求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题
高考数学丨线性规划知识点汇总
高考数学丨线性规划知识点汇总一、知识梳理1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。
2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。
3 整点：坐标为整数的点叫做整点。
4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。
只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。
5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。
线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。
2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。
若直线不过原点，通常选择原点代入检验。
3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。
4 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。
5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解。
基础知识：一、1．占P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+ y0+C=02．点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右下），则当B>0时，Ax0+ y0+C >0；当B<0时，Ax0+ y0+C<03．点P（x0+，y0）D在直线Ax0+ y0+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+ y0+C<0；当B>0时，Ax0+ y0+C>0注意：（1）在直线Ax+ By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax+ By+C=0，所得实数的符号都相同。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结线性规划知识点总结 1.线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解 3.解线性规划实际问题的步骤：（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；（4）验证. 4.两类主要的目标函数的几何意义: （1）-----直线的截距；（2）-----两点的距离或圆的半径；（3）-----直线的斜率风格很统一！以下资料为赠送资料：《滴水之中见精神》主题班会教案活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。
”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。
听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。
水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。
线性规划教学目标1.解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念
线性规划教学目标：1．解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念；2．在线性约束条件下求线性目标函数的最优解；3．了解线性规划问题的图解法。
教学重点：线性规划问题。
教学难点：线性规划在实际中的应用。
教学过程：1．复习回顾：上一节，我们学习了二元一次不等式表示的平面区域，这一节，我们将应用这一知识来解决线性规划问题．所以，我们来简要回顾一下上一节知识．（略）2．讲授新课：例1：设z＝2x＋y，式中变量满足下列条件：，求z的最大值和最小值.解：变量x，y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．（如右图）．作一组与l0：2x＋y＝0平行的直线l：2x＋y＝t.t∈Ｒ可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点（x，y）满足2x＋y＞0，即t＞0，而且，直线l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（５，２）的直线l2所对应的t最大，以经过点B （１，１）的直线l1所对应的t最小．所以zmax＝2×5＋2＝12 zmin＝2×1＋1＝3说明：例1目的在于给出下列线性规划的基本概念．线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x，y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．Ex：P841，2，3例2：在x≥0，y≥0，3x＋y≤3及2x＋3y≤6的条件下，试求x－y的最值。
解：画出不等式组的图形设x－y＝t，则y＝x－t由图知直线l：y＝x－t过A（1，0）时纵截距最小，这时t＝1；过B（0，2）时纵截距最大，这时t＝－2. 所以，x－y的最大值为1，最小值为－2。
《3.3.2简单的线性规划问题》教案
简单的线性规划学习内容总析线性规划位于不等式和直线方程的结合点上，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。
这一节的知识内容形成了一条结构紧密的知识链条：以二元一次不等式（组）表示的平面区域为基础，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法解决简单的线性规划问题。
学情总析本节内容是在学习了直线方程、二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，强调应用转化思想和数形结合思想来解决线性规划问题。
三维教学目标知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。
情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。
教学重点及应对策略1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；2、应对策略：将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题，然后借助直线方程的知识进行解决。
