第一型线面积分
高数(二)期末复习题库
∫L xdy − 2 ydx = (
B
).
( D ) 4. xdy − ydx 2 2 2. 判断：若 L为正向单位圆周 x + y = 1, 则∫ = 2π .( ) 2 2 L x + y 3. 计算曲线积分 I = ∫ ( 2 xy − x 2 )dx + ( x + y 2 )dy , 其中L是由
2. 设f ( x )是周期为2π的周期函数，且
⎧ 0 , − π ≤ x < 0, 当x = π 时，它的傅里叶级数 f ( x) = ⎨ ⎩ x , 0 ≤ x < π.
收敛于：
π
2
第一型曲线积分
第10章 线面积分
⎧ x = ϕ ( t ), 1. 设f ( x , y )在曲线弧 L上连续， L的参数方程为 ⎨ ⎩ y = ψ ( t ), (α ≤ t ≤ β ), 其中ϕ ( t ),ψ ( t )在[α , β ]上具有一阶连续导数， 且ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0，则曲线积分 ∫ f ( x , y )ds =
∞ n =1
( B ) 若交错级数 ∑ ( −1)n un收敛，则必为条件收敛 ； (C ) 当 lim un = 0时，级数 ∑ un一定收敛;
n→ ∞ n =1 ∞
( D ) 若对级数 ∑ un的项任意加括号后所成 的新级数发散，
n =1
∞
则原级数一定发散 .
级数敛散性的判别
5. 下列命题正确的是 ( B )
L
( A) 1； ( B ) 3 ；
(C ) 2 ；
√
抛物线 y = x 2和x = y 2所围成的区域 D正向边界曲线 .
《线面积分计算》课件
参数化和面积元素：
曲面积分的计算通常需要对 S 进行合适的参数 化，以便计算面积元素。
计算公式和几何意义：
二元函数曲面积分的计算公式较复杂，但可以 通过对参数化和面积元素的精细分析进行计算。
计算例题：
线面积分计算
本课程简要介绍线面积积分的概念和计算方法，以及其在数学和物理等领域 中的应用。
什么是线面积分
线积分和面积积分的区别：
线积分是对函数沿曲线的积分，而面积积分是 对函数在曲面上的积分。
参数方程和向量场的概念：
线面积分中经常使用参数方程描述曲线或曲面， 在向量场中则经常使用参数方程描述向量。
一元函数线积分的计算方法
定义式和性质：
一元函数线积分的定义式通常可以表示为 $\int_C f(x,y)ds$ 。在计算中，常常使用曲线长度公式。
计算例题：
通过细致计算某条曲线的线积分，学生可以更加深 入地理解一元函数线积分的概念和计算方法。
二元函数线积分的计算方法
1
定义式和性质：
二元函数线积分的定义式为 $\int_C
理论结合实践，多练习计
线面积积分分别描述了函
学中有很多重要应用，如
算题，是掌握线面积积分
数在曲线和曲面上的积分，
计算电场强度和电势差。
的关键。
有着重要的数学和物理应
用。
3
通过线面积积分计算电场强度和 电势差：
通过对电荷分布和电场分布的描述，可
计算例题：
4
以应用线面积积分的计算方法得出电场
强度和电势差的数值。
通过计算某个带电体的电场强度和电势
线面积分的计算小结
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
(3) 两类曲面积分的转化
1.
