数值微分与数值积分
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分与数值积分是现代计算机科学中非常重要的数学工具。
它们可以用来处理各种研究。
在本文中，我们将讨论这两种方法的基础原理，以及它们在不同领域中的应用。
什么是数值微分？数值微分是指对给定函数进行求导的一种数值方法。
在实际应用中，函数的导数通常很难求得解析解，这时需要使用数值微分的方法来进行近似计算。
数值微分通常是通过在函数的某个点进行差分计算来完成的。
考虑一个函数$f(x)$在某个点$x_0$进行微分的情况。
我们可以计算$f(x_0+h)$和$f(x_0-h)$，其中$h$是一个小的正数。
然后，我们可以计算$[f(x_0+h) - f(x_0-h)]/2h$来得到$f'(x_0)$的近似值。
数值微分的应用非常广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算物理量相关的导数。
例如，流体力学中的速度梯度、量子力学中的波函数导数，都可以使用数值微分进行近似计算。
此外，在金融领域中，数值微分也可用于计算期权价格等任意变量导数的近似解。
什么是数值积分？数值积分是指对给定函数进行积分的一种数值方法。
与数值微分类似，函数的积分通常很难求得解析解，而不得不使用数值积分的方法来近似计算。
在数值积分中，我们通常使用数值积分公式来计算定义在一个区间$[a,b]$上的函数（如果积分问题是无限积分，我们需要进行变形，将其转化为有限积分问题）。
数值积分公式通常基于插值方法，即将函数转化为一个多项式，并对多项式进行积分。
数值积分也应用广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算面积、物质质量，以及探测信号的峰值等。
在金融领域中，数值积分也可用于计算期权定价公式的近似解。
数值微分和数值积分的误差分析在应用数值微分和数值积分时，误差是一个重要的考虑因素。
误差源可以来自于采样、采样噪声、近似方法等。
通常，我们使用误差分析来评估误差大小。
数值微分的误差通常归因于选取的$h$值。
当$h$太大时，我们会失去一些重要的信息，如函数的局部斜率。
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值积分与数值微分ppt课件
a
,
x1
b
2
a
,
x2
b
,h
b
2
a
Cotes系数:
C0( 2 )
1 4
2
1
(t 1)(t 2)dt
0
6
4.5 4
C1(2)
1 2
2
t(t 2)dt
0
4 6
3.5 3
2.5
C2(2)
1 4
2
1
(t 1)tdt
0
6
2 1.5
1
求积公式:
2
Q2( f ) (b a)
n (t j)h
0
0
jn
(k
j)h
h
dt
jk
jk
h (1)nk n
(t j)dt
k!(n k)! 0 0 jn
jk
Ak
ˆ
(b
a
)
C (n) k
C
(n)称
k
为Cotes系
数
(1)nk
n
Ak
(b a)
3
I3(
f
)
b
6
a
(a2
(a
b)2
b2
)
b3
3
a3
R( , x2 ) 0
（3）当 f (x) x3时，I ( f ) b4 a4
4
I3(
f
)
b
1_数值分析4-数值积分与微分
回忆定积分的定义
b
I f (x)dx lim In,
a
n
n
In
f
(k
)
b
n
a
k 1
n充分大时In就是I的数值积分
各种数值积分方法研究的是
k 如何取值，区间 (a,b)如何划分， 使得既能保证一定精度，计算量又小。
（计算功效：算得准，算得快）
5
数值积分
y
1.梯形公式
h
Tn
h
k 1
fk
2 ( f0
fn )
b
f (x)dx
a
b
R( f ,Tn ) I Tn f (x)dx Tn
a
梯形公式在每小段上是用线性插值函数T(x)代替 f(x)
f (x) T(x)
f
(k
2
)
(
x
xk
)(x
xk
1
),
k (xk , xk1)
(
f0
fn)
(3)
k 1
非等距分割梯形公式
Tn
n1 k 0
fk
fk 1 2
(xk 1
xk
)
(4)
8
数值积分 2.辛普森(Simpson)公式
（抛物线公式）
梯形公式相当于用分段线性插值函数代替 f (x)
提高精度
分段二次插值函数
抛物线 公式
y
y=f(x)
每段要用相邻两小区间
数值积分
数值 积分
为什么要作数值积分
• 积分是重要的数学工具，是微分方程、概率 论等的基础；在实际问题中有直接应用。
数值方法中的数值微分和数值积分
泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法
数值微分与数值积分练习题
第五章 数值微分与数值积分一．分别用向前差商，向后差商和中心差商公式计算()f x =2x =的导数的近似值。
其中，步长0.1h =。
【详解】00()()(20.1)(2)=0.349 2410.10.1f x h f x f f h +−+−===向前差商00()()(2)(20.1)=0.358 0870.10.1f x f x h f f h −−−−===向后差商00()()(20.1)(20.1)=0.353 664220.10.2f x h f x h f f h +−−+−−===×中心差商 二．已知数据 x 2.52.55 2.60 2.65 2.70 ()f x1.58114 1.59687 2 1.62788 1.64317 求(2.50),(2.60),(2.70)f f f ′′′的近似值。
【详解】0.05h =，按照三点公式3(2.50)4(2.55)(2.60)3 1.581144 1.59687 1.61245(2.50)0.316 10020.050.1f f f f −+−−×+×−′≈==×(2.65)(2.55)1.627881.59687(2.60)0.310 10020.050.1f f f −−′≈==× (2.60)4(2.65)3(2.70)241.6278831.64317(2.70) 4.179 90020.050.1f f f f −+−×+×′≈==× 三．已知如下数据 x 3 4 5 6 7 8()f x 2.937 6 6.963 213.600 0 23.500 8 37.318 4 55.7056用三点公式计算(5)f ′和(5)f ′′的近似值。
