专题25 圆的基本性质(解析版)

专题25 圆的基本性质基础过关1. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( )A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°第1题图第2题图【答案】D【解析】∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＝90°－∠ABC ＝90°－60°＝30°.2.如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA＝CD，且∠ACD＝40°，则∠CAB ＝( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°【答案】B【解析】∵∠ACD＝40°，CA＝CD，∴∠CAD＝∠D＝(180°－40°)÷2＝70°，∴∠B ＝∠D＝70°，又∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O.若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )A. 45°B. 50°C. 60°D. 75°第3题图第4题图【答案】C【解析】∵四边形ABCO 是平行四边形，∴∠AOC ＝∠ABC ，∵∠ADC ＝ 12∠AOC ，∴∠ABC＝2∠ADC ，∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝60°.4. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，BC 是弦，点P 是BC ︵上任意一点，若AB ＝5，BC ＝3，则AP 的长不可能为( )A . 3B . 4C . 92D . 5【答案】A【解析】如解图，连接AC ，∵在⊙O 中，AB 是直径，∴∠C ＝90°，∵AB ＝5，BC ＝3，∴AC ＝AB 2－BC 2＝4，∵点P 是BC ︵上任意一点．∴4≤AP ≤5.结合选项知AP 的长不可能为3，故选A.5.如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为( )A . 13B . 2 2C .24 D . 223第5题图第6题图【答案】C【解析】如解图，作直径CD ，在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2，根据勾股定理求第5题解图得OD ＝4 2，所以tan ∠CDO ＝24，由圆周角定理得，∠OBC ＝∠CDO ，则tan ∠OBC ＝24，故答案选C. 6. 如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的两点，OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E ，下列结论不一定成立的是( )A . △AOD 是等边三角形B . AD ︵＝CD ︵C . ∠ACB ＝90°D . OE ＝12BC【答案】A【解析】A.∵∠B 的度数不确定，∴△AOD 的形状无法确定，故本选项错误；B.∵AB 是圆O 的直径，∴∠C ＝90°，∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝90°，∴OD 是AC 的垂直平分线，∴AD ︵＝CD ︵，故本选项正确；C.∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，故本选项正确；D.∵OD ∥BC ，点O 是AB 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ＝12BC ，故本选项正确．7. 如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为4的圆，则B 、E 两点间的距离为________．第7题图第8题图【答案】8【解析】∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴AB ︵＝BC ︵＝EF ︵＝ED ︵＝AF ︵，如解图，连接BE ，则BE 是圆的直径，所以BE ＝2×4＝8.8. 如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，∠A ＝50°，∠B ＝30°，则∠ADC 的度数为________．【答案】110°【解析】本题考查圆周角定理及三角形内外角之间的关系．∵∠A ＝50°，∴∠BOC ＝2∠A ＝100°，∴∠BOD ＝180°－100°＝80°.又∵∠B ＝30°，∴∠ADC ＝80°＋30°＝110°.9. 如图，⊙O 的弦AB 垂直半径OC 于点D ，∠CBA ＝30°，OC ＝3 3 cm ，则弦AB 的长为________cm .