【附20套高考模拟试题】2020届华中师范大学第一附属中学高考数学模拟试卷含答案
【附20套高考模拟试题】2020届湖北省华师一附中高考数学模拟试卷含答案
2020届湖北省华师一附中高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上的函数()21()x mf x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),af 2b (log 5),c(2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<2．榫卯（sun mao ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构. 图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为()A ．24523452ππ++，B ．24523654，ππ++C ．24543654ππ++，D ．24543452ππ++，3．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =C ．2y x =D ．y x =±4．已知底面边长为12 ）A ．323πB ．4πC ．2πD ．43π5．若二项式3nx x ⎛⎝的展开式中第m 项为常数项，则,m n 应满足（ ）A ．()341n m =+B ．()431n m =+C ．()341n m =-D ．()431n m =-6．若数列{}n a 满足11a =，22a =，21(3)n n n a a a n --=>，记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则下列说法错误的是（ ） A ．n T 无最大值 B ．na 有最大值 C ．20194T = D ．20192a =7．当5m =，2n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．20B ．42C ．60D ．1808．有两个等差数列{}{},n n a b ，若1212213n n a a a n b b b n ++++=++++，则33a b =（ ）A ．76B ．118C ．139D ．899．在ABC ∆中，2CM MB =，0AN CN +=，则（ ） A ．2136MN AB AC =+B ．2736MN AB AC =+C ．1263MN AC AB-= D ．7263MN AC AB-=10．已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则该四棱锥的体积是（ ）A ．4B ．83C ．163 D ．42311．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞12．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC 的面积为2223()4a cb +-，周长为6，则b 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．3D ．433二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
华师附中2020年高考数学(理)最后一次模拟试卷
华师附中2020年高考数学（理）最后一次模拟试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P (A +B ) = P (A ) + P (B ) S = 4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P (A ·B ) = P (A )·P (B )球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .V = 43πR 3那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径P n (k ) = C n k P k(1－P )n －k第一部分 选择题（共40分）一、(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 若A 、B 是两个不等的非空集合，则下列式子中一定成立的是(A) ∅ ∈ A ∩B (B) ∅ ⊆ A ∩B (C) ∅ = A ∩B(D) ∅ ≠⊂ A ∩B2. 若 (a －2i ) i = b －i ，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2 +b 2等于(A) 0 (B) 2(C) 523.点 P (cos 2020︒,sin 2020︒) 落在第( )象限(A) 一(B) 二主视图左视图俯视图(C) 三 (D) 四4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(A) 8 + 4π3(B) 4 + 4π3(C) 8 + 4π (D) 10π35. 函数y = 1－| x －x 2| 的图象大致是(A) (B)(C)(D)6. 如图，程序框图所进行的求和运算是(A) 12 + 14 + 16 + … + 120(B) 1 + 13 + 15 + … + 119(C) 1 + 12 + 14 + … + 118(D) 12 + 12 2 + 12 3 + … + 12 107. 若 x 、y 满足不等式组 ⎩⎨⎧ x + y ≥0x 2 + y 2≤1，则 2x + y 的取值范围是 (A) [22, 5 ] (B) [－22 ,22] (C) [－22, 5 ] (D) [－ 5 , 5 ]8. 三位同学在研究函数 f (x ) = x1 + | x |(x ∈R) 时，分别给出下面三个结论：① 函数 f (x ) 的值域为 (－1,1) ② 若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)③ 若规定 f 1(x ) = f (x )，f n +1(x ) = f [ f n (x )]，则 f n (x ) = x1 + n | x | 对任意 n ∈N *恒成立.你认为上述三个结论中正确的个数有 (A) 0个(B) 1个(C) 2个(D) 3个第二部分 非选择题（110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，其中9－12为必做题，13－15为选做题，13－15题只需选做2小题．共30分．9. 实践中常采用“捉－放－捉”的方法估计一个鱼塘中鱼的数量。
湖北省华中师范大学第一附属中学2020届高三高考押题考试文科数学试题
机密★启用前华中师范大学第一附属中学2020年高考押题考试文科数学本试题卷共4页,23题。
全卷满分150 分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前,先将自己的姓名.准考证号填写在答题卡上.并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号餘黑。
写在试题卷.草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区城内。
写在试题卷.草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
