍,则CD 的长为________．（写出一个即可）24.在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,抛物线22y x x c =++（c 是常数）经过点()2,2--．点A ,B 是该抛物线上不重合的两点,横坐标分别为m ,m -,点C 的横坐标为5m -,点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同,连结AB ,AC ．（1）求该抛物线对应的函数表达式;（2）求证:当m 取不为零的任意实数时,tan CAB ∠的值始终为2;（3）作AC 的垂直平分线交直线AB 于点D ,以AD 为边,AC 为对角线作菱形ADCE ,连结DE ．①当DE 与此抛物线的对称轴重合时,求菱形ADCE 的面积;②当此抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大时,直接写出m 的取值范围．2024年长春市中考数学试卷答案一、选择题．1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】B【解析】解:如图,过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点E,过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D,则AE y ∥轴∵()4,2A∴4OE =,OA ==∴sinOE OAE OA ∠===．∵()4,2A 在反比例函数的图象上∴428k =⨯=．∴将直线OA 向上平移若干个单位长度后得到直线BC∴OA BC∥∴OAE BOA∠=∠∵AE y ∥轴∴DBC BOA∠=∠∴DBC OAE∠=∠∴5sin si 25n CD DBC OAE BC ∠===∠∴2555CD=,解得:2CD =,即点C 的横坐标为2将2x =代入8y x =,得4y =∴C 点的坐标为()2,4∴2CD =,4OD =∴221BD BC CD =-=∴413OB OD BD =-=-=∴()0,3B 故选:B ．二、填空题．9.【答案】310.【答案】311.【答案】14c >12.【答案】2（答案不唯一）13.【答案】203π14.【答案】①②③【解析】解:如图:连接DC∵D 是 AC 的中点∴ AD DC=∴ABD DAC ∠=∠,即①正确;∵AB 是直径∴90ADB ∠=︒∴90DAC AGD ∠+∠=︒∵DE AB⊥∴90BDE ABD Ð+Ð=°∵ABD DAC∠=∠∴BDE AGD∠=∠∴DF FG=∵90BDE ABD Ð+Ð=°,90BDE ADE ∠+∠=︒∴ADE ABD∠=∠∵ABD DAC∠=∠∴ADE DAC∠=∠∴AF FD=∴AF FG =,即②正确;在ADG △和BDA△90ADG BDA DAG DBA∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩∴ ∽ADG BDA ∴AD GD BD AD =,即AD GD DG BG AD =+∴223AD AD =+,即AD =∴AG ==∵AF FG=∴11422FG AG ==,即③正确;如图:假设半圆的圆心为O,连接,,OD CO CD∵ 2BD AD =,6AB =,D 是AC 的中点∴ 1,3AD DC AB ==∴60AOD DOC ∠=∠=︒∵OA OD OC==∴,AOD ODC 是等边三角形∴6OA AD CD OC OD =====,即ADCO 是菱形∴1302DAC OAC DAO ∠=∠=∠=︒∵90ADB ∠=︒∴tan tan 30DG DAC AD ∠=︒=,即36DG =,解得:DG =∴11622ADG S AD DG =⋅=⨯⨯= ∵AF FG=∴12DFG ADG S S == ,即④错误．故答案为:①②③．三、解答题．15.【答案】2x ,216.【答案】1317.【答案】共33人合伙买金,金价为9800钱18.证明:∵O 是边AB 的中点∴OA OB=在AOD △和BOC 中,90A B OA OB AOD BOC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AOD BOC≌△△∴AD BC=∵90A B ∠=∠=︒∴AD BC∥∴四边形ABCD 是平行四边形∵90A B ∠=∠=︒∴四边形ABCD 是矩形．19.【答案】（1）8.3（2）①>;②估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人【小问1详解】解:由题意知,高中部评分的中位数为第1011，位数的平均数,即8.28.48.32m +==故答案为:8.3;【小问2详解】①解:由题意知,初中部评分的中位数为8.5,高中部评分的中位数为8.3∴a b>故答案为:>;②解:∵4580036020+⨯=∴估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人．20.【小问1详解】解:如图①:四边形ABCD 即为所求;（不唯一）．【小问2详解】解:如图②:四边形ABCD 即为所求;（不唯一）．【小问3详解】解:如图③:四边形ABCD 即为所求;（不唯一）．21.【答案】（1）15（2）11902125y x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭（3）没有超速【小问1详解】解:由题意可得:10020a =,解得:15a =．故答案为:15．【小问2详解】解:设当11125x ≤≤时,y 与x 之间的函数关系式为()0y kx b k =+≠则:11761205k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得:902k b =⎧⎨=⎩∴11902125y x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭．【小问3详解】解:当112x =时,19029.512y =⨯+=∴先匀速行驶112小时的速度为:19.5114/12÷=（千米时）∵114120＜∴辆汽车减速前没有超速．22.【答案】问题解决:（1）见解析（2）30,32;方法应用:线段MN 长度的最小值为362米【解析】解:问题解决:（1）证明:过点C ,M 分别作MN ,BC 的平行线,并交于点P ,作射线AP ∴四边形MNCP 是平行四边形NC MP MN PC\==，AM NC= AM MP ∴=;（2）在等边ABC 中,60ACB ∠=︒MP CN∥60PMC ACB \Ð=Ð=°AM MP= 30CAP MPA \Ð=Ð=°;当CP AP ⊥时,CP 最小,此时MN 最小在Rt ACP 中,3,30AC CAP =Ð=°13322CP \=´=∴线段MN 长度的最小值为32;方法应用:过点D ,M 分别作MN ,ED 的平行线,并交于点H ,作射线AH ,连接AD ∴四边形MNDH 是平行四边形,ND MH MN DH MH ED\==，∥AM ND= AM MH∴= 四边形BCDE 是矩形,90BC ED BCD \Ð=°∥BC MH\∥30ACB CMH \Ð=Ð=°AM MH= 15MAH \Ð=°3m,120AC CD ACD ACB BCD ==Ð=Ð+Ð=° 30DAC ∴∠=︒45DAH ∴∠=︒∴当DH AH ⊥时,DH 最小,此时MN 最小作CR AD ⊥于点R在Rt ACR 中,3,30AC CAR =Ð=°13322CR \=´=2AR \=2AD AR \==在Rt ADH 中,45AD DAH =Ð=°23622DH AH \===∴线段MN 长度的最小值为2米．23.【答案】（1）4（2）85（3）177（4）256或259【小问1详解】解:根据题意可知: 5AB AC ==ABC ∴ 为等腰三角形,故点D 是边BC 的中点时,AD BC ⊥;在Rt ADC 中,4AD ====;【小问2详解】根据题意作DH AC ⊥,如图所示;当4BD =时,则2CD =设点D 到直线AC 的距离为DH h =1124522ACD S h =⨯⨯=⨯⨯ 解得:85h =;【小问3详解】如图,当NP AC ⊥时,点M 落在AC 上设AP x =,则BD x =,6CD x =-过点D 作DH AC ⊥于Q 则()33655CQ CD x ==-,()44655DQ CD x ==-()44655AQ DQ CD x ===-AQ CQ AC+= ()()3466555x x ∴-+-=解得:177x =故177=AP 所以正方形APMN 的边长为177;【小问4详解】如图,M ,N 在AC 异侧时;设MQ m =,3NQ m =,则4AN m =ANQ ∴ 三边的比值为3:4:5AQN C∴∠=∠CAD C∴∠=∠∴CDE ANQ∽CE CD NQ AQ=∴5525326CD =⨯=当M ,N 在AC 同侧设MQ m =,则3AN AP m ==,2PQ m =APO ∴ 三边比为2:3:AQD ∴三边比为2:设CD x =,则35CH x =,45DH x =,3425AH x =⨯3345525x x ∴+⨯=解得:259CD x ==综上所述:CD 的长为256或25924.【答案】（1）222y x x =+-（2）见详解（3）①9ADCE S =菱形;②3m ≤-或10m -≤<或0413m <≤-【小问1详解】解:将()2,2--代入22y x x c =++得:442c -+=-解得:2x =-∴抛物线表达式为:222y x x =+-;【小问2详解】解:过点B 作BH AC ⊥于点H,则90AHB ∠=︒由题意得:()()22,22,,22A m m m B m m m +----∴4A B BH y y m =-=,2A B AH x x m =-=∴在Rt AHB △中,4tan 22m BH CAB AH m ∠===;【小问3详解】解:①如图,记,AC DE 交于点M由题意得,()25,22C m m m -+-由2122b a -=-=-得:对称轴为直线:=1x -∵四边形ADCE 是菱形∴点A,C 关于DE 对称,2,2AC AM DE DM==∵DE 与此抛物线的对称轴重合∴512m m -+=-解得:12m =∴12A x =∴()13122AM =--=∴3AC =∵tan 232DM DM CAB AM ∠===∴3DM =,则6DE =∴192ADCE S DE AC =⨯=菱形;②记抛物线顶点为点F,把=1x -代入222y x x =+-,得:=3y -∴()1,3--F∵抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线当0m >时,如图,符合题意当m 继续变大,直至当直线CD 经过点F 时,符合题意,如图:过点F 作FQ AC ⊥于点Q∵四边形ADCE 是菱形∴DA DC=∴CAD FCQ∠=∠∴tan tan 2FQ FCQ CAD CQ ∠=∠==∴()()2223215m m m +---=---解得:4m =4m =+（舍）∴04m <≤-当4m>,如图,发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线,不符合题意;当0m<时,如图,符合题意:m=-,符合题意,如图:当m继续变小,直至点A与点F重合,此时1∴10m-≤<;当m继续变小,直至直线AE经过点F时,也符合题意,如图:过点F 作FQ AC ⊥于点Q,同上可得tan 2FQ FAQ AQ∠==∴()222321m m m+---=--解得:3m =-或1m =-（舍）当m 继续变小时,仍符合题意,如图:∴3m ≤-综上所述,m 的取值范围为:3m ≤-或10m -≤<或0413m <≤-．。
吉林省长春市中考数学试卷及答案(Word解析版)
吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）（•长春）的绝对值等于（）A．B．4C．D．﹣4考点：绝对值．分析：根据负数的绝对值等于它的相反数解答．解答：解：﹣的绝对值等于，即|﹣|=．故选A．点评：本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）（•长春）如图是由四个相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的正视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：从正面看易得第一层有1个长方形，位于左边，第二层有2个长方形．故选D．点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．（3分）（•长春）我国第一艘航空母舰辽宁航空舰的电力系统可提供14 000 000瓦的电力．14 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．14×106B．1.4×107C．1.4×108D．0.14×108考点：科学记数法—表示较大的数分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于14 000 000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．解答：解：14 000 000=1.4×107．故选B．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．4．（3分）（•长春）不等式2x＜﹣4的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式分析：首先解不等式求得不等式的解集，根据数轴上点的表示法即可判断．解答：解：解不等式得：x＜﹣2．故选D．点评：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．5．（3分）（•长春）如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D 在边AB上，DE⊥AB．若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°考点：平行线的性质；直角三角形的性质．分析：首先根据垂直定义可得∠ADE=90°，再根据∠FDE=30°，可得∠ADF=60°，然后根据两直线平行同位角相等可得∠B的大小．解答：解：∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠FDE=30°，∴∠ADF=90°﹣30°=60°，∵BC∥DF，∴∠B=∠ADF=60°，故选：C．点评：此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行同位角相等．6．（3分）（•长春）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=71°，∠CAB=53°，点D在AC 弧上，则∠ADB的大小为（）A．46°B．53°C．56°D．71°考点：圆周角定理．分析：根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据圆周角定理得出∠C，求出即可．解答：解：∵∠ABC=71°，∠CAB=53°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=56°，∵弧AB对的圆周角是∠ADB和∠ACB，∴∠ADB=∠ACB=56°，故选C．点评：本题考查了圆周角定理和三角形内角和定理的应用，关键是求出∠ACB的度数和得出∠ACB=∠ADB．7．（3分）（•长春）如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为（）A．B．C．2D．3考点：相似三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：先根据题意判断出△ABD∽△BDC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出CD的长．解答：解：∵∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，∴△ABD∽△BDC，∴=，即=，解得CD=．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．8．（3分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x 轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点在直线y=x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为（）A．B．3C．4D．5考点：一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移分析：根据平移的性质知BB′=AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度．解答：解：如图，连接AA′、BB′．∵点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，∴点A′的纵坐标是3．又∵点A的对应点在直线y=x上一点，∴3=x，解得x=4．∴点A′的坐标是（4，3），∴AA′=4．∴根据平移的性质知BB′=AA′=4．故选C．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣﹣平移．根据平移的性质得到BB′=AA′是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）（•长春）计算：a2•5a=5a3．考点：单项式乘单项式专题：计算题．分析：利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果．解答：解：原式=5a3．故答案为：5a3．点评：此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（3分）（•长春）吉林广播电视塔“五一”假期第一天接待游客m人，第二天接待游客n人，则这2天平均每天接待游客人（用含m、n的代数式表示）．考点：列代数式分析：用两天接待的游客总人数除以天数，即可得解．解答：解：2天平均每天接待游客．故答案为：．点评：本题考查了列代数式，比较简单，熟练掌握平均数的求法是解题的关键．11．（3分）（•长春）如图，MN是⊙O的弦，正方形OABC的顶点B、C在MN上，且点B是CM的中点．若正方形OABC的边长为7，则MN的长为28．考点：垂径定理；正方形的性质．分析：根据正方形性质得出BC=7，∠OCB=90°，根据垂径定理得出CM=2BC，推出MN=4BC，代入求出即可．解答：解：∵四边形OABC是正方形，∴BC=7，∠OCB=90°，∴OC⊥MN，∴由垂径定理得：MN=2CM，∵点B是CM的中点，∴CM=2BC，∴MN=4BC=4×7=28，故答案为：28．点评：本题考查了垂径定理和正方形性质的应用，关键是推出MN=4BC．12．（3分）（•长春）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B=65°，则∠ADC 的大小为65度．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据作法可得AB=CD，BC=AD，然后利用“边边边”证明△ABC和△CDA全等，再根据全等三角形对应角相等解答．解答：解：∵以点A为圆心，以BC长为半径作弧；以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，∴AB=CD，BC=AD，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA，∴∠ADC=∠B=65°．故答案为：65．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，根据作法得到全等三角形相等的边是解题的关键．13．（3分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数位于第一象限的图象上，则k 的值为．考点：正多边形和圆；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：连接OB，过B作BM⊥OA于M，得出等边三角形AOB，求出OB，根据锐角三角函数求出BM和OM，即可得出B的坐标，代入即可求出答案．解答：解：连接OB，过B作BM⊥OA于M，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB==60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=6，∴BM=OB•sin∠BOA=6×sin60°=3，OM=OB•COS60°=3，即B的坐标是（3，3），∵B在反比例函数位于第一象限的图象上，∴k=3×3=9，故答案为：9．点评：本题考查了正多边形性质，锐角三角函数，反比例函数的性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出B的坐标．14．（3分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=于点B、C，则BC的长值为6．考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：先由y轴上点的横坐标为0求出A点坐标为（0，3），再将y=3代入y=，求出x的值，得出B、C两点的坐标，进而求出BC的长度．解答：解：∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，3）．当y=3时，=3，解得x=±3，∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3），∴BC=3﹣（﹣3）=6．故答案为6．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，平行于x轴上的两点之间的距离，比较简单．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）（•长春）先化简，再求值：，其中x=．考点：分式的化简求值专题：计算题．分析：将的分子因式分解，然后约分；再将（x﹣2）2展开，合并同类项后再代入求值即可．解答：解：原式==4x+x2﹣4x+4=x2+4．当x=时，原式==11．点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及约分、通分是解题的关键．16．（6分）（•长春）甲、乙两人各有一个不透明的口袋，甲的口袋中装有1个白球和2个红球，乙的口袋中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人分别从各自口袋中随机摸出1个球，用画树状图（或列表）的方法，求两人摸出的球颜色相同的概率．考点：列表法与树状图法专题：计算题．分析：列表得出所有等可能的情况数，找出两人摸出的求颜色相同的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：列表如下：甲乙结果白红红白（白，白）（红，白）（红，白）白（白，白）（红，白）（红，白）红（白，红）（红，红）（红，红）所有等可能的情况有9种，其中颜色相同的情况有4种，则P（两人摸出的球颜色相同）=．点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（6分）（•长春）某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍．求第一组的人数．考点：分式方程的应用．分析：首先设第一组有x人，则第二组人数是1.5x人，根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数﹣第二组同学共带图书27本÷第二组的人数=1，根据等量关系列出方即可．