计算 x d y d z y d z d x z d x d y,其中 为半球面
z
（1）定义 （2）性质（可积性、线性性、可加性、方向性）
（3）计算方法（化为二重积分） （4）高斯公式(注意加辅助曲面的技巧) ;
（5）斯托克斯公式（空间曲线积分， 线面积分间的关系）。 （6）物理应用（场穿过曲面指定侧的通量）。
曲面积分的计算法
曲面积分
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
解: I (x2 y2 z2 ) 2xy 2 yz dS (2x 2z) d S 2 (x z)ydS
斯托克斯( Stokes ) 公式
P d x Q d y R d z
dydz dzdx
x
y
P
Q
dxd y
yz
1 3
(3)
d
S
1
3
z
dS
x
3 2
z
B n
oC
A
y
x
:x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
二、曲面积分
1、第一类曲面积分
（1）定义 （2）性质（可积性、线性性、可加性） （3）计算方法（化为二重积分） （4）物理应用（质量、重心、引力）。
2、第二类曲面积分
数学分析》教学大纲
《数学分析》教学大纲一、课程性质、地位和作用《数学分析》是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的最重要的专业基础课和核心必修课。
本课程理论严谨、系统性强。
通过本课程的学习，要使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法,为学习后继的所有专业课程奠定必要的数学基础。
要通过各个教学环节逐步培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力，具备熟练的运算能力和技巧，提高建立数学模型，并应用微积分学这一工具解决实际应用问题的能力，为今后从事基础数学和应用数学方面的研究打下扎实的理论基础。
二、课程教学对象、目的和要求本课程适用于数学与应用数学、信息与计算科学等本科专业。
课程教学目的、要求：了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的历史背景及数学思想.掌握微积分学的基本理论, 方法和技巧,并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。
能较熟练地应用微积分学的思想方法解决实际问题。
1、重视微积分学理论的产生离不开物理学，天文学,几何学等学科的发展。
在教学实践中应强化微积分学与相邻学科的联系，强调应用背景。
2、重视相关知识的整合,将一元函数与多元函数的极限,连续及求导(微分）整合，将不定积分与定积分的计算方法整合,将重积分和线面积分整合，将反常级数与反常积分的收敛性整合, 将函数列, 函数项级数和含参量反常积分的一致收敛性整合。
3、除体现本课程严格的逻辑体系外, 要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法。
４、为了提高学生的数学修养,应重视基本定理的论证。
用ε－δ的思想贯穿于极限的存在性，定积分的存在性，(一致)收敛性及(一致)连续性等理论的论证中。
５、以课堂教学为主, 重视习题课对学生理解掌握所学知识的作用.6、重视实数理论体系对学习微积分学理论和建立现代数学观点的不可或缺的作用。
三、相关课程及关系本课程在大学本科第一、二、三学期开设，是数学与应用数学、信息与计算科学等本科专业的最重要的专业基础课,是所有后继专业课程（如:微分方程、概率论与数理统计、复变函数、实变函数、泛函分析、计算方法、微分方程数值解等等）的基础。
第一型线积分和面积分
为平面曲线,给极坐标方程 当 C 为平面曲线 给极坐标方程
ds
r = r(θ ) , α ≤ θ ≤ β
b
r
rdθ
dr
Q ds = (rdθ )2 + (dr)2 = r 2 + (r′ )2 dθ θ
∫
C
f ( x, y)ds= ∫ f (r(θ )cosθ , r(θ )sinθ ) r 2+ rθ′ 2 dθ
两柱面的方程分别为
-. 05
0
05 .
和 y = R2 x2 . z= R x
2 2
充分利用图形的对称性, 充分利用图形的对称性 只
z = R2 x2
需对定义在
Dxy : x + y ≤ R , x ≥ 0, y ≥ 0
2 2 2
上的一片柱面 z = R2 Байду номын сангаасx2
y = R2 x2
作计算， 作计算， Q z′ = x
9
= 2∫
π /2
0
sintdt = 2
用极坐标) 解3 (用极坐标 C: r = 1, ≤ θ ≤ 用极坐标
2
π
π
2
I = ∫ y ds = ∫ sinθ ds
C
C
= 2∫
π /2
0
sinθ 12 + 02 dθ = 2
例4
x2 y2 + =1 (求柱面的侧面积 设椭圆柱面 求柱面的侧面积) 求柱面的侧面积 5 9
∫∫
σ uv
S
f ( x, y, z)dS
2 2 2
= ∫∫ f ( x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A + B + C dudv
高数讲座-线面积分选讲（精品pdf）
