第二章 流体运动的基本方程

2.2物质积分的随体导数 输运定理
• 问题: 物理学守恒律仅能对流体系统使用， 那么采用Eu法研究流体力学问题时， 如何运用守恒律？ 解案：流体质点 流体质点的随体导数 流体质点 物质积分的随体导数 物质积分
D ∂ ∂ = +uj Dt ∂t ∂x j
D DN ∫ ρθ δτ = Dt Dt
θ :单位质量流体所挟带的某种物理量
因此，有连续性方程 积分型
r r ∂ ∫ ρ u ⋅ n dA = － ∂ t
每单位时间 通过控制面 流出总质量
∫ ρ dV
每单位时间 控制体内质 量的减少
微分型
∂u i =0 ∂x i
2 动量守恒运动方程
积分型动量守恒方程 积分型 ∂ui ∫ ρ ∂ t d V + ∫ ρ n j u j u i dA = 微分型动量守恒方程 微分型
边界条件：
y＝−h ：ux= 0 y＝h ： ux= U
uy= 0 uy= 0
方程化简为
d 2u x µ = P 2 dy
满足边界条件的解为
ux = U P ( y + h) + (y2 − h2) 2h 2µ
很显然，这是两个解的线性叠加：
• 第一项，P＝0，
U ux = ( y + h) 2h
2、控制体：被流体所流经的相对于坐标系固 定的空间区域。控制体的边界称 为控制面。 (1) 控制体的形状、大小相对坐标系不变； (2) 通过控制面与外界可有质量交换； (3) 通过控制面与外界可以有能量的交换； (4) 通过控制面与外界可以有动量的交换。
用 dV
r r n dA n dx 表示控制体体元
称为简单库埃特流动。速 度剖面为y的线性函数。 第二项，U＝0，
P ux = (y2 − h2) 2µ
称为二维泊肃叶流动。 速度剖面为上下对称的 抛物线。
一般为：
U P 2 ux = ( y + h) + ( y − h2 ) 2h 2µ
可算出，上下壁面所受到的流体剪应力分别为：
τw =τ
y=±h
∂ui ∫ ρ ∂t dV + ∫ ρ n j u j ui dA = ∫ ρ f i dV + ∫ n jσ ji dA
能量守恒
∫
∂e λ ∂T dV + ∫ eu j n j dA = ∫ ΦdV + ∫ n j dA + ∫ qR dV ∂t ρ ∂x j
（质 量 传 输
∂C ∂C ∫ ∂t dV + ∫ niuiCdA = ∫ Dmni ∂xi dA + ∫ FcdV )
当△t →0时有δτ →dV ，δ S →dA 得输运公式
D ∂ ρθ δτ = ∫ ρθ dV + ∫ ρθ u j n j dA cA Dt ∫ ∂t cv
对不可压流体有
D D D ρθ δτ = ∫ ( ρθ )δτ + ∫ ρθ ( δτ ) ∫ Dt Dt Dt
∂u i D = ∫ ( ρθ )δτ + ∫ ρθ δτ Dt ∂ xi
p
p1
实际流体运动时，粘滞力对运动为阻力，克服该阻力所 做的功为元流的能量损失 hl′1− 2 。 实际流体元流伯努力方程为
2 u12 p2 u2 z1 + + = z2 + + + hl'1− 2 γ 2g γ 2g
p1
元流伯努力方程的应用——毕托管测速仪
滞止点（驻点）a：速度为零，压力最大。 毕托管的工作原理：将动能转换成压能。 沿 ab 流线列理想流体元流能量方程
∂u i ∂u i ∂ 2ui 1 ∂p +uj = fi − +ν ρ ∂xi ∂t ∂x j ∂x 2 j
∫ρ
f dV +
i
∫n
j
σ ji dA
对理想流体有
∂u i ∂u i 1 ∂p +uj = fi − ∂t ∂x j ρ ∂xi
3 能量守恒
积分型总能方程 积分型
ui2 u i2 ∂ ∫ ρ ∂t (e + 2 )dV + ∫ ρ n j u j (e + 2 )dA = ∫ ρ f ui dV + ∫ n jσ ji ui dA + ∫ λ n j
3 边界条件
初始条件 （t＝t0时，流体运动所满足的条件） ui = ui(xi, t0) ， p = p(xi, t0) ， T = T(xi, t0) ＝ ui1(xi) = p1 (xi ) = T1 (xi) 这里ui1(xi) ， p1 (xi )，T1 (xi)均为给定已知函数。 对恒定流，不须给出初始条件。 边界条件 无穷远处：如飞机在天空中飞行，我们研究的是 飞机以外直到无穷远处流体的运动情 况，则边界条件可写为 r r v x → ∞ 时， = u ∞ , p = p ∞ , T = T ∞ u
