数值分析-高斯求积分
matlab高斯数值积分
MATLAB高斯数值积分在数值计算中，高斯数值积分（Gaussian numerical integration）是一种常用的数值积分方法。
它基于高斯求积公式，通过在给定区间上选择合适的节点和权重来近似计算积分值。
在MATLAB中，高斯数值积分可以通过内置函数或自定义函数来实现。
高斯数值积分的原理高斯数值积分的核心思想是通过在积分区间上选择合适的节点和权重，将被积函数转化为节点和权重的线性组合，从而实现对积分值的近似计算。
在一维情况下，高斯数值积分的基本公式为：I=∫fba (x)dx≈∑w ini=1f(x i)其中，a和b分别为积分区间的上下限，n为节点的个数，x i为节点，w i为节点对应的权重。
高斯数值积分通过选择合适的节点和权重，能够在一定程度上提高积分的精度。
常用的高斯数值积分方法包括高斯-勒让德求积、高斯-拉盖尔求积和高斯-埃尔米特求积等。
MATLAB中的高斯数值积分函数在MATLAB中，可以使用内置函数integral来进行高斯数值积分。
integral函数的基本语法如下：Q = integral(fun,a,b)其中，fun为被积函数的句柄，a和b为积分区间的上下限，Q为近似计算得到的积分值。
integral函数会根据被积函数的特性自动选择合适的高斯求积公式，并计算出积分值。
如果被积函数在积分区间上有奇点或不连续点，可以通过指定'Waypoints'参数来处理。
除了使用内置函数，我们还可以自定义高斯数值积分函数来实现更灵活的积分计算。
下面是一个自定义高斯数值积分函数的示例：function Q = gauss_integration(fun,a,b,n)[x,w] = gauss_nodes_weights(n,a,b); % 获取节点和权重Q = sum(w .* fun(x)); % 计算积分值end在自定义函数中，我们需要提供被积函数的句柄fun、积分区间的上下限a和b，以及节点的个数n。
gauss quadrature 数值积分
文章标题：探索数值积分方法：高斯求积法的深度与广度在数学领域中，数值积分是一项重要的工具，用于解决无法通过解析方法得到精确解的积分问题。
而高斯求积法作为常用的数值积分方法之一，在近年来备受关注。
本文将深入探讨高斯求积法的原理、应用和特点，带您领略数值积分方法的深度与广度。
1. 高斯求积法的基本原理高斯求积法是一种基于多项式插值和数值积分的方法，其基本原理是通过选取适当的插值点和插值权重，利用已知的函数值进行逼近积分值。
在数学表达上，高斯求积法可以表示为∫f(x)dx ≈ Σwi*f(xi)，其中wi和xi分别代表插值权重和插值点。
在实际应用中，高斯求积法通过选择合适的插值点和权重，可以有效提高数值积分的精度和稳定性。
2. 高斯求积法的应用与特点高斯求积法在实际应用中具有广泛的适用性和可靠性，其特点主要表现在以下几个方面：2.1 高精度性：由于高斯求积法选取了一组具有特定性质的插值点和权重，因此可以在较少的插值点情况下，获得相对较高的数值积分精度。
2.2 收敛速度快：相比于其他常用的数值积分方法，高斯求积法在收敛速度上拥有较大的优势，尤其适用于对非常数项函数的数值积分问题。
2.3 对特定函数有优势：高斯求积法在处理特定类型的函数积分时具有明显的优势，如具有较强奇点性质或多项式逼近性质的函数。
3. 个人观点与理解从个人观点而言，高斯求积法作为一种经典的数值积分方法，其优越性在实际应用中得到了充分的展现。
在处理一些复杂函数积分时，高斯求积法所体现出的高精度和快速收敛性，无疑为求解工程和科学计算问题提供了强有力的支持。
然而，也需要注意到高斯求积法在处理一些非典型函数积分时，可能会存在一定的局限性，需要结合具体问题选择合适的数值积分方法。
总结回顾在本文中，我们全面探讨了高斯求积法的基本原理、应用特点以及个人观点与理解。
通过深入的研究与分析，我们不仅对高斯求积法有了更为深刻的理解，同时也对数值积分方法有了更广泛的认识。
数值分析(高斯求积公式)
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R
数值分析课件_高斯求积公式
b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
b b
n
2
a
f ( x ) ( x )dx p( x ) ( x )dx
a
b
a
p( x ) ( x )dx Ak p( xk )
k 0
n
n
0
2
m 2n 1
Ak p( xk ) Ak f ( xk )
证明：由Weierstrass定理知
f p max f p
a xb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。 对
0
b
存在m次多项式
下证
p( x ) 满足
fp
n
N ,
当n
N时
k 0
2 ( x )dx
a
b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。 只需证明：对于上述插值型求积公式，存在一个 2n+2次多项式，使得求积公式不能精确成立。
2 n1
令 f ( x)
因为
b
( x)
b a
其中 n 1 ( x ) ( x xk )
k 0
n
f ( x)dx 而 A f (x ) 0
k 0