教学难点及应对策略1、教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。
2、应对策略：在理论解释的同时，可用动画进行演示辅助理解。
教学过程设计。
从高考试题看线性规划的学习与复习
从高考试题看线性规划的学习与复习线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效益是人们不可缺少的要求，而提高经济效益一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料。
二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力、物力资源，线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力、物力等资源，使经济效益达到最大。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。
高中阶段线性规划内容是新课标实施后新增加的内容，近年来成为高考中的热点问题，其试题已从简单的求线性目标函数的最值、平面区域的面积，转变为求非线性目标函数的最值、参数的范围，现在更是出现了与向量、概率、不等式、函数相结合的新题型。
下面通过高考试题分析解读体会如何学习、复习该部分知识。
一考题回顾高考试题对线性规划内容的考查主要体现在以下三个方面：第一，注重对基本题型的考查。
（1）已知线性约束条件，求目标函数的最值问题。
如2012年，山东理第5题。
（2）线性规划应用题。
如2012年，四川理第9题。
第二，体现对线性规划与其他知识相结合问题的考查。
（1）含有参数的线性规划问题。
如2012年，福建理第9题。
（2）与向量、不等式、概率等知识相结合的线性规划问题。
如2011年，湖北理第8题；2009年，山东理第12题；2012年，北京理第2题。
第三，凸显对线性规划体现的“数学规划”思想方法的考查。
典型试题：（2012年，江苏14）已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是。
二分析解读1.关于线性规划基本题型已知线性约束条件求目标函数的最值问题，线性规划应用题，属于线性规划的最基本问题，是线性规划的简单应用，要求学生能够熟练掌握可行域的画法，并能根据目标函数的变化情况，在可行域内找到相应的最优解及最值。
线性规划中的易错点简析 高卫忠
线性规划问题的易错点简析乌鲁木齐市41中学 高卫忠 830091线性规划问题的基本内容是可行解、可行域、最优解、最优整数解等.学生常出现各式各样的错误，下面就几类典型的错解进行剖析.一可行域、最优解判断致误例1在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下，如何求目标函数2P x y =+的最大值？首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图（1）所示．其次，将目标函数2P x y =+变形为2y x P =-+的形式，它表示一条直线，斜率为，且在y 轴上的截距为P ．平移直线2y x P =-+，当它经过两直线410x y +=与4320x y +=的交点5(,5)4A 时，直线在y 轴上的截距最大，如图（2）所示．因此，当5,54x y ==时，目标函数取得最大值5257.54⨯+=，即当甲、乙两种产品分别生产54t 和5t 时，可获得最大利润7.5万元．这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中5(,5)4使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．说明：平移直线2y x P =-+时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．例2.已知⎩⎪⎨⎪⎧x+y －1≤0x －y －1≤0x+2y+1≥0，求z=x －2y 的最大值.错解作出各直线，并求得交点A(3，－2)、B(13，－23)、C(1，0)，则可行域为△ABC 的内部 (含边界，如图1).平移直线x －2y=0过点C(1，0)时，z=x －2y 取最大值1.正解：凭想象封闭图形即是可行域、最高点对应最大值均是常见的错误. 事实上由坐标(0，0)适合不等式组，易知可行域为图2(含边界).由方程y ＝12x+(－12z)，知z 的最大值与纵截距－12z 的最小值相对应，故最优解为B(13，－23)，z=x －2y 的最大值为53.点评：严密完成图解法的五个基本步骤：定、画、移、求、答.二 实际问题的最优整数解判断致误例3(湖北)某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元在满足需要的条件下，最少要花费元错解：设购买35kg 的x 袋，24kg 的y 袋，共需化费z 元，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧35x+24y ≥106x ∈N y ∈N ，且z=140x+120y.作出直线AB ：35x+24y=106，其中A(3135, 0)，B(0,4512).易知可行域为如图3所示（含边界）的整点.考察直线l ：y ＝－76x ＋z120，∵－3524<－76<0，即k AB <k l <0，∴将l 由经过原点O 的位置向上平移，将首先接触点A.由x=3，且35x+24y ≥106，得y ≥124，即y ≥1，这时将x=3，y=1，代入得z=140×3+120×1＝540；.又将x=4，y=0，代入得z=140×4+120×0＝560；. ∴比较得最优整数解为(3，1)，答案填540.正解：还需由x=2，且35x+24y ≥106，得y ≥32，即y ≥2，这时将x=2，y=2代入z=140×2+120×2=520；由x=1，且35x+24y ≥106，得y ≥22324，即y ≥3，这时将x=1，y=3代入z=140×1+120×3＝500；最后将x=0，y=5代入z=140×0+120×5＝600.∴比较得最优整数解为(1，3)，答案填500.点评：求最优整数解，不仅要求作图精确，而且要结合必要的计算，如求出各列（行）最低（左）点坐标代入目标函数进行比较，仅凭“目测”是不准确的.例4．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？β然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解解：设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 米，利润为S 百万元，则约束条件为23142900x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数为32S x y =+．