一元微积分在经济上的运用
微积分在经济中的应用资料
如果需要160000件这样的用具，则价格的上涨会导 致减少收入.
当Q 250000时，p 10 R(10) 10000 0
故而，若需要250000件电烤具，价格的上涨会导致 增加收入.
题型三：一元函数最值问题
例3.某商品进价为a(元 / 件)，根据以往经验，当销售价
为b(元 / 件)时，销售量为c件(a, b, c均为正常数,且b 4 a), 3
主要内容
用一元函数微积分求解经济问题 （最值、弹性）。 用多元函数极值及条件极值求 经济中的最值问题。
一、导数的经济意义
1、边际
（1）边际成本 成本函数C( x)的导数C( x)称为边际成本。 边际成本的经济意义是：C( x)近似等于产量为x时 再生产一个单位成本所需增加的成本。
（2）边际收益 收益函数R( x)的导数R( x)称为边际收益。 边际收益的经济意义是：R( x)近似等于产量为x时 再生产一个单位成本所需增加的(或减少）的收益。
市场调查表明，销售价每下降10%，销售量可增加40%，
现决定一次性降价。试问，当销售价定为多少时，可
获得最大利润？并求出最大利润。
解 设销售价为P, Q(P)表示销售量。
据题意有：b P Q c Q 4c ( 5 b P)
0.1b 0.4c
b4
从而，利润函数
L(P) R(P) C(P) (P a)Q 4c (P a)( 5 b P)
的减函数R(t )
3A
e
t 96
(元),
其中A是机器的最初价格，
4
在任何时间t，机器开动就能产生P
A
e
t
48的利润，
4
问机器使用了多长时间后转售出去能使总利润最大？
应用微积分解决一些经济问题
，
．
￣
ｘ －
（ ） ）８ ０ Ｒ （０ ）７ ０ ￣ ２Ｒ （ ＝ ０一 Ｑ ２０＝ ０ （ Ｊ吨 ）
这 表 明在 ２ ０ 的 基 础 上 再生 产一 吨总 收 入 ｆ ｌ０ 元 。 ０吨 ￣ １０ ７ ２ 极 值 在 经 济 中 的 应 用
ｒ＿＝ ， ｌ０ ＿（０ ＞， （ ０】 ４又 １ ） ｘ ｃ ） ＝ ４＝ ０最小平均成本存在， 因此
（ ）３ ２ ＝０ ０
这 表 明 当生 产第 ９ １ 时 所 花 费 的 成 本 为 １ 元 。同 时 也 ０台 ． ５
说 明边 际成 本与平均成本有 区别 。 例２ 某种商 品的收Ａ Ｒ 元 ） ： （ 为产量Ｑ（ ） 函数 ， （） 吨 的 ＲＱ
ｎ
又Ｒ （０一 一 ， ２ ）０ Ｒ （ ）Ｃ （０符 合最大利 润原 ２） ＝ Ｃ （ ＝ ， １ ＜ ２ ） ／ ． ０ ０ ，
（ 的 函数ｃＱ＝ １０ 台） （）１０ ＋ Ｑ２ （ 生产９０ ， ） 求 ｏ 台到 ００ ０ ０ ０
（）５＋ Ｑ。 Ｑ ＝ ０ ２ 问产量为多少时总利润最大？并验证是否符合最
大利润原则。
时 的平均成 本 ；２ 生 产９０ （） ０ 台时 的边 际成本 ， 并说 明其经 济 意义 。
当生产 １０ ４ 个单 位时平均成本最低 。
利用微 积分理论 中关于一 元 函数 与二元 函数求极 值的 必 要条件 和充分 条件 ， 以解决求 最小成本 ， 可 最大利润 等经
例５ 某 工厂生产两种 产品Ｉ ｌ出售单价 分别为 ｌ元 与 ： 与Ｉ， ０ ９ ，生产ｘ 位的产 品ｌ 元 单 与生产 ｙ 单位 的产 品Ｉ的总 费用 是 ： ｌ
（） ２ 生产２ ０ ０ 吨时的边 际收益 ， 并说明其经 济意义 。
微积分在经济学中的若干应用
微积分在经济学中的若干应用微积分在经济学中的若干应用1微积分的基本思想微积分是微分论文联盟学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。
以下我们具体阐述微分学与积分学的思想。
1.1微分学的基本思想：微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。
直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。