一.第一类线面积分的简化充分利用积分曲线与曲面的方程与对称性.例.求(22LI x x y ds ⎡⎤=++⎣⎦⎰ ,其中()22:11L x y +-=.解.(((22222LLLI y ds yds ds π⎤=+=+=+=+⎦⎰⎰⎰. 例.求()I xy z ds Γ=+⎰ ,其中2221:0x y z x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩. 解.()()()1233I xyds x y ds xy yz zx ds x y z ds ΓΓΓΓ=-+=++-++=⎰⎰⎰⎰ ()()22221110663x y z x y z ds ds πΓΓ⎡⎤++-++-=-=-⎣⎦⎰⎰ . 注.求()23I x y z ds Γ=++⎰ ,其中2221:0x y z x y ⎧++=Γ⎨+=⎩. 解.()()32333002I x y z ds xds zds x y ds ΓΓΓΓ=++=+=++=⎰⎰⎰⎰ . 例.求()2I x dS ∑=⎰⎰ ,其中222:2x y z y ∑++=.解.()()()222222222342222I x y z dS x y dS x y z dS ∑∑∑=++=+=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()441416ydS y dS dS π∑∑∑=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ .二.第二类线面积分的估值例.设()33cos :02sin x a t L t y a t π⎧=≤≤⎨=⎩,逆时针方向,()()222L ydx xdy F a x xy y -=++⎰ , 证明:()lim 0a aF a →+∞=. 解.设()222yP xxy y=++,()222xQ xxy y-=++,则()LF a Pdx Qdy =+=⎰(),max 6n LLLP Q e ds ds a ⋅≤≤=⋅⎰⎰⎰,而22222x y x xy y +++≥()3322222432a x xy y x y =≤≤+++,故 ()2192F a a ≤,因此()lim 0a aF a →+∞=.例.设∑为圆柱体()()()2200413x x y y z -+-≤≤≤的外表面,证明:()()22cos sin 2x y dydz xy dzdx dxdy ∑+++≤⎰⎰ . 证.()n n A dS A e dS A e dS A dS dS ∑∑∑∑∑⋅=⋅≤⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,证毕.注.第二类线面积分的估值除了转化为第一类线面积分,也可以 用格林公式和高斯公式转化为重积分.例.设22:0L x y x y +++=,逆时针,证明:22cos sin Lx y dy y x dx -≤⎰证.左式()()2222cos sin cos sin 2DDy x d x x d πσσ=+=+≤⎰⎰⎰⎰,证毕.例.设22:1L x y +=,逆时针,证明:sin sin 222545y x Lxe dy ye dx x y π--≥+⎰. 证.左式sin sin sin sin sin sin 222254545y x y x y xL D D xe ye e e e e dy dx d y x y x σ---⎛⎫+=-=+≥= ⎪-+-+⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ()sin sin 122555x xD D e e d d σσπ-+≥=⎰⎰⎰⎰,即得,证毕. 三.第二类线积分的计算 例.求224Lxdy ydxI x y-=+⎰,其中L 从()1,0A -沿y =到()1,0B ,然后 再沿直线到()1,2D -的有向曲线.解一. cos :sin x tAB y t=⎧⎨=⎩,:0t π-→,:1BD y x =-+,:11x →-,故12221374cos sin 521288dt dx I t t x x ππππ---=+=+=+-+⎰⎰; 解二.由于Q Px y ∂∂=∂∂,故取()1,1C --,()1,1E -,()1,2F ,则 ACCEEBBFFDI =++++⎰⎰⎰⎰⎰;解三.除原点,Q Px y ∂∂=∂∂,取222:4C x y r +=,逆时针,则L DA DAI +=-=⎰⎰ 222222241172488CDAx y r xdy ydx dy dxdy r r y πππ+≤---=-=-=+⎰⎰⎰⎰⎰. 注.若在区域D 内Q Px y ∂∂=∂∂,则(1)当D 单连通时,0CPdx Qdy +=⎰ ; (2)当D 内有洞时,对所有绕洞的闭曲线C ,CPdx Qdy +=⎰ 常数.例.求()()()()22222222222222L y y x xI dx dy x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤-+=++-⎢⎥⎢⎥-+++-+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰ , 其中22:9L x y +=,取逆时针方向.解.取()2221:2L x y r -+=,()2222:2L x y r ++=,均为逆时针方向,则12L L I =+⎰⎰ ,而()()112222222222222r L L B y y x x dx dy d r r r x y x y σπ⎡⎤⎡⎤-+-=++-==-⎢⎥⎢++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ , 类似地,22L π=-⎰ ,故224I πππ=--=-.