作出可行域（如图），将目标函数变形为322S y x =-+，它表示斜率为32-，在y 轴上截距为2S 的直线，平移直线322Sy x =-+，当它经过直线与29x y +=和2314x y +=的交点135(,42时，2S最大，也即S 最大．此时，1353214.7542S =⨯+⨯=．因此，生产A 产品3.25百吨，生产B 产品2.5米，利润最大为1475万元．说明：（1）解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一）；③建立目标函数；④求最优解．对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点 ．三、与直线的斜率有关的最值问题y y z x x -=-表示定点P （x 0,y 0)与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率. 例5 设实数x y ，满足20240230x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤，，则yz x =的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC ，00y y z x x -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值． 可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=即A 点．∴312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．故答案为32． 例6.如图1所示，已知ABC 中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -，点(,)P x y 在ABC 内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：若目标函数是1y z x -=或231y z x +=+m i n 和max z ？四、与距离有关的最值问题222200()()z z z x x y y x y Ax By C ==-+-=++++或（配方）的结构表示定点Q （x 0,y 0)到可行域内的动点N(x,y)的距离的平方或距离。
线性规划常见题型及解法 均值不等式(含答案)
线性规划常见题型及解法一．基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。
通常代特殊点（0，0）。
（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。
线性规划问题的两种求解方式
线性规划问题的两种求解⽅式线性规划问题的两种求解⽅式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应⽤⼴泛、⽅法较成熟的⼀个重要分⽀，它是辅助⼈们进⾏科学管理的⼀种数学⽅法。
线性规划所研究的是：在⼀定条件下，合理安排⼈⼒物⼒等资源，使经济效果达到最好。
⼀般地，求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为线性规划问题。
解决线性规划问题常⽤的⽅法是图解法和单纯性法，⽽图解法简单⽅便，但只适⽤于⼆维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适⽤于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及⼤量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量⼤，复杂繁琐。
在这个计算机⾼速发展的阶段，利⽤Excel建⽴电⼦表格模型，并利⽤它提供的“规划求解”⼯具，能轻松快捷地求解线性模型的解。
⽆论利⽤哪种⽅法进⾏求解线性规划问题，⾸先都需要对线性规划问题建⽴数学模型，确定⽬标函数和相应的约束条件，进⽽进⾏求解。
从实际问题中建⽴数学模型⼀般有以下三个步骤；1、根据所求⽬标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求⽬标的函数关系确定⽬标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满⾜的约束条件。
以下是分别利⽤单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种⽅法对例题进⾏求解的过程。
例题：某⼯⼚在计划期内要安排⽣产I、II两种产品，已知⽣产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，⼯⼚中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。
每⽣产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的⽣产数量的哪种组合能使总利润最⼤？这是⼀个典型的产品组合问题，现将问题中的有关数据列表1-1如下：表1-1I II 限量设备 1 2 8台时原材料A 4 0 16单位原材料B 0 4 12单位所获利润 2 3⾸先对例题建⽴数学模型。
问题的决策变量有两个：产品I的⽣产数量和产品II的⽣产数量；⽬标是总利润最⼤；需满⾜的条件是：(1)两种产品使⽤设备的台时<= 台时限量值(2) ⽣产两种产品使⽤原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的⽣产数量均>=0。
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的点(x，y)所形成区域的面积为( B． 2π D．π
)
A．4π C. 3π 2
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解析：不等式 f(x)＋ f(y)≤0 可转化为(x－1)2＋ (y－1)2≤2，不 等式 f(x)－ f(y)≥0 可转化为(x－ y)(x＋ y－2)≥0.于是点(x， y)所形成 1 的区域为两个 圆面，而圆面积是 2π. 4
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解析：设对甲项目投资 x 万元，对乙项目投资 y 万元，获得 总利润为 z 万元，则 z＝ 0.4x＋ 0.6y，且
x＋ y≤60， x≥2y， 3 x≥5， y≥5，
作出不等式组表示的平面区域，
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如图所示，作直线l0：0.4x＋0.6y＝0，并将l0向 上 平 移 ， 过 点 时 z 取 得 最 大 值 ， 即 zmax ＝ 0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．故选B.
