图论与网络基本知识
数据科学与工程数学基础
数据科学与工程数学基础标题：数据科学与工程数学基础：揭秘数据世界的奥秘导读：在当今数据驱动的社会中，数据科学和工程数学成为了重要的领域。
本文将从生动有趣的角度，全面解析数据科学与工程数学的基础知识，并为读者提供指导意义，带您一窥数据世界的奥秘。
让我们一起开始这段精彩的探索之旅吧！一、数据科学的畅想与实践数据科学作为一门综合性学科，旨在通过数学、统计学、计算机科学等方法，从数据中发现有价值的信息。
它汇聚了数据分析、机器学习和人工智能等技术，实现了对大规模数据的提取、处理和分析，为决策制定和问题解决提供了强有力的支持。
二、数据科学中的数学基础1.线性代数：线性代数是数据科学的基石，用于处理线性关系，例如矩阵运算、向量空间和线性变换等。
它为机器学习中的特征向量分析、矩阵分解和聚类等重要任务提供了支撑。
2.概率论与数理统计：概率论和数理统计是数据科学中的核心理论，用于描述和分析数据的随机性。
它们为数据的建模和预测提供了理论基础，如贝叶斯推断、假设检验和统计分布等。
3.最优化方法：最优化方法是数据科学中常用的数学工具，用于解决优化问题，如寻找最大值或最小值。
它为机器学习中的模型参数优化、特征选择和模型调优等提供了数学支持。
三、工程数学的威力与应用工程数学作为一门应用数学学科，与数据科学紧密相连，为实际问题的建模、求解和优化提供了数学方法和算法。
1.微积分：微积分是工程数学的基础，用于描述和分析变化。
它在数据科学中应用广泛，例如数据的平滑和拟合、函数的极值计算以及时间序列的分析等。
2.数值计算：数值计算是工程数学中的重要分支，涉及到数值近似、数值求解和数值优化等技术。
在数据科学中，数值计算技术用于处理大规模数据和复杂模型的计算问题。
3.图论与网络分析：图论是工程数学中的重要分支，用于研究图和网络的结构、属性和算法。
在数据科学中，图论和网络分析被广泛应用于社交网络分析、网络流量优化和推荐系统等领域。
四、数据科学与工程数学的指导意义数据科学和工程数学的基础知识不仅仅是理论工具，更是指导实践的重要依据。
数学中的图论与网络知识点
数学中的图论与网络知识点图论是数学中一个重要的分支领域，研究图的结构、性质以及与实际问题的应用。
而网络则是现代社会中的重要组成部分，图论在网络上的应用也日益广泛。
本文将介绍数学中的图论基本概念和网络知识点，以及它们在现实中的应用。
一、图论基本概念1. 图的定义与表示图是由节点（顶点）和边组成的一种数学结构。
节点表示对象，边表示节点之间的连接关系。
图可以用邻接矩阵或邻接表等方式进行表示与存储。
2. 图的分类图可以分为有向图和无向图。
有向图中的边有方向，无向图中的边没有方向。
根据边是否具有权重，图又可以分为带权图和无权图。
3. 图的性质图具有很多重要的性质，例如连通性、度、路径等。
连通性表示图中任意两个节点之间存在一条路径，度表示节点的相邻节点个数，路径是连接节点的边的序列。
二、图论中的常见算法1. 最短路径算法最短路径算法用于求解两个节点之间的最短路径，其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法适用于边权重为非负的图，而Floyd-Warshall算法适用于任意带权图。
2. 深度优先搜索与广度优先搜索深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是图的遍历算法。
DFS以深度优先的方式探索图中的节点，BFS以广度优先的方式探索。
这两种算法在解决连通性、拓扑排序等问题中有广泛应用。
3. 最小生成树算法最小生成树算法用于在带权图中找到权重和最小的生成树。
其中Prim算法和Kruskal算法是两种常用的最小生成树算法。
三、网络中的图论应用1. 社交网络与关系分析社交网络是图的一种应用，其中节点表示人，边表示人与人之间的社交关系。
