(完整版)常用公式--线面积分公式大全
线面积分
y =0 a x
4
x = x L1 y=0
x = x L3 y = x
I =∫
a
0
+ ∫ eaad θ e dx 0
x
4
π
2. 第二类曲线积分 变力沿曲线所作的功. 变力沿曲线所作的功 设一质点受如下变力作用
恒力沿直线所作的功
F
W = F AB cosθ
B
= F ⋅ AB
F( x, y, z) = (P , Q, R)
z
n
Σ
y
第二类曲 o Γ 化 面积分 x 空间的封闭曲线弧 为空间曲面∑的边界线. Γ是 空间的封闭曲线弧, 为空间曲面∑的边界线 曲线弧
Γ
∫
Pd x + Qd y + Rd z =
∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∂R ( − )d yd z + ( − )d z d x + ( ∂x − ∂y )d xd y ∫∫ ∂y ∂z ∂z ∂x ∑
求其质量. 求其质量
M = ∫∫ f ( x, y, z)d S
o x
y
又称为对面积的曲面积分 若 f ( x, y, z) ≡ 1 得曲面面积为 S =
∫∫ d S
Σ
第一类曲面积分计算
转化
二重积分
∫∫ g( x, y)dxdy
Dxy
1. 把空间曲面 写成方程: z = z( x, y) Σ xoy 并将Σ投影到 面上: ( x, y) ∈ Dxy
t :α → β ,
dx = x′(t )dt dy = y′(t )dt dz = z′(t )dt
=∫
+ Q[ x(t ), y(t ), z (t )]y′(t ) + R[ x(t ), y(t ), z (t )] z′(t )}d t
线面积分的计算小结
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
(3) 两类曲面积分的转化
1.
计算 x d y d z y d z d x z d x d y,其中 为半球面
z
（1）定义 （2）性质（可积性、线性性、可加性、方向性）
（3）计算方法（化为二重积分） （4）高斯公式(注意加辅助曲面的技巧) ;
（5）斯托克斯公式（空间曲线积分， 线面积分间的关系）。 （6）物理应用（场穿过曲面指定侧的通量）。
曲面积分的计算法
曲面积分
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
解: I (x2 y2 z2 ) 2xy 2 yz dS (2x 2z) d S 2 (x z)ydS
斯托克斯( Stokes ) 公式
P d x Q d y R d z
dydz dzdx
x
y
P
Q
dxd y
yz
1 3
(3)
d
S
1
3
z
dS
x
3 2
z
B n
oC
A
y
x
:x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
二、曲面积分
1、第一类曲面积分
（1）定义 （2）性质（可积性、线性性、可加性） （3）计算方法（化为二重积分） （4）物理应用（质量、重心、引力）。
2、第二类曲面积分
(完整版)常用公式--线面积分公式大全
（一）对弧长的曲线积分（第一类） （1）对光滑曲线弧():,()()x t L t y t =⎧≤≤⎨=⎩ϕαβψ(,)d [(),(Lf x y s f t t t βαϕψ=⎰⎰；（2）对光滑曲线弧:()(),L y x a x b ϕ=≤≤(,)d (,())bLaf x y s f x x x ϕ=⎰⎰；（3）对光滑曲线弧:()(),L r r θαθβ=≤≤ （二）对坐标的曲线积分（第二类） （1）对有向光滑弧():()x t L y t φψ=⎧⎨=⎩，:t αβ→，{}(,)d (,)d [(),()]'()[(),()]'()d LP x y x Q x y y P t t t Q t t t t βαφψφφψψ+=+⎰⎰；（2）对有向光滑弧:(),:L y x x a b ϕ=→， {}(,)d (,)d [,()][,()]'()d bLaP x y x Q x y y P x x Q x x x x ϕϕϕ+=+⎰⎰；（格林公式）d d L D Q P Pdx Qdy x y x y ⎛⎫∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰Ñ； (斯托克斯公式)R Q P R Q P Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy y z z x x y Γ∑⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ÑLdydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z PQR∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰Ñ（一）对面积的曲面积分（第一型） 计算口诀：一投二代三换，曲积化为重积算. （1）对光滑曲面:(,),(,)x y z z x y x y D ∑=∈，(,,)d (,,(,d x yD f x y z S f x y z x y x y ∑=⎰⎰⎰⎰；（2）对光滑曲面:(,),(,)y z x x y z y z D ∑=∈，(,,)d [(,),,yzD f x y z S f x y z y z ∑=⎰⎰⎰⎰；（3）对光滑曲面:(,),(,)x z y y x z x z D ∑=∈，(,,)d [,(,),xzD f x y z S f x y x z z ∑=⎰⎰⎰⎰（二）对坐标的曲面积分（第二型） 计算口诀：一投二代三定，曲积化为重积算. 