点评： (1)用图解法解决线性规划问题时，分析 题目的已知条件找出约束条件和目标函数是关 键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清 头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件， 并就题目所述找到目标函数． (2) 可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧 开放的无限大的平面区域． 如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点 处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一 般就是多边形的某个顶点． 特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域 5 共 57 页 的某条边平行时 (k ＝ ki) ，其最优解可能有无数
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答案：B
x＋y≥0， 5． (全国卷Ⅰ) 若 x 、 y 满足约束条件x－y＋3≥0， 0≤x≤3，
－y 的最大值为________．
则 z＝ 2x
解析：如右图，作出可行域，z＝2x－y可化为y ＝2x－z. 由图可知直线 y ＝ 2x － z 经过点 A(3 ，－ 3) 时， z 有最大值，最大值为z＝9.
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类型一 二元一次不等式表示的平面区域及整 点问题 解题准备： 不等式组表示的平面区域是各个不 等式所表示的平面点集的交集，即是各个不等 式所表示的平面区域的公共部分．整点：区域 内横、纵坐标为整数的点．
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x－y＋5≥0， 【典例 1】 画出不等式组 x＋y≥0， x≤3.
并回答下列问题： (1)指出 x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？
表示的平面区域，
[分析] (1)数形结合；(2)整点是指横、纵坐标 均为整数的点．
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[解析 ]
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2 ． (2010· 石 家庄 质 检一) 已知 变量 x ，y 满足 约 束条 件
y≤x x＋y≥2 ，则目标函数 z＝2x＋ y 的最大值为( y≥3x－ 6
A．3 C． 9 B． 4 D．12
)
答案：C
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3 ． (2011· 名 校 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ x 2 － 2x ， 则 满 足 条 件
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2．线性规划：求线性目标函数在线性约束条件 下的最大值或最小值问题，称为线性规划问题， 满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所 有可行解组成的集合叫做可行域，使目标函数 取得最大值或最小值的可行解叫做最优解． 3．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域； 4 共 57 页 (5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；
第三十四讲
简单的线性规划
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回归课本 1. 二元一次不等式表示平面的区域：直线 Ax ＋ By＋C＝0将平面划分为三部分，即点在直线上； 点在直线的上方区域；点在直线的下方区域， 若满足 B(Ax＋By＋C)＞0，则点 P(x，y)在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的上方；若满足 B(Ax ＋ By ＋ C) ＜ 0 ，则点 P(x ， y) 在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的下 方． 二元一次平面区域的判定方法是：“直线定界、 特殊点定域．”
答案：D
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点评：学习数学要在“做中学”，勤动笔，勤 动脑，这里的“动”是没有人可以替代的．
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4．某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要 2 求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 ， 且对每个项目的投资 3 不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润， 对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确规划 投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( A．36 万元 C． 30.4 万元 B． 31.2 万元 D．24 万元 )
(3)若实际问题要求的最优解是整数解，而利用 图解法得到的解为非整数解(近似解)，应作适当 的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的 距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离 最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解 附近寻找．这个问题我们将在后面的例题中详 细说明． 如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试法 也可．
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考点陪练 1. 已知点 (3,1) 和 (4 ，－ 6) 在直线 3x － 2y ＋ a ＝ 0 的两侧，则a的取值范围是( ) A．(－24,7) B．(7,24) C．(－7,24) D．(－24，－7)
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解析： 联想“代点法”判断 Ax ＋ By ＋ C 的符号 法则．若两点在直线 3x－2y＋a＝ 0的两侧，把 点的坐标代入3x－2y＋a所得两式的符号一定相 反．把点(3,1)和(4，－6)分别代入3x－2y＋a， 得7＋a,24＋a. 由题意知：(7＋a)(24＋a)＜0⇔－24＜a＜－7. 答案：D