流体流动的基本方程15271
流体流动基本规律
ρ
We
=ρ
gZ2+
ρ u22 2
+
p2
+
ρ
∑h
f
（ Pa ）
1.3 流体流动旳基本方程
1牛顿流体所具有旳能量称为压头head，单位为m。 Z-----位压头Potential head； u2/2g----动压头dynamic head； p/ρg-----静压头hydrostatic head。 He = We /g -----由泵对单位重量流体提供旳能量， 外加压头或泵旳扬程 Hf=∑hf / g——损失旳能量或称损失压头Hf
1.3 流体流动旳基本方程
∵ Vs = u A=
π 4
d2u
√ ∴ d= 4 Vs =0.0997m=99.7mm πu
查表选择：外径=108 mm，壁厚=4 mm旳管子 d=108-4×2=100 mm
将内径d=100 mm代入上式得到实际流速u=1.49 m/s。
1.3 流体流动旳基本方程
1.3.2 稳定流动与非稳定流动 steady flow and unsteady flow
1.3 流体流动旳基本方程
√ u2 =
2Rg ( ρ -ρ ) 0
ρ[1（- dd21 ）4 ]
则体积流量
Vs =
π d22 4
u2 =
π 4
2
d2
质量流量ws =ρ Vs
2R g
(
ρ
0
-
ρ)
ρ [1-
(
d2 d1
)4
]
=
π 4
ρ
2
d2
2R g (ρ - ρ )
0
ρ
[1 -
(
流体流动的基本方程
4）运动粘度
v
单位： SI制：m2/s； 物理单位制：cm2/s，用St表示。
1St 100cSt 104 m 2 / s
关于黏度的讨论
① 黏度是流体的重要物理性质之一，可由实验测定 ② 常见流体的黏度值可由相关手册中查取；当缺乏实验数据 时，还可由经验公式计算 ③ 一般气体的黏度值远小于液体的黏度值 ④ 流体的黏度是温度T的函数 气体：T↑，黏度↑ 液体：T↑，黏度↓
运动流体的流速、压强、密度等有关物理量 稳态流动： 仅随位置而改变，而不随时间而改变 上述物理量不仅随位置而且随时间变化的流 非稳态流动： 动。
三、牛顿粘性定律与流体的粘度
1. 牛顿粘性定律
流体的内摩擦力：运动着的流体内部相邻两流体层间的作 用力。又称为粘滞力或粘性摩擦力。 ——流体阻力产生的来源
一、流量与流速
1、流量
单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。 若流量用体积来计量，称为体积流量VS；单位为：m3/s。 若流量用质量来计量，称为质量流量mS；单位：kg/s。 体积流量和质量流量的关系是： mS VS
2、流速
单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为流速u。
VS 单位为：m/s。数学表达式为： u A
mS u1 A11 u2 A2 2
若流体为不可压缩流体
uA 常数
VS
mS
u1 A1 u2 A2
uA 常数
——一维稳态流动的连续性方程
对于圆形管道，
2 2 u1 d1 u2 d 2 4 4
u1 d 2 u2 d 1
?
⑤ 流体的黏度值一般不随压力而变化
流体的分类： 按流体流动时应力与速度梯度之间的关系，流体可分为 牛顿型流体： 服从牛顿粘性定律的流体， 应力与速度梯度成正比例关 系 非牛顿型流体：不服从牛顿粘性定律的流体 ， 应力与速度梯度不满足正 比例关系
第三节流体流动的基本方程
设图所示的系统中输送的是水。已知泵的吸入管道1的直 径为φ108×4mm，系统排出管道2的直径为φ76×2.5mm。 水在吸入管内的流速为1.5m/s，则水在排出管中的流速 为多少？(水为不可压缩流体)
u1d12
u2d
2 2
1.3.4 稳态流动系统的能量守恒——柏努利方程
1、流动系统的总能量衡算
1
u11
2
u22
1’ 2’
w1 1u1A1，w2 2u2 A2
根据质量守恒定律： 恒密度流体 在圆直管中流动
ρ1u1A1 = ρ2u2 A2
u1A1 = u2 A2
u1d12 = u2d22
2
u1 u2
A2 A1
d2 d1
圆形管道，管径大，流速小；管径小，流速大，流速与管径的平方成反比。
推广至任意截面
第三节 流体流动的基本方程
管路计算
流体动力学
流体流动
管内流体 流动现象
流体流动 阻力
流速与流量
流体动力学主要研究流体流动过程中，流速、压强等参数的 变化规律，研究流体流动过程中的能量损失以及为输送流体需对 流体提供的能量，进而总结出流体在管内流动的规律。
1.3.1 流体的流量与流速 一、流量 1. 体积流量