基于图论的算法可以分析社交网络中的社区结构、关键人物等信息。
2. 网络流与最大流问题网络流是指在图中模拟流动的过程，最大流问题是求解从源节点到汇节点的最大流量。
网络流算法可以用于优化问题的求解，如分配问题、进程调度等。
3. 路由算法与网络优化路由算法是网络中常用的算法之一，用于确定数据从源节点到目的节点的传输路径。
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
图论基础知识点
基本知识点：一、图的基本定义：平凡图：只有一个顶点无边的图。
非平凡图：其他所有图。
空图：边集合为空的图。
简单图：既没有环也没有重边的图。
复合图：其他所有的图。
同构图：顶点集合之间存在双射（一一对应关系），对应边重数和端点对应相等。
标定图：给图的点和边标上符号。
非标定图：不标号。
非标定图代表一类相互同构的图。
完全图：每两个不同顶点之间都有一条边相连的简单图。
N 个顶点的完全图只有一个，记为n K 。
偶图（二部图）：具有二分类(,)X Y 的图，他的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。
完全偶图 ：指具有二分类(,)X Y 的简单偶图，其中X 的每个顶点与Y 的每个顶点相连。
若,X m Y n ==，则这样额完全偶图记为：,m n K 。
k —正则图：设(,)G V E =为简单图，如果对所有的结点v V ∈，有()d v k =，称G 为k —正则图。
完全图和完全偶图,n n K 均是正则图。
图划分：若一个n 阶简单图G 各点的度为i d ，则分正整数k 为n 个部分的划分i d ∑称为是图划分。
子图：边集合和点集合均是原图的子集，且待判定图中的边的重数不超过原图中对应的边的重数。
生成子图：点集合相等，边集合为原图子集的图。
导出子图：由顶点集为原图G 真子集的所有点，及两端点均在该集合中的边的全体组成的子图V ‘。
'[]G V 和G v -。
边导出子图：由原图G 边的真子集，该图中边的断点全体为顶点组成的子图E ‘。
'[]G E 和{}G e -。
图的运算：并，交，差，对称差，联图，积图，合成图，极图路与图的联通性：途径：迹：边互不相同的途径。
路：边和点都互不相同的途径。
连通的：两个顶点之间存在路。
连通图：每一对顶点之间都有一条路。
连通分支：将V 划分为一些等价类12,,...k V V V 。
两个顶点u 和v 是连通的当且仅当他们属于同一个子集i V ，称子图()i G V 为连通分支。
图论基础知识
图论基本知识对于网络的研究，最早是从数学家开始的，其基本的理论就是图论，它也是目前组合数学领域最活跃的分支。
我们在复杂网络的研究中将要遇到的各种类型的网络，无向的、有向的、加权的……这些都可以用图论的语言和符号精确简洁地描述。
图论不仅为物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。
图论，尤其是随机图论已经与统计物理并驾齐驱地成为研究复杂网络的两大解析方法之一。
考虑到物理学家对于图论这一领域比较陌生，我在此专辟一章介绍图论的基本知识，同时将在后面的章节中不加说明地使用本章定义过的符号。
进一步研究所需要的更深入的图论知识，请参考相关文献[1-5]。
本章只给出非平凡的定理的证明，过于简单直观的定理的证明将留给读者。
个别定理涉及到非常深入的数学知识和繁复的证明，我们将列出相关参考文献并略去证明过程。
对于图论知识比较熟悉的读者可以直接跳过此章，不影响整体阅读。
图的基本概念图G 是指两个集合(V ，E)，其中集合E 是集合V×V 的一个子集。
集合V 称为图的顶点集，往往被用来代表实际系统中的个体，集合E 被称为图的边集，多用于表示实际系统中个体之间的关系或相互作用。
若{,}x y E ，就称图G 中有一条从x 到y 的弧（有向边），记为x→y ，其中顶点x 叫做弧的起点，顶点y 叫做弧的终点。