第9题图第10题图【答案】9【解析】∵∠CBA ＝30°，∴∠AOC ＝2∠CBA ＝60°，∵AB ⊥OC ，∴∠ADO ＝90°，∴∠OAD ＝30°，∴OD ＝12OA ＝12×33＝332cm ，由勾股定理得，AD ＝OA 2－OD 2＝4.5 cm ，∵AB ⊥OC ，∴AB ＝2AD ＝9 cm.10. 如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A 、B ，AB ＝40 cm ，脸盆的最低点C 到AB 的距离为10 cm ，则该脸盆的半径为________cm .【答案】25 【解析】第10题解图如解图所示，连接BE 、AF ，交点即为圆心O ，连接OC 交AB 于点D ，则OC ⊥AB .设⊙O 的半径为r ，则OA ＝OC ＝r ，又∵CD ＝10，∴OD ＝r －10，∵AB ＝40，OC ⊥AB ，∴AD ＝20.在Rt △ADO 中，由勾股定理得：r 2＝202＋(r －10)2，解得r ＝25，即脸盆的半径为25 cm.11. 如图，已知⊙O 的半径为6 cm ，弦AB 的长为8 cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2 cm ，则tan ∠OPA 的值是________．第11题图第12题图【答案】53【解析】如解图，连接OB ，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，∵OA ＝OB ＝6，OM ⊥AB, ∴在等腰△OAB 中，BM ＝ AB 2＝12×8＝4 cm. ∴在Rt △BOM 中，OM ＝62－42＝2 5. PM ＝BM ＋BP ＝6 cm ，∴在Rt △OPM 中，tan ∠OPA ＝OM PM ＝256＝53.12.如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC ＝24，AH ＝18，⊙O 的半径OC ＝13，则AB ＝________．【答案】392【解析】如解图，延长CO 与⊙O 交于点D ，连接AD ，可得∠B ＝∠D ，故sin B ＝sin D ，∴AH AB ＝AC CD ，即18AB ＝2426，可得AB ＝392. 13.如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为AD ︵中点，连接BM ，CM. (1)求证：BM ＝CM ；(2)当⊙O 的半径为2时，求BM ︵的长．【答案】(1) 证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝CD ， ∴AB ︵＝CD ︵，第13题解图∵M 为AD ︵中点，∴AM ︵＝DM ︵， ∴AB ︵＋AM ︵＝CD ︵＋DM ︵， ∴BM ︵＝CM ︵， ∴BM ＝CM ，(2)解：如解图，连接OM ，OB ，OC ， ∵BM ︵＝CM ︵， ∴∠BOM ＝∠COM ， ∵正方形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠BOC ＝360°4＝90°，∴∠BOM ＝135°，∴BM ︵的长＝135×2×π180＝32π.满分冲关1. 如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，点D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( )A . 3B . 2C . 1D . 1.2第1题图第2题图【答案】C【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠D ＝∠C ＝90°，∠DAE ＝∠CBE ，∴△ADE ∽△BCE ，∴AE BE ＝AD BC ，∵BC ＝4，AD ＝45，∴AE BE ＝AD BC ＝15.设AE ＝x ，则CE ＝4－x ，BE ＝5x ，∴在Rt △BCE 中根据勾股定理有(4－x )2＋42＝(5x )2，解得x 1＝1，x 2＝－43(舍去)，故AE ＝1.2. 如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC.则线段CP 长的最小值为( )A . 32B . 2C .81313 D . 121313【答案】B【解析】如解图，∵∠PAB ＝∠PBC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAP ＋∠PBA ＝90°，∴∠APB ＝90°，∴点P 始终在以AB 的中点O 为圆心，以OA ＝OB ＝OP ＝12AB ＝3为半径的圆上，由解图知，只有当点P 在OC 与⊙O 的交点处时， PC 的长最小．在Rt △OBC 中，OC ＝OB 2＋BC 2＝32＋42＝5，∴P ′C ＝OC －OP ′＝5－3＝2，∴线段CP 长的最小值为2.3. 如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与A ，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连接BD 交⊙O 于点E ，若∠AOB ＝3∠ADB ，则( )A . DE ＝EB B . 