n
与任何不超过n次的多项式 p( x ) 带权正交:
b a
p( x )n1 ( x ) ( x )dx 0
证明： 必要性 设
p( x ) H n
高斯求积公式范文
高斯求积公式范文高斯求积公式，也称为高斯–勒让德求积公式（Gauss-Legendre Quadrature），是数值计算中一种常见的数值积分方法。
它通过选择适当的节点和权重来近似计算一个确定积分的值。
高斯求积公式的基本思想是通过选取合适的节点，使得积分节点上的函数值和求积公式的节点值与相应的权重值的乘积之和等于被积函数的积分。
要了解高斯求积公式，首先需要了解勒让德多项式（Legendre Polynomials）。
勒让德多项式是定义在区间[-1,1]上的一个连续函数系列，它们具有许多重要的性质。
其中最为重要的性质是勒让德多项式是在[-1,1]上正交的，即在区间[-1,1]上的积分为0，除非两个不同的多项式相乘。
高斯求积公式可以通过使用勒让德多项式的正交性质来推导。
假设我们要计算函数f(x)在区间[-1,1]上的积分，可以通过勒让德多项式来近似这个积分。
具体的做法是，首先选择一个适当的正整数n，计算n个勒让德多项式。
然后，在区间[-1,1]上选择n个互不相同的节点x_i，通过求解勒让德多项式的根来得到这些节点。
接下来，计算n个权重w_i，使得求积公式的节点值与权重值之积的和等于被积函数在区间[-1,1]上的积分。
对于一个给定的n，高斯求积公式的节点和权重可以通过一系列的计算得到。
首先，通过求解勒让德多项式的根来得到节点。
勒让德多项式的根是对应于勒让德多项式的零点的x值。
然后，通过求解勒让德多项式的导数来得到权重。
通过这些计算，我们可以得到一组称为高斯节点和权重的数值。
利用高斯节点和权重，我们可以将原始的积分问题转化为一组简单的加权求和问题。
具体地，我们可以将被积函数f(x)展开为勒让德多项式的级数形式，然后将这个级数代入原始积分的公式中，使用高斯节点和权重来计算每一项的值，最后将这些值相加得到积分的数值近似值。
1.高准确性：高斯求积公式可以提供非常精确的数值积分结果。
2.高效性：高斯求积公式可以通过选择适当的节点和权重，使计算量最小化。
数值分析-高斯求积分
有（插值节点为x1
3 5 , x2 0, x3
3） 5
1
A1 A2 +A3
dx
1
A1 x1 A2 x2 +A3 x3
A1 x12 A2 x22 +A3 x32
2
1
xdx 0
1
x 2dx
2
1
3
解得 :
A1
5 9
,
A2
8 9
,
A3
3点Gauss型求积公式为：
1
f ( x)dx
1
5 f( 9
3 ) 8 f (0) 59
I sin tdt sin
dx
若用n=0 2的Gaus4s-L1egend4re公式，则
I
4
sin4
(1
0.5773503)
4
sin4
(1.5773503)
0.9984725
例题2
若用n=3的Gauss-Legendre公式，则
I 0.5555556 f (0.7745967) 0.8888889 f (0) 0.5555556 f (0.7745967)
5 9
5 f( 3) 95
例题1
1
例例11 用高斯—勒让德求积公式计算 cos xdx
使其具有五次代数精度。 1
解： 用三个节点的高斯—勒让德公式
1
51
8
51
f ( x)dx f ( 15) f (0) f ( 15),
1
95
9
95
5 0.5556, 8 0.8889,cos( 1 15) cos(1 15) 0.7147
多项式，即若p( x)为一个不超过n-1次得多项式，则
数值分析实验报告---高斯消去法 LU分解法
数值分析实验报告---高斯消去法 LU分解法实验一：高斯消去法一、实验目的1. 掌握高斯消去法的原理2. 用高斯消去法解线性方程组3. 分析误差二、实验原理高斯消去法(又称为高斯-约旦消去法)是一种利用矩阵消元的方法，将线性方程组化为改进的阶梯形式，从而解出线性方程组的解的方法。
具体而言，高斯消去法将线性方程组的系数矩阵化为一个上三角矩阵，再利用回带法求解线性方程组的解。
三、实验内容1.1、用高斯消去法解线性方程组在具体实验中，我们将使用高斯消去法来解决下述的线性方程组。
5x+2y+z=102x+6y+2z=14x-y+10z=25为了使用高斯消去法来解这个方程组，首先需要将系数矩阵A进行变换，消除A矩阵中第一列中的下角元素，如下所示:1, 2/5, 1/50, 28/5, 18/50, 0, 49/28接着使用回代法来计算该方程组的解。
回代法的过程是从下往上进行的，具体步骤如下：第三个方程的解：z=49/28；第二个方程的解： y=（14-2z-2x）/6；第一个方程的解： x=（10-2y-z）/5。
1.2、分析误差在使用高斯消去法求解线性方程组时，一般会出现截断误差，导致得到的解与真实解之间存在一些误差。
截断误差的大小和矩阵的维数有关。
为了估计截断误差，我们使用矩阵B来生成误差，在具体实验中，我们将使用下面的矩阵：我们来计算该矩阵的行列式，如果方程组有唯一解，则行列性不为0。
本例中，行列式的值是 -1，因此方程组有唯一解。
然后我们计算真实解和高斯消去法得到的解之间的误差，具体公式如下所示：误差 = 真实解的范数 - 高斯消去法得到的解的范数其中，范数的定义如下：||x||1=max{|xi|}; ||x||2=sqrt{(|x1|^2 + |x2|^2 + ... + |xn|^2)}四、实验步骤1、将高斯消去法的每一个步骤翻译成代码，并保存为一个独立的函数。