根据定义，从任意顶点x 到y 至多只有一条弧，这是因为如果两个顶点有多种需要区分的关系或相互作用，我们总是乐意在多个图中分别表示，从而不至于因为这种复杂的关系而给解析分析带来困难。
如果再假设图G 中不含自己到自己的弧，我们就称图G 为简单图，或者更精确地叫做有向简单图。
以后如果没有特殊的说明，所有出现的图都是简单图。
记G 中顶点数为()||G V ν=，边数为()||G E ε=，分别叫做图G 的阶和规模，显然有()()(()1)G G G ενν≤-。
图2.1a 给出了一个计算机分级网络的示意图，及其表示为顶点集和边集的形式。
图论基础知识的名词解释
图论基础知识的名词解释图论是数学的一个分支，研究图的属性和关系。
图是由节点和节点之间的边组成的抽象模型，被广泛应用于计算机科学、网络分析、医学和社会科学等领域。
下面，我们将解释一些图论中常用的基础概念和术语。
1. 图 (Graph)图是图论研究的基本对象，由一组节点和连接这些节点的边组成。
节点也被称为顶点 (Vertex)，边则是节点之间的连接线。
图可以分为有向图 (Directed Graph) 和无向图 (Undirected Graph) 两种类型。
在有向图中，边有方向，从一个节点指向另一个节点；而在无向图中，边没有方向，节点之间的关系是双向的。
2. 顶点度数 (Degree of a Vertex)顶点度数指的是一个顶点与其他顶点相邻的边的数量。
在无向图中，顶点度数即与该顶点相连的边的数量；在有向图中，则分为入度 (In-degree) 和出度 (Out-degree)。
入度表示指向该节点的边的数量，而出度表示从该节点出发的边的数量。
3. 路径 (Path)路径指的是通过边连接的一系列节点，形成的顺序序列。
路径的长度是指路径上边的数量。
最短路径 (Shortest Path) 是指连接两个节点的最短长度的路径。
最短路径算法被广泛应用于计算机网络中的路由选择和地图导航系统中的路径规划。
4. 连通图 (Connected Graph)连通图是指图中的任意两个节点之间都存在路径的图。
如果一个图不是连通图，那么它可以被分割为多个连通分量 (Connected Component)。
连通图在社交网络分析和传感器网络等领域中具有重要的应用。
5. 完全图 (Complete Graph)完全图是指任意两个节点之间都存在边的图。
在完全图中，每对节点之间都有一条边相连。
n个节点的完全图有n(n-1)/2条边。
完全图经常用于描述需要互相交流的问题，如计算机网络中的通信。
6. 树 (Tree)树是一种无环连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径相连。
图论概念定理知识点梳理
图论基本知识点梳理第一部分(基本概念)1.G连通的充分必要条件是(G) = 1 o或若|V(G) |=2k，且对—v V(G)，有d(v) _ k，则G是连通图。
4•图G为二分图当且仅当G中无奇圈。
5•在仅两个奇次顶点的图中，此二奇次顶点连通。
6•设G为简单图，若、；(G) _ 2，则G中有圈。
7.设G为简单图，若「.(G) 一3，则G中有偶圈。
具体地，(1)单星妖怪中有偶圈。
⑵在k -正则图G中，若k _3，则G中有偶圈。
8•简单图G与其补图G c不能都不连通。
29•在."■：的三角剖分中，正常三角形为奇数个。
10•以下等价(1) G是树(无圈连通图)° (2) G中任两顶点间恰有一条轨。
⑶G 无圈，=■…1。
(4) G是连通图，；-、•-1 ° (5) G是连通图，且对G的任意边e, G -e不连通。
(树每边皆割边)(6) G无圈，且对任一不在E(G)的边e, G e恰含一个圈。
11. 若G连通，则；(G) (G)-1。
G的生成树是G最小的连通生成子图。