例.求x y z dx y z x dy z x y dz I +-++-++-=,其中的Γ为曲线22211x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩上逆时针从()1,0,0A 到()0,0,1B 的一段弧.解一.2221:1x y z x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩在xOy 上的投影为22:0x xy y x y 'Γ++--=,22223x y x xy y ξηξηξη=-⎧⎨=+⎩++=+,故2222032x xy y x y ξηξ++--=⇒+-=2211333ξη⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,令11cos 3311cos 1133cos 33121cos 33x t t t y t t tz x y tξη⎧=+-⎪⎧⎪=+⎪⎪⎪⇒=++⎨⎨⎪⎪=⎪⎪⎩=--=-⎪⎩,又:013z t ππ→⇒=-→,故3I dt ππ==⎰. 解二.()()()12121212BABAI z dx x dy y dz I I ΓΓ+=-+-+-=-=-⎰⎰⎰,其中()11,1,1rot 12,12,12121212n ijkI z x y e dS x y z z x y∑∑∂∂∂=---⋅==∂∂∂---⎰⎰⎰⎰()11,1,12122,2,23332I dS ππ∑∑⎡⎤⎛⎫=---==--⎥ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎦⎰⎰, ()()()112001211221I x dx d x x dx =--+-=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰,故I =.注.∑是边长为的等边三角形的外接圆减去一个小圆缺. 解三.代入1z x y =--,则()()221I x y dx x y dy 'Γ=+---=⎰()()1042216216196D OAOA x dx d x dx σπ'Γ+⎛⎫--=---=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ . 注.求()()()22222223I y z dx z x dy x y dz Γ=-+-+-⎰,其中1:2x y x y z ⎧+=Γ⎨++=⎩,从z 轴正向看为逆时针方向.解.代入2z x y =--,则()()2222223242I x y z dx x y z dy 'Γ=-+-+-++=⎰()12221224xyxyD D x y d d σσ--+=-=-⎰⎰⎰⎰.例.求()22222ydx xdy z x y dzI x y Γ--+=+⎰,其中22221:1x y a b x y z ⎧+=⎪Γ⎨⎪++=⎩,从z 轴正向 看逆时针. 解.2222rot ,,20y xz x y x y ⎛⎫-=⎪++⎝⎭,但是Γ张成的曲面均与z 轴有交点, 故不能直接用斯托克斯公式,注意到对所有逆时针围绕z 轴的1Γ,Γ与1-Γ均张成一个围绕z 轴的曲面,故()111I Γ+-Γ-ΓΓ=-=⎰⎰⎰ ,于是取2211:0x y z ⎧+=Γ⎨=⎩,则122DI ydx xdy d σπΓ=-=-=-⎰⎰⎰ . 四.第二类面积分的计算注.若12∑=∑+∑关于xOy 面对称,1∑与2∑在xOy 面上的投影相反, 则当()(),,,,R x y z R x y z -=时,(),,0R x y z dxdy ∑=⎰⎰;当()(),,,,R x y z R x y z -=-时,()()1,,2,,R x y z dxdy R x y z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰.例.求()()()I y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰,其中∑为半球面z =222x y x +=截下部分的上侧.解.由于∑关于xOz 面对称,故()()I y z dydz x y dxdy ∑=-+-⎰⎰,又22222424220x x y x zz x x y z x z y zz z +=⎧-++=⇒⇒=⎨+=⎩,y yz z -=,故 ()()()22,0,,,1x y x I y z x y dxdy y z x y dxdy z z z ∑∑---⎛⎫⎡⎤=--⋅--=-+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()22222xy D x y x y x y d d σσπ+≤⎡⎤+-=⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.例.求2222cos cos cos dydz dzdx dxdyI x x y z z∑=+-⎰⎰,其中2222:x y z R ∑++=外侧. 解.()222,,211,,cos cos cos x y z I dS x x y z z R ∑⎛⎫=-⋅=⎪⎝⎭⎰⎰ 2222221211211cos cos cos cos cos cos y dSdS dS R x y z R x z R z∑∑∑⎛⎫⎛⎫+-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰22224tan x y R R π+≤=⎰⎰.