解答：解：设第一组有x人．根据题意，得=，解得x=6．经检验，x=6是原方程的解，且符合题意．答：第一组有6人．点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，不要忘记检验．18．（7分）（•长春）在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形．求证：AD=BF．考点：平行四边形的性质专题：证明题．分析：根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=EF，AD∥EF，再根据两直线平行，同位角相等可得∠ACB=∠FEB，根据等边对等角求出∠ACB=∠B，从而得到∠FEB=∠B，然后根据等角对等边证明即可．解答：证明：∵四边形ADEF为平行四边形，∴AD=EF，AD∥EF，∴∠ACB=∠FEB，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠FEB=∠B，∴EF=BF，∴AD=BF．点评：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．19．（7分）（•长春）如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2.17米，桥墩顶部点C距水面的高度CD为23.17米．从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为26°，求岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin26°=0.44，cos26°=0.90，tan26°=0.49）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：在Rt△CAE中，利用CD、DE的长和已知的角的度数，利用正弦函数可求得AC的长．解答：解：由题意知，DE=AB=2.17，∴CE=CD﹣DE=12.17﹣2.17=10．在Rt△CAE中，∠CAE=26°，sin∠CAE=，∴AC===≈22.7（米）．答：岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离约为22.7米．点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．20．（7分）（•长春）某校学生会为了解学生在学校食堂就餐剩饭情况，随机对上周在食堂就餐的n名学生进行了调查，先调查是否剩饭的情况，然后再对其中剩饭的每名学生的剩饭次数进行调查．根据调查结果绘制成如下统计图．（1）求这n名学生中剩饭学生的人数及n的值．（2）求这n名学生中剩饭2次以上的学生占这n名学生人数的百分比．（3）按上述统计结果，估计上周在学校食堂就餐的1 200名学生中剩饭2次以上的人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图专题：计算题．分析：（1）由条形统计图中的数据相加即可求出n名学生中剩饭的学生人数，除以剩饭学生所占的百分比即可求出学生的总数，即为n的值；（2）根据条形统计图得到剩饭2次以上的人数，除以n的值，即可求出结果；（3）根据（2）中求出的百分比，乘以1200即可得到结果．解答：解：（1）根据题意得：这n名学生中剩饭学生的人数为58+41+6=105（人），n的值为105÷70%=150，则这n名学生中剩饭的学生有105人，n的值为150；（2）根据题意得：6÷150×100%=4%，则剩饭2次以上的学生占这n名学生人数的4%；（3）根据题意得：1200×4%=48（人）．则估计上周在学校食堂就餐的1200名学生中剩饭2次以上的约有48人．点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．21．（8分）（•长春）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为线段OA，乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为折线BC﹣CD﹣DE，如图所示，从甲队开始工作时计时．（1）分别求线段BC、DE所在直线对应的函数关系式．（2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长．考点：一次函数的应用分析：（1）先求出乙队铺设路面的工作效率，计算出乙队完成需要的时间求出E的坐标，再由待定系数法就可以求出结论．（2）由（1）的结论求出甲队完成的时间，把时间代入乙的解析式就可以求出结论．解答：（1）设线段BC所在直线对应的函数关系式为y=k1x+b1．∵图象经过（3，0）、（5，50），∴∴线段BC所在直线对应的函数关系式为y=25x﹣75．设线段DE所在直线对应的函数关系式为y=k2x+b2．∵乙队按停工前的工作效率为：50÷（5﹣3）=25，∴乙队剩下的需要的时间为：（160﹣50）÷25=，∴E（，160），∴，解得：∴线段DE所在直线对应的函数关系式为y=25x﹣112.5．（2）由题意，得甲队每小时清理路面的长为 100÷5=20，甲队清理完路面的时间，x=160÷20=8．把x=8代入y=25x﹣112.5，得y=25×8﹣112.5=87.5．答：当甲队清理完路面时，乙队铺设完的路面长为87.5米．点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，工作总量=工作效率×工作时间的运用，解答时求出函数的解析式是关键．22．（9分）（•长春）探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E．若AE=10，求四边形ABCD的面积．应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于点E．若AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为152．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质．分析：探究：过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，先判定四边形AFCE为矩形，根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB=∠EAD，再利用“角角边”证明△AFB和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得到四边形AFCE是正方形，然后根据正方形的面积公式列计算即可得解；应用：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，根据同角的补角相等可得∠ABC=∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=AE，再根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD列式计算即可得解．解答：探究：如图①，过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，∵AE⊥CD，∠BCD=90°，∴四边形AFCE为矩形，∴∠FAE=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°，∵∠EAD+∠BAE=90°，∴∠FAB=∠EAD，∵在△AFB和△AED中，，∴△AFB≌△AED（AAS），∴AF=AE，∴四边形AFCE为正方形，∴S四边形ABCD=S正方形AFCE=AE2=102=100；应用：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，则∠ADF+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADF，∵在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AF=AE=19，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=BC•AE+CD•AF=×10×19+×6×19=95+57=152．故答案为：152．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键；（2）作辅助线构造出全等三角形并把四边形分成两个三角形是解题的关键．23．（10分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2 与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）求点C在这条抛物线上时m的值．（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值．（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（，））考点：二次函数综合题分析：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）两点的坐标代入y=ax2+bx﹣2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标为（m，2），再将C的坐标代入y=x2﹣x﹣2，即可求出m的值；（3）①先由旋转的性质得出点D的坐标为（m，﹣2），再根据二次函数的性质求出抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴为直线x=，然后根据点D在直线x=上，即可求出点D的坐标；②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE时，分别以D、N为直角顶点，在DN的两侧分别作出等腰直角三角形DNE，E点的位置分四种情况讨论．针对每一种情况，都可以先根据等腰直角三角形的性质求出点E的坐标，然后根据点E在直线x=上，列出关于m的方程，解方程即可求出m的值．解答：解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0）、B（4，0），∴解得∴抛物线所对应的函数关系式为y=x2﹣x﹣2；（2）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，∴CM=MN=2，∴点C的坐标为（m，2），∵点C（m，2）在抛物线上，∴m2﹣m﹣2=2，解得m1=，m2=．∴点C在这条抛物线上时，m的值为或；（3）①∵将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN，∴∠CND=90°，DN=CN=CM=MN，∴CD=CN=2CM=2MN，∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，∴点D的坐标为（m，﹣2）．