理工本科高等数学A(中)期中试卷20110424
大学工科数学分析期中考试___试题及答案
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一、客观题（每题4分，共40分）1. 曲线⎩⎨⎧==21yx xyz 在点)1,1,1(处切线的的参数方程为 .2. 设函数(,)z z x y =由方程2222(,)0F x y y z --=所确定，其中(,)F u v 是可微函数，且0v zF ≠，则z z yx x y ∂∂+=∂∂ . xy z3. 当 , , a b c ===时，抛物线2y ax bx c =++与正弦曲线sin y x=在点(,1)2π相切，并有相同的曲率.1,2a =-,2b π=21.8c π=-4.用柯西收敛原理叙述级数1n n a ∞=∑收敛的充分必要条件是 .；正项级数1n n a ∞=∑收敛的充分必要条件是 .（1）0ε∀>，0N ∃>，当n N >时，对p ∀∈，有1pn i i a ε+=<∑. （2）部分和数列有界.5. 函数)ln(22z y x u ++=在点)1 ,0 ,1(A 处沿A 点指向)2 ,2 ,3(-B 点的方向导数为21，在点)1 ,0 ,1(A 处的方向导数的最大值为22，最小值为22-.本题分数 40得 分6. 曲面cos sin x u vy u v z av=⎧⎪=⎨⎪=⎩当1,4u v π==时的切平面方程为 .20x y +=7. 设zy xu =，则=∂∂)2,2,3(yu（ ）（ C ） （A ）3ln 4 （B ）3ln 8 （C ）3ln 324 （D ）3ln 1628. 旋转曲面2221499x y z ++=是（ ）（B ）（A ）xOy 平面上椭圆22149x y +=绕Oy 轴旋转成的椭球面（B ）xOy 平面上椭圆22149x y +=绕Ox 轴旋转成的椭球面（C ）xOz 平面上椭圆22149x z +=绕Oz 轴旋转成的椭球面（D ）xOz 平面上椭圆22149x z +=绕Oy 轴旋转成的椭球面9. 设1,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，01()cos ,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑，其中102()cos ,(0,1,2,.....)n a f x n xdx n π==⎰ ，则5()2S -=（ ）（A ）（A ）34 （B ）34- （C ）12 （D ）12-20XXXX.下列结论正确的是（ ）（C ）（A ）若级数1n n a ∞=∑和1n n b ∞=∑均为发散，则级数()1n n n b a ∞=+∑必为发散（B ）p -级数11p n n ∞=∑当1p >时收敛，现在因为111n +>，所以级数1111n nn ∞+=∑收敛（C ）若1lim 1n n nu r u +→∞=>，则1n n u ∞=∑必发散（D ）若1,1,2n n u u n +<=且lim 0n n u →∞=，则1n n u ∞=∑收敛，其和1S u ≤二、解答题（共60分）11. （8分）设),(),,(y x g y x f 有连续的二阶偏导数，令2(,(,))z f x g x x =，求22d d zx.12. （8分）设直线0:30x y b l x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面π上且平面π又与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5)-，求,a b 的值.解：曲面22z x y =+的法向量为()2,2,1x y -，则平面方程为()()()214250x y z --+--=，即245x y z --=，于是直线的方向向量可取为()()()1,1,01,,11101,1,111i j ks a a a →=⨯-==---，由()2,4,10s →⋅--=可得5a =-，由直线方程知2430x y z b --+-=，故2b =-. 20XXXX. （20XXXX 分）求幂级数21112n+1n n x ∞=⎛⎫-⎪⎝⎭∑的收敛域与和函数()S x .解：令∑∞=+=121121)(n nx n x S ，∑∞==122)(n n x x S ， 则 )()()(21x S x S x S -=，).1,1(-∈x 由于本题分数 60得 分∑∞==122)(n nxx S =221x x -， )1,1(,1))((22121-∈-=='∑∞=x xx xx xS n n, 因此 ⎰-++-=-=xx xx dt tt x xS 022111ln 211)(， 又由于 0)0(1=S ，故.0,1,0,11ln 211)(1=<⎪⎩⎪⎨⎧-++-=x x xx x x S 所以 )()()(21x S x S x S -=.0,1,0,1111ln 212=<⎪⎩⎪⎨⎧---+=x x x x xx20XXXX. （8分） 已知ABCD 是等腰梯形，,,8,BC AD BC AD AB BC CD <++=∥ 求AB ，BC ，AD 的长，使该梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大.