【详解】1h =，(6)(4)23.500 8 6.963 2(5) 8.268 422f f f −−′≈== 2(4)2(5)(6) 6.9632213.600023.5008(5) 1.6320212f f f f −+−×+′′≈==× 四．求4n =时的所有Cotes 系数。
数值计算方法数值积分与微分方程数值解
数值计算方法数值积分与微分方程数值解数值计算是计算数值结果的一种方法，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
数值计算方法涉及到估算数学问题的解，其中包括数值积分和微分方程数值解。
本文将分别介绍数值积分和微分方程数值解的基本原理和常用方法。
一、数值积分数值积分是通过数值计算方法来估计函数的积分值。
积分是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域的问题求解中。
传统的积分计算方法，如牛顿-柯特斯公式和高斯求积法，需要解析求解被积函数，但是对于大多数函数来说，解析求解并不容易或者不可能。
数值计算方法通过离散化被积函数，将积分问题转化为求和问题，从而得到近似的积分结果。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和复化求积法。
1. 梯形法则梯形法则是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用梯形的面积来近似原函数的面积，最后将所有小区间的梯形面积相加得到近似积分值。
2. 辛普森法则辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用一个二次多项式来近似原函数，最后将所有小区间的二次多项式积分值相加得到近似积分值。
3. 复化求积法复化求积法是一种将积分区间进一步细分的数值积分方法。
通过将积分区间划分为更多的小区间，并在每个小区间上应用辛普森法则或者其他数值积分方法，可以得到更精确的积分结果。
二、微分方程数值解微分方程是描述自然现象中变化的数学模型。
求解微分方程的解析方法并不适用于所有的情况，因此需要利用数值计算方法来估计微分方程的解。
常见的微分方程数值解方法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
1. 欧拉法欧拉法是最简单的微分方程数值解方法之一。
它通过将微分方程离散化，将微分运算近似为差分运算，从而得到微分方程的近似解。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进。
它通过使用两个不同的点来估计微分方程的解，从而得到更精确的近似解。
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。
它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。
1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。
在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。
一种常用的数值微分方法是有限差分法。
它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。
我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。
有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。
数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。
根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。
一种常见的数值积分方法是复合梯形法。
它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。
最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。
复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。
除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。
根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。
3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。
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专题六数值微积分与方程求解6.1 数值微分与数值积分☐数值微分☐数值积分1．数值微分（1）数值差分与差商微积分中，任意函数f(x)在x 0点的导数是通过极限定义的：hx f h x f x f h )()(lim)('00-+=→hh x f x f x f h )()(lim)('0000--=→hh x f h x f x f h )2/()2/(lim)('0--+=→)()()(000x f h x f xf -+=∆)()()(0h x f x f x f --=∇)2/()2/()(0h x f h x f x f --+=δ如果去掉极限定义中h 趋向于0的极限过程，得到函数在x 0点处以h （h>0）为步长的向前差分、向后差分和中心差分公式： 向前差分： 向后差分： 中心差分：函数f(x)在点x 0的微分接近于函数在该点的差分，而f 在点x 的导数接近于函数在该点的差商。
hx f h x f xf )()(≈)('000-+hh x f x f x f )()(≈)('000--hh x f h x f x f )2/()2/(≈)('0--+向前差商： 向后差商： 中心差商：当步长h 充分小时，得到函数在x 0点处以h （h>0）为步长的向前差商、向后差商和中心差商公式：（2）数值微分的实现MATLAB提供了求向前差分的函数diff，其调用格式有三种：☐dx=diff(x)：计算向量x的向前差分，dx(i)=x(i+1)-x(i)，i=1，2，…，n-1。
☐dx=diff(x,n)：计算向量x的n阶向前差分。
例如，diff(x,2)=diff(diff(x))。
☐dx=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时（默认状态），按列计算差分；dim=2，按行计算差分。