又∵抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴为直线x=，点D在这条抛物线的对称轴上，∴点D的坐标为（，﹣2）；②如图，以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，E点的位置有四种情况：如果E点在E1的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），MN=ME1=2，点N的坐标为（m+2，0），∴点E1的（m﹣2，0），∵点E1在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m﹣2=，解得m=；如果E点在E2的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），点N的坐标为（m+2，0），∴点E2的（m+2，﹣4），∵点E2在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m+2=，解得m=﹣；如果E点在E3的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），∴点E3的（m，2），∵点E3在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m=；如果E点在E4的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），点N的坐标为（m+2，0），∴点E4的（m+4，﹣2），∵点E4在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m+4=，解得m=﹣；综上可知，当点E在这条抛物线的对称轴上时，所有符合条件的m的值为m=﹣或m=﹣或m=或m=．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，综合性较强，难度适中．其中（3）②要注意分析题意分情况讨论E点可能的位置，这是解题的关键．24．（12分）（•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A ﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点 B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．考点：四边形综合题．分析：（1）分情况讨论，当点P沿A﹣D运动时，当点P沿D﹣A运动时分别可以表示出AP的值；（2）分类讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S 与t的函数关系式；（3）分情况讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，当＜t＜时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；（4）分情况讨论当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，如图⑥，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在D﹣A之间如图⑦，根据菱形的性质建立方程求出其解即可．解答：解：（1）当点P沿A﹣D运动时，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．当点P沿D﹣A运动时，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．（2分）（2）当点P与点A重合时，BP=AB，t=1．当点P与点D重合时，AP=AD，8t﹣8=50，t=．当0＜t＜1时，如图①．作过点Q作QE⊥AB于点E．S△ABQ==，∴QE===．∴S=﹣30t2+30t．当1＜t≤时，如图②．S==，∴S=48t﹣48；（3）当点P与点R重合时，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=．当0＜t≤1时，如图③．∵S△BPM=S△BQM，∴PM=QM．∵AB∥QR，∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，在△BPM和△RQM中，∴△BPM≌△RQM．∴BP=RQ，∵RQ=AB，∴BP=AB∴13t=13，解得：t=1当1＜t≤时，如图④．∵BR平分阴影部分面积，∴P与点R重合．∴t=．当＜t≤时，如图⑤．∵S△ABR=S△QBR，∴S△ABR＜S四边形BQPR．∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分．综上所述，当t=1或时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分．（4）如图⑥，当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC 时，∴∠C′OQ=∠OQC．∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ，∴∠CQO=∠COQ，∴QC=OC，∴50﹣5t=50﹣8（t﹣1）+13，或50﹣5t=8（t﹣1）﹣50+13，解得：t=7或t=．当P在A﹣D之间或D﹣A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦．同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，∴50﹣5t+13=8（t﹣1）﹣50，解得：t=．∴当t=7，t=，t=时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．点评：本题考查了平行四边形的性质的运用，菱形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，分类讨论的数学思想的运用，轴对称的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用动点问题的解答方法确定分界点是解答本题的关键和难点．。
2023年吉林省长春市中考数学真题(解析)
2023年长春市初中学业水平考试数学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.【答案】B 【解析】解：由图可知，3a >，01b <<，01c <<，23d <<，比较四个数的绝对值排除a 和d ，根据绝对值的意义观察图形可知，c 离原点的距离大于b 离原点的距离，<b c ∴，∴这四个数中绝对值最小的是b .故选：B .2.【答案】D【解析】解：738000000 3.810=⨯，故选：D ．3.【答案】B【解析】A 选项，3a 与2a 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；B 选项，23a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；C 选项，()326a a =，故该选项不正确，不符合题意；D 选项，624a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．4.【答案】C【解析】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，故选：C ．5.【答案】A【解析】解：O 为AA '、BB '的中点，OA OA ∴'=，OB OB '=，AOB A OB ''∠=∠ （对顶角相等），∴在AOB 与A OB ''△中，OA OA AOB A OB OB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''⎩'，()SAS AOB A OB ''∴△≌△，AB A B ''∴=，故选：A ．6.【答案】D【解析】解： AC 表示的是地面，BC 表示是图书馆，AC BC ∴⊥，ABC ∴ 为直角三角形，32cos 25cos 25AC AB ∴==︒︒（米）.故选：D .7.【答案】B【解析】解：根据作图可得,AD AE DF EF ==，故A ，C 正确；∴,A F 在DE 的垂直平分线上，∴AF D E ⊥，故D 选项正确，而DF EF =不一定成立，故B 选项错误，故选：B ．8.【答案】C【解析】解：如图所示，过点A B ，分别作y x ，轴的垂线，垂足分别为E D ，，AE BD ，交于点C，依题意，B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k ∴()1,1C ，则1,1AC k BC k =-=-，又∵90ACB ∠=︒，AB =，∴()()(22211k k -+-=∴13k -=（负值已舍去）解得：4k =，故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共8分）9.【答案】()()11a a +-．【解析】解：()()2111a a a -=+-．故答案为：()()11a a +-10.【答案】1m <【解析】解： 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，2(2)41440m m ∴∆=--⨯⨯=->解得：1m <，故答案为：1m <．11.【答案】()7.510x -【解析】根据题意可得，他离健康跑终点的路程为()7.510x -．故答案为：()7.510x -．12.【答案】1:3【解析】解：12OA AA '= ::，:1:3OA OA '∴=，设ABC 周长为1l ，设A B C ''' 周长为2l ，ABC 和A B C ''' 是以点O 为位似中心的位似图形，1213l OA l OA ∴=='．12:1:3l l ∴=．ABC ∴ 和A B C ''' 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．13.【答案】45【解析】解：∵正五边形的每一个内角为()5218101508-⨯︒=︒，将正五边形纸片ABCDE 折叠，使点B 与点E 重合，折痕为AM ，则111085422BAM BAE ∠=∠=⨯︒=︒，∵将纸片折叠，使边AB 落在线段AM 上，点B 的对应点为点B '，折痕为AF ，∴11542722FAB BAM '∠=∠=⨯︒=︒，108AB F B '∠=∠=︒，在AFB 'V 中，1801801082745AFB B FAB ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：45．14.【答案】19【解析】解：由题意可知：()40,4A -、()40,4B 、()0,20H ，设抛物线解析式为：220y ax =+，将()40,4A -代入解析式220y ax =+，解得：1100a =-，220100x y ∴=-+，消防车同时后退10米，即抛物线220100x y =-+向左（右）平移10米，平移后的抛物线解析式为：()21020100x y +=-+，令0x =，解得：19y =，故答案为：19．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.【答案】31a +1+【解析】解：2(1)(1)a a a ++-2221a a a a =+++-31a =+当33a =时，原式33113=⨯+=16.【答案】49【解析】解：画树状图如下：共有9种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有4种，则某同学获一等奖的概率为：49，答：某同学获一等奖的概率为49．17.【答案】原计划平均每天制作200个摆件．【解析】解：设原计划平均每天制作x 个，根据题意得，3000300051.5x x=+解得：200x =经检验，200x =是原方程的解，且符合题意，答：原计划平均每天制作200个摆件．18.【答案】（1）见解析；（2）18【解析】（1）证明：由题意可知ACB DFE △≌△，AC DF =∴，30CAB FDE ∠=∠=︒，AC DF \∥，∴四边形AFDC 地平行四边形；（2）如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，6cm BC =，212cm AB BC ∴==，60ABC ∠=︒，四边形AFDC 是菱形，AD ∴平分CDF ∠，30CDA FDA ∴∠=∠=︒，ABC CDA BCD ∠=∠+∠ ，603030BCD ABC CDA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，BCD CDA ∴∠=∠，6cm BC BD ∴==，18cm AD AB BD ∴=+=，故答案为：18．