网络图论及网络方程.共32页文档
电路-第9章 网络图论基础
网络图论图论是数学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。
(1)图图(a)电路，如果用抽象线段表示支路则得到图(b)所示的拓扑图，它描述了电路的点和线的连接关系，称为电路的图。
定义：图G 是描述电路结点支路连接关系的拓扑图，它是支路和结点的集合。
1）支路总是连接于两个结点上。
2）允许孤立结点存在，不允许孤立的支路存在。
移走支路，该支路连接的两个结点要保留在电路中，而移走结点，则要将连接于该结点的所有支路移走。
电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。
9.1 网络图论的基本概念(3)有向图：标示了参考方向的图(2)子图：图G1中的所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G 的一个子图。
子图示例9.1 网络图论的基本概念(4)连通图图中任何两结点之间存在由支路构成的路径，则称为连通图。
连通图和非连通图示例9.1 网络图论的基本概念(5)回路从某个结点出发，经过一些支路(一条支路仅经过一次)和一些结点(每个结点仅经过一次)又回到出发点所经闭合路径。
树和非树示例(6)树G1是G 的一个子图，且满足以下三个条件：A 、是连通的；B 、包含G 中所有结点；C 、不包含回路。
G1称为G 的一棵树。
9.1 网络图论的基本概念(7)树支、树支数构成树的支路称为树支。
树支数为：割集示例(8)连支、连支数不属于树的支路称为连支。
连支数为：(9)割集、割集方向移走某些支路，图分成了两个分离的部分，则这些支路的集合称为割集。
割集的方向：从一部分指向另一部分的方向。
9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL和KVL方程的矩阵形式(1)增广矩阵描述图中结点和支路关联情况的矩阵。
矩阵元素：增广矩阵为n×b 阶矩阵。
图9.2.1图的增广矩阵：9.2.1 关联矩阵A9.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵、及KCL 和KVL方程的矩阵形式(2)关联矩阵A增广矩阵每一列对应一条支路，非零元素两个，一个是1一个是-1，表示1号支路从1号结点流向2号结点；每一行代表一个结点，如第1行表示支路1、4、6连在1号结点，且支路1从1号结点流出，支路4流入1号结点，支路6流出1号结点。
图论与网络流理论ppt课件
2）E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素偶对 (vi,vj )
组成的集合，即称为边集,其中元素称为边.
图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用v来表示；图的边的数
目|E(G)|用 来表示.
用G (V (G )E ,(G )表)示图，简记 G(V,E).
算法。最短路问题有很多算法，其中最基本的一个是
Dijkstra算法
23
可编辑课件
3、Dijkstra算法
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可编辑课件
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可编辑课件
定理 1.2.1 Dijkstra 算法结束时，对任一个顶点v， 其标号l(v)恰是v0 到v 的最短路的长。
定理1.2.2 Dijkstra 算法的计算复杂度为O(υ 2 )。
9 图的同构
我们已经知道，同一个图可以有不同形状的图示。反 过来，两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
易见G1 和G2 的顶点及边之间都一一对应，且连接关
系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这样的 两个图称为是同构的(isomorphic)。
19
可编辑课件
定义1.1.1 对两个图G = (V(G),E(G))与H = (V (H),E(H))，
事实上，假如G 不连通，则至少有一个连通分支的 顶点数不超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是n −1。这与δ (G) ≥ n矛盾。证毕。 例1.1.7 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。
证明：用反证法。设u、v为仅有的两个奇度顶点。 18 假如u与v不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将
图论与网络流理论
1.2 最短路问题
1、赋权图 对图G的每条边e，赋以一个实数w(e)，称为边e的权。
每个边都赋有权的图称为赋权图。 权在不同的问题中会有不同的含义。例如交通网络
中，权可能表示运费、里程或道路的造价等。
解：Herschel 图的一个顶点二划分如下： 可见 Herschel 图是一个二部 图。
Peterson 图中含有奇圈，因此不是二部图。
8 连通性
图中两点的连通：如果在图G 中u，v 两点间有路相通，则 称顶点u，v 在图G 中连通。
连通图（connected graph）：若图G 中任二顶点都连通， 则称图G 是连通图。