12. G是连通图的充分必要条件是G有生成树。
13. > - 2的树T至少有两个叶。
14. 完全图K n的生成树个数・(K n)二n n°。
15. 图G可平面嵌入的充分必要条件是G可以球面嵌入。
(染地球上各国等价于染地图上各国)16. (Euler公式) G是连通平面图，贝X - ；「- 2.17. 证明：若G是、-3的连通平面图，则；乞3 -6。
18. 证明：平面图G的最小顶点次数5。
19 -3平面图G是极大平面图的充要条件是G的平面嵌入的每个面皆三角形。
' -3平面图G是极大平面图的充要条件是；=3二-6。
20 G是平面图当且仅当G中不含与K5和K3,3同胚的子图。
21 M是图G的最大匹配当且仅当G中无M的可增广轨。
22婚配定理：设G是具有二分类(X,Y)的偶图，存在把X中顶点皆许配的匹配的充要条件是-s X,|N(S)|」S|,其中N(S)是S中每个顶点的邻点组成的所谓S的邻集推论：k -正则二分图有完美匹配，k .0。
图论常考知识点总结
图论常考知识点总结1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合构成的。
顶点之间的连接称为边，边可以有方向也可以没有方向。
若图的边没有方向，则称图为无向图；若图的边有方向，则称图为有向图。
图的表示方式：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合存储稠密图，邻接表适合存储稀疏图。
2. 图的连通性连通图：如果图中任意两点之间都存在路径，则称该图是连通图。
强连通图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相同的路径，称为强连通图。
弱连通图：有向图中，去掉每条边的方向之后，所得到的无向图是连通图，称为弱连通图。
3. 图的遍历深度优先搜索（DFS）：从起始顶点出发，沿着一条路往前走，走到不能走为止，然后退回到上一个分支点，再走下一条路，直到走遍图中所有的顶点。
广度优先搜索（BFS）：从起始顶点出发，先访问它的所有邻居顶点，再按这些邻居顶点的顺序依次访问它们的邻居顶点，依次类推。
4. 最短路径狄克斯特拉算法：用于计算图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
弗洛伊德算法：用于计算图中所有顶点之间的最短路径。
5. 最小生成树普里姆算法：用于计算无向图的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法：用于计算无向图的最小生成树。
6. 拓扑排序拓扑排序用于有向无环图中对顶点进行排序，使得对每一条有向边(u,v)，满足排序后的顶点u在顶点v之前。
以上就是图论中一些常考的知识点，希望对大家的学习有所帮助。
当然，图论还有很多其他的知识点，比如欧拉图、哈密顿图、网络流等，这些内容都值得我们深入学习和探讨。
图论在实际应用中有着广泛的应用，掌握好图论知识对于提升计算机科学和工程学的技能水平有着重要的意义。
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Ramsey 问题
❖ 任何六个人中，或有三个人互相认识，或有三个人互 不认识，二者必居其一。
❖ 更一般性的问题：若一群人中或有m个人互相认识，或 有n个人互不认识，则这群人最少得有多少人？记为 Ramsey(m,n)
[例] Ramsey(3,3)=6
图论与网络基本知识
图与网络的基本定义
路与圈
定 义 ： 给 定 图 G=<V,E> , G 中 顶 点 与 边 的 交 替 序 列
=v0e1v1e2…elvl.若i(1il), ei=(vi1,vi), 则称为v0到
vl的通路, v0和vl分别为通路的起点和终点, l为路的长 度.
又若v0=vl, 则称为回路.
