第十三讲 三重积分和线面积分
三重积分定理
三重积分定理三重积分定理是微积分中的重要概念之一，它是对三重积分在不同坐标系下的计算方法进行了总结和推广。
通过三重积分定理，我们可以将三重积分的计算问题转化为曲线积分或曲面积分的计算问题，从而简化了计算的复杂性。
三重积分定理的原理可以用以下方式描述：设有一个连续函数$f(x, y, z)$在一个封闭区域$V$内有定义，$V$的边界为曲面$S$。
如果对于$V$内的任意一个闭曲面$S'$，都有$\int_{S'} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dS = \int_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$成立，其中$\mathbf{F}$是一个向量场，$\nabla \cdot \mathbf{F}$是$\mathbf{F}$的散度，那么我们可以得到$\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = \int_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$，其中$\mathbf{n}$是曲面$S$的单位法向量。
通过三重积分定理，我们可以将三重积分的计算问题转化为曲线积分或曲面积分的计算问题，进而简化计算的复杂性。
这是因为在实际计算中，曲线积分和曲面积分往往更容易计算，而且有更多的计算工具和技巧可供选择。
在具体应用中，三重积分定理可以用于求解物理学、工程学和计算机科学等领域的问题。
例如，在物理学中，可以利用三重积分定理计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量。
在工程学中，可以利用三重积分定理计算流体的质量、能量、动量等参数。
在计算机科学中，可以利用三重积分定理计算三维物体的体积、表面积、几何特征等。
需要注意的是，三重积分定理的应用需要满足一些前提条件。
首先，被积函数必须在积分区域内连续，否则积分结果可能会发散或者不收敛。
其次，积分区域必须是封闭的，即区域的边界是连续的闭曲面。
最后，被积函数必须满足一定的可微条件，以保证定理的有效性。
三重积分公式
三重积分公式三重积分是数学中的一个重要概念，对于很多同学来说，可能一开始会觉得有点头疼。
但别担心，咱们一起来把它拿下！先来说说啥是三重积分。
想象一下，咱们有一个三维的空间，就像一个大大的立体盒子。
在这个盒子里，有个函数值在每一个点上都有定义。
三重积分呢，就是要把这个函数在这个立体盒子里的总体“效果”给算出来。
比如说，咱们假设这个立体盒子是一个大蛋糕。
这个蛋糕的密度不是均匀的，有的地方松软，有的地方紧实。
咱们想知道这个蛋糕的总质量，这时候就得用到三重积分啦。
那三重积分的公式是咋来的呢？这可不是凭空冒出来的。
它其实是从一重积分、二重积分慢慢“进化”来的。
一重积分呢，就像是在一条线上算面积；二重积分呢，就在一个平面上算体积；那三重积分，自然就是在一个三维空间里算某种“量”啦。
给大家举个具体的例子吧。
有一次我在课堂上讲三重积分，有个同学怎么都理解不了。
我就问他：“你想想，假如你有一堆形状不规则的积木堆在一起，你怎么知道这堆积木的总体积呢？”这同学挠挠头说不知道。
我就接着说：“咱们把这堆积木所在的空间划分成很多很多小格子，每个小格子的体积咱们能算出来，然后再根据每个小格子里积木的情况，乘以对应的函数值，把这些都加起来，不就得到总体的量了嘛！”这同学恍然大悟，眼睛一下子亮了起来。
再来说说三重积分的公式形式。
它看起来有点复杂，一堆的符号和表达式。
但别怕，咱们一点点拆解。
三重积分的一般形式是这样的：∭Ω f(x,y,z) dV 。
这里的Ω 表示积分区域，f(x,y,z) 就是咱们要积分的那个函数，dV 呢，表示体积元素。
计算三重积分的时候，咱们得根据积分区域的形状，选择合适的坐标。
常见的有直角坐标、柱坐标和球坐标。
直角坐标大家都比较熟悉啦，就是咱们平常的 x、y、z 轴。
柱坐标呢，就是多了个极径 r 和极角θ 。
球坐标呢，则是多了个球半径ρ 和两个角度φ 和θ 。
每种坐标都有自己的适用情况。
比如说，如果积分区域是个圆柱体，那用柱坐标可能就会简单很多；要是积分区域是个球体，那球坐标就派上用场啦。
三重积分的概念和计算方法
