高一年段数学培优教材(4)

高一年段数学培优教材（4）

高一数学备课组

第四讲 三角函数

一、基础知识：

1． 函数sin ()y x x R =∈的对称轴方程为,2

x k k Z π

π=+

∈，对称中心坐标是(,0),k k Z π∈；

cos ()y x x R =∈的对称轴方程为,x k k Z π=∈，对称中心坐标是(,0),2

k k Z π

π+

∈

tan (,)2

y x x k k Z π

π=≠+

∈的对称中心坐标是(,0),k k Z π∈，它不是轴对称图形。

2． 求三角函数最值的常用方法：

① 通过适当的三角变换，把所求的三角式化为sin()y A x b ω?=++的形式，再利用正弦函数的有

界性求其最值。

② 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题。 ③ 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题（如sin cos a x b

y c x d

+=

+）可利用正弦函数的有界性

来求。

④ 利用函数的单调性求。 二、综合应用：

1． 已知函数()y f x =是以5为最小正周期的奇函数，且(3)1f -=，则对锐角α，当1sin 3

α=

时，

)f α=_________________

2． 已知22

2,a b +=则sin cos a b θθ+的最大值是___________

3． 函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取最小值的x 的集合为______________

4． 函数5cos 23sin ,[,]63

y x x x ππ

=+∈--的最大值和最小值的和为______________. 5． 函数sin cos sin ,y x x x cosx x R =+-∈的最大值为_____________

6． 函数sin (0)2cos x

y x x

π=

<<+的最大值是_________________

7． 函数()(cos sin )cos f x a x b x x =+有最大值2，最小值1-，求sin()4

y a bx π

=+

的最小正周期。

8． 已知函数2

()2sin sin cos f x a x x x a b =-++的定义域是[0,

]2

π

，值域是[5,1]-，求,a b 的值。

9． 已知函数()sin 2cos2f x x a x =+的图象关于直线8

x π

=-

对称，求a 的值。

10．已知()sin cos (,,f x A x B x A B ωωω=+是常数，且0)ω>的最小正周期为2，并且当1

3

x =

时，()f x 取最大值为2。 （1）求()f x 表达式； （2）在区间2123

[,]44

上是否存在()f x 的图象的对称轴？若存在，求出其方程；若不存在，说明理由。

11．已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(

,0)4

M π

对称，且在区间[0,

]2

π

上是单调函数，求,?ω的值。

12．已知定义在区间2[,

]3

ππ-上的函数)(x f y =的图象关于直线6

π

-

=x 对称，当2[,

]

6

3

x π

π∈-

时，函数()sin()(0,0,)22

f x A x A π

π

ω?ω?=+>>-<<

其图象如图所示.

（1）求函数()y f x =在2[,

]3

ππ-的表达式；

（2）求方程()2

f x =.

三、强化训练：

1．有四个函数2

sin sin tan

cot sin 22

x x

y x y x y y x ===-=①②③④，其中周期为π，且在(0,

)

2

π上是增函数的函数个数是（ ） .1.2

.3

.4A B C D

2．设函数2

()2cos 2f x x x a =+

+（a 为实常数）在区间[0,

]2

π

上的最小值是4-,则a 的值是

（ ） .4.6.4

.

3A B C D ---

3．sin(2)cos()cos(2)sin()3

6

3

6

y x x x x π

π

π

π

=+

-

-+

-

的图像中一条对称轴方程是（ ）

3..

..

4

2

2A x B x C x D x π

π

ππ=

=

==

4．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x) = f (x +2)，当x ∈[3，4]时，f(x) = x －2，则（ ）

A ．f (sin

12

) < f (cos

12

) B ．f (sin

3

π) > f (cos

3

π) C ．f (sin1) < f (cos1) D ．f (sin

32

) > f (cos

32

)

5．将函数y =f(x)sin x 的图象向右平移

4

π

个单位后，再作关于x 轴对称的曲线，得到函数 y =1－2sin 2x , 则f (x )

是 （ ） A ．cos x B ．2cos x C ．sin x D ．2sin x 6．曲线2sin()cos()4

4

y x x π

π

=+

-

和直线12

y =

在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依 次记为P 1，P 2，

P 3，…，则|P 2P 4|等于 （ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π

7．设()()2cos f

x x m ω?=++，恒有())3f x f x π

+=-（

成立，且(1)6

f π

=-，则实数m 的值为

A ．1±

B ．3±

C ．－1或3

D ．－3或1 8．使函数()sin(2))f x x x θθ=+++是奇函数，且在[0,

]4

π

上是减函数的θ的一个值是

_____________

9．已知函数2

1

()cos sin cos (0,0)2

f x a x x x a ωωωω=+?-

>>，其最小正周期为π。（Ⅰ）求实数a 与ω的值。（Ⅱ）写出曲线()y f x =的对称轴方程及其对称中心的坐标。

x

参考答案：

例1：(8)(3)(3)1f f f ==--=- 例2： 2

例3：

3())2;

|,4

8f x x x x k k Z π

ππ??++=-∈????

例4：2()12sin 3sin ,1,45f x x x M N M N =-+=-=-+=- 例5：1

例6

例7：1,a b ==± 例8：21()2sin(2)2,sin(2)1,56

26

a f x a x a

b x b π

π

=?=-+++-

≤+≤?=-?或2

1a b =-??=?

例9：1a =-

例10：（1）()2sin()6f x x π

π=+

（2）()2sin()6

f x x π

π=+的对称方程为

1,6

23x k x k k Z π

π

ππ+

=+

?=+∈，由211235965

,54341212

k k k Z k ≤+≤?≤≤∈∴=Q 故存在。 例11：03高考天津卷2

223

π

?ωω==，，= 例12：（1）当2

[,

]63

x π

π∈-时，()sin()3f x x π

=+，当x ∈2[,]3ππ-时()sin f x x =-

强化练习：

1 C

2 C

3 C

4 C

5 B 6. A 7. D 8. 23

π

θ=

9. （1）2

111cos sin cos (1cos 2)sin 222

2

2

a y a x x x x x ωωωωω=+?-

=++

-

11(sin 2cos 2)2

2

a x a x ωω-=

++

1)2

a x ω?-=

++

。

∵y 的最小正周期T=π。 ∴ω=1。

∴12

2

man a y -==

∴a=1。

（2）由（Ⅰ）知a=1，ω=1，

∴1()(sin 2cos 2))2

4

f x x x x π

=

+=

+。

∴曲线y=f(x)的对称轴方程为()28

k x k Z ππ

=

+

∈。

对称中心的坐标为(

,0)()2

8

k k z ππ

-

∈。