在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线--该点处的“切线”。
它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。
这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。
1.2积分的基本思想：积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。
蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。
因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。
现在我们来举一个例子——物理中运动物体经过的路程：设速度函数已知，求运动物体所经过的路程也是上述两大步骤：（1）“局部求近似”：非均匀量近似于均匀量只有在微小局部才能成立.因此要处理这一非匀速变化的整体量，首先必须划分时间区间为若干小时间区间，再在各小时间区间上以“匀”代“不匀”，因此，这一思想需分为两步来实现：论文网①“分割”：将区间任意划分成n份，考察微小区间上的小段；②“求近似”：在上将运动近似看作匀速运动，用处理相应均匀量的乘法得：，，.（2）“极限求精确”：由于所求的是整体量，因此先将局部的近似值累加起来再向精确值转化（利用极限法实现“精确”的过程），所以实现精确的思想也分为两步：①“求和”：；②“求极限”：，其中.可见，微分与积分虽然是微观和宏观两种不同范畴的问题，但它们的研究对象都是“非均匀”变化量，解决问题的基本思想方法也是一致的。
论微积分在经济学中的应用
论微积分在经济学中的应用微积分是数学中的一门分支，主要研究变化率、极限和连续性等概念。
在经济学的分析和研究中，微积分也扮演着重要的角色。
通过微积分的方法，经济学家们能够更加准确地描述和预测经济现象，从而为政策的制定和决策提供可靠的依据。
函数是微积分的基础，它表示一个变量与另一个或多个变量之间的关系。
在经济学中，函数通常被用来描述成本、收益、价格等经济变量之间的关系。
导数表示函数在某一点的变化率，即当自变量发生微小变化时，因变量相应的变化量。
在经济学中，导数可以用来研究经济变量的变化率，例如边际成本、边际收益等。
积分是微分的逆运算，它表示函数在某个区间上的总和。
在经济学中，积分可以用来计算总成本、总收益、总利润等。
微积分在经济学中的应用广泛而深入。
以下是一些主要的方面：优化问题：微分学中的极值理论可以用来解决优化问题，例如求解最大值或最小值点。
在经济学的决策过程中，优化问题通常涉及到成本最小化、利润最大化等方面。
动态分析：微积分中的导数和积分可以用来研究经济系统的动态变化。
例如，利用导数可以研究变量的变化率，而积分可以用来计算累积效应。
均衡理论：微积分在均衡理论中也有着重要的应用。
例如，利用微分学中的极值原理，可以研究经济学中的最优定价、资源分配等问题。
经济增长和收敛：微积分可以用来研究经济增长和收敛的问题。
例如，利用微积分可以研究经济增长的动态过程以及不同经济体之间的收敛性问题。
成本最小化问题：假设某公司生产一种产品，已知产品的市场需求函数为Q=100-P，其中P为产品的价格。
公司的总成本函数为C=5Q²+20Q+1000。
求该公司的最小成本点。
通过求导数，可以得出产品的边际成本函数为MC=Q+20。
根据市场需求函数可知，当边际成本等于价格时，市场达到均衡。
因此，将价格P代入边际成本函数可得Q=40，进而可得出公司的最小成本点为（20，800）。
动态经济增长模型：假设一国的经济增长率由储蓄率S、投资率I、人口增长率n和技术进步率A共同决定，即g=S+I+n+A。
微积分在经济学中的应用分析
微积分在经济学中的应用分析微积分是数学中的一大分支，它主要研究函数的极限、导数、微分和积分等数学概念和运算。
微积分的应用非常广泛，涉及到各个领域，包括物理学、化学、工程学、生物学等，其中经济学是其中一个重要的应用领域。