若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异, 则称 为初级通路或路(初级回路或圈). 长度为奇数的圈称作 奇圈,长度为偶数的圈称作偶圈。
G的最大度(G)=max{d(v)| vV} G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
(G)=4, (G)=1,
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环
图论与网络基本知识
e1 v1 e2 v2
e3 v5 e7
e4
e5 e6 v3
v4
有向图顶点的度数
定理 有向图所有顶点的入度之和等于出度之和等于边数 证 每条边恰好提供1个入度和1个出度。
图论与网络基本知识
图的连通性
❖ 路与圈 ❖ 无向图的连通性与连通分支 ❖ 无向图中的最短路与距离 ❖ 点割集与边割集 ❖ 点连通度与边连通度 ❖ 有向图的连通性及其分类 ❖ 有向图中的最短路与距离
图论与网络基本知识
图论与网络基本 内容
图论与网络基本知识
授课提纲
❖ 几个有意思的例子 ❖ 图与网络的基本定义 ❖ 图的连通性 ❖ 图的矩阵表示 ❖ 几种特殊的图
图论与网络基本知识
几个有意思的例子
❖ 哥德堡七桥问题 ❖ 四色猜想 ❖ Hamilton周游世界游戏 ❖ Ramsey 问题
图论与网络基本知识
哥德堡七桥问题
[问题] 能否从某一块陆地出发，走遍每一座桥，且 每一座桥只能走一次，最后回到出发点。
图论与网络基本知识
四色猜想
[问题]在任何平面或球面上的地图，只用四种颜色涂 色，就可使得相邻区域涂上不同颜色。
图论与网络基本知识
Hamilton 环游世界问题
[问题] 能否从某一顶点出发，走遍每一个顶点一次且 仅仅一次，最后回到出发点。
G是连通图 p(G)=1
图论与网络基本知识
无向图中的最短路与距离
u与v间的最短路:u与v之间长度最短的通路(设u与v连通)
u与v间的距离d(u,v):u与v之间短程线的长度
若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.
性质：
(1) d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v
设D=<V,E>为有向图, vV,
v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和
v的入度d(v): v作为边的终点次数之和
v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和
d(v)= d+(v)+ d-(v)
+(D), +(D), (D), (D), (D), (D)
悬挂顶点, 悬挂边
e1
例如 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3,
+=4, +=0, =3, =1, =5, =3
图论与网络基本知识
a
e4
e2
d
e6e3
b
e7
e5
c
握手定理
定理 任何图(无向图和有向图)的所有顶点度数之和都 等于边数的2倍。 证 图中每条边(包括环)均有两个端点, 所以在计算各顶点 度数之和时, 每条边均提供2度, m条边共提供2m度。
推论 任何图(无向图和有向图)都有偶数个奇度顶点。
e1
a
e4
e2
d
e6e3
b
e7
e5
c
图论与网络基本知识
图中的元素及关系
端点： ek=(vi, vj)E, 称vi, vj为ek的端点； 关联： ek与vi ( vj)关联； 相邻：具有公共端点的两条边；或者与同一条边关联的两个点称为
相邻；
平行边：具有相同端点的两条边
环：两个端点为同一个点的边
简单图：无平行边无环的图 e1
❖ 无向图 ❖ 有向图 ❖ 图中的元素及关系 ❖ 网络 ❖ 顶点的度数
图论与网络基本知识
无向图
定义：无向图G=<V,E>, 其中V称为顶点集, 其元素称 为顶点或结点; E是VV的多重子集, 称为边集, 其元素 称为无向边，简称边. 有时用V(G)和E(G)分别表示V和 E。
例如, G=<V,E>如图所示, 其中V={v1, v2, …,v5} E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3),
a
e4
e2
d e7
e6e3 e5
b 图论与网络基本知识
e1 v1 e2 v2
e3 v5 e7
e4
e5 e6 v3
v4
带权图（网络）
图G的每一条边e附加一个实数w(e), 称作边e的权. 图G连 同附加在边上的权称作带权图（网络）, 记作G=<V,E,W>.
图论与网络基本知识
无向图顶点的度数
设G=<V,E>为无向图, vV, v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和 悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边
图论与网络基本知识
表示方法
① 按定义用顶点和边的交替序列,
=v0e1v1e2…elvl ② 用边序列, =e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点序列, =v0v1…vl
图论与网络基本知识
实例
初级通路
非初级的简单通路
初级回路
非初级的 简单回路
图论与网络基本知识
无向图连通与连通分支
设无向图G=<V,E>, u,vV u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总是连通的. 连通图: 任意两点都连通的图. 平凡图是连通图 连通关系 :R={<u,v>| u,v V且u与v连通}. 连通分支: 连通的子图. 连通分支数:p(G)=k
(v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
e1 v1 e2 v2
e3 v5 e7
e4
e5 e6 v3
v4
图论与网络基本知识
有向图
定义：有向图D=<V,E>, 其中V称为顶点集, 其元素称
为顶点或结点; E是V V的多重子集, 称为边集, 分别表示V 和E。