三重积分的概念和计算方法三重积分是数学中的一个重要概念，是在三维空间中求解某个空间区域内函数值的方法。
本文将介绍三重积分的基本概念以及常见的计算方法。
1. 三重积分的概念三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算，用于描述空间区域内某个物理量的总量。
在三维空间中，我们将积分区域分成无限个微小的体积元，通过将这些微小体积元叠加起来，就可以计算出整个积分区域内函数值的总和。
2. 三重积分的符号表示三重积分通常用∬∬∬f(x,y,z)dxdydz表示，其中f(x,y,z)为被积函数，dxdydz表示积分元，代表了积分的区间范围。
3. 三重积分的计算方法在计算三重积分时，需要确定积分的区域以及被积函数的表达式。
3.1 直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，我们常用直角坐标系(x, y, z)来描述三维空间的位置。
对于一般的积分区域，可以通过确定积分的上下限来确定积分的范围。
3.1.1 矩形坐标系中的三重积分计算方法对于矩形坐标系中的三重积分，可以根据积分区域的形状选择合适的积分顺序，并通过嵌套积分的方式来计算。
常见的积分顺序有xyz、xzy、yxz、yzx、zxy和zyx六种情况，具体选择哪种积分顺序需要根据具体问题进行分析和判断。
3.1.2 柱坐标系中的三重积分计算方法在柱坐标系中，我们用ρ、φ和z来描述空间的位置。
对于圆柱形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合柱坐标系的变换公式进行计算。
3.1.3 球坐标系中的三重积分计算方法在球坐标系中，我们用r、θ和φ来描述位置。
对于球形的积分区域，可以通过确定积分的范围来进行计算。
根据积分区域的形状，可以选择适合的积分顺序，并结合球坐标系的变换公式进行计算。
4. 三重积分的应用领域三重积分在物理、工程、几何等领域都有着广泛的应用。
常见的应用包括计算空间体积、质量、质心、转动惯量、质心坐标等。
5. 三重积分的计算实例为了更好地理解和掌握三重积分的计算方法，我们举一个简单的实例来进行说明。
三重积分定理
三重积分定理
“三重积分定理”是微积分中的一个重要定理，它描述了如何计算一个向量在三维空间中的投影面积。
这个定理对于许多应用领域都具有很大的意义，如计算机图形学、物理仿真等。
“三重积分定理”指出，如果有一个三维的向量v和另一个三维的向量w，以及一个在三维空间中距离v和w的距离为r的平面，那么这个向量在三维空间中的投影就是v·w·r。
其中，“·”表示向量的点积。
这个定理看起来很简单，但是它蕴含了很多有趣的应用。
例如，在计算机图形学中，如果我们想要计算一个物体在三维空间中的投影，我们可以通过计算这个物体与相机之间的距离，然后将这个距离与物体在三维空间中的距离的点积作为投影。
这个方法在计算机图形学中非常常见，因为它可以实现许多有趣的视觉效果。
另外一个有趣的应用是物理仿真。
在物理仿真中，我们经常需要计算一个物体在三维空间中的投影。
根据“三重积分定理”，我们可
以通过计算这个物体与观察点之间的距离的点积与观察点到物体距离的平方的乘积作为投影。
这个方法在物理仿真中也非常重要，因为它可以实现许多有趣的物理效果。
“三重积分定理”在实际应用中也非常实用。
例如，在机械工程中，如果我们想要计算一个机械臂在三维空间中的投影，我们可以通过计算这个机械臂与目标点的距离的点积作为投影。
这个方法在机械工程中非常常见，因为它可以帮助我们实现许多机械工程中的设计。
总之，“三重积分定理”是微积分中一个非常重要的定理。
它对于许多应用领域都具有很大的意义，可以帮助我们实现许多有趣的视觉效果和物理效果。
三重积分及其计算
思考题
( A)
( B)
2
0
dx
1
2
(C )
( D)
0 2
dx
x 2 2 x 2 2
dy f ( x , y , z )dz;
2
x
0
2
dx
1 1
dy f ( x , y , z )dz;
2 2
x
0
dx
x 2 2x 2 2
1
dy f ( x , y , z )dz;
1
例3
化三重积分 I
2 2 2
f ( x , y , z )dxdydz 为三
次积分，其中 积分区域 为由曲面
z x y , y x ,y 1, z 0
所围成的空间闭区域.