2、将代码上传至 Python 交互式环境，并使用高斯消去法来解线性方程组。
数值分析10_4。4高斯型求积公式
Px
x
n1
Q( x)
其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式，于是有
b
a
x
f
xdx
b
a
x Qx dx
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
华长生制作
8
即
b
a
x
Q
x
dx
n
Ak
Q
xk
k 0
注意到 n1xk 0 知 Qxk f xk ，从而有
b
a
x f
x dx
n
Ak
f
xk
k 0
Gauss-Chebyshev求积公式为
1
1
1 1 x2
f
xdx
3
f
3 2
f 0
f
3 2
,
华长生制作
19
例 计算积分
1 2 x dx
1 1 x 2
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x
于是有
1 1
2 x 1 x2
dx
3
2 3 2
2
2
3 2
多项式。n+1次Chebyshev多项式
Tn1x cos[(n 1) arccos x]
的零点为
xk
cos 2k 1 , k
2n 2
0,1,
, n.
以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数 为
1
Ak 1
1 1
x2
lk xdx
,k
n 1
0,1,
n.
其中 lk x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数.从而有Gauss-
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2 利用插值型积分公式的构造方法， 确定求积系数Ak
构造三点Gauss公式
1
f ( x)dx A1 f ( x1)
-1
A2 f ( x2 )
A3 f ( x3 )
(1)x1, x2 , x3为3次Legendre多项式的零点
L3( x)
x3
3x 5
0
x1
3 5
,
x2
0, x3
3 5
(2)令插值型求积公式对于f ( x) 1, x, x2准确成立，
3.6 高斯（Gauss）型求积公式
主要内容
• 具有(n+1)个求积节点的Newton-Cotes公式，
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
至少具有n阶代数精度
•在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点 为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公 式的代数精度
去掉求积节点 为等分节点的限制条件，会有什么 结果？？
1v( x)du(n 1)( x)
-1
1
1
u(n 1)( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v(1)u(n 1) (1)
1
u(n 1) ( x)v ( x)d x
-1
v (1)u(n 2) (1)
1
u(n 2) ( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v (1)u(n 2) (1)
5 9
5 f( 3) 95
例题1
1
例例11 用高斯—勒让德求积公式计算 cos xdx
使其具有五次代数精度。 1
解： 用三个节点的高斯—勒让德公式
1
51
8
51
f ( x)dx f ( 15) f (0) f ( 15),
1
95
9
95
5 0.5556, 8 0.8889,cos( 1 15) cos(1 15) 0.7147
• 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830
• 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831
例题3
• 五、Gauss公式
• 令x=(t+1)/2,
I
1 sin( t 1) / 2 dt
1
t 1
• 用2个节点的Gauss公式
sin 1 (0.5773503 1) sin 1 (0.5773503 1)
有（插值节点为x1
3 5 , x2 0, x3
3） 5
1
A1 A2 +A3
dx
1
A1 x1 A2 x2 +A3 x3
A1 x12 A2 x22 +A3 x32
2
1
xdx 0
1
1
x 2dx
2
1
3
解得 :
A1
5 9
,
A2
8 9
,
A3
3点Gauss型求积公式为：
1
f ( x)dx
1
5 f( 9
3 ) 8 f (0) 59
I sin tdt sin
dx
若用n=0 2的Gaus4s-L1egend4re公式，则
I
4
sin4
(1
0.5773503)
4
sin4
(1.5773503)
0.9984725
例题2
若用n=3的Gauss-Legendre公式，则