3) 式中：Z、P、u是状态函数与过程无关，而∑hf 是过程函数与过程 有关。
4) We： 指单位质量流体所获得的有效功，而不是指机械本身输出 的功。两者之间存在转化效率问题。
5) 式中u是指管道的平均流速。其大小实际上与管中的速度分布有关。
对层流
1 u u max
2
P1 P2
6) 对于可压缩流体，若
u12 3335 u22 4905 2 1.20 2 1.2
流体流动的基本方程
u
2 A
2g 9.63mH2O
pA 9.63 g 9.44 104 pa pB g h zB uB2 2g 9.13mH2O
pB 9.13 g 8.95104 pa
pC g h zC uC2 2g 9.63mH2O
pC 9.44 104 pa
例2、已知如图示输水系统，输水量为15m3/h，管径53mm， 总机械能损失为40J/kg，泵的效率0.6，求泵的轴功率。
对于理想流体 (hf=0)，且无外功 (he=0)，加入，则有
gz1
u12 2
p1
gz 2
u
2 2
2
p2
——柏努利方程
讨 论：
（1） 伯努利方程适用于不可压缩的理想流体、稳定流动。
gz1
u12 2
p1
gz2
u22 2
p2
（2） 输送设备所作功
Pe qm .he qV he
Pe
kg s
J kg
A
〈5〉热mqe [mqe]=kgJ/kg=J
规定流体吸热为正，放热为负。
〈6〉功mhe [mhe]=kgJ/kg=J
规定流体接受外功为正，向外界作功为负。
总能量衡算
从1-1截面输入的能量+流体所获得的能量 = 从2-2截面输出的能量
mU1
mgz1
m. u12 2
p1V1
mqe
mhe
mU 2
u
qv A
qv 4d2
qv 0.785d 2
d qV 0.785u
流量取决于生产需要，合理的流速应根据经济衡算确定。
一般液体流速为0.5~3m/s， 气体流速为10~30m/s
1.2.1、黏性和黏度
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
流体压力和流速公式
流体压力和流速公式一、伯努利方程（理想流体定常流动时的基本方程）1. 公式形式。
- p+(1)/(2)ρ v^2+ρ gh = C（其中p为流体中某点的压强，ρ为流体密度，v为流体该点的流速，h为该点相对于某一参考平面的高度，C为常量）。
- 在同一流管中，对于水平流动的流体（h不变），方程可简化为p_1+(1)/(2)ρ v_1^2=p_2+(1)/(2)ρ v_2^2。
2. 推导思路（简单了解）- 基于功能原理推导。
考虑理想流体（不可压缩、无粘性）在重力场中做定常流动。
在流管中取两个截面S_1和S_2，根据质量守恒（连续性方程S_1v_1 =S_2v_2，这里S为截面面积）以及对流体微元在这两个截面间的动能、重力势能和压力做功的分析，最终得到伯努利方程。
3. 应用示例。
- 飞机机翼升力的解释：- 飞机机翼上表面弯曲，下表面较平。
空气流经机翼时，由于上表面路程长，空气流速v_1大；下表面路程短，空气流速v_2小。
- 根据伯努利方程p+(1)/(2)ρ v^2=C（高度差可忽略不计），流速大的地方压强p_1小，流速小的地方压强p_2大。
机翼下表面的压强大于上表面的压强，从而产生向上的升力。
- 文丘里管：- 文丘里管是一种先收缩后扩张的管道。
在收缩段，流速增大，根据伯努利方程，压强减小；在扩张段，流速减小，压强增大。
- 可以利用这种压强差来测量流速等物理量。
例如，通过测量文丘里管收缩段和扩张段的压强差Δ p = p_1 - p_2，再结合伯努利方程p_1+(1)/(2)ρv_1^2=p_2+(1)/(2)ρ v_2^2以及连续性方程S_1v_1 = S_2v_2（S_1、S_2为文丘里管不同截面的面积），可以计算出流体的流速v_1或v_2。
二、连续性方程（质量守恒在流体中的体现）1. 公式形式。
- S_1v_1 = S_2v_2（S_1、S_2为流管中两个不同截面的面积，v_1、v_2为相应截面处流体的流速）。
第三节 流体流动的基本方程
对 1 kg 的流体，其能量衡算式为
u2 U gZ ( pv) Qe We 2
上式即为稳态流动过程的总能量衡算式，也是流动系统中热力学第
一定律的表达式。由于该式中所包括的能量项目较多，我们可以根据具体 情况，忽略其中某些次要的因素，对上式予以简化，以便于分析和计算。
在流体输送的过程中，我们主要要分析各种形式的机械能的相互转
生物化工原理与设备
Principle and equipment of Biochemical Engineering