解：设, AB x AE y ==，则旋转体体积为22222222(,)()()(82)()(82)33F x y y x y x y x x y x y πππ=-+--=--+. 由0,0x y F F ==，得3,1x y ==. 故3,2,4AB BC AD ===. 也可以用条件极值做！15. （7分） 证明：53275x y z xyz ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.证明：令a x y z =++，3(,,,)()F x y z xyz x y z a λλ=-++-，则3320, 0, 30, 0,x y z F yz F xz F xyz F x y z a λλλλ=-==-==-==++-=由上述解得：3,,555a a a x y z ===. 所以33553()27()27()55555a a a a x y z xyz ++≤==，即原不等式得证.16. （7分） 证明函数()222222220(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)连续且偏导数存在, 但偏导数在(0,0)不连续, 而f 在原点(0,0)可微. 解：由于221sin x y +有界，()2222(,)(0,0)lim 0x y x y x y→+=+，所以(,)f x y 在（0,0）连续. 同时220sinsin(0,0)0, (0,0)0x yx x y x y x f f →→===.可得222222222220(,)0,0x x x y f x y x y x y x yx y ⎧+≠⎪=+++⎨⎪+=⎩，显然(,)(0,0)lim (,)x x y f x y →不存在，故x f 在(0,0)不连续，同理y f 在(0,0)不连续. 又由于()22222222(,)(,)sinlim lim0x yx y x y xy xf yf x y x y x yx y→→+--++=++，所以f 在原点(0,0)可微. 20XXXX. （6分） 讨论1(1)(1)nnn en∞=--∑的收敛性，若收敛是条件收还是绝对收敛. 解：条件收敛。
2010-2011学年第二学期高数IIA期中试卷_答案
2、求无穷限积分 ∫
+∞
dx x x2 −1
1
.
解：令x = sec t , 当x → +∞, t → ∴∫
+∞
π
2
, 当x → 1, t → 0, 且dx = sec t tan tdt ⋯⋯⋯ (2分)
dx x x2 −1
1
= ∫2
0
π
sec t tan tdt ⋯⋯⋯ (4分) sec t tan t
4、求函数 u = x 2 + y 2 + z 2 在约束条件 z = x 2 + y 2 和 x + y + z = 4 下的最大值和最小值。 专业
解：作辅助函数 F ( x, y , z , λ1 , λ2 ) = x 2 + y 2 + z 2 + λ1 ( x 2 + y 2 − z ) + λ2 ( x + y + z − 4) ⋯⋯⋯ (2分) F ′ = 2 x + 2λ1 x + λ2 = 0 x Fy′ = 2 y + 2λ1 y + λ2 = 0 则令 Fz′ = 2 z − λ1 + λ2 = 0 ′ 2 2 Fλ1 = x + y − z = 0 F ′ = x + y + z − 4 = 0 λ2 x = 1 x = −2 解得 y = 1 和 y = −2 z = 2 z = 8
C、 −1
D、不存在 （ A ）
∫∫
x + y ≤1
2
栏
3
x 2 + y 2 dxdy 的值等于
2011-2《微积分A》期中试题解答(1)
北京理工大学2011-2012学年第二学期《微积分A 》期中试题解答及评分标准一、填空题（每小题4分，共20分） 1. ；30=S 2.;02,11111=-++-==-z y x z y x3. ⎰⎰=eeydx y x f dy I ),(10 4. ⎩⎨⎧==+02222z y x ; 5.)12ln 2(411+=∂∂==y x xz ,=∂∂==11y x yz 4.二、2132(cos ),x zxf x xf ye f x∂''=++∂ ………………………4分2232231232321332332sin (2)sin cos cos sin .xy xy xyxyxy z x yf x e x ye f x y xf x yx xe f x ye yf x ye f ∂''"=-++-∂∂""''+-+ (8)分 三、 ⎰⎰--=Ddxdy y x RI 222⎰⎰θππ-ρρρ-θ=cos 02222R d R d …………….……….….4分).322(32)sin 1(323233-π=θθ-=⎰πR d R ………….….