5.考试结束后,请将答题卡上交。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合{}{}2,,2,A y y x x RB x x x R==∈=≤∈,则A I B=A.{x|-2≤x≤2}B. {x|0≤x≤2)C. {}0x x≥ D. φ2.已知复数z满足(13)(1)(3)i z i i-=++,则z的共轭复数为A.-1+iB.1+iC.-1- iD.1-i3.已知11331231,log,()23a b c===,则A. b>a>cB. c>a>b .C. c>b>aD. a>b>c4.函数23cos()2()cos()x xf xx xππ--=--在[,]ππ-的图象大致为5.本周日下午1点至6点学校游泳馆照常开放,甲、乙两人计划前去游泳,其中甲连续游泳2小时,乙连续游泳3小时.假设这两人各自随机到达游泳馆,则下午5点钟时甲、乙两人都在游泳馆游泳的概率是A.12 B. 13 C. 16 D. 186.若平面向量a r 与b r 的夹角为60°, 6,(2)(3)72a a b a b =+⋅-=-r r r r r,则向量b r 的模为A.2B.4C.6D.127.随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势,我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品"。
【20套试卷合集】华中师范大学第一附属中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
华中师大一附中2020届高考适应性测试文科试卷
绝密★启用前华中师大一附中2020届高考适应性测试数学试题（文科）考试时间：120分钟；总分：150分；学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息 条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单选题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}0,1,2,3A =，2{|230}B x x x =--<，则A B =UA ．(1,3)-B ．(1,3]-C ．(0,3)D ．(0,3]2．设i 为虚数单位，则51ii-+等于 A ．-2-3iB ．-2+3iC ．2-3iD ．2+3i3. 已知向量(,3),(3,3)a x b ==r r，若a b ⊥r r ，则x =A. 3-B.3C. 1-D. 14．双曲线x y C a b2222:1-=的一条渐近线方程为30x y -=，则双曲线的离心率为A.3B ．3 C.5D ．25．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？A ．第2天B ．第3天C ．第4天D ．第5天6．若sin α=−13，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α= A ．429-B ．429C ．89D ．89-7．若实数x ，y 满足的约束条件101010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则函数2z x y =+的最大值是A ．1B ．2C ．3D ．5-8．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 6＝ A.62B.64C.126D.1289．如右图，在边长为2的正方形中，随机撒1000粒豆子，若按π≈3计算，估计落到阴影部分的豆子数为A ．125B ．150C ．175D ．20010. 已知1311531log ,log ,363a b c π-===，则,,a b c 的大小关系是A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<11．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是A. B. C. D.12．对于函数()22,012,02x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪=⎨-+>⎪⎩，有下列命题： ①过该函数图象上一点()()2,2f --的切线的斜率为22e-；②函数()f x 的最小值为2e -； ③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数()f x 在(],1-∞-上为减函数，在(]0,1上也为减函数. 其中正确命题的序号是 A ．①④B ．①②③C ．①②④D ．②③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省华中师范大学第一附属中学2020届高考数学押题试卷 文
湖北省华中师范大学第一附属中学2020届高考数学押题试卷 文本试题卷共4页,23题。
全卷满分150 分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前,先将自己的姓名.准考证号填写在答题卡上.并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号餘黑。
写在试题卷.草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区城内。
写在试题卷.草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
5.考试结束后,请将答题卡上交。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合{}{}2,,2,A y y x x R B x x x R ==∈=≤∈,则A I B=A.{x|-2≤x ≤2}B. {x|0≤x ≤2)C. {}0x x ≥ D. φ 2.已知复数z 满足(13)(1)(3)i z i i -=++ ,则z 的共轭复数为 A.-1+i B.1+i C.-1- i D.1-i3.已知11331231,log ,()23a b c ===,则A. b>a>cB. c>a>b .C. c>b>aD. a>b>c4.函数23cos()2()cos()x x f x x x ππ--=--在[,]ππ-的图象大致为5.本周日下午1点至6点学校游泳馆照常开放,甲、乙两人计划前去游泳,其中甲连续游泳2小时,乙连续游泳3小时.假设这两人各自随机到达游泳馆,则下午5点钟时甲、乙两人都在游泳馆游泳的概率是A.12 B. 13 C. 16 D. 186.若平面向量a r 与b r 的夹角为60°, 6,(2)(3)72a a b a b =+⋅-=-r r r r r,则向量b r 的模为A.2B.4C.6D.12 7.随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势,我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品"。
2020届华中师大附中高三第一次模拟考试数学(文)试卷
2020届华中师大附中高三第一次模拟考试文科数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{{}|1,|20A y y B x x ===-≤，则A B =A. []1,2B. []0,2C. (],1-∞D. [)2,+∞2. 在平面直角坐标系中，点22(cos ,sin )55P ππ是角α终边上的一点，若[0,)απ∈，则α= A.5π B. 25π C. 35π D. 310π3. 函数|2|y x a =-在[1,)-+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A. (,1]-∞-B. (,2]-∞-C.(,1]-∞D.(,2]-∞4. 设0.1323,log log a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<5. 已知函数()f x 满足2(1)f x x x -=-，则()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 A. 20x y +-=B. 30x y -=C. 310x y --=D. 20x y -=6. 函数()()ln xxf x e e x -=+的图象大致为7.