华中科技大学生命科学与技术学院
第三节 流体流动的基本方程
生产过程中流体的输送都是在密闭的管道中进行的，因此研究流体在管
内的流动规律是非常必要的。无论是在化工厂、制药厂、生物发酵工厂，管 道是随处可见。要实现流体的输送这一单元操作，必须了解流体在管道内流 动的相应规律。反映这一规律的基本关系有连续性方程式和 Bernoulli`s 方 程式。 由于流体在管道内的流动是轴向的流动，因此可以按一维流动来分析； 由此建立的基本方程式也可以应用于包括有密闭容器与设备的管路系统，流
计算。
（4）流体静止时，流体动能为零，也没有流动时的流动阻力，这时该 方程即变为流体静力学方程。 （5）方程中各项除以常数 g ，则为长度的量纲，这时将其称为压头， 故能量又可用压头表示。
四、 Bernoulli`s 方程式的应用：
1、测定管道中流体的流量（流速）； 2、确定设备之间的相对位置； 3、确定输送设备的有效功率； 4、确定管路中流体的压强；
（1）不可压缩理想流种形式的机械能并不一定相等，但可以相
互转换。 （2）该式中各项的单位为 J/kg ，为单位质量流体所具有的能量，虽 然都是能量的量纲，但各项的意义各异。 （3）对可压缩流体，要考虑密度的变化，工程上常以平均密度作近似
流动的基本方程
D150
0.16MPa
2
u2 1.5m u1
2
0.2MPa
1
D300
图1-11:例1-2图
〖解〗 如图 控制体：1-1→2-2面 基准：1-1面 依题意：Σhf =0 we=0 列柏努利方程：
D150
0.16MPa
2
u2 1.5m u1
1
2
ρgz1 +
2 ρu1
2
+ p1 = ρgz 2 +
Z2=1.5m
qm=ρ qv
qv 则： u = 0.785d 2
工程中管径设计计算采用下式
d= qV 0.785u
总费用 操作费
设备费
其中：qv—设计已知值； u—设计决策值 — u↑→d↓—设备投资小，但动力消耗大； — u↓→d↑—但动力消耗小，设备投资大。 流速一般取值范围为： 气体：u=10～30 m/s 易燃气体：u<8 m/s 蒸汽：u=20～60 m/s 液体：u=0.5～3 m/s
P1 u1 Z2
0
1 1
2 2
P2 u2
Q Z2
We
0
静压能：p1A1(qv,1/A1) =p1qv,1 J/s
静压能是将流体压进划定体积时需要对抗压力作功。
热 量： Q=qmQe ～ 体系吸热为正，放热为负； 有用功：Pe=qmWe～ 环境对流体作功为正，流体对环境作功为负。
u 21 + p1qv 1 + qm Qe + qmWe Σ输入能量 = qmU 1 + qm gZ1 + qm 2
目的：计算过程变量。 计算步骤： Ⅰ：画流程示意图 Ⅱ：确定衡算范围～选截面 ①符合连续性方程； ②与管道或流动方相垂直； ③已知条件多，包含待求变量。 Ⅲ：列方程求解 ①单位一致； ②压力一致（表压或绝压）； ③由繁到简。
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Qe
We
2019/10/20
H U pv
H
gZ
u 2 2
Qe
We
——稳定流动过程的总能量衡算式
——流动系统的热力学第一定律
2. 流动系统的机械能衡算式——柏努利方程
1）流动系统的机械能衡算式
如果把这一关系推广到管路系统的任一截面，有：
wS u1A11 u2 A22 uA 常数
若流体为不可压缩流体，ρ＝Const ，则：
VS
wS
u1A1 u2 A2
uA 常数
一维稳定流动 的连续性方程
对于圆形管道，
u1
4
d12
u2Biblioteka 4d22 u1 u2
d2 d1
2
2019/10/20
表明：当体积流量VS一定时，管内流体的流速与管道直径 的平方成反比。
四、能量衡算方程
1. 流体流动的总能量衡算
1）流体本身具有的能量 ①内能：物质内部能量的总和。
单位质量流体的内能以U表示 ，单位J/kg。 ②位能：流体因处于重力场内
而具有的能量。
体积流量VS：流量用体积来计量，单位为：m3/s。 质量流量wS：流量用质量来计量，单位：kg/s。 体积流量和质量流量的关系： wS VS
2. 流速
单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为流速u。
单位为：m/s。
平均流速数学表达式为： u VS A
流量与流速的关系为： VS uA
2019/10/20
wS uA
质量流速（质量通量）：单位时间内流体流过管道单位截