…8分四、 0)2(2222=+++=∂∂xxey y x exf0)22(2=+=∂∂y eyf x……………………….2分解得驻点：)1,21(- ……………………….3分.2),1(4),12(4222222222xxxeyf y eyx f y y x exf =∂∂+=∂∂∂+++=∂∂.5分在点)1,21(-e C B e A 2,0,2===，0422<-=-=∆e AC B，又02>=e A ，所以点)1,21(-是极小值点； ……………………….7分极小值为.2)1,21(ef -=- ……………………….8分五、由于积分区域关于yoz 面对称，所以 0245=⎰⎰⎰dxdydz z xy V….2分dxdydz z y x z xy I V⎰⎰⎰++=)2(245dxdydz z y x V⎰⎰⎰+=)(2=⎰⎰⎰-+y xdz z y x dy dx 102110)(22……………….6分⎰+-+-=12468)31323432(dx x x x x.945184=……………………….8分六、 }0,2,2{}1,1,1{}1,1,1{-=-⨯=s L的方向向量为设直线， ….2分⎪⎩⎪⎨⎧--==+=t z t y t x L 211的参数方程为：， …………………….….4分)4,2,3(1-ππ的交点坐标为与的方程，得代入平面L ….6分 所以直线的标准方程为042223:+=-=--z y x L ……………8分七、1:22≤+y x D xoy V 面上的投影区域为在， …………….1分⎰⎰⎰++=Vdv zy x I 2221⎰⎰⎰ϕππϕϕθ=cos 14020sin dr r d d ………….5分ϕϕϕπ=⎰πd 402cossin.)12(π-= ……………………….8分八、xz xz xz xz yexu yzsin )(∂∂+-∂∂=∂∂方程0),(=-xz y x f 两边对x 求偏导，得，0)(21=∂∂+'+'xz xz f f221f x f z f x z ''+'-=∂∂⇒，.sin 21221xz f f f x f z f yexu yz''+''+'-=∂∂⇒ ……………….4分同理：,sin )(yz xzx yz yz eyu yz∂∂-∂∂+=∂∂方程0),(=-xz y x f 两边对y 求偏导，得，021=∂∂'+'-yz f x f21f x f y z ''=∂∂⇒.sin 2121f x f xzx f x f yezeyu yzyz''-''+=∂∂⇒ ………….….8分九、（1）曲面S 的方程为：221y x z --= …………..….2分（2）由题意，密度22),,(y x z y x +=ρ ……………...3分由对称性知：,0==y x⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=VVdxdydzy x dxdydzy x z z 2222而dz d d dxdydz y x V⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρ-πρρθ=+2102102022154π=dz z d d dxdydz y x z V⎰⎰⎰⎰⎰⎰ρ-πρρθ=+2102120221058π=72=z ,所以质心坐标为：).72,0,0( ………………..….8分十、}0,21,21{0-=l所以目标函数为：)(2y x lf-=∂∂ …………………….2分约束条件为： 632222=++z y x ………………………3分 构造拉氏函数：)632()(),,(222-++λ+-=z y x y x z y x F⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=λ='=λ+-='=λ+='63206041021222z y x z F y F x F z y x 解得驻点为：)0,1,2(),0,1,2(--B A ………………….…….6分又23|)(2|-=-=∂∂A A y x l f23|)(2|=-=∂∂B B y x lf比较知，满足题目要求的点的坐标为：)0,1,2(-B ，方向导数的最大值为.23 …………………………….8分十一、记⎰⎰+=Ddxdy y t f )1arctan()(⎰⎰+=t ytdx y dy )1arctan(2⎰+-=2)1arctan()(tdy y y t⎰⎰+-+=22)1arctan()1arctan(tt dy y y dy y t⎰+='2)1arctan()(tdy y t f …………….….3分)cos 1()1arctan(lim 0t t dxdyy Dt -+⎰⎰+→2)(lim 3tt f t +→= （0）2)(lim 32tt f t '=+→22)1a r c t a n (lim 32tdyy tt ⎰+=+→62)1a r c t a n (2l i m 3220π=+=+→t t t t …………..8分。
高数期中试题A卷与答案
y
其中 Dz : e 2 x y 2,0 x ln 2 2 2. 【 积.