19.【答案】（1）见解析（2）110人（3）9【解析】（1）抽取了735%20÷=人，属于偏胖的人数为：202738---=，补全统计图如图所示，（2）8320011020+⨯=（人）（3）设小张体重需要减掉kg x ，依题意，227241.70x -<解得：8.67x >,答：他的体重至少需要减掉9kg ，故答案为：9．20.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）解：如图所示，以3AB =为底，设AB 边上的高为h ，依题意得：19·22ABC S AB h == 解得：3h =即点C 在AB 上方且到AB 距离为3个单位的线段上的格点即可，答案不唯一；（2）由网格可知，AB ==以AB =为底，设AB 边上的高为h ，依题意得：1·52ABC S AB h ==解得：h =将AB 绕A 或B 旋转90︒，过线段的另一个端点作AB 的平行线，与网格格点的交点即为点C ，答案不唯一，（3）如图所示，作5BD AB ==，过点D 作CD AB ∥，交于格点C ，由网格可知，22215BD AB ==+=，10AD =，∴ABD △是直角三角形，且AB BD⊥∵CD AB∥∴15·22ABC S AB BD == ．21.【答案】（1）12180y x =-（2）180【解析】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，将()15,0，()40,300代入得，15040300k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：12180k b =⎧⎨=-⎩，∴12180y x =-()1540x ≤≤；（2）设甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为11y k x b =+()2560x ≤≤将点()()25,16060,300，代入得，11112516060300k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：11460k b =⎧⎨=⎩，∴460y x =+()2560x ≤≤；联立12180460y x y x =-⎧⎨=+⎩解得：30180x y =⎧⎨=⎩∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米22.【答案】感知：45；探究：见解析；应用：223．【解析】感知：由圆周角定理可得1245APB AOB ∠=∠=︒，故答案为：45；探究：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．ABC 是等边三角形．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等边三角形，PB PE ∴=，PB PE PA AE PA PC ∴==+=+，即PB PA PC =+；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ， 四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．AB CB = ，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等腰直角三角形，222PB BE PE ∴+=，222PB PE ∴=，即PE =，PE PA AE PA PC =+=+ ，PA PC ∴+=，PB =，4PA PC PA ∴+==，3PC PA ∴=，33PB PC PA ∴==，故答案为：3．23.【答案】（1）13（2）32（3）见解析（4）93502t -<≤或176t =或7t =【解析】（1）解：如图所示，连接BQ ，∵四边形ABCD 是矩形∴90BAQ ABE ∠=∠=︒∵90PEQ ∠=︒，∴四边形ABEQ 是矩形，当点P 和点B 重合时，∴3QE AB ==，2BE =在Rt QBE △中，22223213BQ BE QE =+=+=13（2）如图所示，∵90PEQ ∠=︒，90PBE ECD ∠=∠=︒，∴1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒，∴13∠=∠∴PBE ECD∽∵2BE =，3CD AB ==，∴2tan 3PE BE PQE DE CD ∠===；（3）如图所示，过点P 作PH BC ⊥于点H ，∵90PEQ ∠=︒，90PHE ECQ ∠=∠=︒，∴1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒，则四边形ABHP 是矩形，∴PH AB =3=又∵523EC BC BE =-=-=∴PH EC =，∴PHE ECQ≌∴PE QE=∴POE △是等腰直角三角形；（4）①如图所示，当点P 在BE 上时，∵3,2QE QF AQ BE ====，在Rt AQF △中，2222325AF QF AQ =-=-=，则35BF =-，∵PE t =，则2BP t =-，PF PE t ==，在Rt PBF 中，222PF PB FB =+，∴(()222352t t =-+-解得：9352t -=当9352t -<时，点F 在矩形内部，符合题意，∴93502t -<≤符合题意，②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，则2PB t BE t =-=-，PE =()325AP AB PB t t =-=--=-，在Rt PBE △中，222PE PB BE =+()()222522t t -=-+，解得：176t =，③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，此时2327t =++=综上所述，93502t -<≤或176t =或7t =．24.【答案】（1）222y x x =-++；顶点坐标为()1,3（2）()3,0A （3）1m =-或2m =-或512m +=或2112m -=（4）22m =-+23m =-或12m =-【解析】（1）解：将点(2,2)代入抛物线22y x bx =-++，得，2422b =-++解得：2b =∴抛物线解析式为222y x x =-++；∵222y x x =-++()213x =--+，∴顶点坐标为()1,3，（2）解：由222y x x =-++，当0y =时，2220x x -++=，解得：1213,13x x ==+，∵抛物线上的点B 在x 轴上时，横坐标为1m -．其中0m <．∴1m 1->∴113m -=+解得：3m =-，∵点A 的坐标为(,0)m ，∴()A ；（3）①如图所示，当111m <-<+，即0m <<时，抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点为顶点，最低点为点P ，∵顶点坐标为()1,3，()1P 则纵坐标之差为303-=依题意，32m=-解得：1m =-；②当11m -≥+m ≤时，∵()()()21,1212B m m m ---+-+，即()21,3B m m --+，依题意，()2332m m --+=-，解得：2m =-或1m =（舍去），③当111m <-<，即0m <<则232m m -+=-，解得：512m =或152m -=（舍去），④当113m -≤3m ≥，则()2032m m --+=-，解得：2112m -=（舍去）或2112m =，综上所述，1m =-或2m =-或512m =或2112m =；（4）解：如图所示，∵B 在x 轴的上方，∴13113m -<-<+∴33m <<∵以点C 、E 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，线段BO 的中点为D ∴BCD CODS S = ∵AOBC AOC BOC S S S =+ ,BOC BCD CODS S S =+ ①当E 是AC 的中点，如图所示则2AOBC CEOD S S =，∴23,22m m E ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭代入222y x x =-++，即22322222m m m -+⎛⎫=-+⨯+ ⎪⎝⎭，解得：2m =-（舍去）或2m =-②同理当F 为AO 的中点时，如图所示，ACF CFO S S = ，BCD COD S S = ，则点C 、F 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，∴12m =解得：2m =-，③如图所示，设BOC S S = ，则12DBC S S = ，∵以点C 、E 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，线段BO 的中点为D ∴12CDF FDB AOC S S S S +=+ 即1122CDF CDF AOC S S S S S +=-+ ∴12AOC CDF S S = ，∴CF AO =，∴()2,3F m m --+，∵,B F 关于1x =对称，∴112m m -+-=，解得：12m =-，综上所述，2m =-+或2m =-或12m =-．。
吉林省长春市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
吉林省长春市2020年中考数学试卷一、单选题（共8题；共16分）1.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A. =1B. -1.5C. -3D. -4.2【答案】C【考点】数轴及有理数在数轴上的表示【解析】【解答】解：根据题意可知，墨水遮盖区域的数在-4和-2之间∴数字可能为-3.故答案为：C.【分析】根据数轴上有理数的大小和顺序进行判断即可。
2.为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A. 79×103B. 7.9×104C. 0.79×105D. 4ab【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：79000用科学记数法表示为7.9×104故答案为：B.【分析】根据科学记数法的含义，表示得到数字即可。
3.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A. B.C. D.【答案】A【考点】几何体的展开图【解析】【解答】解：由分析知：四棱柱的侧面展开图是四个矩形组成的图形．故选：A．【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形图进行解答即可．4.不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】 D【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集【解析】【解答】解：∵x+2≥3∴x≥1∴在数轴上表示正确的为D.故答案为：D.【分析】根据题意，解出不等式的解集，在数轴上进行表示即可。
5.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A. sinA=BDAB B. cosA=ABADC. tanA=ADBDD. sinA=ADAB【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：根据题意可知，在直角三角形ABD中，求∠A可由以下方法求得①sinA=BDAB②cosA=ADAB③tanA=BDAD故答案为：A.【分析】根据题意，结合锐角三角函数的定义，表示得到∠A的式子，进行判断即可得到答案。
2020年吉林省长春市中考数学试卷 (解析版)