I 0.5555556 f (0.7745967) 0.8888889 f (0) 0.5555556 f (0.7745967)
高精度求积公式
一.高斯型求积公式
设a 1, b 1,则
b
n
I f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
对于插值型求积公式，只要节点xk确定,则相应的求
积系数为
Ak
b
lk ( x)dx, lk ( x)
a
n x xj j 1 xk x j
jk
Ak,xk (k=1,2,…,n)均为待定参数,则可使求积公式的
9
9
5
5
1
cos xdx 0.5556 0.7147 0.8889 0.5556 0.7147 1.6831
1
用Gauss型求积公式计算积分近似值时，Gauss点
与求积系数都是预先给出的，
❖ Gauss-Legendre多项式的Gauss点及求积系数
n Gauss点 10
系数Ak 2
2 x1=-0.5773502692 A1=A2=1
4位有效数字
1 2 23
2 2 3 0.9460411
2 1 11
1 11
2 23
2 23
T2=0.9207355,
1位有效数字
二.Gauss点的性质
Gauss公式可以通过求解2n阶非线性方程组，确 定待定参数，构造求积公式
困难
如果Gauss点位置确定，则可以通过插值型求积公
式确定求积系数Ak
降低难度
x2 ) 1dx
0,
1
(x
1
x1)( x
x2 ) xdx
0,
1
x1 x2
3 , x1 x2 0,
1
1
x1
3 , x2
, 3
三、勒让德多项式
定义： 以Gauss点xk为零点的n次多项式 Ln ( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn )
称为勒让德多项式
设u( x) u(n) ( x)
xx 11
a
k 1
最高可具有2n-1次代数精度，称这种高精度的求积
公式为Gauss型求积公式，节点xk为Gauss点
2.常见的Gauss型公式
1
1点Gauss公式： f ( x)dx 2 f (0)
1 1
2点Gauss公式： f ( x)dx A1 f ( x1) A2 f ( x2 ),
对于f ( x) 1, x,1x2 , x3, 均准确成立，即
p( x)ωn ( x)dx
Ak p( xk )ωn ( xk ) 0
a
k1
即ωn( x)与任意次数不超过n 1的多项式p( x)
在[a, b]上正交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正 交，则其零点必为Gauss点
设f ( x)为任意次数不超过2n 1次的多项式,
用n ( x)除f ( x)得
A1 A2
1
dx 2
1
A1 x1 A2 x2
1
xdx 0
1
A1 x12 A2 x22
1
x 2dx
2
1
3
A1 x13 A2 x23
1
x3dx 0
1
1
1
x1
3 , x2
3
A1 A2 1
1
两点Gauss公式： f换x
a
ab 2
1 ) f( 1 )
3
多项式，即若p( x)为一个不超过n-1次得多项式，则
(Ln( x), p( x))
1
Ln( x) p( x)dx 0
1
逐步构造出勒让德多项式
L1( x) x,
L2 ( x)
x2
1, 3
L3( x)
x3
3x 5
L4 ( x)
x4
30 x2 35
3, 35
四.高斯型求积公式的构造
1 确定Gauss点(以Legendre多项式的零点作为 Gauss点)
1)n
{Ln( x)}为[ 1,1]上的正交多项式系，即
{Ln( x), Lm ( x)}
1
1 Ln ( x)Lm ( x)dx, m n
Ln ( x)性质：
(1)Ln( x)在( 1,1)上有n个相异的实根, x1, x2 , , xn
(2)Ln( x)在[-1,1]上正交与任何一个次数不高于n-1次的
x2=-x1
3 x1=-7745966692 A1=A3=0.5555555556
x2=0,x2=-x1
A2=0.8888888889
4 x1=- 0.8611363116 A1=A4=0.3478548451 x2=-0.3399810436 A2=A3=0.6521451549 x3=-x2,x4=-x1
a
证明： 必要性： 若x1, x2 ,, xn是高斯点,则求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )具有2n 1次代数精度
k1
作多项式, ωn( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn ), 设p( x)为
至多n 1次多项式,则p( x)ωn( x)为至多2n 1次多项式
b
n
• 当n=2时, 即用Simpson公式I, 0.9461359
• 当n=3时, I=0.9461090
• 当n=4时, I=0.9460830
• 当n=5时, I=0.9460831
例题3
• 二:用复化梯形公式
• 令h=1/8=0.125
1
0
sin x
xdx
hf
2
(0)
2 f
(h)
f
(7h)
1.0000081
准确解：I
π 2
sin tdt
0
(cos π cos 0) 1 2
例题3
分别用不同方法计算如下积分,并做比较
令I
1 sin x dx
0x