0.389 】求第一卦限中由曲面 z 1 x 2 y 2 ， y x ， y 3x 及 z 0 所围成的立体的体 7
2 1
Dz y=e2x
x
1 2 0
V dv 3 d d
2.333 】 3
y lim(1 ) x e k . x x y k
.
三、解答下列各题（每小题 6 分，共 24 分） ： 2.278 1. 【 】设函数 z z ( x, y ) 由方程 z 3 2 xz y 0 所确定,求 z 6 y
6z （
2 ， z (1,1,1)
订
订
分的闭区域。 4. 【
3.889 】 求函数 f x, y 2xy 3x 2 2 y 2 的极值。 6
【法一】
专业班级
f x 2 y 6 x 0, 得 (0, 0) 为驻点，又 f xx 6, f xy 2, f yy 4, f ( x, y) 2 xy 3x 2 2 y 2 , 令 f y 2 x 4 y 0, H AC B2 (6) (4) 22 20 0, A 6 0, 所以函数在(0，0) 处有极大值 f (0,0) 0.
2
由于 z x 2 y 2 ， 学号
z z 2x ， 2 y ， D : x2 y2 1 ， x y
dz
0
2
ln 2 2 0
ln y 2y 2 2 2 e e 2y e2y dxdy dz dx 2 x dy dz dy 2 dx 0 e ln y 0 1 ln y 0 ln y Dz
2010-2011高数(下)期中考试试题1
北京信息科技大学2010-2011学年第2学期《高等数学》176学时课程期中考试试题一、填空题（共10分，每小题2分）1．向量 )1,1,1(=a r 的方向余弦_______,cos =α_______,cos =β._______cos =γ2. 求过点)3,1,4(−且平行于直线51123−==−z y x 的直线方程 是 ._______3．将yoz 面的抛物线 绕z y 32=z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程是._______4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=−−=)(34:2222y x z y x z C 在xoy 面的投影曲线是 ._______5. 设∫∫−−=D y x y x I d d 422 由几何意义知4:22≤+y x D ._______=I 二、解答题（共63分，每小题7分）1. 已知)3,1,3(,)3,0,2(,)2,1,1(C B A −三点，求同时垂直于与的单位向量2. 已知,2z x e yz y x u ++= 求 z d 3. 已知(),,2x y x xf z += 其中具有二阶连续偏导数，f .,2y x z x z ∂∂∂∂∂求 4. 设由方程所确定，),(y x z z =023=+−y xz z yz x z ∂∂∂∂,求5. 求曲面在点处的切平面 3=+−xy z e z )0,1,2(6. 问函数在点z xy z y x u 2),,(=)2,1,1(−P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值7..333的极值求函数xy y x z −+=8．交换二次积分的积分次序()∫∫y y x y x f y 2202d ,d9． ()∫∫∫Ωdv z y x f ,,将三重积分.2:2222y x z y x −−≤≤+Ω化为柱面坐标系下的三次积分三、计算下列各题(27分)1．及直线∫∫+D y x y x d d )(22计算4,12222=+=+y x y x D 由曲线其中.0,所围成的闭区域==x x y (9分)2．∫∫Dx y x e ,d d 2计算.01,所围成的闭区域及由其中===y x x y D (9分) 3．.0,,2222所围成的立体体积求由曲面==++=z x y x y x z (9分)。
大学高等数学-(A)期中试卷(含答案)
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一、填空题 （每小题4分，共20XX 分）1、22lim sin 1x xx x →∞=+ 。
2、1lim(ln )n n n n →∞= 。
3、设321)(+=x x f ，则()(0)n f = 。
4、已知232,()arctan 32x y f f x x x -⎛⎫'== ⎪+⎝⎭，求0|x dy dx == 。
5、设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=0,0,2arcsin 1)(2tan 3x ae x xe xf xx在0=x 处连续，则=a 。