下面将分析微积分在经济学中的应用。
1. 一元微积分一元微积分主要研究一个自变量的函数的极限、导数和积分，其中导数和积分的应用在经济学中尤为重要。
导数的应用导数是函数在某一点处的斜率，它在经济学中有着重要的应用。
例如，在生产函数中，均线产品的产量和使用的生产要素之间存在着一定的关系，这种关系可以用生产函数来描述。
生产函数的一般形式为：q=f(k, l)其中，q表示产量，k和l分别表示生产要素的数量（例如资本和劳动力）。
假设生产函数中资本和劳动力的价格分别为r和w，则资本k和劳动力l的成本可以表示为：C=rk+wl函数C也是q的函数，它表示单位产量的成本。
假设某一时刻，资本和劳动力的数量分别为k和l，单位时间内的产量为q，则单位时间内的成本可以表示为：C(q)=r(k(q))+w(l(q))其中，k(q)和l(q)分别表示产量为q时，需要使用的资本和劳动力的数量。
成本函数的导数c'(q)表示在某一产量下，单位产量的成本变化量，称为边际成本。
在实际中，企业为了最大化利润需要选择边际成本等于边际收益的产量。
因此，成本函数的导数在经济学中具有重要的应用。
积分的应用积分是导数的逆运算，它在经济学中有着重要的应用。
例如，在宏观经济学中，净出口是指某国对外贸易出口和进口之差，它可以表示为：NX = X-M其中，X表示出口，M表示进口。
某一时刻净出口的值可以表示为：在某一时刻t，储蓄和投资的数量分别为S(t)和I(t)，则国内生产总值（GDP）可以表示为：GDP = C+I+G+NX其中，C表示消费支出，G表示政府支出。
从这个方程可以看出，GDP是储蓄、投资、消费和净出口之和。
净出口的值可以通过计算出口和进口之和，然后去掉进口即可得到。
微积分在经济中的应用
由于现代化生产开展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学的一些分支如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进进经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济操纵论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。
数量经济学的目的在于探究客瞧经济过程的数量规律，以便用来明白客瞧经济实践。
应用数量经济学研究客瞧经济现象的要害确实是根基要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。
那个地点我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用。
复利与贴现咨询题复利公式货币所有者〔债权人〕因贷出货币而从借款人〔债务人〕手中所得之酬劳称为利息。
利息以“期〞，即单位时刻〔一般以一年或一月为期〕进行结算。
在这一期内利息总额与贷款额〔又称本金〕之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。
要是在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按利率计算，这种计息方法喊单利。
在结算利息时，要是将前一期之利息于前一期之末并进前一期原有本金，并以此和为下一期计算利息的新本金，这确实是根基所谓的复利。
通俗讲法确实是根基“利滚利〞。
下面推出按福利计息方法的复利公式。
现有本金A0，年利率r=p%，假设以复利计息，t年末A0将增值到A t，试计算A t。
假设以年为一期计算利息：一年末的本利和为A1=A0〔1+r〕二年末的本利和为A2=A0〔1+r〕+A0〔1+r〕r=A0〔1+r〕2类推，t年末的本利和为A t=A0〔1+r〕t〔1〕假设把一年均分成m期计算利息，这时，每期利率能够认为是rm，轻易推得0(1)mtt rA Am=+〔2〕公式〔1〕和〔2〕是按离散情况——计息的“期〞是确定的时刻间隔，因而计息次数有限——推得的计算A t的复利公式。