给出下列三个命题①命题:P x R ∀∈，都有sin 1x ≤，则非0:P x R ∃∈，使得0sin 1x > ②在ABC ∆中，若sin 2sin 2A B =，则角A 与角B 相等③命题：“若tan x =3x π=”的逆否命题是假命题以上正确的命题序号是 A.①②③ B.①②C.①③D.②③8. 若奇函数()f x 满足当[0,)x ∈+∞时，2()log (2)f x x x b =+++，则不等式()3f x ≥成立的一个充分不必要条件是 A. 2x ≥ B. 3x ≥ C. 1x ≥ D. 3x <9. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是A. B. 12C.D.10. 在ABC ∆中，,BD DC E =是AD 的中点，则EB =A. 2133AB AC - B. 2133AB AC -+C. 3144AB AC -+D. 3144AB AC -11. 已知函数23()123x x f x x =+-+，若()(2020)hx f x =-的零点都在(,)a b 内，其中,a b 均为整数，当b a -取最小值时，则b a +的值为 A. 4039B. 4037C. 1D.1-12. 已知函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π，若()f x 在[0,)x t ∈时所求函数值中没有最小值，则实数t 的范围是 A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．20,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．5,36ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知向量(1,1),(2,)a b y ==，若()a a b ⊥-，则实数y= ．14．已知函数2,(0,2]()1(1),(2)22x xf x x f x ⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩则(8)f = ．15. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.若24m n +=，2＝ ．（用数字作答） 16．定义min{,}a b =,,a a bb a b≤⎧⎨>⎩，若{}()m in 1,3f x x x =+-，则使不等式(2)(2)f x f x ≤-成立的x 的取值范围是 ．三、解答题：共70分。
2020年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学模拟试卷(理科)(2月份)-解析版
2020年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学模拟试卷（理科）（2月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在复平面内，复数z =cos3+isin3(i 是虚数单位)对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设复数z 满足|z −1|=|z −i|(i 为虚数单位)，z 在复平面内对应的点为(x,y)，则( )A. y =−xB. y =xC. (x −1)2+(y −1)2=1D. (x +1)2+(y +1)2=13. 设m 为正整数，(x +y)2m 展开式的二项式系数最大值为a ，(x +y)2m+1展开式的二项式数的最大值为b ，若13a =7b ，则m =( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 函数y =2x −2−x|x|−cosx 的图象大致为( )A.B.C.D.5. 射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( )(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001)A. 0.110B. 0.112C. 0.114D. 0.1166. 设α,β∈(0,π2)且tanα−tanβ=1cosβ，则( )A. 3α+β=π2B. 2α+β=π2C. 3α−β=π2D. 2α−β=π27. 已知双曲线E:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ，抛物线C:y 2=8ax 的焦点为F.若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则E 的离心率的取值范围是( ) A. (1,2)B. (1,3√24]C. [3√24,+∞)D. (2,+∞)8. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形BFD 1E 一定是平行四边形； ③平面α与平面DBB 1不可能垂直； ④四边形BFD 1E 的面积有最大值． 其中所有正确结论的序号为( )A. ①④B. ②③C. ①②④D. ①②③④9. 已知函数f(x)={−e −x ,x ≤0xe x −x −1−lnx,x >0，则函数F(x)=f(f(x))−ef(x)的零点个数为( )(e 是自然对数的底数) A. 6 B. 5C. 4D. 310. 设a +b =2，b >0，则当a =( )时，12|α|+|α|b取得最小值．A. a =−4，b =2B. a =−3，b =1C. a =−2，b =4D. a =2，b =511. 在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a,a)，P 是函数y =1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a 的所有值为( )A. √10B. a =±√10C. a =3或a =−1D. a =√10或a =−112. 已知e =2.71828…，设函数f(x)=12x 2−bx +alnx 存在极大值点x 0，且对于b 的任意可能取值，恒有极大值f(x 0)<0，则下列结论中正确的是( )A. 存在x 0=√a ，使得f(x 0)<−1e B. 存在x 0=√a ，使得f(x 0)>−e C. a 的最大值为e 2D. a 的最大值为e 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 为了解某地区的“微信健步走”活动情况，现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查．已知抽取的样本同时满足以下三个条件： (i)老年人的人数多于中年人的人数； (ii)中年人的人数多于青年人的人数；(ⅲ)青年人的人数的两倍多于老年人的人数．①若青年人的人数为4，则中年人的人数的最大值为______； ②抽取的总人数的最小值为______． 14. 已知数列{a n }的前n 项和S n =(−1)n+112n ，如果存在正整数n ，使得(p −a n )(p −a n+1)<0成立，则实数p 的取值范围是__________．15. 已知三棱锥A −BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A −BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A −BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A −BCD 的三个面和球O n−1都相切(n ≥2，且n ∈N ∗)，则球O 1的体积等于______，球O n 的表面积等于______．16. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中：①对于圆O ：x 2+y 2=1的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；②函数f(x)=sinx+1是圆O：x2+(y−1)2=1的一个太极函数；③存在圆O，使得f(x)=e x+1e x−1是圆O的一个太极函数；④直线(m+1)x−(2m+1)y−1=0所对应的函数一定是圆O：(x−2)2+(y−1)2=R2(R>0)的太极函数；⑤若函数f(x)=kx3−kx(k∈R)是圆O：x2+y2=1的太极函数，则k∈(−2,2)．