1. 算法思想：先从图G 中找出权最小的一条边作为最小生成树的边， 然后逐次从剩余边中选边添入最小生成树中，每次选边找出不与已选 边构成圈的权最小的一条边。直至选出υ (G) −1条边为止。
(二)Prim算法（Robert Clay Prim，1957）
（三） Prim 算法的矩阵实现―求最小树的 权矩阵法
事实上，假如G 不连通，则至少有一个连通分支的顶点数不 超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是n −1。这与δ (G) ≥ n矛盾。 证毕。
例1.1.7 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。
证明：用反证法。设u、v为仅有的两个奇度顶点。假如u与v
不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将每个分支看成一个图 时，其中只有一个奇度顶点。这与推论1.1.1 矛盾。证毕。
为边集的图称为G的补图，记为 G
定理1.1.1 对任何图G，其各顶点度数之和等于边数的2倍，
即 d(v) 2 vV (G)
图论基础知识汇总
图论基础知识汇总(总32页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除图与网络模型及方法§1 概论图论起源于18世纪。
第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。
1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。
哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。
图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。
如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。
图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。
哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。
网络图论集网络方程
0 1 0 0 0
[Yb
]
0 0
0 0
3 0
0 2
0 0
0 0 0 0 1
0
0
0
0
[Us ] 0 [Is ] 0
1
0
0
1
Yn AYbAT
3 1 0
1 5 1
0 1 2
•
In
•
A Is AYb
•
Us
2 0
1
•
•
Yn Un In
1
4
2 35
12
七、含互感电路分析
Ib Bf T Il
•
•
•
[Bf ZbBf T ]Il [Bf Us Bf Zb Is ]
•
•
Zl Il Usl
1 1 0 1 0 0
[Bf
]
0
1 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1
其中： Zl Bf ZbBf T
（回路阻抗矩阵）
•
•
•
Usl Bf Us Bf Zb Is
（回路电压源列向量）
(nxb) (bx1)
•
•
••
五、 节点电压方程 (Ib Yb Ub Yb Us Is )
•
•
Y n
Un
In
(nxn) (nx1) (nx1)
u1 = un2 – un1
-i1u+2 =i4u–ni26 = 0 iu1 +3 =i2+uni23 –=un03
其中：1
[
A]
1
0
I•Y100n n10A1 I•As100YbA100AYbT10U•1s
1
网络图论和网络方程
T2连:{2支,3,集5}1
L2:{1,4,6}
a a
b
4 5
3 c
T3树:{3余,4,5}
d b
L3:{1,2,6}
4 5
cT4树:{1余,5,4}
d L4:{2,3,6}
五、回路和 基本回路
回路： 从图中的某一个顶点出发，沿着边和顶点 不重复地巡行一周回到原出发的顶点所得到的闭合路径称 为回路。回路数用M表示。
1
a 3 b4 c
2
56
如 a3 b
i3 + u3 -
d
有向图G
(1) 图中各边的方向与所对应电路中各元件上的电
流方向一致；
(2)取各支路的电压与电流方向为关联方向。
3. 子图和补图 实例
1
1
a 3 b4 c =a 3 b
2 56
2
c +b 4
c
G1和G2 的总和包括
5 6 了G 的全部
支路和节点。
(2) 连支：对一个图G 除去所选树的树支以外的每个
支路称为连支，用L支表示。
(3)树余(连支集)：与树互补的子图称为树余，又称
连支集，用L表示。
如
1
3 b4
a
a
c
2 56
2
b c
56
a 3b c
56
d
d
d
T1:{2,5,6}
T2:{3,5,6}
G
树支：T支为2,5和6 连支：L支为1,3和4
LT支支为为13,,25和和46
B1 {2,4,6} B2 {3,5,6}
B3 {1,4,5} B4 {2,3,4,5}
电路第十章 网络图论及网络方程
8
1 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0
习题0 ：110-07 0求0Bf、1 C-1f -1 0 -1
1
[C
f
]
0 0 1 0 010 0树支0：10、21、30、05、19
-1 1
0 -1
0 0
1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -1
2、基本割集关联矩阵Cf
7
四、A、Bf、Cf关系
1 0 0 1 1 0
选一棵对树于，一支个路有编向号图，[A] 0 1 1 1 0 0