面积的质量，用G表示，单位为kg/(m2.s)。
数学表达式为：G
ws A
VS
A
u
对于圆形管道， A d 2
4
u
VS
d
2
4
d 4VS
u
——管道直径的计算式
生产实际中，管道直径应如何确定？
2）系统与外界交换的能量
2019/10/20
①热：单位质量流体通过划定体积的过程中所吸的热为：
Qe(J/kg)； 质量为m的流体所吸的热=mQe[J]。当流 体吸热时Qe为正，流体放热时Qe为负。
②功：单位质量通过划定体积的过程中接受的功为：
We(J/kg)，质量为m的流体所接受的功= mWe(J)，
流速选择：（流量一定）
2019/10/20
u↑→ d ↓ →设备费用↓
流动阻力↑ →动力消耗↑ →操作费↑
总费用 费
用
操作费
均衡 考虑
u适宜
设备费
u
常用流体适宜流速范围
2019/10/20
水及一般液体 粘度较大的液体 低压气体 压力较高的气体
1~3 m/s 0.5~1 m/s
8~15 m/s 15～25 m/s
流体在截面处所具有的压力：
F pA
2019/10/20
流体通过截面所走的距离为：
l V / A 流体通过截面的静压能 Fl pA V pV (J )
A
单位质量流体所具有的静压能
pV m
pv(J / kg)
单位质量流体本身所具有的总能量为 ：
U gz 1 u2 pv(J / kg) 2
流体接受外功时，We为正，向外界做功时, We为负 。 流体本身所具有能量和热、功之和就是流动系统的总能量。
3）总能量衡算
2019/10/20
衡算范围：截面1-1’和截面2-2’间的管道和设备。
衡算基准：1kg流体。
设1-1’截面的流体流速为u1，压强 为 P1， 截 面 积 为 A1， 比 容 为 v1； 截 面2-2’的流体流速为u2，压强为P2 ，截面积为A2，比容为v2。
取o-o’为基准水平面，截面1-1’
和截面2-2’中心与基准水平面的距
离为Z1，Z2。
对于定态流动系统：∑输入能量=∑输出能量
2019/10/20
Σ输入能量
U1
gZ1
u12 2
p1v1
Qe
We
Σ输出能量
U1 gZ1
u12 2
U2
gZ2
p1v1
u22 2
p2v2
非定态流动： 流体在各截面上的有
关物理量既随位置变化， 也随时间变化。
2019/10/20
三、连续性方程
2019/10/20
对稳态流动系统，做物料衡算： 衡算范围：取截面1-1’与截面2-2’间的管段。 衡算基准：1s
对于稳定系统：
wS1 wS 2 ws uA
2019/10/20
u1 A11 u2 A2 2
2019/10/20
讲授内容
1.1 流体静止的基本方程 1.2 流体流动的基本方程
2019/10/20
1.3 流体流动现象 1.4 流体在管内的流动阻力 1.5 管路计算
1.6 流速和流量测量
1.2 流体流动的基本方程
2019/10/20
1.2 流体流动的基本方程
2019/10/20
1 流量与流速
Qe We
U
2
gZ2
u22 2
p2v2
令U U2 U1 gZ gZ2 gZ1
pv p2v2 p1v1
u 2
u2 2
u2 1
2 22
U
gZ
u2 2
p
Qe
We
——稳定流动过程的总能量衡算式
U
gZ
u 2 2
p
质量为m流体的位能 mgZ(J )
单位质量流体的位能 gZ (J / kg)
2019/10/20
2019/10/20
③ 动能：流体以一定的流速流动而具有的能量。
质量为m，流速为u的流体所具有的动能 1 mu2 (J ) 2
单位质量流体所具有的动能 1 u2 (J / kg) 2
④ 静压能（流动功）：通过 某截面的流体具有的用于 克服压力功的能量。
二、定态流动与非定态流动
2019/10/20
流动系统
定态流动
流动系统中流体的流速、压强、
（稳态流动） 密度等有关物理量仅随位置而改
变，而不随时间而改变
非定态流动
上述物理量不仅随位置而且随时间
（非稳态流动） 变化的流动。
说明：定态、稳态、稳定三者含义相同
定态流动： 各截面上的温度、压力
、流速等物理量仅随位置变 化，而不随时间变化 。
本节 讲授 内容
2 定态流动与非定态流动 3 连续性方程 4 能量衡算方程
5 柏努利方程的应用
1.2 流体流动的基本方程
本节的重 点及难点
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重点：
连续性方程与 柏努利方程。
难点：
柏努利方程应 用。
一、流量与流速
2019/10/20
1. 流量
流量：单位时间内流过管道任一截面的流体量。