假设计息的“期〞的时刻间隔无限缩短，从而计息次数m→∞，这时，由于因此，假设以连续复利计算利息，其复利公式是例1A0＝100元，r=8%，t＝1，那么一年计息1期1100(10.08)108()A=⨯+=元一年计息2期210.08100(1)108.16()2A =⨯+=元 一年计息4期410.08100(1)108.243()4A =⨯+=元一年计息12期1210.08100(1)108.300()12A =⨯+=元一年计息100期10010.08100(1)108.325()100A =⨯+=元连续复利计息0.081100108.329()A e==元 实利率与虚利率由例1知，年利率相同，而一年计息期数不同时，一年所得之利息也不同。
经济数学一一元微积分教学设计
经济数学一一元微积分教学设计前言经济学是一门非常重要的学科，而微积分更是经济学中必不可少的一部分。
本文将就如何设计一堂经济数学一一元微积分课程进行讨论。
教学目标经过学习本课程，学生应该能够：1.了解微积分的基本概念与方法；2.理解微积分的应用场景，如经济学中的边际效应等；3.能够运用微积分的方法进行经济学问题的求解。
教学内容第一部分：微积分基础1.微积分的基本概念，如导数、微分、积分等；2.常见微积分公式的推导与运用；3.隐函数求导等高阶微积分概念的引入。
第二部分：微积分在经济学中的应用1.边际效应的概念与解析；2.经济学中优化问题的微积分求解；3.积分在经济学中的应用，如消费者剩余等。
教学方法1.讲授式教学：通过PPT等多媒体工具讲解相关微积分概念及其应用；2.课堂练习：针对每个小节的内容提供相关的练习，以帮助学生掌握所学知识；3.实例分析：通过实际经济问题进行分析，引导学生进行思考与求解。
教学评估方式1.课堂测试：在每个小节学习内容后进行测试，以便及时纠正学生的理解问题；2.课后作业：针对每个小节的内容布置相关的作业，确保学生对本节内容进行掌握；3.期末考试：考察学生对整个学期内容的掌握程度。
教学资源1.课堂教学PPT；2.经济学相关案例资源；3.智能互动平台。
教学安排第一周1.微积分的基本概念；2.导数的求法及其应用。
第二周1.微积分的基本定理；2.隐函数求导的方法。
第三周1.边际效应的概念及其解析；2.优化问题的微积分求解。
第四周1.积分的概念及其性质；2.消费者剩余的应用。
结语本教学设计通过讲授微积分基础、微积分在经济学中的应用、实例分析等方式，旨在帮助学生快速掌握微积分概念及其在经济学中的应用。
同时，通过课堂测试、课后作业、期末考试等方式进行教学评估，以确保学生掌握本课程中的重点内容。
微积分在经济学中的应用分析
最 大 值 与 最 小 值 ． 为 微 分 学 在 经 济 学 中 的重 要 应 用 ． 此
例 １ 设 某厂 成本 Ｃ关 于产 量 Ｑ 的 函数 为 Ｃ（ ９）＝２２＋ （
１０ 元 ） 收 入 函 数 为 Ｒ（ ０（ ， ｑ）＝ ６ Ｑ — 元 ） 问 ： 批 生产 多 ２２ ｑ （ ． 每 少件 产 品才 能使 利 润 ， ｑ） 大？ Ｊ 最 （ 解
济 变 量 的 变化 率． 观 经 济 学 理论 认 为 ， 微 当产 量 增 至 边 际 成
Ｐ （ ０ ）＝ ，． ２ ０ ０ ． 生产 量 为 ２ ０单 位 时 ， 润 最 大 ， ０ 利
最 大利 润为 Ｐ ２０ ＝ ０ ２ ０— ０ （０ ） ４ ０ ０ ２ ０—１ ０＝ ９０ （ ） ｘ ０ ０ ３０ ０ 元 ．
即 每批 生 产 １０件 产 品 时 ， 润 最 大 值 为 １８ ０ ． ３ 利 ６０ 元
例 ２ 设 生 产 个 产 品 的 边 际 成 本 ｑ ＝１ ０＋２ ， 固 ０ ｘ其
定 成本 为 ｑ ＝１ ０ ０ ０元 ， 品 单 价 规 定 为 ５ ０元 ． 设 生 产 产 ０ 假
学 的 总 称 ， 的数 学 思 想 是 源 远 流 长 的理 论 ． 中 “ 限 细 它 其 无
‘
．