二、单项选择题 （每小题4分，共20XX 分）1、设ln ||()sin |1|x f x x x =-，则)(x f 有（ ）。
A. 一个可去间断点，一个跳跃间断点 B. 两个无穷间断点 C. 一个跳跃间断点，一个无穷间断点 D. 两个跳跃间断点 2、 若0→x 时，2)(kx x f =与x x x x g cos arcsin 1)(-+=是等价无穷小，则k 等于（ ）。
A. 1B. 32C. 43D. 23、 设)(x y y =是由方程1+=+x e xy y所确定的隐函数，则022|=x dxyd 等于（ ）。
A. 3-B. 2-C. 1-D. 0 4、设)(x f 处处可导，则（ ）。
A. 当lim ()x f x →-∞=-∞，必有lim ()x f x →-∞'=-∞B. 当lim ()x f x →-∞'=-∞，必有lim ()x f x →-∞=-∞厦门大学《高等数学（A ）》期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业C. 当lim ()x f x →+∞=+∞，必有lim ()x f x →+∞'=+∞D. 当lim ()x f x →+∞'=+∞，必有lim ()x f x →+∞=+∞5、设函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆ 的线性主部为1.0，则)1('f 等于（ ）。
《高等数学》(理科)A卷答案及评分标准 - 赣南师范
《高等数学》（理科）A 卷答案及评分标准一、填空题（每小题2分，共20分）1、a b -2、1，03、>4、35、Ⅲ，Ⅷ6、)1,2,3(-，)1,2,3(--7、双曲线，双曲柱面8、1，57- 9、yx -，0 10、dx y x f dy y ⎰⎰101),( 二、选择题（每小题3分，共18分）1、A2、C3、D4、C5、B6、B 三、（每小题4分，共16分）1、41]cos 41[cos cos sin cos 2024323=-=-=⎰⎰πππx x xd xdx x2、πππππ202020220202]2sin 41[412sin 41)12(cos 21cos ⎰⎰⎰=+=+=x x x x xd dx x x xdx x 22022sin 41πππ=+-⎰xdx 3、令3ln 24)]1ln (2[11121211,20202040-=+-=+-+=+=+=⎰⎰⎰t t dt t t dt t t dx xt x 4、e e e x d e dx xe x xx-=-=-=⎰⎰2112112121][1 四、（每小题5分，共20分） 1、22222,2yx y y z y x x x z +=∂∂+=∂∂ 2、x xy y x y z y y y x x z +-=∂∂+-=∂∂2322292,33 xy x yz y y x x y z y x z xy x z 182,196,63222222222-=∂∂+-=∂∂∂=∂∂∂=∂∂ 3、33)332(23y x xe xy x x z -++=∂∂，33)332(32y x ye y y x yz---=∂∂4、xy ye x z =∂∂，xy xe y z =∂∂，()21,2e x z=∂∂，()21,22e y z =∂∂，dy e dx e dz 222+=五、（每小题5分，共10分）1、先画D （略），再改变次序：dx y x f dy dy y x f dx yyx x ⎰⎰⎰⎰=1010),(),(22、先交换积分次序，然后积分。
工科数学分析第二学期期中试卷11-12-2(精简版)
河南理工大学 2011-2012 学年第 二 学期《工科数学分析2》期中试卷（A ）一．填空题（共35分，每小题5分.）1．设函数 f (u ) 具有二阶连续导数，而 )sin (y e f z x = 满足方程 z e y z x z x 22222=∂∂+∂∂，则f (u )=2．第一型线积分()()⎰+C ds y x 的值为 ，其中()C 为以 (1,0) 和 (0,1) 为顶点的线段．3．三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 222 的值为，其中(){}2220,,y x z z y x --≤≤=Ω． 4．y x x y x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-211lim 0= ．5．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+y z y y x ϕ22 确定()y x z z ,=，其中ϕ为可微函数，则=∂∂y z ． 6．