2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()A．1-B． 1.5--C．3-D． 4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为() A．3⨯D．50.7910⨯7.9107910⨯B．47.910⨯C．53．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A．B．C．D．x+的解集在数轴上表示正确的是()4．（3分）不等式23A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为A∠，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算A∠的三角函数值，进而可求A∠的大小．下列关系式正确的是()A．sinBDAAB=B．cosABAAD=C．tanADABD=D．sinADAAB=6．（3分）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，20BDC∠=︒，则AOC∠的大小为()A．40︒B．140︒C．160︒D．170︒7．（3分）如图，在ABC∆中，90BAC∠=︒，AB AC>．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是()A．BDN CDN∠=∠B．2ADC B∠=∠C．ACD DCB∠=∠D ．290B ACD ∠+∠=︒8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且2AP PC =，函数(0)ky x x=>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是( )A ．02k <B ．233k C ．223k D ．843k 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费 元． 10．（3分）分解因式：24a -= ．11．（3分）若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 ．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为 度．13．（3分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为 （结果保留)π．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)．若抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(3)2(31)a a -+-，其中2a =．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为1A 、2A ，图案为“保卫和平”的卡片记为)B17．（6分）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB 为边画ABC ∆． 要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点C 在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19．（7分）如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE AC⊥，DF AC⊥，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE OF=．（2）若5∠的值．OF=，求tan OBEBE=，220．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．20142019-年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到1%)． （空气质量为“优”的天数的增长率100%)""-""=⨯""今年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21．（8分）已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时)之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为 千米/时，a 的值为 ． （2）求乙车出发后，y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片()ABCD AB AD >，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A '，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA D '是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A DE '为等腰三角形．现将图①中的点A '沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么PQF ∆还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC QP =时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C 与点P 重合，折痕为QG ，点G 在AB 上．要使四边形PGQF 为菱形，则ADAB= ．23．（10分）如图①，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ 交AC 于点E ，连结DP 、DQ ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点P 与点B 重合时，求t 的值． （2）用含t 的代数式表示线段CE 的长．（3）当PDQ ∆为锐角三角形时，求t 的取值范围．（4）如图②，取PD 的中点M ，连结QM ．当直线QM 与ABC ∆的一条直角边平行时，直接写出t 的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数221(y x ax a =--为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x 时，若函数221(y x ax a =--为常数）的图象的最低点到直线2y a =的距离为2，求a 的值．（4）设0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -．当函数221(y x ax a =--为常数）的图象与EFG ∆的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为(P P ''与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A '．若2AA PP '='，直接写出a 的值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()A．1-B． 1.5-C．3-D． 4.2-解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于4-，-，且小于2因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为() A．30.7910⨯D．57.910⨯⨯C．57910⨯B．47.910解：79000这个数用科学记数法表示为：47.910⨯．故选：B．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A．B．C．D．解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形．故选：A．x+的解集在数轴上表示正确的是()4．（3分）不等式23A．B．C．D．解：32x-，1x，故选：D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为A∠，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算A∠的三角函数值，进而可求A∠的大小．下列关系式正确的是()A．sinBDAAB=B．cosABAAD=C．tanADABD=D．sinADAAB=解：在Rt ABD∆中，90ADB∠=︒，则sinBDAAB=，cosADAAB=，tanBDAAD=，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．6．（3分）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，20BDC∠=︒，则AOC∠的大小为()A．40︒B．140︒C．160︒D．170︒解：222040BOC BDC ∠=∠=⨯︒=︒， 18040140AOC ∴∠=︒-︒=︒．故选：B ．7．（3分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC >．按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ； ②作直线MN ，与边AB 相交于点D ，连结CD ． 下列说法不一定正确的是( )A ．BDN CDN ∠=∠B ．2ADC B ∠=∠ C ．ACD DCB∠=∠D ．290B ACD ∠+∠=︒解：由作图可知，MN 垂直平分线段BC ， DB DC ∴=，MN BC ⊥，BDN CDN ∴∠=∠，DBC DCB ∠=∠， 2ADC B DCB B ∴∠=∠+∠=∠， 90A ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒， 290B ACD ∴∠+∠=︒，故选项A ，B ，D 正确， 故选：C ．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且2AP PC =，函数(0)ky x x=>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是( )A ．02k <B ．233k C ．223k D ．843k 解：点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ， 3OB ∴=，2AB =，设(C c ，0)(03)c ，过P 作PD x ⊥轴于点D ， 则3BC c =-，//PD AB ，OC c =， PCD ACB ∴∆∆∽， ∴PD CD CPAB CB CA==，2AP PC =， ∴1233PD CD c ==-， 23PD ∴=，113CD c =-， 213OD OC CD c ∴=+=+，2(13P c ∴+，2)3，把2(13P c +，2)3代入函数(0)ky x x =>中，得2439k c =+， 03c∴223k ， 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费 (3015)m n + 元． 解：根据单价⨯数量=总价得，(3015)m n +元， 故答案为：(3015)m n +．10．（3分）分解因式：24a -= (2)(2)a a +- ． 解：24(2)(2)a a a -=+-．11．（3分）若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 1 ．解：关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根， ∴△0=，2(2)40m ∴--=，1m ∴=，故答案为：1．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为 72 度． 解：正五边形的一个外角360725︒==︒． 