解
: 0 z x2 y2 ,
x2 y2
x 2 y 1, 1 x 1.
2 0
0
f ( x , y , z )dx
1 二、 . 364 三、 0. 四、 ln 2 .
是曲面z 0, z y , y 1 , 三、计算 xzdxdydz ,其中
以及抛物柱面 y x 2 所围成的闭区域. 1 是由六个顶点 dv ,其中 四、计算 2 2 x y A(1,0,0), B(1,1,0), C (1.1.2), D( 2,0,0),
E ( 2,2,0), F ( 2,2,4) 组成的三棱锥台.
练习题答案
一、1、 dx
1
a
1
1 x 2
1 x 2
b 1 x2 a2
dy
高等数学中的三重积分与曲面积分
高等数学中的三重积分与曲面积分在高等数学中，三重积分和曲面积分是两个重要的概念和计算方法。
它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍三重积分和曲面积分的基本概念、计算方法以及它们的应用。
一、三重积分三重积分是对三维空间中某一区域内的函数进行求和的方法。
它可以看作是二重积分的推广。
三重积分的计算需要确定积分区域的边界和积分函数的形式。
一般来说，三重积分可以分为直角坐标系下的三重积分和柱坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下，三重积分的计算可以通过分割积分区域为小立方体，并对每个小立方体进行求和来实现。
具体地，我们可以将积分区域分割成若干个小立方体，每个小立方体的体积为ΔV，然后对每个小立方体内的函数值进行求和，并在极限情况下求得积分的值。
这种方法称为立体分割法。
在柱坐标系下，三重积分的计算可以通过极坐标变换来实现。
具体地，我们可以将积分区域由直角坐标系转化为柱坐标系，然后对柱坐标系下的函数进行积分。
柱坐标系下的三重积分的计算方法相对简单，适用于具有旋转对称性的问题。
二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行求和的方法。
它可以看作是线积分的推广。
曲面积分的计算需要确定曲面的参数方程和积分函数的形式。
一般来说，曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
第一类曲面积分是对曲面上的标量函数进行求和的方法。
具体地，我们可以将曲面分割为若干个小面元，每个小面元的面积为ΔS，然后对每个小面元上的函数值进行求和，并在极限情况下求得积分的值。
第一类曲面积分的计算方法相对简单，适用于曲面上的标量场问题。
第二类曲面积分是对曲面上的向量函数进行求和的方法。
具体地，我们可以将曲面分割为若干个小面元，每个小面元的面积为ΔS，然后对每个小面元上的向量函数进行求和，并在极限情况下求得积分的值。
第二类曲面积分的计算方法相对复杂，适用于曲面上的向量场问题。
三、应用三重积分和曲面积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
三重积分讲解
三重积分是微积分学中的一个重要部分，也是解决许多实际问题的基础。
以下是对三重积分的详细讲解：1.三重积分的概念：三重积分是将一个函数的积分运算转化为三个不同的积分，即分别对三个变量进行积分。
其一般形式为：∫∫∫f(x,y,z)dxdydz其中f(x,y,z)是待求积分的函数，而∫∫∫是三重积分的符号。
2.三重积分的物理背景：三重积分有着深刻的物理背景。
在物理学中，一个物体的质量分布、能量分布或者电荷分布等可以用三重积分来表示。
例如，一个物体的质量分布可以表示为空间中的密度函数f(x,y,z)，那么该物体的总质量就可以通过三重积分来计算。
3.三重积分的计算方法：三重积分的计算通常采用“分割、近似、求和、取极限”的方法。
具体步骤如下：（1）分割：将积分区域分割成许多小的立方体，每个立方体称为一个“小块”。
（2）近似：用每个小块的中心点(x',y',z')来近似该小块上的积分，即用该点的函数值f(x',y',z')来近似该小块上的积分。
（3）求和：将所有小块的积分值相加，得到粗略的积分值。
（4）取极限：将小块的尺寸逐渐缩小，使得粗略的积分值逐渐接近精确的积分值。
4.三重积分的几何意义：三重积分可以理解为空间物体的质量，即空间物体占据空间区域，在点(x,y,z)处的体密度为f(x,y,z)，整个空间物体的总质量就是将f(x,y,z)累积遍整个空间区域。
5.三重积分的性质：三重积分具有与一元定积分相同的性质，例如可加性、可移性、可换序性等。
同时，三重积分也具有与二重积分不同的性质，例如三重积分可以通过“分割、近似、求和、取极限”的过程得到精确的积分值，而二重积分则不能。
6.三重积分的实际应用：三重积分在许多实际应用领域有着广泛的应用，例如物理学中的质量分布、电荷分布、能量分布等问题，工程学中的体积计算、质量平衡等问题，以及统计学中的数据分布等问题。