例.求()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z∑++=++⎰⎰,其中()()()22211:1025167x y z z --∑++=≥ 上侧.解.取1:z ∑=()()22222211:0,12516x y z x y r ⎛⎫--∑=+≥+≤ ⎪ ⎪⎝⎭,均取下侧,则12121312I xdydz ydzdx zdxdy r π∑+∑+∑∑∑-∑=--=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ . 注.若()22:212z x y z ∑=+--≤≤外侧,可取()221:24z x y ∑=+≤上侧,()222:11z x y ∑=-+≤下侧,22223:x y z r ∑++=外侧,则 ()121231231=I xdydz ydzdx zdxdy r ∑+∑+∑∑∑∑∑∑=--=++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰换曲面,再用高斯公式.。
第十一章线面积分（何涛一）
一 基本要求1. 理解两类线面积分的概念，掌握两类线面积分的性质。
2. 掌握两类线积分以及两类面积分之间的联系和区别，会计算两类线面积分。
3. 熟练掌握格林（Green）公式,会用平面曲线积分与路径无关的条件。
4. 熟练掌握高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式，会计算空间曲线积分5. 会用两类线面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积，弧长，质量，重心，转动惯量，功等）。
6. 了解散度，旋度以及场论的概念及其计算方法.二 学习指导【11-1】第一型曲线积分的要点是什么？ 答 第一型曲线积分是关于曲线弧长的积分（22)()(dy dx ds +=），计算时应根据不同的曲线方程变换相应的，转换成定积分. ds 【11-2】关于第一型曲线积分的对称性.1.设L 为光滑曲线，且关于轴对称，为曲线y 1L L 位于轴右侧的弧段， 在y (,)f x y L 上的连续，则10(,)2(,)LL f x f x y ds f x y ds f x ⎧⎪=⎨⎪⎩∫∫为的奇函数为的偶函数2. 设L 为光滑曲线，L 的方程关于y x ,具有轮换性，为(,)f x y L 上的连续函数，则(,)(,)LLf x y ds f y x ds =∫∫，3. 设为光滑的空间曲线，ΓΓ的方程关于z y x ,,具有轮换性，为上的连续函数，则（f Γ∫∫∫ΓΓΓ==ds z f ds y f ds x f )()()(222)()()(dz dy dx ds ++=）4.当被积函数1),(=y x f 时，（弧长计算公式）∫=LLds ds y x f ),(∫……………………………………………………………………………… 【11-3】第二型曲线积分的主要计算方法.(1) 将曲线方程（直角坐标，参数方程，极坐标方程）代入后化定积分计算. (2) 用格林（Green）公式化二重积分计算. (3) 用平面曲线积分与路径无关的条件计算.………………………………………………………………………………………… 【11-4】第一型曲面积分的要点是什么？计算应注意什么？答 第一型曲面积分是关于曲面面积的积分。
线面积分总结
圆Γ的形心 在原点, 故
X =0
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例. 计算
其中Γ 为曲线
z
解: 利用对称性 , 有
Γ
Γ
o
y
∫Γ
x2 ds = ∫ y2 ds = ∫ z2 ds
Γ
x
(Γ的重心在原点)
利用重心公式知
2 2 2 2 ∴ I = ∫ (x + y + z )ds 3 Γ 4 3 = πa 3
2
解: 显然球心为 (1 1 1) , 半径为 3 ,, 利用对称性可知
2 4 2 2 2 ∴ I = ∫∫ (x + y + z ) d S = ∫∫ (x + y + z) d S 3 ∑ 3 ∑ ∫∫∑ xd S = ∫∫∑ yd S = ∫∫∑ zd S 利用形心公式
= 4∫∫ xd S = 4⋅ x ⋅ ∫∫ d S
= 4∫
π
0
4 a2 cosθ dθ
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的圆弧 L 对于它的对 例. 计算半径为 R ,中心角为 称轴的转动惯量I (设线密度µ = 1). 解:
y
I = ∫ y ds
2 L
x = Rcosθ ( −α ≤θ ≤α ) L: y = Rsinθ
α
−α
L α o R x
∫ P(x, y, z)dx = ∫
(c)
b大
a小 b终
P(x, y(x), z(x)) d x
= ∫ P(x, y(x), z(x)) d x
a起
(S )
∫∫ f (x, y, z) d S = σ f (x, y, z(x, y)) ∫∫
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D yz
若的方程为 y y( x, z), Dxz : 在xz 平面上的投影,则
f ( x, y, z)dA f ( x, y( x, z), z)
1
y
2 x
yz2 dxdz.