1、对光滑曲面:(,),(,)x y z z x y x y D ∑=∈，则(,,)d d (,, (,))d d x yD R x y z x y R x y z x y x y ∑=±⎰⎰⎰⎰(上侧正，下侧负)2、对光滑曲面:(,),(,)y z x x y z y z D ∑=∈，(,,)d d ((,), ,)d d y zD P x y z y z P x y z y z y z ∑=±⎰⎰⎰⎰； (前侧正，后侧负)3、对光滑曲面:(,),(,)x z y y x z x z D ∑=∈，(,,)d d (,(,),z )d d z xD Q x y z z x Q x y x z z x ∑=±⎰⎰⎰⎰(右侧正，左侧负)合一投影公式：(,)z z x y =()()xy D z z Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dxdy x y ∑⎡⎤∂∂++=⋅-+⋅-+⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰ （高斯公式）()d d d d d d d d d P Q RP y z Q z x R x y x y z x y z∑Ω∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰Ò； ()()cos cos cos d =d d d P Q R P Q R S x y z x y z∑Ω∂∂∂α+β+γ++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰。
线面积分的计算小结
3
y
1 3
z
x
( 3) d S
3 2
二、曲面积分
1、第一类曲面积分
（1）定义 （2）性质（可积性、线性性、可加性） （3）计算方法（化为二重积分） （4）物理应用（质量、重心、引力）。
2、第二类曲面积分
（1）定义
（2）性质（可积性、线性性、可加性、方向性）
z
o
1y
x
4. 计算
其中 为曲线
z
y
解: 利用轮换对称性 , 有
o
x ds
I 2
2
y ds
2
2
z ds
2
x
(的重心在原点)
( x 3
2
y z )ds 4 3
2
a
3
5. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周. 解法1 令 P x 2 y, Q y 2 x, 则
（2）性质（可积性、线性性、可加性、方向性）
（3）计算方法（化为定积分） （4）格林公式（平面曲线积分：与路径无关、 全微分求积）。(注意加辅助线的技巧) ; （5）斯托克斯公式（空间曲线积分， 线面积分间的关系）。
（6）物理应用（力沿曲线做功，场沿曲线的环流量）
曲线积分的计算法
曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 定积分 第二类 ( 对坐标 ) 转化 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终
(2) 积分元素投影
第一类: 始终非负 第二类: 有向投影
(3) 确定二重积分域
三十个基本积分公式
三十个基本积分公式在微积分的学习中，积分公式是非常重要的基础知识。
掌握这些基本积分公式，就像是拥有了一把打开积分世界大门的钥匙。
接下来，让我们一起来了解一下这三十个基本积分公式。
公式一：∫kdx ＝ kx ＋ C（k 为常数）这个公式很简单，就是说对一个常数 k 进行积分，结果是 kx 加上一个常数 C。
公式二：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C（n ≠ －1）当被积函数是 x 的 n 次幂时，积分结果是（1/（n ＋ 1)）乘以 x 的（n ＋ 1)次幂再加上常数 C。
例如，∫x²dx ＝（1/3)x³＋ C 。
公式三：∫1/x dx ＝ ln|x| ＋ C对 1/x 进行积分，得到的是自然对数 ln|x|加上常数 C。
这里要注意绝对值，因为对数函数的定义域要求自变量大于 0。
公式四：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身 e^x 加上常数 C。
公式五：∫a^x dx ＝（1/lna)a^x ＋ C（a ＞ 0，a ≠ 1）对于以 a 为底的指数函数 a^x 的积分，结果是（1/lna)乘以 a^x 再加上常数 C。
公式六：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C正弦函数 sin x 的积分是 cos x 加上常数 C。
公式七：∫cos x dx ＝ sin x ＋ C余弦函数 cos x 的积分是 sin x 加上常数 C。
公式八：∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C正切函数 tan x 的积分是 ln|cos x|加上常数 C。
公式九：∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C余切函数 cot x 的积分是 ln|sin x|加上常数 C。
公式十：∫sec x dx ＝ ln|sec x ＋ tan x| ＋ C正割函数 sec x 的积分是 ln|sec x ＋ tan x|加上常数 C。
考研数学常用公式总结
考研数学常用公式总结考研数学是考研中的一门重要科目，它的题目种类繁多，考察内容广泛。
在备考过程中，熟练掌握和灵活运用常用公式是非常关键的。
本文将就考研数学中常用的公式进行总结与归纳，以帮助考生更好地备考。