所有正确的是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知f(x)=2sin(x−π3)cos(x−π3)+2√3cos2(x−π3)−√3．(1)求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值；(2)若函数y=f(2x)−a在区间[0,π4]上恰有两上零点x1，x2，求tan(x1+x2)的值．18.已知菱形ABCD的边长为4，AC∩BD=O，∠ABC=60°，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使AC=a，得到三棱锥A−BCD，如图所示．(1)当a=2√2时，求证：AO⊥平面BCD；(2)当二面角A−BD−C的大小为120°时，求直线AD与平面ABC所成角的正切值．19.半圆O：x2+y2=1(y≥0)的直径两端点为A(−1,0)，B(1,0)，点P在半圆O及直径AB上运动，若将点P的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点Q，记点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”，求曲线C的“直径”．20. 某地政府为了帮助当地农民脱贫致富，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元，当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元．每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于30℃，则销售5000件；若气温位于[25℃,30℃)，则销售3500件；若气温低于25℃，则销售2000件，为制定今年8月份的生产计划，统计了前8(1)求今年8月份这种食品一天销售量(单位：件)的分布列和数学期望值；(2)设8月份一天销售这种食品的利润为y(单位：元)，当8月份这种食品一天生产量n(单位：件)为多少时，y 的数学期望值最大，最大值为多少？21. 已知函数f(x)为反比例函数，曲线g(x)=f(x)cosx +b 在x =π2处的切线方程为y =−6πx +2．(1)求g(x)的解析式；(2)判断函数F(x)=g(x)+1−32π在区间(0,2π]内的零点的个数，并证明．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22ty =1+√22t(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为ρ=4cosθ+6sinθ． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 交于点M ，N ，点A 的坐标为(3,1)，求|AM|+|AN|．23.已知函数f(x)=|x−m|−|x+2|(m∈R)，不等式f(x−2)≥0的解集为(−∞,4]．(1)求m的值；(2)若a>0，b>0，c>3，且a+2b+c=2m，求(a+1)(b+1)(c−3)的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵π2<3<π∴sin3>0，cos3<0∴对应的点在第二象限．故选B ．注意到3rad 的范围，再作进一步判断． 本题是基本概念的考查．2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查复数模的求法，是基础题．由已知求得z ，代入|z −1|=|z −i|，求模整理得答案． 【解答】解：由z 在复平面内对应的点为(x,y)，且|z −1|=|z −i|， 得|x −1+yi|=|x +(y −1)i|，∴√(x −1)2+y 2=√x 2+(y −1)2， 整理得：y =x ． 故选：B ．3.【答案】B【解析】解：∵m 为正整数，由(x +y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，以及二项式系数的性质可得a =C 2m m，同理，由(x +y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b ，可得b =C 2m+1m+1．再由13a =7b ，可得13C 2m m =7C 2m+1m，即13×(2m)!m!⋅m!=7×(2m+1)!m!⋅(m+1)!，即13=7×2m+1m+1，即13(m +1)=7(2m +1)，解得m =6，故选：B ．根据二项式系数的性质求得a 和b ，再利用组合数的计算公式，解方程13a =7b 求得m 的值．本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：f(−x)=2−x −2x|−x|−cos(−x)=−2x −2−x|x|−cosx =−f(x)，即函数f(x)在定义域上为奇函数，故排除D ；又f(0)=0,f(1)=2−2−11−cos1>0，故排除B 、C ． 故选：A ．由函数为奇函数，排除D ；由f(0)=0，f(1)>0，排除BC ，进而得解．本题考查由函数解析式确定函数图象，旨在考查函数性质的运用，属于常规题目．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础的计算题．由题意可得12=1×e−7.6×0.8μ，两边取自然对数，则答案可求．【解答】解：由题意可得，12=1×e−7.6×0.8μ，∴−ln2=−7.6×0.8μ，即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114．∴这种射线的吸收系数为0.114．故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数恒等变换，熟练应用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题．由题意和三角函数公式变形可得cosα=cos[π2−(α−β)]，由角的范围和余弦函数的单调性可得．【解答】解：∵tanα−tanβ=1cosβ，∴sinαcosα−sinβcosβ=1cosβ，∴sinαcosα=1cosβ+sinβcosβ=1+sinβcosβ，∴sinαcosβ=cosα(1+sinβ)=cosα+cosαsinβ，∴cosα=sinαcosβ−cosαsinβ=sin(α−β)由诱导公式可得cosα=sin(α−β)=cos[π2−(α−β)]，∵α,β∈(0,π2)，∴[π2−(α−β)]∈(0,π)，∴α=π2−(α−β)，变形可得2α−β=π2，故选：D．7.【答案】B【解析】解：双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0)，抛物线C：y2=8ax的焦点为F(2a,0)，双曲线的渐近线方程为y=±bax，可设P(m,ba m)，即有AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −a,b a m)，FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −2a,b a m)， 由AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即为(m −a)(m −2a)+b 2a 2m 2=0，化为(1+b 2a 2)m 2−3ma +2a 2=0，由题意可得△=9a 2−4(1+b 2a 2)⋅2a 2≥0，即有a 2≥8b 2=8(c 2−a 2)， 即8c 2≤9a 2， 则e =c a≤3√24． 由e >1，可得1<e ≤3√24． 故选：B ．