通过三重积分，我们可以更好地理解和解决这些问题。
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是微积分中的重要内容，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要对三维空间中的某些物理量进行积分运算，而三重积分就是用来描述这种三维空间中的积分运算的工具。
下面，我们将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们来看三重积分的定义。
对于空间中的一个有界闭区域V，如果函数f(x, y, z)在V上有定义且在V上可积，那么三重积分∬∬∬_{V}f(x,y,z)dxdydz的计算方法如下：1. 将积分区域V投影到xy平面上，得到投影区域D。
2. 在D上选择一个合适的坐标系，通常选择直角坐标系或极坐标系。
3. 再在D上选择一个曲线坐标系，通常选择柱坐标系或球坐标系。
4. 根据选择的坐标系，写出积分的累次积分式。
5. 按照累次积分的顺序依次进行积分运算。
在实际计算中，我们通常会遇到一些复杂的积分问题，下面我们来看一些常见的计算方法。
首先是直角坐标系下的三重积分计算。
在直角坐标系下，积分区域V可以用不等式形式表示，利用三次积分的性质，可以将三重积分化为三个一重积分的累次积分。
这样就可以分别对x、y、z进行积分，从而简化计算。
其次是极坐标系下的三重积分计算。
在极坐标系下，积分区域V通常是某个平面区域在z轴上的投影区域，利用极坐标系的性质，可以将三重积分化为一个二重积分和一个一重积分的累次积分。
这样就可以利用极坐标系的简洁性，简化计算过程。
最后是球坐标系下的三重积分计算。
在球坐标系下，积分区域V通常是一个球体或球体的一部分，利用球坐标系的性质，可以将三重积分化为一个球面上的二重积分和一个一重积分的累次积分。
这样就可以利用球坐标系的简洁性，简化计算过程。
总之，三重积分的计算方法是多样的，我们可以根据具体的问题选择合适的坐标系和积分顺序，从而简化计算过程。
在实际问题中，我们需要灵活运用不同的计算方法，以便高效地解决问题。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十三讲 三重积分、曲线、曲面积分及场论初步（数一）一、考试要求1、理解三重积分的概念，了解三重积分的基本性质。
2、会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。
3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
4、掌握计算两类曲线积分的方法。
5、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。
6、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，掌握用高斯公式计算曲面积分，会用斯托克斯公式计算曲线积分。
7、了解散度与旋度的概念，并会计算。
8、 会用三重积分、曲线积分及曲面积分，求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。
9、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
二、内容提要1、 三重积分的概念 ⎰⎰⎰ΩdV z y x f ),,(2、两类曲线积分1）、对弧长的曲线积分(第一类曲线积分) (1) 定义：f x y ds f s Li i i i n(,)lim (,)=→=⎰∑λξη01∆(2) 性质：1) 与积分路径的方向无关，即f x y ds f x y ds BAAB(,)(,)=⎰⎰2) 可加性f x y ds f x y ds f x y ds L L L L (,)(,)(,)=+⎰⎰⎰+21122）、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)(1) 定义：P x y dx Q x y dy P x Q y Li i i i i i i n(,)(,)lim [(,)(,)]+=+→=⎰∑λξηξη01∆∆(2) 性质：1) 与积分路径的方向有关，即 P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy LL(,)(,)(,)(,)+=-+⎰⎰-2) 可加性P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy L L L L (,)(,)(,)(,)(,)(,)+=+++⎰⎰⎰+1122注：以上两种曲线积分可分别推广到空间中去。