∂c ∂xi
由守恒律有 由 Fick 扩散定律
∂c ∂t
V Ji
dA
∂C J i = − Dm ∂ xi
浓度分布不均匀 引起的扩散量
∂C ∫ − D m ∂ x i ( − n i ) dA =
∫
∂ 2C Dm dV 2 ∂xi
∴ Q1 = D m
∂ 2C Dx i2
当扩散质在单位时间单位体积中源强为Fc时， τ 内总扩散质产生量为
能量守恒 ( 质量传输
∂T ∂T Φ ∂ 2T 1 +uj = +α + qR 2 ∂t ∂x j c ∂x j c ∂c ∂c ∂ 2c + uj = Dm + Fc ) 2 ∂t ∂x j ∂xi
2 流体动力学积分型基本方程组
质量守恒
动量守恒
∫ ρ u ⋅ ndA = －
r r
∂ ∫ ρ dV ∂t
∂x
2 速度场:
y=h
y
U , T1
方程：
∂u y ∂u x + =0 ∂x ∂y
y=0 y=－h u=0 T0
x
∂u x ∂u x ∂ 2u x ∂ 2u x 1 ∂p ux + uy = − +ν ( + ) 2 2 ρ ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y ux ∂u y ∂x + uy ∂u y 1 ∂p = − +ν ( + ) 2 2 ρ ∂y ∂y ∂x ∂y ∂ 2u y ∂ 2u y
∂ = ∂t
∫
CV
ρθ dV + ∫ ρθ u j n j dA
CA
D ∂ ρθ δτ = ∫ ρθ d V + ∫ ρθ u j n j dA CA Dt ∫ ∂ t CV
或
∂ρθ u j D ∂ρθ ∫ ρθ δτ = ∫CV ∂t dV + ∫CV ∂ x j dV Dt
D Dθ ∫ ρθ δτ = ∫ ρ Dt d V Dt
这里下标sys与CV分别表示求N的积分是在 系统或控制体内进行的
s1
2
r u
s3
D Dt
∫ ρθδ τ
τ (t) V
dA
1
τ (t +δ t)
dA
r u
3
N sys (t + δ t ) − N sys (t ) n = lim δ t →0 n δt N CV (t + δ t ) − N CV (t ) N1 (t + δ t ) N 3 (t + δ t ) = lim − lim + lim δ t →0 δ t →0 δ t →0 δt δt δt ∂ N CV 1 1 = − lim ρθδτ + lim ρθδτ δ t → 0 δ t ∫ 1( t +δ t ) δ t → 0 δ t ∫ 3(t +δ t ) ∂t
pa
u2 = + ⇒ γ γ 2g pb pa − pb
u n流 = 0 u n流 = u n固
2.5不可压层流流动的精确解
两平行平板间的粘性流动 1 问题 两无穷大平板间充满粘度系数µ为常数的 均质不可压缩流体，上板以常速度U沿板面x 方向滑动，温度均匀为T1，下板静止不动， 温度均匀为T0。沿x方向的压力梯度 =常数 ， ∂ p ， 两板间距为2h。 即 = P
对不可压流体有 更一般地*
D D D ∫ ρθ δτ = ∫ Dt ( ρθ )δτ + ∫ ρθ Dt ( δτ ) Dt
∂u j ∂ρθ ∂ρθ = ∫( +uj )δτ + ∫ ρθ δτ ∂t ∂x j ∂x j
∂ρθ ∂ = ∫[ + ( ρθ u j )]δτ ∂t ∂x j ∂ρθ =∫ δτ + ∫ n j ρθ u j δ S ∂t
∫F
c
dV
∴
Q 2 = Fc
代回守恒律得到微分型 微分型移流扩散方程 微分型
∂C ∂C ∂ 2C + ui = Dm + Fc 2 ∂t ∂xi ∂xi
在静止无源流体中，有
∂C ∂ 2C = Dm ∂t ∂ x i2
使用不可压缩流体的输运公式
D Dθ ∫ ρθ δτ = ∫ ρ Dt dV Dt
D C D C DC dV ρ δτ = ∫ ρ ( )dV = ∫ 可得 Dt ∫ ρ Dt定义
D DN ∫ ρθ δτ = Dt Dt = lim N sys (t + δ t ) − N sys (t )
δ t →0
s1
2
r u
s3
τ (t) V
δs1
1
δs2
τ (t +δ t)
r u
3
n n