2DE ＝EBC . 3DE ＝DOD . DE ＝OB第3题图第4题图【答案】D【解析】如解图，连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB ，∵∠AOB ＝∠OBE ＋∠ADB, ∠AOB ＝3∠ADB ，∴∠OBE ＝ 2∠ADB ，∴∠OEB ＝2∠ADB ，∵∠OEB ＝∠D ＋∠DOE ，∴∠D ＝∠DOE ，∴DE ＝OE ＝OB ，D 选项正确；若EB ＝OE ＝OB ，即△OBE 是等边三角形时，DE ＝OE ＝OB ，∴A 选项错误；若∠BOE ＝90°，即△OBE 是等腰直角三角形时，BE ＝2OE ，则2DE ＝EB ，∴B 选项错误；若3DE ＝DO ，则OD ＝3OE ＝3OB ，题中条件不满足，∴C 选项错误，故选D.4. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，以AB 为直径的⊙O 与BC 交与点D ，与AC 交于点E ，连接OD 交BE 于点M ，且MD ＝2，则BE 长为______．【答案】8【解析】连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，AC ⊥BE ， ∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∴OD 是△AB C 的中位线，∴OD 12AC ，∴OD ⊥BE ，∴BE ＝2BM在Rt △OBM 中，BM ＝（AB2）2－（AB2－MO ）2＝（102）2－（102－2）2＝4，∴BE ＝2BM ＝85. ⊙O 的半径为1，弦AB ＝2，弦AC ＝3，则∠BAC 的度数为________． 【答案】15°或75°【解析】如解图，当AB 、AC 在圆心O 同侧时，作OD ⊥AC 于点D ，作OE ⊥AB 于点E ，则AD ＝12AC ＝32，AE ＝ 12AB ＝22，在Rt △AOD 中，cos ∠OAD ＝AD OA ＝32，∴∠OAD ＝30°，同理在Rt △OAE 中，∠OAE ＝45°，∴∠BAC ＝∠OAE －∠OAD ＝15°，当AC 、AB 在圆心O 异侧时，同理可得∠B ′AC ＝∠OAE ＋∠OAD ＝75°.6.如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC.(1)求证：∠FBC ＝∠FCB ；(2)已知FA ·FD ＝12，若AB 是△ABC 外接圆的直径，FA ＝2，求CD 的长．第6题图【答案】(1)证明：∵四边形AFBC 内接于圆， ∴∠FBC ＋∠FAC ＝180˚， 又∵∠CAD ＋∠FAC ＝180˚， ∴∠FBC ＝∠CAD ，∵AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线， ∴∠EAD ＝∠CAD ， 又∵∠EAD ＝∠FAB ， ∴∠FAB ＝∠CAD ， 又∵∠FAB ＝∠FCB ， ∴∠FBC ＝∠FCB ；(2)解：由(1)知∠FBC ＝∠FCB ， 又∵∠FCB ＝∠FAB ，∴∠FAB ＝∠FBC ， 又∵∠BFA ＝∠BFD ， ∴△AFB ∽△BFD ， ∴BF FD ＝FA BF，即BF 2＝FA ·FD ＝12， ∴BF ＝23， 而FA ＝2， ∴FD ＝6，AD ＝4， ∵AB 为圆的直径， ∴∠BFA ＝∠BCA ＝90˚， ∴tan ∠FBA ＝AF BF ＝223＝33，∴∠FBA ＝30˚， 又∵△AFB ∽△BFD ， ∴∠FDB ＝∠FBA ＝30° ∴CD ＝AD ·cos30˚＝2 3.7.已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过D 点的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形．(1)求证：△DFB 是等腰三角形； (2)若DA ＝7AF ，求证：CF ⊥AB.第7题图【答案】 证明：(1)∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵△AEF 是等边三角形， ∴∠EAF ＝∠EFA ＝60°， ∴∠ABC ＝30°，∴∠FDB ＝∠EFA －∠ABC ＝30°， ∴∠FBD ＝∠FDB ， ∴FB ＝FD ，∴△DFB 是等腰三角形； (2)设AF ＝a ， 则AD ＝7a ，连接OC ，如解图，则△AOC 是等边三角形， 由题意得，BF ＝2－a ＝DF ， ∴DE ＝2－a －a ＝2－2a ，CE ＝1－a ，在Rt △ADC 中，DC ＝（7a ）2－1＝7a 2－1， 在Rt △DCE 中，tan30°＝CE DC＝1－a7a 2－1＝33， 解得，a ＝－2(舍去)或a ＝12，在△AOC 中，OA ＝1， ∴AF ＝12＝12OA ，则CF ⊥OA ， 即CF ⊥AB .。