球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程为． 7．xOz 坐标面上的圆92=+z x 2绕z 轴旋转一周，生成的旋转曲面方程为 ．二．试解下列各题（共35分，每小题7分）8．用定义证明()()21110,0=-+→xy xy limy x,． 9. 计算二重积分⎰⎰--=Dd y x a I σ22241．其中D 是由曲线22x a a y -+-=（a > 0） 和直线 x y -= 围成．10. 若3,,2,5π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∧b a b a ，求：(1)()()b a b 3-a 2 2+⨯; (2) ()b 3-a 2 .11. 求密度为μ均匀物体：222222,2z y x z y x ≥+≤++对z 轴的转动惯量．12. 求通过点()0,0,3A 和()1,0,0B 且与xOy 面成3π角的平面的方程．三 ．证明题（共30分，每小题10分）13. 证明函数()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=0,0,,00,0,,1sin ,2222y x y x y x y x y x f 在()0,0处可微． 14. 设()t r r =为空间3R 中动点()()()()T t z t y t x ,,的向径，证明：()C t r = （C 为常数）的充分必要条件为()()0,='t r t r ．15. 设1:222≤++Ωz y x ．证明： ππ3852223433≤+-+≤⎰⎰⎰Ωdv z y x ．。
2015-2016-上海理工大学高数A1-期中考试 - 答案
一、填空题：(每空 3 分，共 18 分) 1. lim
cos n n 2n 1
0
.
2
( lim
1 0 ， cos n 有界，无穷小乘以有界函数为无穷小) n 2n 1
2
阶无穷小. ( x 0 ， sin(sin x ) sin x x )
4
(端点处连续可导必须利用定义)
1
又 f (0 ) lim f ( x) lim x e x 0 ， f (0) 0 ， f ( x) 0 ， f (0 ) lim
x 0 x 0 x 0
则 f ( x) 在 x 0 处连续, 进而 f ( x) 在 ( , ) 上连续. 当 x 0 时， f ( x) 0 ；当 x 0 时， f ( x) 4 x e x x e x
2.
1 x sin x e x . (拆项后利用等价无穷小) lim x 0 ln(1 x 2 )
2 2 2
2
1 x sin x e x 1 x sin x 1 1 e x 1 x sin x 1 1 ex 解： lim lim lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 2 ln(1 x 2 ) x2 x2
3 4 1 1 1 1 2 x ； (4 1)e x x 2 x
1 x 4e x 0 00 3 x ， 当 x 0 时， f (0) lim f (0) lim lim x e 0 ，则 f (0) 0 0 x 0 x 0 x 0 x x 1 x 2 (4 x 1)e x , x 0 故 f ( x) 在 ( , ) 上可导，且 f ( x) . 0, x0 六、(本题 12 分) 求内接于半径为 R 的球内体积最大的圆柱体的半径和高.
武汉理工大学2011高数A上期中试卷及解答
2. 设 e a b e ，求证： ln
2
b ln 2 a
4 b a 。 e2
期中试卷参考答案：
一、选择题： D、B、C、B、A． 4、 2n (n 1)! ； 5、 y 2 x.
二、填空题：
1、1；
2、1；
3、0；
三、计算题
e 1、 lim
x 0
2． y y ( x) 由方程 e y 6 xy 1 x2 所确定，求 y (0) 。 3． y y ( x) 由参数方程
x f (t ) d2y 所确定（其中 f (t ) 0 ） ，求 2 。 dx y tf (t ) f (t )
4． 设 y
4、 y 4
五、应用题： 解：设 P 点坐标 ( x, x ) ， 则切线方程为 Y x 2 x( X x0 ) S
2
2
1 8 x 16 x x 2 2
0 x 8
令
dS 16 16 4096 0 x （唯一驻点） ，根据实际情况知， S 为所求。 dx 3 27 3
3、
dy f (t ) tf (t ) f (t ) d2y 1 t 2 . dx f (t ) dx f (t )
3 1 1 3 1 1 n y n 1 n ! . n 1 n 1 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1
n
(0)
5.