故答案为：72．13．（3分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为 2π- （结果保留)π．解：2AB CB ==，90ABC ∠=︒，22222222AC AB BC ∴=+=+=45C BAC ∴∠=∠=︒，245(22)12223602ACBCAD S S S ππ∆⋅⋅∴=-=-⨯⨯=-阴扇形，故答案为2π-．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)．若抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为72．解：点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)， 4AB ∴=，抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且122CD AB ==，∴设点C 的坐标为(,2)c ，则点D 的坐标为(2,2)c +，2212c h c +==+， ∴抛物线232[(1)]2c c k =--++，解得，72k =． 三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(3)2(31)a a -+-，其中2a =． 解：原式26962a a a =-++- 27a =+．当2a =时，原式2(2)79=+=．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为1A 、2A ，图案为“保卫和平”的卡片记为)B解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是19．17．（6分）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC∆．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．解：如图所示：即为符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：36080203x x-=，解得：2x=，经检验，2x=是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19．（7分）如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE AC⊥，DF AC⊥，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE OF=．（2）若5BE=，2OF=，求tan OBE∠的值．【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，OB OD∴=，BE AC⊥，DF AC⊥，90OEB OFD∴∠=∠=︒，在OEB∆和OFD∆中，OEB OFDBOE DOF OB OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，() OEB OFD AAS∴∆≅∆，OE OF∴=；（2）解：由（1）得：OE OF =， 2OF =， 2OE ∴=， BE AC ⊥， 90OEB ∴∠=︒，在Rt OEB ∆中，2tan 5OE OBE BE ∠==． 20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表． 20142019-年长春市空气质量级别天数统计表根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是 2018 年． （2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为 天，平均数为 天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到1%)． （空气质量为“优”的天数的增长率100%)""-""=⨯""今年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年， 故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为5972+=，因此中位数是7天， 这6年的“重度污染”的天数的平均数为1315591586+++++=天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为： 2015年，433013-=天； 2016年，51438-=天； 2017年，655114-=天； 2018年，1236558-=天； 2019年，1261233-=天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为12365100%89%65-⨯≈， 故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．21．（8分）已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时)之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为 40 千米/时，a 的值为 ．（2）求乙车出发后，y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80240÷=（千米/时）； 4062480a =⨯⨯=，故答案为：40；480；（2）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+， 由图可知，函数图象经过(2,80)，(6,480)， ∴2806480k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得100120k b =⎧⎨=-⎩， y ∴与x 之间的函数关系式为100120y x =-；（3）两车相遇前：80100(2)240100x +-=-，解得135x =； 两车相遇后：80100(2)240100x +-=+，解得235x =， 答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时． 22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片()ABCD AB AD >，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A '，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA D '是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A DE '为等腰三角形．现将图①中的点A '沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么PQF ∆还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC QP=时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则ADAB=35．【解答】（1）证明：如图①中，四边形ABCD是矩形，90A ADA∴∠=∠'=︒，由翻折可知，90DA E A∠'=∠=︒，90A ADA DA E∴∠=∠'=∠'=︒，∴四边形AEA D'是矩形，DA DA='，∴四边形AEA D'是正方形．（2）解：结论：PQF∆是等腰三角形．理由：如图②中，四边形ABCD是矩形，//AB CD ∴，QFP APF ∴∠=∠，由翻折可知，APF FPQ ∠=∠，QFP FPQ ∴∠=∠，QF QP ∴=，PFQ ∴∆是等腰三角形．（3）如图③中，四边形PGQF 是菱形，PG GQ FQ PF ∴===，QF QP =，PFQ ∴∆，PGA ∆都是等边三角形，设QF m =，60FQP ∠=︒，90PQD ∠'=︒，30DQD ∴∠'=︒，90D ∠'=︒，1122FD DF FQ m ∴'===，332QD D F '='=， 由翻折可知，32AD QD ='=，PQ CQ FQ m ===， 52AB CD DF FQ CQ m ∴==++=， ∴332552m AD AB m ==． 35． 23．（10分）如图①，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ 交AC 于点E ，连结DP 、DQ ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点P 与点B 重合时，求t 的值．（2）用含t 的代数式表示线段CE 的长．（3）当PDQ ∆为锐角三角形时，求t 的取值范围．（4）如图②，取PD 的中点M ，连结QM ．当直线QM 与ABC ∆的一条直角边平行时，直接写出t 的值．解：（1）当点P 与B 重合时，54t =，解得45t =． （2）在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，4AB =，3BC =，2222435AC AB BC ∴=+=+=，3sin 5A ∴=，4cos 5A =， 如图①中，当点P 在线段AB 上时，在Rt APE ∆中，cos 4AE AP A t ==， 54EC t ∴=-．如图③中，当点P 在线段BC 上时，在Rt PEC ∆中，75PC t =-，3cos 5C =， 321cos (75)355EC PC C t t ∴==-=-．（3）当PDQ ∆是等腰直角三角形时，则PE DE =，如图④中，当点P 在线段AB 上时，在Rt APE ∆中，sin 3PE PA A t ==，54256DE AC AE CD t t t =-----=-，PE DE =，356t t ∴=-，59t ∴=． 如图⑤中，当点P 在线段BC 上时，在Rt PCE ∆中，428sin (75)455PE PC C t t ==-=-， 3212(75)555DE CD CE t t t =-=--=-， ∴28214555t t -=-， 解得5945t =． 观察图象可知满足条件的t 的值为509t <<或497455t <<．（4）如图⑥中，当点P 在线段AB 上，//QM AB 时，过点Q 作QG AB ⊥于G ，延长QN 交BC 于N ，过点D 作DH BC ⊥于H ． ////PB MN DH ，PM DM =，BN NH ∴=，在RtPQG 中，26PQ PE t ==，42455QG PQ t ∴==，在Rt DCH ∆中，3655HC DC t ==， 242463555BC BH CH t t t =+=++=， 解得518t =． 如图⑦中，当点P 在线段BC 上，//QM BC 时，点点D 作DH BC ⊥于H ，过点P 作PK QM ⊥于K ．//QM BC ，DM PM =，2DH PK ∴=，在Rt PQK ∆中，82(75)5PQ PE t ==-， 324(75)525PK PQ t ∴==-， 在Rt DCH ∆中，4855DH DC t ==， 2DH PK =，∴8242(75)525t t =⨯-， 解得65t =， 综上所述，满足条件的t 的值为518或65． 24．（12分）在平面直角坐标系中，函数221(y x ax a =--为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x 时，若函数221(y x ax a =--为常数）的图象的最低点到直线2y a =的距离为2，求a 的值．（4）设0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -．当函数221(y x ax a =--为常数）的图象与EFG ∆的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为(P P ''与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A '．若2AA PP '='，直接写出a 的值．解：（1）当0x =时，2211y x ax =--=-，∴点A 的坐标为：(0,1)-；（2）将点(1,2)代入221y x ax =--，得：2121a =--，解得：1a =-，∴函数的表达式为：221y x x =+-，2221(1)2y x x x =+-=+-，∴抛物线的开口向上，对称轴为1x =-，如图1所示：∴当1x >-时，y 随x 的增大而增大；（3）抛物线22221()1y x ax x a a =--=---的对称轴为：x a =，顶点坐标为：2(,1)a a --， 当0a >时，对称轴在y 轴右侧，如图2所示：0x ，∴最低点就是(0,1)A -，图象的最低点到直线2y a =的距离为2，2(1)2a ∴--=，解得：12a =； 当0a <，对称轴在y 轴左侧，顶点2(,1)a a --就是最低点， 如图3所示：22(1)2a a ∴---=，整理得：2(1)2a +=，解得：11a =--21a =-；综上所述，a 的值为12或1--； （4）0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -， ∴直角边为EF 与FG ，抛物线22221()1y x ax x a a =--=---的对称轴为：x a =，(0,1)A -， 2AA a ∴'=-，当点P 在EF 边上时，如图4所示：则1p x =-，1EA OA ==，∴点P 在对称轴x a =的左侧，2(1)PP a ∴'=+，2AA PP '='，222(1)a a ∴-=⨯+， 解得：23a =-； 当点P 在FG 边上时，如图5所示：则1p y a =-，2211x ax a ∴--=-，解得：1x a =+，2x a =，(PP a a ∴'=+--= 2AA PP '='，224a a a∴-=+，解得：14 3a=-，20a=（不合题意舍去）；综上所述，a的值为23-或43-．。
2022年吉林省长春市中考数学试题及答案
2022年吉林省长春市中考数学试题及答案题目后面的括号内）1、如图，是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是【】A．内含B．相交C．相切D．外离2(－3)的结果是【】A.3B.－3C.±3D．93、如果2是方程某c0的一个根，那么c的值是【】A．4B．－4C．2D．－2224、下列成语所描述的事件是必然发生的是【】A.水中捞月B.拔苗助长C.守株待免D.瓮中捉鳖5、如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16,那么线段OE的长为【】A、10B、8C、6D、46、抛物线y某23的顶点坐标是【】A.（－2，3）B.（2，3）C.（－2，－3）D.（2，－3）7、观察下列银行标志，从图案看是中心对称图形的有（）个2A、1个B、2个C、3个D、4个8、二次函数yk某6某3的图象与某轴有交点，则k的取值范围是【】A．k3B．k3且k0C．k3D．k3且k029、某校九年级（1）班50名学生中有20名团员，他们都积极报名参加学校开展的“文明劝导活动”。
根据要求，该班从团员中随机抽取1名参加，则该班团员京京被抽到的概率是【】A．1112B．C．D．22055023B．1C．2D．3210、在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是【】A．11、如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是【】A、R＝2r；B、R；C、R＝3r；D、R＝4r．12．已知反比例函数yA．B．C．D．k的图象如下右图所示，则二次函数y2k某2某k2的图象大某13、如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是【】A．4 9B．4848C．8D．8999二、填空题（每小题3分，共15分，请把答案填在横线上）14、点（4，-3）关于原点对称的点的坐标是_____________．DC15、⊙O的半径为3cm，点M是⊙O外一点，OM=4cm，则以M为圆心且与⊙O相切的圆的半径是ｃｍ．0)向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线16、将抛物线ya某b某c(a2y2某24某5，则原抛物线的顶点坐标是。
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2005年长春市高级中等学校招生数学考试
一、选择题：(把下列各题中唯一正确答案的序号填在题后的括号内，每小题2分，共16分) 1．计算―7―8的值为( )
A．―15 B．―1 C．15 D．1
2．图中α+β的度数是( )
A．90ºB．135ºC．180ºD．270º
3．如图，半径相等的两个圆相交于A、B两点。
若∠ACB=40º，则∠ADB的度数是( )
A．80ºB．60ºC．40ºD．20º
4．以l、3为根的一元二次方程是( )
A．x2+4x―3=0 B．x2―4x+3=0 C．x2
5．下列表示y是x函数的图像是( )
6．刘刚同学买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用10元。
设刘刚买的两种贺卡分别为x张、y张，则下面的方程组正确的是( )
A．10
2
8
y
x
x y
⎧
+=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
B．
12
8
210
x y
x y
⎧
+=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
C．10
28
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
D．8
210
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
7．半径为8的半圆是一个圆锥的侧面展开图，那么这个圆锥的底面
半径是( ) A．16 B．8 C．4 D．2
8．图中有相同对称铀的两条抛物线，下列关系不正确的是( )
A．h=m B．k=n C．k＞n D．h＞0，k＞0
二、填空题：(每小题3分，共18分)
9．如图，在点A和点B之间表示整数的点有________个。
10．如图，D是等腰三角形ABC的底边BC上任意一点，DE∥AC交AB于E，
DF∥AB交AC于F。
图中与线段AF相等的线段是__________________。
11．某超市销售甲、乙两种饮料，七天的销售量如下表所示：
日期15日16日17日18日19日20日21日
甲种饮料48 57 62 60 59 45 46
乙种饮料49 48 50 47 47 45 46
甲、乙两种饮料销售量比较稳定的是___________。
12．在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B、∠C越来越大。
若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α、β、γ三者之间的等量关系是______。
β
α
O2
O1
D
C
B
A
5
－3
B
A
F
E
D C
B
A
13．图中△ABC 外接圆的圆心坐标是________。
14．图中正比例函数和反比例函数的图像相交于A 、B 两点，分别以A 、B 两点为圆心，画与y 轴相切的两个圆。
若点A 的坐标为(1，2)，则图中两个阴影面积的和是________。
三、解答题：(每小题5分，共20分) 15．化简并求值：(
3
a a -―
3
a a +)÷
63a a
-，其中a =
3
―3。
解：
16．如图，AB 为⊙O 的直径，P 为AB 的延长线上一点，PT 切⊙O 于T ，若PT=6，PB=3，求⊙O 的直径。
解：
17．把两块相同的含30º角的三角尺如图放置，若AD=66，求三角尺各边的长。
(参考数据：sin30º=12
，cos30º=
3
，t a n30º=
3
；sin45º=
2
，cos45º=
2
，t a n45º=1。
)
18．如图，其中含有三个正方形，图中有几对全等的三角形，请一一列举出来。
O T
P B A Q H G O P
F
E D C B
A
19．如图，直线y=―2x+8与两坐标轴分别交于P 、Q 两点，在线段PQ 上有一点A ，过点A 分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为B 、C 。
若矩形ABCD 的面积为5，求点A 坐标。
解：
20．赵红同学调查了班级所有同学的身高，将数据整理成下表(每组中包括最小值，不包括最大值。
)赵红同学绘制了下面未完成的频数分布直方图，请你帮助她补充完整。
组别
身高(cm)
学生数
1 140～145 3
2 145～150 6
3 150～155 9
4 155～160 16
5 160～165 9
6 165～170 5 7
170～175
2
?答_________________。
五、解答题：(每小题7分，共14分)
21．一辆公共汽车上有(5a ―4)名乘客，到某一车站有(9―2a )名乘客下车，车上原来有多少名乘客? 解：
22．图①、②是李晨同学根据所在学校三个年级男女生人数画出的两幅条形图。
(1)两个图中哪个能更好地反映学校每个年级学生的总人数?哪个图能更好地比较每个年级男女生的人数?(4分)
(2)请按该校各年级学生人数在图③中画出扇形统计图。
(3分) 解：
y
x Q O P
C
B A
23．如图，过y 轴上一点A(0，1)作AC 平行于x 轴，交抛物线y=x 2(x ≥0)于点B ，交抛物线y=12
x 2(x ≥0)于点C ；过点C 作CD 平行于y 轴，交抛物线y=x 2于点D ；过点D 作DE
平行于x 轴，交抛物线y=14
x 2于点E 。
(1)求AB ∶BC ；(5分)
(2)判断O 、B 、E 三点是否在同一直线上?如果在， 写出直线解析式；如果不在，请说明理由。
(4分) 解：
24．在等边三角形ABC 中，D 、E 分别在边BC 、AC 上，DC=AE ，AD 、BE 交于点F 。
请你量一量∠BFD 的度数，并证明你的结论。
解：
七、解答题：(第25题10分，第26题12分，共22分)
25．一辆电瓶车在实验过程中，前10秒行驶的路程s(米)与时间t(秒)满足关系式s=a t 2，第10秒末开始匀速行驶，第24秒末开始刹车，第28秒末停在离终点20米处。
下图是电瓶车行驶过程中每2秒记录一次的图像。
(1)求电瓶车从出发到刹车时的路程s(米)与时间t(秒)的函数关系式。
(6分) (2)如果第24秒末不刹车继续匀速行驶，那么出发多少秒后通过终点?(2分) (3)如果10秒后仍按s=a t 2的运动方式行驶，那么出发多少秒后通过终点?(2分) (参考数据：5=2.24，6=2.45，计算结果保留两个有效数字。
) 解：
F E D C B A
26．如图①，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线的函数关系式为y=3
x，AD=8。
矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动，同时点
4
P从点A出发做匀速运动，沿矩形ABCD的边经过点B到达点C，用了14秒。
(1)求矩形ABCD的周长。
(2分)
(2)如图②，图形运动到第5秒时，求点P的坐标。
(3分)
(3)设矩形运动的时间为t，当0≤t≤6时，点P所经过的路线是一条线段，请求出线段所在直线的函数关系式。
(3分)
(4)当点P在线段AB或BC上运动时，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似(或位似)?若能，求出t的值；若不能，说明理由。
(4分)
解：
2005年长春市高级中等学校招生数学考试答案。