注意：diff函数计算的是向量元素间的差分，故差分向量元素的个数比原向量少了一个。
同样，对于矩阵来说，差分后的矩阵比原矩阵少了一行或一列。
另外，计算差分之后，可以用f(x)在某点处的差商作为其导数的近似值。
例1 设f(x)=sin x，在[0，2π]范围内随机采样，计算f'(x)的近似值，并与理论值f'(x)=cos x进行比较。
>> x=[0,sort(2*pi*rand(1,5000)),2*pi];>> y=sin(x);>> f1=diff(y)./diff(x);>> f2=cos(x(1:end-1));>> plot(x(1:end-1),f1,x(1:end-1),f2);>> d=norm(f1-f2)d =0.04332．数值积分（1）数值积分基本原理在有些情况下，应用牛顿—莱布尼兹公式有困难，例如，当被积函数的原函数无法用初等函数表示，或被积函数是用离散的表格形式给出的。
这时就需要用数值解法来求定积分的近似值。
在高等数学中，计算定积分依靠微积分基本定理，只要找到被积函数f(x)的原函数大F(x)，则可用牛顿—莱布尼兹（Newton-Leibniz ）公式：⎰-=ba a Fb F xx f)()(d )(求定积分的数值方法多种多样，如梯形法、辛普森（Simpson ）法、高斯求积公式等。
它们的基本思想都是将积分区间[a ，b]分成n 个子区间[x i ，x i+1]，i=1，2，…，n ，其中x 1=a ，x n+1=b ，这样求定积分问题就分解为下面的求和问题：在每一个小的子区间上定积分的值可以近似求得,从而避免了牛顿—莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难。
⎰∑⎰=+==ba nix x i ixx f xx f S11d )(d )(（2）数值积分的实现☐基于自适应辛普森方法[I,n]=quad(filename,a,b,tol,trace)☐基于自适应Gauss-Lobatto方法[I,n]=quadl(filename,a,b,tol,trace)其中，filename是被积函数名；a和b分别是定积分的下限和上限，积分限[a，b]必须是有限的，不能为无穷大（Inf）；tol用来控制积分精度，默认时取tol=10-6；trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，默认时取trace=0；返回参数I即定积分的值，n为被积函数的调用次数。
例2 分别用quad 函数和quadl 函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较被积函数的调用次数。
x d x1412⎰+>> format long>> f=@(x) 4./(1+x.^2); >> [I,n]=quad(f,0,1,1e-8) I =3.141592653733437 n = 61>> [I,n]=quadl(f,0,1,1e-8) I =3.141592653589806 n = 48>> (atan(1)-atan(0))*4 ans =3.141592653589793 >> format short基于全局自适应积分方法I=integral(filename,a,b)其中，I是计算得到的积分；filename是被积函数；a和b分别是定积分的下限和上限，积分限可以为无穷大。
dxx x I e ⎰-=12ln 11例3 求定积分。
被积函数文件fe.m ：function f=fe(x)f=1./(x.*sqrt(1-log(x).^2));>> I=integral(@fe,1,exp(1))I =1.5708基于自适应高斯-克朗罗德方法[I,err]=quadgk(filename,a,b)其中，err返回近似误差范围，其他参数的含义和用法与quad函数相同。
积分上下限可以是无穷大（−Inf或Inf），也可以是复数。
如果积分上下限是复数，则quadgk函数在复平面上求积分。
例4 求定积分。
⎰∞+ 2 2d x1sin 1πx x 被积函数文件fsx.m ：function f=fsx(x)f=sin(1./x)./x.^2;>> I=quadgk(@fsx,2/pi,+Inf)I =1.0000基于梯形积分法已知（xi ，yi）（i=1，2，…，n），且a=x1<x2<…<xn=b，求近似值。
⎰=b a xfI(x)dI=trapz(x,y)其中，向量x、y定义函数关系y=f(x)。
trapz 函数采用梯形积分法则，积分的近似值为：其中， 。
sum(diff(x).*(y(1:end-1)+y(2:end))/2)I = ℎi n−1i=1y i+1+y i ℎi =x i+1−x i 可用以下语句实现：例5 设x=1:6，y=[6,8,11,7,5,2],用trapz函数计算定积分。
>> x=1:6;>> y=[6,8,11,7,5,2];>> plot(x,y,'-ko');>> grid on>> axis([1,6,0,11]);>> I1=trapz(x,y)I1 =35>> I2=sum(diff(x).*(y(1:end-1)+y(2:end))/2)I2 =35（3）多重定积分的数值求解I=integral3(filename,a,b,c,d,e,f)I=triplequad(filename,a,b,c,d,e,f,tol)(,)d d d b c af x y x y ⎰⎰(,,)d d d f d b e c a f x y z x y z⎰⎰⎰☐求二重积分的数值解： I=integral2(filename,a,b,c,d) I=quad2d(filename,a,b,c,d)I=dblquad(filename,a,b,c,d,tol) ☐求三重积分的数值解：>> f1=@(x,y) exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y); >> I1=quad2d(f1,-2,2,-1,1)I1 =1.574>> f2=@(x,y,z) 4*x.*z.*exp(-z.*z.*y-x.*x); >> I2=integral3(f2,0,pi,0,pi,0,1) I2 =1.7328 ⎰⎰---+11 2 2 22/d d )sin(e 2y x y x x 例6 分别求二重积分和三重积分。
2210004e d d d z y x xz x y zππ--⎰⎰⎰。