经 济 学理 论 和 管 理 学 问 题 最 有 效 的工 具 ．
一
、
微 分 在 经 济 学 中 的应 用
在微 分学 中 ， 已知 函数 进 行 求 导 可 以 得 到 边 际 函 数 ． 对
边 际概 念 是 经 济 学 核 心 命 题 的 基 本 概 念 之 一 ， 常 是 指 经 通
本 等 于边 际 收入 时 ， 业 获 得 的 利 润 的产 量 为 最 大 值 ． 实 企 在
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一元微积分在经济上的运用
近几年来,我国的经济学界和经济部门越来越意识到用数学方法来解决经济问题的重要性,正在探索经济问题中应用数学的规律。
鹤壁职业技术学院李兰军老师在《商场现代化》2008年10月(下旬刊)上作了概率统计在经济问题中的应用研究。
实践证明,一元微积分也是对经济和经济管理问题进行量的研究的有效工具。
本文将利用一元微积分方法解决一些经济问题,分析生产量、成本与利润和需求量(销售量)、价格与收益的关系,研究怎样确定或变动产品的生产量、销售量,以及商品的价格。
一、微分在经济学中的应用
由微分的定义知,当很小时,有近似公式,而所以,这个公式可用来计算函数在某一点附近的函数值的近似值。
例1设某国的国民经济消费模型为。
其中:y为总消费(单位:十亿元);x为可支配收入(单位:十亿元)。
当x=100.05时,问总消费是多少?
解令因为相对于较小,可用上面的近似公式来求值。
由此可以通过统计可支配收入来预测总消费是多少,以便确定产品的生产量。
二、最值在经济学中的应用
在经济分析中,经常遇到利润最大,成本最低等问题
1.最大利润问题
利润是衡量企业经济效益的一个主要指标。
在一定的设备条件,如何安排生产才能获得最大利润,这是企业管理中的现实问题。
例2某厂生产某种产品,其固定成本为3万元,每生产一百件产品,成本增加2万元。
其总收入R(单位:万元)是产量q(单位:百件)的函数,,求达到最大利润时的产量。
解由题意,成本函数为,于是,利润函数
,
令,得(百件).又,所以当时,函数取得极大值,因为这里极值点是惟一的,所以极大值又是最大值,即产量为300件时取得最大利润。
2.最小成本问题
例3 已知某个企业的成本函数为:,
其中C——成本(单位:千元)q——产量(单位:t).求平均可变成本y(单位:千元/t)的最小值。
解平均可变成本,令,得。
又,所以时,y取得极小值,由于因为这里极值点是惟一的,所以极小值又是最小值。
(千元/t), 即产量为4.5t时平均可变成本取得最小值9750元/t.
导数概念在经济学中有两个重要的应用——边际分析和弹性分析。
1.边际分析
边际概念是经济学中的一个重要概念,一般指经济函数的变化率。
当经济函数的自变量改变很小时,经济函数的边际函数是指它的导函数。
利用导数研究经济变量的边际变化的方法,称为边际分析方法。
例4设某产品的需求函数为q=100-5p,求边际收益函数,以及q=20,50和70时的边际收益。
解收入函数为R(q)=pq,式中的销售价格p需要从需求函数中反解出来,即,
于是收入函数为,边际收入函数为,
由所得结果可知,当销售量即需求量为20个单位时,再增加销售可使收益增加;当销售量为50个单位时,再增加销售收益不会增加;当销售量为70个单位时,再增加销售收益反而会减少。
2.弹性分析
弹性分析也是经济分析中常用的一种方法,主要用于对生产、供给、需求等问题的研究。
弹性是衡量买者与卖者对市场条件变动反应大小的指标,亦即是衡量需求量或供给量对某种决定因素的反应程度的指标。
需求弹性是衡量一种物品需求量对其价格变动反应程度的指标,是需求函数的相对改变量与自变量相对改变量比值的极限。
例5设某商品的需求函数为,求价格为100时的需求弹性。
解需求弹性,其结果表示:当价格为100时,若价格增加1%,则需求减少2%.即需求变动的幅度大于价格变动的幅度,且变动的方向相反。
这时价格上涨总收益减少,价格下跌总收益增加。
金融2班
钟振超
1011030114。