3）、 两类曲线积分之间的联系(1)Pdx Qdy Pdx ds Q dy dsds P Q ds L L L +=+=+⎰⎰⎰[](cos cos )αβ cos ,cos αβ是有向曲线弧L 的切线向量的方向余弦，这切线向量的指向与L 的方向一致。
(2)P d x Q d y R d z Pdx ds Q dy ds R dzdsds P Q R ds L LL++=++=++⎰⎰⎰[](cos cos cos )αβγ3、两类曲面积分1）、对面积的曲面积分(第一类曲面积分) (1) 定义：f x y z dS f S i i i i i n(,,)lim (,,)=→∑=⎰⎰∑λξηζ01∆(2) 性质：1) 与曲面∑的侧面选择无关，即f x y z dS f x y z dS (,,)(,,)=-∑∑⎰⎰⎰⎰，其中－∑为曲面∑的另一侧2)可加性f x y z dS f x y z dS f x y z dS (,,)(,,)(,,)=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰21,其中 ∑=∑+∑122）对坐标的曲面积分(第二类曲面积分) (1) 定义：Pdydz Qdzdx Rdxdy ++∑⎰⎰(2) 性质：1) 与积分曲面的侧有关，即P d y d zQ d z d xR d x d y P d y d zQ d z d xR d x d y ++=-++∑-∑⎰⎰⎰⎰ 2) 可加性P d y d zQ d z d xR d x d y P d y d zQ d z d xR d x d y ++=+++∑∑⎰⎰⎰⎰1P d y d zQ d z d xR d x d y ++∑⎰⎰2，其中∑=∑+∑123）、 两类曲面积分之间的联系P d y d zQ d z d xR d x d y P d y d z dS Q dzdx dS R dxdydSdS ++=++∑∑⎰⎰⎰⎰[] =[cos cos cos ]P Q R dS αβγ++∑⎰⎰ 其中cos ,cos cos αβγ，为曲面∑在点(x,y,z)处的法线的方向余弦。
4、场论初步 1）、方向导数设三元函数u f x y z =(,,)在P(x,y,z)处可微，过P(x,y,z)点的有向线段L 的方向余弦为cos ,cos cos αβγ，，则∂∂∂∂α∂∂β∂∂γu L u x u y uz p P=++(c o s c o s c o s )2 ）梯度(grad u )设数量场u(x,y,z)具有连续的偏导数,则grad u u x i u y j u zk =++∂∂∂∂∂∂注：沿梯度方向的方向导数为∂∂∂∂∂∂∂∂ugradu u x u y u z =⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪2223）、 散度(divA )设A P x y z i Q x y z j R x y z k =++(,,)(,,)(,,), 则 div A P x Q y R z=++∂∂∂∂∂∂ 4）、 旋度(rotA )设A P x y z i Q x y z j R x y z k =++(,,)(,,)(,,), 则rotA i j k x y z P Q R=∂∂∂∂∂∂5）、 流量设有向量场k R j Q i P F++=，F 沿定向曲面S 的流通量为⎰⎰⎰⎰++=⋅SSdS R Q P dS n F ]cos cos cos [γβα=⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz 。
5、重积分的应用**1） 曲面的面积 ),(y x f z =，S=dxdy f f Dy x ⎰⎰'+'+2212） 质量 ⎰⎰⎰Ω=dV z y x m ),,(μ（其中),,(z y x μ为密度函数，下同）3） 重心 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dVz y x dVz y x x x ),,(),,(μμ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dVz y x dVz y x y y ),,(),,(μμ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dVz y x dVz y x z z ),,(),,(μμ4） 转动惯量 dV z y x z y I x ),,()(22μ⋅+=⎰⎰⎰ΩdV z y x z x I y ),,()(22μ⋅+=⎰⎰⎰ΩdV z y x y x I z ),,()(22μ⋅+=⎰⎰⎰ΩdV z y x z y x I ),,()(2220μ⋅++=⎰⎰⎰Ω5） 引力：空间立体Ω对位于点),,(000z y x 处的单位质点引力dV r x x G F x ⎰⎰⎰Ω-⋅=30μ，dV r y y G F y ⎰⎰⎰Ω-⋅=30μ，dV r z z G F z ⎰⎰⎰Ω-⋅=30μ 其中.)