求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设P(m,ba m)，以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．本题考查双曲线的离心率的范围，考查抛物线的焦点和向量的数量积的性质，注意运用二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，考查运算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查正方体中有关的线面的位置关系，解题的关键是理解想象出要画出的平面是怎样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面就可以正确解题． 运用正方体的对称性即可判断①； 由平行平面的性质可得②是正确的；当E 、F 为棱中点时，通过线面垂直可得面面垂直，可得③正确；当F 与A 重合，当E 与C 1重合时，BFD 1E 的面积有最大值，当F 与A 重合，当E 与C 1重合时，BFD 1E 的面积有最大值，可得④正确 【解答】解：如图，则：对于①：由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故①正确；对于②：因为平面ABB 1A 1//CC 1D 1D ，平面BFD 1E ∩平面ABB 1A 1=BF ，平面BFD 1E ∩平面CC 1D 1D =D 1E ，∴BF//D 1E ，同理可证：D 1F//BE ，故四边形BFD 1E 一定是平行四边形，故②正确； 对于③：当E 、F 为棱中点时，EF ⊥平面BB 1D ，又因为EF ⊂平面BFD 1E ，所以平面BFD′E ⊥平面BB′D ，故③不正确；对于④：当F 与A 重合，当E 与C 1重合时，BFD 1E的面积有最大值，故④正确．正确的是①②④，故选：C．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数与方程，考查分段函数零点个数的判定，考查利用导数研究函数的零点问题，考查转化思想，换元思想，数形结合思想，分类讨论思想以及数据分析能力，运算求解能力，逻辑推理能力等综合数学素养，属于较难题目．注意到当x≤0时，函数值恒小于0，当x>0时，函数值恒大于等于0，进而考虑换元后，通过分类讨论结合数形结合思想得解．【解答】解：不妨设f1(x)=−e−x(x≤0)，f2(x)=xe x−x−1−lnx(x>0)，易知，f1(x)<0在(−∞,0]上恒成立，且在(−∞,0]单调递增；f2′(x)=e x+xe x−1−1x =(x+1)(e x−1x)，设g(x)=e x−1x(x>0)，由当x趋近于正无穷大时，g(x)趋近于负无穷大，g(1)=e−1>0，且函数g(x)在(0,+∞)上单增，故函数g(x)存在唯一零点x0∈(0,1)，使得g(x0)=0，即e x0−1x=0，则x0e x0=1,lnx0+x0=0，故当x∈(0,x0)时，g(x)<0，f2′(x)<0，f2(x)单调递减；当x∈(x0,+∞)时，g(x)>0，f2′(x)>0，f2(x)单调递增，故f2(x)min=f2(x0)=x0e x0−x0−1−lnx0=0，故f2(x)≥0；令t=f(x)，F(t)=f(t)−et=0，当t≤0时，−e−t−et=0，解得t=−1，此时易知f(x)=t=−1有一个解；当t>0时，te t−t−1−lnt−et=0，即te t−t−1−lnt=et，作函数f2(t)与函数y= et的图象如图所示，由图可知，函数f2(t)与函数y=et有两个交点，设这两个交点为t1，t2，且t1>0，t2>0，而由图观察易知，f(x)=t1，f(x)=t2均有两个交点，故此时共有四个解；综上，函数F(x)=f(f(x))−ef(x)的零点个数为5．故选：B．10.【答案】C【解析】解：因为a+b=2，b>0，要取得最小值，则a<0，则12|α|+|α|b=a+b4|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|b，≥a4|a|+2√b4|a|⋅|a|b=a4|a|+1=−14+1=34，当且仅当b4|a|=|a|b，a<0时取等号，此时b=−2a，因为a+b=2，所以a=−2，b=4，故选：C．要取得最小值，则a<0，12|α|+|α|b=a+b4|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|b，利用基本不等式可求．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：设P(x,1x )，则d=|PA|=√(x−a)2+(1x−a)2=√(x+1x )2−2a(x+1x)+2a2−2．令t=x+1x≥2∴d=√t2−2at+2a2−2令f(t)=t2−2at+2a2−2，t≥2．该函数对称轴t=a①a≤2时，f(t)递增，f(t)min=f(2)=2a2−4a+2=8解得a=−1或3(舍)②①a>2时，f(t)min=f(a)=a2−2=8解得a=√10或−√10(舍)．综上，a的取值为−1或√10．故选：D．先利用两点间距离公式表示出|PA|，然后利用换元法将|PA|转化为一个二次函数类型的函数求最值问题，取最小值2√2时得到关于a的方程，求解即可．本题主要考查两点间距离公式和代数变换求最值，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：函数的定义域为(0,+∞)，则函数的导数f′(x)=x−b+ax，若函数f(x)存在极大值点x0，则f′(x)=0有解，即x2−bx+a=0有两个不等的正根，则{△=b 2−4a >0x 1+x 2=b >0x 1⋅x 2=a >0，得b >2√a ，(a >0)，由f′(x)=0得x 1=b−√b2−4a2，x 2=b+√b2−4a2，分析易得f(x)的极大值点为x 1=x 0， ∵b >2√a ，(a >0)， ∴x 1=x 0=b−√b 2−4a2=b+√b 2−4a ∈(0,√a)，则f(x)极大值=f(x 0)=12x 02−bx 0+alnx 0=12x 02−x 02−a +alnx 0=−12x 02+alnx 0−a ，设g(x)=alnx −12x 2−a ，x ∈(0,√a)， f(x)的极大值恒小于0等价为g(x)恒小于0， ∵g′(x)=ax −x =a−x 2x >0，∴g(x)在(0,√a)上单调递增， 故g(x)<g(√a)=aln √a −32a ≤0， 得ln √a ≤32，即a ≤e 3，故a 的最大值为是e 3，故选：D ．求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′(x)=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数极值的应用，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系转化为一元二次方程根的与判别式△之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度极大．13.【答案】6 12【解析】解：①若青年人的人数为4，则老年人数小于2×4=8，故老年人数最多为7， ∵老年人的人数多于中年人的人数， 故中年人的人数对多为6．②由题意，∵青年人的人数最少为3，故中年人的人数最少为4，老年人的人数最少为5， 抽取的总人数的最小值为3+4+5=12， 故答案为：6；12．由题意，求出老年人的最大值、青年人数的最小值，可得结论． 本题主要考查分层抽样，属于基础题．14.【答案】(−34,12)【解析】解：∵数列{a n }的前n 项和S n =(−1)n+112， ∴a 1=S 1=(−1)2⋅12=12，a 2=S 2−S 1=(−1)3122−12=−34，又a 2k =S 2k −S 2k−1=−122k −122k−1=−322k <0， a 2k+1=S 2k+1−S 2k =122k+1+122k =322k+1>0，由题意知数列{a n }的奇数项为递减的等比数列且各项为正， 偶数项为递增的等比数列且各项为负，∴不等式(p −a n )(p −a n+1)<0成立即存在正整数k 使得a 2k <p <a 2k−1成立， 只需要a 2<a 4<⋯<a 2k <p <a 2k−1<⋯<a 3<a 1， 即−34=a 2<P <a 1=12即可，故−34<p <12.