先树支后连支。则有： 0 0 1 0 1 1
A At Al
B Bt Bl Bt 1
1 1 0 1 0 0 [Bf ] 1 1 1 0 1 0
1 4
2 3
5
21
10-5 基本割集法
一、标准支路伏安关系
Ik Yk Uk Yk Usk Isk
二、矩阵形式支路伏安关系:
Ib Yb Ub Yb Us Is
其中： Yb : 支路导纳矩阵
三、支路电流关系:
Cf Ib 0
i1 - i4 + i6 = 0 i2 + i4 + i5 = 0
3
2、回路（Loop)
回路是连通图G的一个子图， 满足：
1）连通图
2）每个节点仅关联两条支路
3）移去任一支路，则无闭合 路径
基本回路：单连支回路，连支方向为回路方向。
3、割集（Cut) 割集是连通图G的一些支路的集合，满足： 1）移去该支路集合，则图恰好分成两部分；
电网络理论-第二章
2-25
QB i 0
T l
Q B
T f f
T
0 or
T t
B Q
0
T
0
T t
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有：
Q B
B 1 Ql 1
Ql B
§2-3 图的基本矩阵形式
A与Qf 之间的关系 对同一有向图，任选一树，按先树枝后连 枝顺序写出矩阵：
2-26
A At Al B f Bt 1 Q 1 Q l f
§2-3 图的基本矩阵形式
结 支 ② 1 -1 0 1 0 2 3 -1 1 0 -1 0 0 1 0 4 0 -1 1 0 5 0 0 1 -1
2-10
1 Aa= 2 3 4
6 ３ ４ 0 ６ ③ 1 ① ５ 0 ２ -1 ④ 1
降阶关联矩阵A
支路b
A=
结 点 n-1
(n-1) b
§2-3 图的基本矩阵形式
矩阵形式的KVL：[ Qf ]T[ut ]=[u]
§2-3 图的基本矩阵形式 注意 连支电压可以用树支电压表示。 ut 1 T [u ] Qf ut T ut ul Ql ul QlT ut 小结
A KCL KVL B [B ] T [ il ] =[i] Q [Qf][i]=0
un1 un un2 un3
矩阵阵形式KVL
[u ] [ A] [un ]
T
§2-3 图的基本矩阵形式 2. 回路矩阵B
2-13
[B]=
独 立 回 路
支路b
注意
第15章 网络图论基础
ut 1 T Q[ u] = = [Q ] ut = T ut ul Ql
∴ ul = QlT ut 连支电压用树支电压表示
小结： 小结： A KCL Ai=0 B BTil=i
T t l
Q Qi=0
B i = it
KVL ATu =u n Bu=0 ul= - Btut
it = −Ql il
QTut=u
ul = QlT ut
Ql = −BtT
§ 3. 节点法
一.节点方程的矩阵式 节点方程的矩阵式 电路分析依据： 电路分析依据： KCL KVL
•
设标准支路为： 设标准支路为：
.
IK Zk
•
•
I ek
ISk Uk
U SK
.
[A][ i ]=0 [u]=[A]T[un]
6 1 5 4 3 2
{2,4,5,6} 1 2 3
{2,3,6} 1 5 4 •
{1,3,5,6}是否割集？ 是否割集？ 是否割集 1 2 3 4 5 6 7 2 4 7
1 6
2
5 3
{1,2,3,4} 是否割集？ 是否割集？ 6 7 8
5
4 7 8
找割集方法： 找割集方法：作封闭曲面 6 1 5 4 3 2 {1,3,5,6}为割集 为割集 {2,3,6}为割集 为割集 {2,4,5,6}为割集 为割集 连支集合不能构成割集 基本割集 (单树支割集 单树支割集) 单树支割集 基本割集数=(n-1) 基本割集数
qij=
-1 0
４ ３ ２ 1
５
C1:{1,2,4} C2:{1,2,3,5} C3:{2,3,6} 支 割集 4 C1 1 Q= C2 0 C3 0
1网络图论
A
C
• D
B
欧拉得出了一般结论， 欧拉得出了一般结论，即存在单行曲线的必 充分条件是奇次顶点 奇次顶点（ 要、充分条件是奇次顶点（联接于顶点的线段数 为奇数）的数目为0或 。 为奇数）的数目为 或2。显然右图不满足此条件 因此，七桥问题的答案是否定的。 ，因此，七桥问题的答案是否定的。 在七桥问题中，欧拉用点表示陆地， 在七桥问题中，欧拉用点表示陆地，用线段 表示桥。图论中， 表示桥。图论中，把一些事物及其之间的联系用 点和连接于点与点之间的线段来表示，因此， 点和连接于点与点之间的线段来表示，因此，图 就是一些点与线段的集合。 就是一些点与线段的集合。
m＝l＝b-(nt-1) =b-n。 ＝＝ 。
b＝nt ＝ 3。 ＝ 。 m＝l＝b-(nt-1) =1。 ＝＝ 。
增加虚线部分： 增加虚线部分： b＝8 ， nt ＝ 7 。 ＝ m＝l＝b-(nt-1) =2。 ＝＝ 。
§1-3 割 集
割集(cut set) ： 割集
任一连通图G中 符合下列两个条件的支路集 任一连通图 中，符合下列两个条件的支路集 叫做图G的割集 的割集。 叫做图 的割集。 (1) 该支路集中的所有支路被移去 但所有节 该支路集中的所有支路被移去(但所有节 点予以保留)后 原连通图留下的图形将是两个 两个彼 点予以保留 后，原连通图留下的图形将是两个彼 此分离而又各自连通的子图（含孤立节点） 此分离而又各自连通的子图（含孤立节点）； (2) 该支路集中，当保留任一支路，而将其余 该支路集中，当保留任一支路， 的所有支路移去后，原连通图留下的图形仍然是连 的所有支路移去后，原连通图留下的图形仍然是连 通的。 通的。
基本概念 树支(tree branch)：树中的支路叫做树支。 树支 ：树中的支路叫做树支。