Dxz
曲面的面积A 1dA
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
Dxy
1
x
2 y
xz2 dydz
D yz
1
y
2 x
y
b
f ( x, y( x))
1 ( y( x))2 dx
L
a
(3) L : x x( y), c y d
f ( x, y)ds
d
f ( x( y), y)
1 ( x( y))2 dy
L
c
(4) L : ( ),
f ( x, y)ds
L
f (( )cos , ( )sin )
2( ) (( ))2d
x x(t),
(5)
L
:
y
y(t ),
t
z z(t),
f ( x, y, z)ds
L
f ( x(t), y(t), z(t))
( x(t))2 ( y(t))2 (z(t))2dt.
注 : 第一型曲线积分无方向性,化成定积分时积分 限应上限大于下限。
例1
计算 e x2 y2 ds, L是由圆周x2 y2 a2(a 0),直线 L
第一型曲面积分
概念：
n
f
( x,
y, z)dA
lim
d 0 k 1
f
(ξk ,ηk ,
k
)Ak
,
计算：
设光滑曲面的方程为z z( x, y), 在 xy 面上的投影区 域 为Dxy , z( x, y)在Dxy上 有一 阶 连 续偏 导 数, f ( x, y)在上 连 续, 则
f ( x, y, z)dA
y x及x轴在第一象限中所围成图形的边界曲线。
2（ea 1) a ea
4
例2
计算 | y | ds, L是双纽线( x2 y2 )2 a2( x2 y2 ). L
2a2(2 2 )
例3 计算 ( x y z2 )ds, L为球面x2 y2 z2 a2与 L 平面x y z 0的交线。
2 z
dxdz
Dxz
例6 求旋转抛物面z x2 y2上在平面z 1 下面的一部分曲面的面积。
(5 5 1)
6
z
z1
z x2 y2
o
x1
1y
例7
计算
x2
dA y2
z2
,其
中 为球面
x2 y2 z2 4在第一卦限中的部分。
2
例8
计算(z 2x
4 y)dA,其中为平面 3
x y z 1在第一卦限中的部分。 2 34
4 61
例9 设曲面是球面x2 y2 z2 a2被平面z h(0 h a)
所截的顶部，求
1 z
dA
2a ln a
h
例10
计算 ( xy yz zx)dS，其中是由锥面z x2 y2
被柱面x2 y2 2ax所截得的有限部分。 z
64 2 a4
y
15
o
x
f ( x, y, z( x, y))
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
.
Dxy
z z( x, y)时，dA
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
若方程为 x x( y, z), Dyz : 在yz 平面上的投影,则
f ( x, y, z)dA f ( x( y, z), y, z)
1
x
2 y
xz2 dydz.
2 a3
3
例4 计算
（( x
L
y)2
z2 )ds,
其中L :
x2
y2 x
z2 z1
9 2.
18
例5 求圆柱面x2 y2 1位于平面z 0上方与z y
下 方 那 部 分 的 侧 面 积A.
2
当f ( x, y) 0 时, L f ( x, y) ds 表示以 L 为准线,
母线平行于z轴, 高为z f ( x, y)的柱面面积。
计算
L是平面xOy内的分段光滑曲线, 函数f在L上连续，
弧微分公式: ds (dx)2 (dy)2
x x(t),
(1)
L:
y
y(t ),
t
f ( x, y)ds
f ( x(t), y(t))
( x(t))2 ( y(t))2dt.
L
(2) L : y y( x), a x b
f ( x, y)ds