1、微积分公式微积分是考研数学中的重点内容，以下是一些常用的微积分公式：（1）导数公式：- 基本导数公式：a. 常数函数：$[k]'=0$；b. 幂函数：$[x^n]'=nx^{n-1}$；c. 指数函数：$[a^x]'=a^x\ln a$；d. 对数函数：$[\log_a x]'=\frac{1}{x\ln a}$；e. 三角函数：$[\sin x]'=\cos x$，$[\cos x]'=-\sin x$，$[\tan x]'=\sec^2 x$。
- 运算法则：a. 基本运算：$[u \pm v]'=u' \pm v'$；b. 乘法法则：$[uv]'=u'v+uv'$；c. 除法法则：$\left[\frac{u}{v}\right]'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$；d. 复合函数：$[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$。
（2）积分公式：- 基本积分公式：a. 幂函数：$\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$；b. 指数函数：$\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$；c. 对数函数：$\int \frac{1}{x\ln a}\mathrm{d}x=\log_a(\ln a)+C$；d. 三角函数：$\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$，$\int \cosx\mathrm{d}x=\sin x+C$。
最新9线面积分汇总
9线面积分一、曲线积分、曲面积分的计算公式1. 对弧长的曲线积分«Skip Record If...»的计算公式:«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»为一段光滑的平面曲线，其参数方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»为定义在曲线«Skip Record If...»上的一连续函数.为熟练掌握计算公式，关键是把握以下两点：1)积分变量«Skip Record If...»在曲线«Skip Record If...»上，故«Skip Record If...»满足曲线«Skip Record If...»的方程；2)«Skip Record If...»是曲线«Skip Record If...»的弧长的微分，故«Skip Record If...».所以有如下的计算公式:«Skip Record If...».对«Skip Record If...»是空间曲线段的情况，有类似的公式.设«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，则对弧长的曲线积分«Skip Record If...».弧微元«Skip Record If...»2. 对坐标的曲线积分«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为起点，以«Skip Record If...»为终点，参数方程为«Skip Record If...»的平面曲线，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...».物理意义：变力«Skip Record If...»沿曲线«Skip Record If...»所做的功«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为熟练掌握该积分的计算公式，关键是把握以下两点：1) 积分变量（«Skip Record If...»）在«Skip Record If...»上，故满足曲线方程«Skip Record If...»；2) «Skip Record If...».对坐标的曲线积分的计算公式为«Skip Record If...».«Skip Record If...»分别对应于«Skip Record If...»点的参数«Skip Record If...»的值，可能«Skip Record If...»也可能«Skip Record If...»«Skip Record If...».类似地，对于空间曲线«Skip Record If...»，也有类似的计算公式.设«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为起点，以«Skip Record If...»为终点，参数方程为«Skip Record If...»的空间曲线，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在曲线«Skip Record If...»上连续，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».●两类曲线积分之间的关系。
第一型线积分和面积分
Line Integrals with Respect to Arc Length
Surface Integrals with Respect to Surface Area
1
§4 第一型线积分和面积分
一、第一型线积分
A0
A
C
1. 概念和记法
n
C
f (M )ds lim 0 k 1
(u, v) uv R2
用微元法：
S (ruu) (rvv) ru rv uv 令 u 0且v 0
14
i jk
dS ru rv dudv xu
xv A2 B2 C 2 dudv
yu zu yv zv 其中
质心坐标。 球缺面如下给出：
x R sin cos y R sin sin z R cos
0 3
4
0 2
23
解 设球缺面的面密度为
-2
-1
0
1
2
(x, y, z) 0
因曲面对称且质量分布均
匀，故 x y 0.