即实数p 的取值范围是(−34,12). 故答案为：(−34,12).求出a 2k =S 2k −S 2k−1=−122k −122k−1=−322k <0，a 2k+1=S 2k+1−S 2k =122k+1+122k =322k+1>0，从而数列{a n }的奇数项为递减的等比数列且各项为正，偶数项为递增的等比数列且各项为负，进而不等式(p −a n )(p −a n+1)<0成立即存在正整数k 使得a 2k <p <a 2k−1成立，只需要a 2<a 4<⋯<a 2k <p <a 2k−1<⋯<a 3<a 1，由此能求出实数p 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查数列不等式的应用，涉及到数列的前n 项和与数列中的项的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．15.【答案】√6π 6π4n−1【解析】解：如图，设球O 1半径为r 1，…，球O n 的半径为r n ，E 为CD 中点，球O 1与平面ACD 、BCD 切于F 、G ，球O 2与平面ACD 切于H ， 作截面ABE ，设正四面体A −BCD 的棱长为a ，由平面几何知识可得r 1√36a=√63a−r √32a ，解得r 1=√612a ，同时√63a−2r −r √63a−r 1=r 2r 1，解得r 2=√624a ，把a =6代入的r 1=√62，r 2=√64，由平面几何知识可得数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列， 所以r n =√62(12)n−1，故球O 1的体积=43πr 13=43π(√62)3=√6π；球O n 的表面积=4πr n 2=4π×[√62(12)n−1]2=6π4n−1，故答案为√6π；6π4n−1利用平面几何知识，数形结合推出这些球的半径满足数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列，代入计算即可本题考查了正四面体，球体积性质及其表面积，考查信息提取能力，逻辑推理能力，空间想象能力，计算能力，属于中档偏难题．16.【答案】②④⑤【解析】解：对①显然错误，如图对②，点(0,1)均为两曲线的对称中心，且f(x)=sinx +1能把圆一分为二，正对③，函数为奇函数f(x)=e x +1e x −1=1+2e x −1，当x →0(x >0)时，f(x)→+∞，当x →+∞时，f(x)→1，[f(x)>1]，函数递减； 当x →0(x <0)时，f(x)→−∞，当x →−∞时，f(x)→−1，[f(x)<−1]，函数f(x)关于(0,0)中心对称，有三条渐近线y =±1，x =0，可知，函数的对称中心为间断点，故不存在圆使得满足题干条件． 对于④直线(m +1)x −(2m +1)y −1=0恒过定点(2,1)，满足题意． 对于⑤函数f(x)=kx 3−kx 为奇函数，与圆的交点恒坐标为(−1,1)， ∴{y =kx 3−kx x 2+y 2=1， ∴k 2x 6−2k 2x 4+(1+k 2)x 2−1=0，令t =x 2，得k 2t 3−2k 2t 2+(1+k 2)t −1=0， 即(t −1)(k 2t 2−k 2t 2+1)=0 得t =1即x =±1；对k 2t 2−k 2t 2+1，当k =0时显然无解，△<0即0<k 2<4时也无解，即k ∈(−2,2)时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分． 若k =±2时，函数图象与圆有4个交点，若k 2>4时，函数图象与圆有6个交点，均不能把圆一分为二．，故所有正确的是②④⑤故答案为：②④⑤利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可．本题考查函数的奇偶性的应用，命题真假的判断，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解∴f(x)的最大值为2，此时2x−π3=π2+2kπ,k∈Z，即x=5π12+kπ,k∈Z;(2)f(2x)=2sin(4x−π3)，令t=4x−π3，∵x∈[0,π4]，∴t∈[−π3,2π3]设t1，t2是函数y=2sint−a的两个相应零点，t1=4x1−π3,t2=4x2−π3，由y=2sint图象性质知t1+t2=π，即4x1−π3+4x2−π3=π，∴x1+x2=π4+π6,tan(x1+x2)=2+√3．【解析】本题综合考查了两角和与差的三角公式、二倍角公式、三角函数的最值(最值的求解一般是整体思想)，利用正弦函数的图象求解值的问题，体现了函数中的数形结合的数学思想在解题中的运用，利用三角公式化简函数f(x)=2sin(2x−π3).(1)结合正弦函数的性质，把2x−π3看成y=sinx中的“x“分别求解(2)代入可得y=2sin(4x−π3)，换元t=4x−π3，从而可得y=2sint，t∈[−π3,2π3]，结合正弦函数的图象可求．18.【答案】解：(1)证明：在△AOC中，OA=OC= 2，AC=a=2√2，∴OA2+OC2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，∵AO⊥BD，且AO∩BD=O，∴AO ⊥平面BCD ；(2)由(1)知，OC ⊥OD ，以O 为坐标原点，OC ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴 建立如图的空间直角坐标系O −xyz ，则O(0,0,0),B(0,−2√3,0),C(2,0,0),D(0,2√3,0)， ∵AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，∴∠AOC 为二面角A −BD −C 的平面角， ∴∠AOC =120°，∴A(−1,0,√3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2√3,−√3),BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2√3,√3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3,0)，设平面ABC 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2√3y =0n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2√3y +√3z =0，可取n⃗ =(1,−√33,√3)， 设直线AD 与平面ABC 所成角为θ，则sinθ=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4√133=√313， ∴cosθ=√1−sin 2θ=√1013,tanθ=sinθcosθ=√3010．【解析】(1)由勾股定理可得AO ⊥OC ，又AO ⊥BD ，即可证得AO ⊥平面BCD ；(2)建立空间直角坐标系，求出直线AD 的方向向量以及平面ABC 的法向量，利用向量公式即可求得正切值．本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解线面角问题，考查逻辑推理能力，属于常规题目．19.【答案】解：(1)设Q(x,y)，则P(x,y2)，由题意可得当P 在直径AB 上运动时，显然y =0(−1<x <1)；当P 在半圆O 上时，x 2+(y2)2=1(y ≥0)， 所以曲线C 的方程为y =0(−1<x <1)或x 2+y 24=1(y ≥0)；(2)设曲线上两动点G(x,y)，H(x 0,y 0)，显然G ，H 至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大，不妨设y ≥y 0≥0，则|GH|2=(x −x 0)2+(y −y 0)2≤(x −x 0)2+y 2=(x −x 0)2+4(1−x 2)，∵(x −x 0)2+4(1−x 2)=−3x 2−2x 0x +x 02+4=−3(x +x 03)2+4x 023+4≤43+4=163，∴|GH|2≤163，等号成立时，G(4√23,13)，H(−1,0)或G(−4√23,13)，H(1,0)， 由两点的距离公式可得|GH|max =4√33，故曲线C 的“直径”为4√33．【解析】(1)设Q(x,y)，则P(x,y2)，分别讨论P 在直径AB 上时，以及P 在半圆O 上时，代入方程，化简可得所求曲线的方程；(2)设曲线上两动点G(x,y)，H(x0,y0)，显然G，H至少有一点在椭圆上时GH才能取得最大，不妨设y≥y0≥0，运用两点的距离公式和椭圆方程，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值，即曲线C的“直径”．本题考查曲线的方程的求法和运用，考查坐标转移法和转化思想、以及二次函数的最值求法，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)今年8月份，这种食品一天的销售量X的可能取值为2000、3500、5000件，P(X=2000)=4+1490=0.2，P(X=3500)=3690=0.4，P(X=5000)=21+1590=0.4，X的数学期望为E(X)=2000×0.2+3500×0.4+5000×0.4=3800．(2)由题意知，这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件，因此只需要考虑2000≤n≤5000，当3500≤n≤5000时，若气温不低于30度，则Y=4n，若气温在[25,30)之间，则Y=3500×4−(n−3500)×3=24500−3n，若气温低于25度，则Y=2000×4−(n−2000)×3=14000−3n，此时E(Y)=25×4n+25×(24500−3n)+15(14000−3n)=12600−15n≤11900，当2000≤n<3500时，若气温不低于25度，则Y=4n，若气温低于25度，则Y=2000×4−(n−2000)×3=14000−3n，此时E (Y)=45×4n+15(14000−3n)=2800+135n<11900，所以n=3500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为11900．【解析】(1)销售量X的可能取值为2000、3500、5000件，求出每个X的取值对应的概率即可得分布列与数学期望；(2)这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件，因此只需要考虑2000≤n≤5000，然后分3500≤n≤5000和2000≤n<3500两个类别，分别计算数学期望，再比较两者的大小即可．本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，及期望的实际应用，考查学生的数据分析能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设f(x)=ax (a≠0)，则g(x)=acosxx+b，∴g′(x)=−a(xsinx+cosx)x2又直线y=−6πx+2的斜率为−6π，过点(π2,−1)，∴g′(π2)=−2aπ=−6π，∴a=3，又g(π2)=b=−1，∴g(x)=3cosxx−1．(2)函数F(x)在(0,2π]上有3个零点，证明如下：证明：F(x)=g(x)+1−32π=3cosxx−32π，则F′(x)=−3(xsinx+cosx)x2，又F(π6)=9√3π−32π>0,F(π2)=−32π<0，∴F(x)在(0,π2]上至少有一个零点，∵F(x)在(0,π2]上单调递减，∴F(x)在(0,π2]上有一个零点． 当x ∈(π2,3π2)时，cosx <0，故F (x)<0，∴函数F(x)在(π2,3π2)上无零点；当x ∈[3π2,2π]时，令ℎ(x)=xsinx +cosx ，ℎ′(x)=xcosx >0， ∴ℎ(x)在[3π2,2π]上单调递增，又ℎ(2x)>0,ℎ(3π2)<0， ∴∃x 0∈(3π2,2π)，使得F(x)在[3π2,x 0]上单调递增，在(x 0,2π]上单调递减，∵F(2π)−0,F(3π2)<0，∴F(x)在[3π2,2π]上有2个零点，综上，函数F(x)在(0,2π]上有3个零点．【解析】(1)根据条件，利用待定系数法求出g(x)的解析式；(2)函数F(x)在(0,2π]上有3个零点，然后利用综合法证明函数F(x)存在3个零点即可． 本题考查了函数解析式的求法，利用导数研究函数的单调性和零点存在性定理，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 的方程ρ=4cosθ+6sinθ， ∴ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ，∴x 2+y 2=4x +6y ，即曲线C 的直角坐标方程为：(x −2)2+(y −3)2=13．(2)把直线l ：{x =3−√22t y =1+√22t 代入曲线C 得(1−√22t)2+(−2+√22t)2=13，整理得，t 2−3√2t −8=0． ∵Δ=(−3√2)2+32>0，设t 1，t 2为方程的两个实数根，则t 1+t 2=3√2，t 1t 2=−8，∴t 1，t 2为异号， 又∵点A(3,1)在直线l 上，∴|AM|+|AN|=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√50=5√2．【解析】(1)由曲线C 的方程的极坐标方程能求出曲线C 的直角坐标方程．(2)把直线l ：{x =3−√22ty =1+√22t代入曲线C 得t 2−3√2t −8=0.由此能求出|AM|+|AN|．本题考查曲线的直角坐标方程、两线段和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)∵f(x)=|x −m|−|x +2|， ∴f(x −2)=|x −m −2|−|x|≥0的解集为(−∞,4]，∴|x −m −2|≥|x|，即(x −m −2)2≥x 2的解集为(−∞,4]， 得2(m +2)x ≤(m +2)2的解集为(−∞,4]，故m+2>0且m+2=8，即m=6．(2)∵m=6，∴a+2b+c=12．又∵a>0，b>0，c>3，∴(a+1)(b+1)(c−3)=(a+1)(2b+2)(c−3)≤12[(a+1)+(2b+2)+(c−3)3]3=12(a+2b+c3)3=12×(123)3=32，当且仅当a+1=2b+2=c−3，结合a+2b+c=12解得a=3，b=1，c=7时，等号成立，∴(a+1)(b+1)(c−3)的最大值为32．【解析】(1)通过|x−m−2|−|x|≥0的解集为(−∞,4]，转化为2(m+2)x≤(m+2)2的解集为(−∞,4]，即可得．(2)通过(a+1)(b+1)(c−3)=(a+1)(2b+2)(c−3)2，利用均值不等式转化求解函数的最值即可．本题考查不等式的解法，均值不等式求最值，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
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18．（12 分）在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 acosB+bcosA=2ccosC．求角 C 的大 小；若△ ABC 的周长为 3，求△ ABC 的内切圆面积 S 的最大值．
x 5 t cos
19．（12
分）在直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
y
t
sin
20．（12 分）如图,
四点共圆, 为钝角且
,
,
,
求 ;设
,
,求
的值.
21．（12 分）已知命题 p :实数 x 满足 x2 4ax 3a2 0 ，命题 q :实数 x 满足| x 3 | 1 ．若 a 1，且 p q
为真，求实数 x 的取值范围；若 a 0 且 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
yx
x
y
4
13．已知 x, y 满足约束条件 y 2 0 ，则 z 2x y 的最大值为__________．
14．已知函数 f（x）既是二次函数又是幂函数，函数 g（x）是 R 上的奇函数，函数 = +1，则 h（2018）
是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为 1 的圆内作正 n 边形求其面积，如图是其设计
的一个程序框图，则框图中应填入、输出 n 的值分别为（ ）
A． S 1 n sin 1800 , 24
2
n
B． S 1 n sin 1800 ,18
2
n
1
3600
1
3600
S n sin ,54
+h（2017）+h（2016）+…+h（1）+h（0）+h（﹣1）+…h（﹣2016）+h（﹣2017）+h（﹣2018）=___________
15．已知中心是坐标原点的椭圆
C
过点
1,
2
5
5
，且
C
的一个焦点为
2,
0
，则
C
的标准方程为
__________．
16．一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图是斜边为 2 3 的等腰直角三角形，正视图是等边三角形，
，若
x1
x2 ，且
f
x1
f
x2 ，则当 x1x2
0 时，
x1 x2 的取值范围是
A．
0,
4
B．
4
,
C．
4
,
3 4
D．
4
,
x y 2, 11．在平面区域 2x y 0, ，内任取一点 P(x, y) ，则点 P 的坐标 (x, y) 满足不等式 (x 2)2 y2 2 的概
，（ t 为参数， 为直线倾斜角）.
以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是
4cos .当 45 时，直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；已知点 C 的直角坐标为 C(2, 0) ，
直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点，当 ABC 面积最大时，求直线 l 的普通方程.
y 0,
率为（ ）
1 3
3
4
1
A． 16 B． 16 C． 3 4 D． 16
12．在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ,若 a cos A bcos B ，且 c 2 ， sin C 3 ， 5
则 ABC 的面积为（ ）
2
1
2
A． 3 B． 3 C． 3 或 3 D． 6 或 3
2020 届华中师范大学第一附属中学高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1．已知 a.b.c 分别是△ABC 的内角 A、B、C 的对边，若 c bcos A ，则△ABC 的形状为（ ）
A．钝角三角形
C1
22．（10 分）已知椭圆
倍，纵坐标不变:第二步，可以把所得
图像沿 x 轴（ ）
A．向右移 个单位 3
B．向右平移 5 个单位 12
5
C．向左平移 3 个单位D．同左平移 12 个单位
9．已知 ， 都是偶函数，且在
上单调递增，设函数
，若 ，
则（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
10．已知函数
fxΒιβλιοθήκη 2sin2x
4
5 8
x
3 8
S n sin ,18
C． 2
n
D． 2
n
6．已知函数
x f (x) ex
，若关于 x 的方程
f (x)
mx e 无实数解，则 m 的取值范围为（
）
A． (2e, 0] B． 4e2, 0
C．
1 e
,
0
D．
4 e2
, 0
ln x, x 0
7．已知函数
f
(x)
{ ax
2,
x
0
（
a
R
则该四棱锥的最长棱长为___．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）已知函数 f (x) x 2 ax 2 .当 a 2 时，求不等式 f (x) 2x 1的解集；若不等式
f (x) x 2对任意的 x (0, 2) 恒成立，求 a 的取值范围.
B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
2．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A．8
B．4
8 C． 3
4 D． 3
3．设 F1, F2 分别为离心率 e
5 的双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0 的左、右焦点， A1, A2 分别为双
曲线 C 的左、右顶点，以 F1, F2 为直径的圆交双曲线的渐近线 l 于 M , N 两点，若四边形 MA2 NA1 的面积 为 4 ，则 b （ ） A． 2 B． 2 2 C． 4 D． 4 2
4．已知 f x ln x 1 aex ，若关于 x 的不等式 f x 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．
,
1 e
B． ,0
C．
1 e
,
D．
1 e
,
5．公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近
圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就
），若函数
y
f (x) a
有三个零点，则实数 a 的取值范围是
A． a 2 B． 0 a 1 C．1 a 2 D． a 2
8．若由函数
y
sin
2x
2
的图像变换得到
y
sin
x 2
3
的图像，则可以通过以下两个步骤完成:
第一步，把
y
sin
2x
2
图像上所有点的横坐标变为原来的
4