()()(202020z z y y x x r -+-+-=三、重要公式与结论1、三重积分的对称性质1）对称性 若Ω关于xoy(z=0)平面对称，而1Ω是Ω中对应于0≥z 的部分，则),,(),,(),,(),,(,0,),,(2),,(1z y x f z y x f z y x f z y x f dv z y x f dv z y x f -=-=-⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ 关于xoz 或yoz 平面对称时，也有类似的结果.2） 轮换对称性若Ω为：2222R z y x ≤++，（或)0,0,0≥≥≥z y x 则 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==dv x y z f dv z x y f dv z y x f ),,(),,(),,(2、格林公式设函数P(x,y),Q(x,y)及其一阶偏导数在闭区域D 上连续，则P d x Q d y Q x Py d x d y D L +=-⎰⎰⎰()∂∂∂∂其中L 是D 的边界曲线且取正向。
注：① P,Q 及其一阶偏导数要求连续，② L 封闭且取正向(沿L 前进时域D 总在左手边)。
3、高斯公式设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在闭区域Ω上具有一阶连续偏导数，则 P d y d zQ d z d xR d x d y P x Q y Rz d x d y dz ++=++⎰⎰⎰⎰⎰∑()∂∂∂∂∂∂Ω 其中∑是闭域Ω的边界曲面的外侧。
注：① P,Q,R 及其一阶偏导数要求连续，② ∑应取外侧。
4、斯托克斯公式设P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在曲面∑所张成的空间域Ω内有一阶连续的偏导数，L 为曲面∑的边界曲线，则P d x Q d y R d z d y d z d z d x d x d yx y z P Q R L ++=∑⎰⎰⎰∂∂∂∂∂∂=⎰⎰∑⋅dS n F rot 其中曲线L 的方向与曲面∑所取侧的法线方向满足右手法则。
5、平面曲线积分与路径无关的四个等价条件设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D 上具有一阶连续偏导数，则 1)Pdx Qdy L+⇔⎰与路径无关2) ∂∂∂∂Q x Pyx y D =∀∈⇔,(,) 3)Pdx Qdy L+=⎰0, L 为任一简单分段光滑封闭曲线⇔4) 存在函数u(x,y)，(x,y)∈D, 使du(x,y)=Pdx+Qdy, 且 u x y P d x Q d yx y x y (,)(,)(,)=+⎰00 6、第一类积分的对称性（1）第一类曲线积分具有对称性：1） 设L 关于x=0对称，则f x y ds f x y ds f x f x L L (,),(,),=⎧⎨⎪⎩⎪⎰⎰021关于奇关于偶L 1是L 的右半部分2） 设L 关于y=0对称，则f x y ds f x y ds f y f y L L (,),(,),=⎧⎨⎪⎩⎪⎰⎰021关于奇关于偶L 1是L 的上半部分3） 轮换对称性：若x 与y 互换，L 不变，则f x y ds f y x ds LL(,)(,)=⎰⎰（2）第一类曲面积分具有对称性：设Σ关于x=0对称，则f x y z dS f x y z dS f x f x (,,),(,,)=⎧⎨⎪⎩⎪∑∑⎰⎰⎰⎰021关于奇关于偶Σ1是Σ的x ≥0部分类似地有关于y=0,z=0的对称性情形轮换对称性：若x ，y ，z 互换，Σ不变，则f x y z dS f y x z dS f z y x dS (,,)(,,)(,,)==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、典型题型与例题题型一、三重积分的计算例1、化⎰⎰Ω=d x d y d zz y x f I ),,(为三次积分，其中Ω为222y x z +=及22x z -=所围成的闭区域例2、计算 ⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域.例3*、计算⎰⎰⎰+=ΩdV y x I )(22, 其中Ω为平面曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域。