2 x3 的渐近线方程为 x2 1
。
三、计算题（每小题 6 分，共 24 分）
e 1． lim
x 0
x
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福州大学理工高等数学A(中)期中试卷
一、单项选择(共18分,每小题3分)
1.设222sin A y i yz j x z k =++ ，则
A
y
∂∂＝( ).
(A) 2z j (B) 24y i z j +
(C) 4y i
(D) 24y z + 2.下列函数中处处解析的是( ). (A)tan z (B) Re()z (C)
2
1
1z + (D) 1z e
3.
2
(,)(,)1lim
1x x y
x y a x +→∞⎛
⎫-= ⎪⎝⎭( ).
(A)e (B)1 (C) 1e - (D)
4.设()()z x y x y ϕψ=++-，其中,
ϕψ具有二阶连续的导数，则必有( ).
(A) 22220z z x y ∂∂+=∂∂ (B) 22220z z
x y
∂∂-=∂∂ (C)
20z x y ∂=∂∂ (D) 2220z z x y x ∂∂+=∂∂∂ 5.二元函数332339z x y x y x =--+-的一个极值点是( ). (A) (1,1) (B) (1,1)-- (C) (3,1) (D) (3,1)- 6. 改变二次积分2
2
12(,)x
x dx f x y dy -⎰⎰的积分次序后为( ).
(A)1
20
(,)y dy f x y dx -⎰ (B) 1
242021
(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰
⎰ (C)12
02(,)y dy f x y dx -⎰⎰ (D) 1
24
202
1
2
(,)(,)y
y dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰
二、填空(共16分,每小题2分)
1.
方程0z e =的根z = . 2. 映射1()1z
f z z
-=
+在z i =处的旋转角为＝ . 3.
设z =22
0x y +≠时,2222z z x y
∂∂+=∂∂ .
4.ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 .
5.设(,,)z u x y z e xyz =-,则(1,0,1)gradu = .
6.设f 可微且2(,)xy z f x y e =,则
=∂∂x
z
. 7.设D 由1x y +≤所确定的有界闭区域，则()D
x y dxdy +⎰⎰的值为 .
8.设区域D 由221x y +=，y x =及y 轴围成的第一象限部分,则二重积分
(,)D
I f x y dxdy =⎰⎰化为极坐标系下的二次积分为=I .
三、计算题(每小题7分,共14分)
1.求曲线22230
23540
x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩在点(1,1,1)的切线和法平面方程.
2. 设(,)f u v 具有二阶连续的偏导数，2
2
(,2)z f x y xy =+，求2,,z z z
x y x y
∂∂∂∂∂∂∂.
四、计算题(每小题7分,共14分)
1. 问函数2()Im()f z z z =在何处连续？何处可导？何处解析？ 请说明理由.
2．求一个共形映射将区域{:|Im |2}D z z =<映为单位圆1w <||.
五、计算题(每小题8分,共16分)
1. 计算二重积分
xy D
ye dxdy ⎰⎰，其中D 由直线1,2,2x x y === 以及双曲线1xy =所围成的区域.
2.
化二次积分
22221()()0
x x y x y e dy dy -+-++⎰⎰
⎰
为极坐标系下的二次
积分并计算其值.
六、计算题(每小题8分,共16分)
1.设(,)z z x y =由方程(,)0z z F x y y x ++=所确定，且(,)F u v 具有
连续的偏导数，计算z z
x y xy x y
∂∂++∂∂.
2.在椭球面222
1149
x y z ++=的第一卦限上求一点，使该点的切平面与三坐标面围成
的四面体的体积最小.
七、计算题(6分)
设()f x 在[]0,a 上连续，证明：2
02
()()()a a a
x
dx f x f y dy f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎰
⎰
⎰.。