-1012
-2
z M xy S z 0dS
03
2
3
2
2 1 t 9/2 1 2t t 2 dt 2 1 t 9/2(1 t) dt 16 2
30
30
143
5
例2 计算 I ( x y) ds设 C 为连接 O(0, 0) C
A(1, 0), B(1, 1) 三点的折线段。
B(1, 1)
解 三直线段的参数式
2
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（一）对弧长的曲线积分（第一类） （1）对光滑曲线弧()
:,()()
x t L t y t =⎧≤≤⎨
=⎩ϕαβψ
(,)d [(),(L
f x y s f t t t βα
ϕψ=⎰
⎰；
（2）对光滑曲线弧:()(),L y x a x b ϕ=≤≤
(,)d (,())
b
L
a
f x y s f x x x ϕ=⎰
⎰；
（3）对光滑曲线弧:()(),L r r θαθβ=≤≤ （二）对坐标的曲线积分（第二类） （1）对有向光滑弧()
:()
x t L y t φψ=⎧⎨=⎩，:t αβ→，
{}(,)d (,)d [(),()]'()[(),()]'()d L
P x y x Q x y y P t t t Q t t t t βα
φψφφψψ+=+⎰
⎰
；
（2）对有向光滑弧:(),:L y x x a b ϕ=→， {}(,)d (,)d [,()][,()]'()d b
L
a
P x y x Q x y y P x x Q x x x x ϕϕϕ+=+⎰
⎰
；
（格林公式）
d d L D Q P Pdx Qdy x y x y ⎛⎫
∂∂+=- ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰Ñ； (斯托克斯公式)
R Q P R Q P Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy y z z x x y Γ∑⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰Ñ
L
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P
Q
R
∑
∂
∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰
Ñ
（一）对面积的曲面积分（第一型） 计算口诀：一投二代三换，曲积化为重积算. （1）对光滑曲面:(,),(,)x y z z x y x y D ∑=∈，
(,,)d (,,(,d x y
D f x y z S f x y z x y x y ∑
=⎰⎰
⎰⎰
；
（2）对光滑曲面:(,),(,)y z x x y z y z D ∑=∈，
(,,)d [(,),,yz
D f x y z S f x y z y z ∑
=⎰⎰
⎰⎰；
（3）对光滑曲面:(,),(,)x z y y x z x z D ∑=∈，
(,,)d [,(,),xz
D f x y z S f x y x z z ∑
=⎰⎰
⎰⎰
（二）对坐标的曲面积分（第二型） 计算口诀：一投二代三定，曲积化为重积算. 1、对光滑曲面:(,),(,)x y z z x y x y D ∑=∈，则
(,,)d d (,, (,))d d x y
D R x y z x y R x y z x y x y ∑
=±⎰⎰⎰⎰
(上侧正，下侧负)
2、对光滑曲面:(,),(,)y z x x y z y z D ∑=∈，
(,,)d d ((,), ,)d d y z
D P x y z y z P x y z y z y z ∑
=±⎰⎰⎰⎰
； (前侧正，后侧负)
3、对光滑曲面:(,),(,)x z y y x z x z D ∑=∈，
(,,)d d (,(,),z )d d z x
D Q x y z z x Q x y x z z x ∑
=±⎰⎰
⎰⎰
(右侧正，左侧负)
合一投影公式：(,)z z x y =
()()xy D z z Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dxdy x y ∑⎡⎤∂∂++=⋅-+⋅-+⎢⎥∂∂⎣
⎦⎰⎰⎰⎰ （高斯公式）
()d d d d d d d d d P Q R
P y z Q z x R x y x y z x y z
∑
Ω
∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰
⎰⎰⎰
Ò； ()(
)cos cos cos d =d d d P Q R P Q R S x y z x y z
∑Ω∂∂∂α+β+γ++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰。