2020年北京中考二模数学平谷二模(答案)
2020年北京市平谷区中考数学二模试卷
中考数学二模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 厨余垃圾FoodWasteB. 可回收物RecyclableC. 其他垃圾ResidualWasteD. 有害垃圾HazardousWaste2.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（）A. aB. bC. cD. 无法确定3.聪聪在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为0.4纳米，通过百度搜索聪聪又知道1纳米=10-9米，则水分子的直径约为（）A. 4×10-10米B. 0.4×10-10米C. 4×10-9米D. 4×10-8米4.下列几何体中主视图为矩形的是（）A. B. C. D.5.如果x+y-2=0，那么代数式的值为（）A. B. -2 C. D. 26.如图，螺丝母的截面是正六边形，则∠1的度数为（）A. 30°B. 45°7.某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位：cm）如图所示：设两队队员身高的平均数依次为甲，乙，方差依次为s甲2，s乙2，下列关系中完全正确的是（）A. 甲=乙，s甲2＜s乙2B. 甲=乙，s甲2＞s乙2C. 甲＜乙，s甲2＜s乙2D. 甲＞乙，s甲2＞s乙28.如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力；④乙的综合评分比甲要高．其中合理的是（）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.因式分解：x2y-9y=______．10.如图所示，边长为1正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则∠ACB+∠ABC的度数为______．12.如图，直线l∥m，点A、B是直线l上两点，点C、D是直线m上两点，连接AC、AD、BC、BD，AD、BC交于点O，设△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1______S2（填＞，＜或=号）．13.若一次函数的图象过点（0，2），且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函数表达式：______．14.用一个a的值说明命题“-a一定表示一个负数”是错误的，a的值可以是______．15.图1中的小矩形长为x，宽为y，将四个同样的小矩形拼成如图2的正方形，则可列出关于x，y的方程组为______．16.某商场在端午节前以1元/个的价格购进1000个粽子，现有以下三种销售方式：不加工直接卖，对产品进行粗加工再卖，精加工后再卖．受加工能力和气温影响，粗加工一天只能加工200个，细加工一天只能加工100个，两种加工不能同时进行，且最多加工三天．加工方式加工成本销售单位售价直接卖0个2元/个粗加工1元/个包装袋（一袋5个）30元/袋精加工 2.5元/个礼盒（一盒10个）85元/盒假设所有粽子均能全部售出，则以下销售方式中利润最大的是______．方案一：不加工直接销售；方案二：三天全部进行精加工，剩下的直接卖；方案三：两天精加工，一天粗加工，剩下的直接卖；方案四：两天粗加工，一天精加工，剩下的直接卖．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.解不等式组：．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18.计算：2cos30°-（3-π）0+（）-1-．19.下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l和直线外一点P．求作：过点P作直线l的平行线．作法：如图，①在直线l上任取点O；②作直线PO；③以点O为圆心OP长为半径画圆，交直线PO于点A，交直线l于点B；④连接AB，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交⊙O于点C（点A与点C不重合）；⑤作直线CP；则直线CP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：连接BP、BC，∵AB=BC，∴=，∴∠______=∠______，又∵OB=OP，∴∠______=∠______，∴∠CPB=∠OBP，∴CP∥l（______）（填推理的依据）．20.已知关于x的一元二次方程x2+（k-1）x+k-2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.如图，在菱形ABCD中，延长AB到E，延长AD到F，使BE=DF，连接EF，连接AC并延长交EF于点G．（1）求证：AG⊥EF；（2）连接BD交AC于O，过B作BM⊥EF于点M，若BD=2，C为AG中点，求EM的长．22.如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD交AC于点F，且FC=BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，tan A=，求GF的长．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，函数y=（x＞0）的图象经过点B，与直线y=x+b交于点D．（1）求k的值；（2）直线y=x+b与BC边所在直线交于点M，与x轴交于点N．①当点D为MN中点时，求b的值；24.疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．节数x频数频率0≤x＜1080.1610≤x＜20100.2020≤x＜3016b30≤x＜40a0.24x≥4040.08总数501其中，节数在20≤x＜30这一组的数据是：20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29请根据所给信息，解答下列问题：（1）a=______，b=______；（2）请补全频数分布直方图；（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是______；（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有______人．25.如图，M是弦AB与弧AB所围成的图形的内部的一个定点，P是弦AB上一动点，连接PM并延长交弧AB于点Q，连接QB．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，Q两点间距离为y1cm，BQ两点间距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了研究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，补全如表；x/cm0123456y1/cm 5.24 4.24 3.24______ 1.54 1.79 3.47y2/cm 1.31 1.34 1.42 1.54 1.80 2.45 3.47（）在同一平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点（1，1）和（2，y2）并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△PQB为等腰三角形时，AP的长度约______cm （精确到0.1）．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-1（m＞0）与x轴的交点为A，B，与y轴交点C．（1）求抛物线的对称轴和点C坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域为图形W（不含边界）．①当m=1时，求图形W内的整点个数；②若图形W内有2个整数点，求m的取值范围．27.如图，在△ABM中，∠ABC=90°，延长BM使BC=BA，线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连结DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM=15°时，∠AMD的度数是______；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM=MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM=MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD=CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM=CF，从而解决问题；想法3：通过BC=BA，∠ABC=90°，连结AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMB是一定度数时，AM=MB．（一种方法即可）28.如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是⊙C上不重合的两个点，连结PA，PB．当∠APB=60°时，我们称点P为⊙C的“关于AB的关联点”．（1）如图2，当点P在⊙C上时，点P是⊙C的“关于AB的关联点”时，画出一个满足条件的∠APB，并直接写出∠ACB的度数；（2）在平面直角坐标系中，点M（1，），点M关于y轴的对称点为点N．①以点O为圆心，OM为半径画⊙O，在y轴上存在一点P，使点P为⊙O“关于MN的关联点”，直接写出点P的坐标；②点D（m，0）是x轴上一动点，当⊙D的半径为1时，线段MN上至少存在一个点是⊙D的“关于某两个点的关联点”，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】B【解析】解：根据数轴上点的位置及a，c互为相反数，得c＜a＜b，且|c|=|a|＜|b|，则绝对值最大的是b，故选：B．根据数轴上点的位置，结合相反数，绝对值的性质判断即可．此题考查了实数大小比较，实数与数轴，相反数，绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．3.【答案】A【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.4纳米=0.4×10-9米=4×10-10米．故选：A．4.【答案】B【解析】解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；B、圆柱的主视图是矩形，符合题意；C、三棱锥的主视图是三角形，不合题意；D、球的主视图是圆，不符合题意．故选：B．根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．5.【答案】C【解析】解：原式=•=，则原式=．故选：C．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵这个正六边形的外角和等于360°，∴∠1=360°÷6=60°．故选：C．根据多边形的外角和等于360°解答即可．此题考查了正多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解本题的关键．7.【答案】A【解析】解：甲：==176，s2=[（176-176）2×2+（177-176）2×2+（175-176）2]÷6=，乙：==176，s2=[（178-176）2+（175-176）2+（170-176）2+（174-176）2+（183-176）2+（176-176）2]÷6=，则甲=乙，s甲2＜s乙2，故选：A．利用平均数和方差的计算公式进行计算即可．此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握平均数和方差的计算公式．8.【答案】D【解析】解：由图形可知：甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，故①合理；甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习的能力是甲自身的不足，故②合理；甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，故乙与他人的沟通和合作能力弱于甲，故③合理；甲的各项得分为5，5，4，4，1；乙的各项得分为5，5，4，4，3，乙的综合评分比甲要高2分，故④合理．综上，合理的选项有①②③④．故选：D．根据统计图表中的数据对各个选项的问题进行分析即可．本题考查了统计图表，根据统计图表及其所反映的信息对各个选项作出分析是解题的关键．9.【答案】y（x+3）（x-3）【解析】【分析】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x2y-9y，=y（x2-9），=y（x+3）（x-3）．故答案为y（x+3）（x-3）．10.【答案】45°【解析】解：如图，∠ACB+∠ABC=∠CAD，∵∠ADC=90°，AD=CD=3，∴∠CAD=45°，∴∠ACB+∠ABC=45°．故答案为：45°．根据三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定与性质即可求解．考查了三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定与性质，关键是得到∠CAD=45°．11.【答案】x≥1【解析】解：根据题意得，x-1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12.【答案】=【解析】【分析】本题考查的是三角形的面积计算，掌握同底等高的两个三角形面积相等是解题的关键．根据同底等高的两个三角形面积相等得到S△ACD=S△BCD，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵l∥m，∴S△ACD=S△BCD，∴S△ACD-S△OCD=S△BCD-S△OCD，即S△AOC=S△BOD，∴S1=S2，故答案为：=．13.【答案】y=x+2【解析】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，把（0，2）代入得b=2，∴y=kx+2，∵函数y随自变量x的增大而增大，∴k＞0，∴k可取1，此时一次函数解析式为y=x+2．故答案为y=x+2．设一次函数的解析式为y=kx+b，根据一次函数的图象过点（0，2）得到b=2，根据函数y随自变量x的增大而增大得到k＞0，然后取k=1写出一个满足条件的解析式．本题考查了一次函数y=kx+b的性质：当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．14.【答案】-1【解析】解：当a=-1时，-a=-（-1）=1，所以“-a一定表示一个负数”是错误的．故答案为-1．利用反例说明命题为假命题，a可以取负数或0．本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．15.【答案】【解析】解：由图形可列出关于x，y的方程组为，故答案为：．根据图形得出“长+宽=4，长-宽=2”可得方程组．本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．16.【答案】方案四【解析】解：方案一：1000×（2-1）=1000（元）；方案二：100×3=300（个），1000-300=700（个），（85÷10-2.5-1）×300+700×（2-1）=2200（元）；方案三：100×2=200（个），1000-200-200=600（个），（85÷10-2.5-1）×200+（30÷5-1-1）×200+600×（2-1）=2400（元）；方案四：200×2=400（个），1000-100-400=500（个），（85÷10-2.5-1）×100+（30÷5-1-1）×400+500×（2-1）=2600（元）；∵2600＞2400＞2200＞1000，∴销售方式中利润最大的是方案四．故答案为：方案四．方案一：直接用算术方法计算：不加工的利润×吨数；方案二：分别求出三天全部进行精加工的利润和剩下的直接卖的利润，相加即可求解；方案三：分别求出两天精加工的利润、一天粗加工的利润和剩下的直接卖的利润，相加即可求解；方案四：分别求出两天粗加工的利润、一天精加工的利润和剩下的直接卖的利润，相加即可求解．本题主要考查有理数的混合运算，根据题意得出各自加工的数量是解题的关键．17.【答案】解：解不等式2（x-3）＜x-4，得：x＜2，解不等式，得：x＞-1，则不等式组的解集为-1＜x＜2．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18.【答案】解：原式=2×-1+2-2=-1+2-2=1-．【解析】先化简二次根式、计算负整数指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得．本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握二次根式的性质、负整数指数幂的规定、绝对值的性质、熟记特如锐角的三角函数值．19.【答案】CPB APB OBP OPB内错角相等，两直线平行【解析】解：（1）补全图形如下：（2）证明：连接BP、BC，∵AB=BC，∴=，∴∠CPB=∠APB，又∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB，∴∠CPB=∠OBP，∴CP∥l（内错角相等，两直线平行）．故答案为：CPB，APB，OBP，OPB，内错角相等，两直线平行．（1）根据作图过程即可补全图形；（2）结合（1）根据圆周角定理即可完成证明．本题考查了作图-复杂作图、圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．20.【答案】（1）证明：∵△=（k-1）2-4（k-2）=k2-6k+1+8=（k-3）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：当k=1时，方程为x2-1=0，解方程得x1=1，x2=-1．【解析】（1）计算判别式的值，再利用非负数的性质可判断△≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）令k=1得到方程为x2-1=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21.【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，∵BE=DF，∴AD+DF=AB+BE，即AF=AE，∵∠DAC=∠BAC，∴AG⊥EF；（2）如图，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，由（1）可知：AG⊥EF，∵BM⊥EF，∴四边形BOGM是矩形，∴GM=OB=BD=1，OA=OC=AC，∵C为AG中点，∴AC=CG，∴=，∵BD∥EG，∴=，即=，∴EM=3．所以EM的长为3．【解析】（1）根据四边形ABCD是菱形，可得AD=AB，∠DAC=∠BAC，根据BE=DF，得AF=AE，所以根据等腰三角形的性质即可得AG⊥EF；（2）根据题意可得四边形BOGM是矩形，根据C为AG中点，可得AC=CG，进而可得=，进而可得EM的长．本题考查了菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．22.【答案】解：（1）证明：∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵FC=BC，∴∠CFB=∠CBF，∵OD⊥AC，∴∠DGF=90°，∴∠ODB+∠DFG=90°∵∠CFB=∠DFG，∴∠ODB+∠CFB=∠OBD+∠CBF=∠OBC=90°，∴OB⊥BC，∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）如图，连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵∠AGO=90°，∴OD∥BE，∴∠GDF=∠EBF，∵⊙O的半径为5，tan A=，∴OA=OD=5，OG=3，AG=4，∴DG=OD-OG=2，∵在Rt△ABE中，AB=10，tan A=，∴BE=6，AE=8，∵OG⊥AE，∴AG=EG=4，∴EF=EG-GF=4-GF，∵∠GDF=∠EBF，∴tan∠GDF=tan∠EBF，即=，∴=，解得GF=1．所以GF的长为1．【解析】（1）根据OB=OD，可得∠OBD=∠ODB，由FC=BC，可得∠CFB=∠CBF，再由OD⊥AC，可得∠DGF=90°，进而可得∠OBC=90°，即可证明BC是⊙O的切线；（2）如图，连接BE，根据AB是⊙O的直径，可得∠AEB=90°，得OD∥BE，得∠GDF=∠EBF，所以得tan∠GDF=tan∠EBF，再根据⊙O的半径为5，tan A=，可得OA=OD=5，OG=3，AG=4，BE=6，AE=8，进而可得GF的长．本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．23.【答案】解：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴B（2，2），将其代入y=（x＞0）得：2=，∴k=4；（2）①当点D为MN中点时，观察图形结合直线y=x+b可得D（4，1），如图所示：∴将D（4，1）代入y=x+b得：1=4+b，∴b=-3；②由①函数图象可得，当DM＞MN时，b的取值范围是b＜-3．【解析】（1）由题意可得点B坐标，将其代入y=（x＞0），解得k的值即可；（2）①观察图形结合直线y=kx+b为与x轴正方向成45°角的直线，可得点D坐标，将其代入直线y=kx+b，解得b的值即可；②由函数图象可知，当直线y=x+b由①中位置向右平移时DM＞DN，则可得b的取值范围．本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合并明确相关函数的性质是解题的关键．24.【答案】12 0.32 24 160【解析】解：（1）a=50-8-10-16-4=12，b=1-0.16-0.20-0.24-0.08=0.32；故答案为：12，0.32；（2）补全的频数分布直方图如下：（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是（23+25）÷2=24，故答案为：24；（4）500×（0.24+0.08）=160（人）．答：估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有160人．故答案为：160．（1）根据频数分布表即可求出a，b；（2）结合（1）根据频数分布表即可补全频数分布直方图；（3）根据频数分布表中的节数x，即可得观看直播课节数的中位数；（4）利用样本估计总体的方法即可估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的人数．本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表、中位数，解决本题的关键是综合掌握以上知识．25.【答案】2.24 3.7或4.7或4.3【解析】解：（1）观察表中数据可得：当x=3时，y1=2.24．（2.0-2.5之间的数均可）（2）函数图象如图1所示：（3）如图2．观察图象可知：当y1=y2或6-x=y1或6-x=y2，△PQB为等腰三角形，即当BQ=PQ或PB=PQ或PB=BQ时，x=3.7cm或4.7cm或4.3cm，综上所述，满足条件的x的值为3.7cm或4.7cm或4.3cm．故答案为：3.7或4.7或4.3．（1）根据表中的数据可得出答案；（2）利用描点法画出图象即可．（3）图中寻找直线y=-x+6与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可．本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．26.【答案】解：（1）∵抛物线的解析式为y=mx2-2mx-1（m＞0），∴抛物线的对称轴为直线x=-=1，令x=0，则y=-1，∴C（0，-1）；（2）①当m=1时，抛物线的解析式为y=x2-2x-1，由（1）知，C（0，-1），抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线还经过（2，-1），∵抛物线的顶点坐标为（1，-2），∴图形W内的整点只有（1，-1）一个；②如图，由①知，抛物线过点（0，-1），（2，-1），∵图形W内有2个整数点，∴2＜≤3，∴-2≤m＜-1或1＜m≤2，∵m＞0，∴1＜m≤2．【解析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线对称轴的确定，函数图象的画法，顶点坐标公式，利用数形结合的思想解决问题是解本题的关键．（1）直接利用对称轴公式计算，即可得出抛物线的对称轴，再令x=0，即可求出点C 的坐标；（2）①先确定出抛物线解析式，即可得出结论；②先判断出满足条件的整数点由（1，-1），进而抛物线的顶点坐标的范围即可得出结论．27.【答案】60°【解析】解：（1）由题意画出图形如图1，（2）如图1，∵∠BAM=15°，∠ABC=90°，∴∠AMB=90°-15°=75°，∵线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，∴CM=CD，∠MCD=90°，∴∠CMD=∠MDC=45°，∴∠AMD=180°-∠AMB-∠DMC=180°-75°-45°=60°．故答案为：60°．（3）当∠AMB=75°时，AM=DM．想法1证明：如图2，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E，∵∠AEC=∠C=∠ABC=90°，AB=BC，∴四边形ABCE正方形，∴AB=AE，BC=CE，由（2）可知CM=CD，∴BM=DE，∴△ABM≌△AED（SAS），∴AM=AD，由（2）可知∠AMD=60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM=DM．想法2证明：如图3，过点C作CF∥AD交AB于点F，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD=CF，AF=CD，∵AB=AF+BF，BC=BM+CM，AB=BC，∴CD+BF=BM+CM，∵CD=CM，∴BF=BM，又∵AB=BC，∠FBC=∠MBC=90°，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM=CF，∴AM=AD，又∵∠AMD=60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM=DM．想法3证明：如图4，连接AC，∵BC=AB，∠ABC=90°，∴∠ACB=45°，∴∠ACD=45°，又∵CM=CD，AC=AC，∴△ACM≌△ACD（SAS），∴AM=AD，∵∠AMD=60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM=DM．（1）由题意画出，图形；（2）由旋转的性质可得出△DCM为等腰直角三角形，则∠DMC=45°，∠AMB=75°，可求出答案；（3）根据三种想法证明△AMD为等边三角形即可得出结论．本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．28.【答案】解：（1）如图2，由点P为⊙C的“关于AB的关联点”的定义得，∠APB=60°，∴∠ACB=2∠APB=120°；（2）①如图3，连接OM，ON，∵点N是点M关于y轴的对称点，∴MN⊥y轴，交点记作点Q，NQ=MQ，OM=ON，∵点M（1，），∴OQ=，QM=1，∴MN=2，∵M（1，），∴OM=2，∴ON=OM=2=MN，∴∠MON=60°点P与点O重合，∴P（0，0），由对称性知，P（0，2），即满足条件的点P的坐标为（0，0）或（0，2）；②如图4，过点M作⊙D的切线ME，MF，连接DE，DF，∴∠DFM=∠DEM=90°，∵∠EMF=60°，∴∠EDF=120°，连接DM，∴∠DMF=30°，在Rt△DFM中，DF=1，则MF=，∴点F在x轴上，∵M（1，），∴F（1，0），∴OD=2，∴D（2，0），同理：D'（-2，0），∴-2≤m≤2．【解析】（1）根据“关于AB的关联点”的定义直接画出图形，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系即可得出结论；（2）①先求出OM，MQ，进而判断出OM=ON=MN，得出∠MON=60°，再由对称性即可得出结论；②先判断出过点M作⊙D的两条切线，当∠EMF=60°时，m最大，求出此时的m的值，利用对称性求出m的最小时，即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的性质，勾股定理，两点间的距离公式，找出分界点是解本题的关键．。
2020年北京市平谷区中考数学二模试卷 (解析版)
2020年北京市平谷区中考数学二模试卷一、选择题（共8小题）.1．垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．厨余垃圾FoodWasteB．可回收物RecyclableC．其他垃圾ResidualWasteD．有害垃圾HazardousWaste2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（）A．a B．b C．c D．无法确定3．聪聪在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为0.4纳米，通过百度搜索聪聪又知道1纳米＝10﹣9米，则水分子的直径约为（）A．4×10﹣10米B．0.4×10﹣10米C．4×10﹣9米D．4×10﹣8米4．下列几何体中主视图为矩形的是（）A．B．C．D．5．如果x+y﹣2＝0，那么代数式的值为（）A．B．﹣2C．D．26．如图，螺丝母的截面是正六边形，则∠1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°7．某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位：cm）如图所示：设两队队员身高的平均数依次为甲，乙，方差依次为s甲2，s乙2，下列关系中完全正确的是（）A．甲＝乙，s甲2＜s乙2B．甲＝乙，s甲2＞s乙2C．甲＜乙，s甲2＜s乙2D．甲＞乙，s甲2＞s乙28．如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力；④乙的综合评分比甲要高．其中合理的是（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分)9．因式分解：x2y﹣9y＝．10．如图所示，边长为1正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则∠ACB+∠ABC的度数为．11．要使二次根式有意义，那么x的取值范围是．12．如图，直线l∥m，点A、B是直线l上两点，点C、D是直线m上两点，连接AC、AD、BC、BD，AD、BC交于点O，设△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1S2（填＞，＜或＝号）．13．若一次函数的图象过点（0，2），且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函数表达式：．14．用一个a的值说明命题“﹣a一定表示一个负数”是错误的，a的值可以是．15．图1中的小矩形长为x，宽为y，将四个同样的小矩形拼成如图2的正方形，则可列出关于x，y的方程组为．16．某商场在端午节前以1元/个的价格购进1000个粽子，现有以下三种销售方式：不加工直接卖，对产品进行粗加工再卖，精加工后再卖．受加工能力和气温影响，粗加工一天只能加工200个，细加工一天只能加工100个，两种加工不能同时进行，且最多加工三天．加工方式加工成本销售单位售价直接卖0个2元/个粗加工1元/个包装袋（一袋5个）30元/袋精加工 2.5元/个礼盒（一盒10个）85元/盒假设所有粽子均能全部售出，则以下销售方式中利润最大的是．方案一：不加工直接销售；方案二：三天全部进行精加工，剩下的直接卖；方案三：两天精加工，一天粗加工，剩下的直接卖；方案四：两天粗加工，一天精加工，剩下的直接卖．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题5分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：2cos30°﹣（3﹣π）0+（）﹣1﹣．18．解不等式组：．19．下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l和直线外一点P．求作：过点P作直线l的平行线．作法：如图，①在直线l上任取点O；②作直线PO；③以点O为圆心OP长为半径画圆，交直线PO于点A，交直线l于点B；④连接AB，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交⊙O于点C（点A与点C不重合）；⑤作直线CP；则直线CP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：连接BP、BC，∵AB＝BC，∴＝，∴∠＝∠，又∵OB＝OP，∴∠＝∠，∴∠CPB＝∠OBP，∴CP∥l（）（填推理的依据）．20．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+k﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21．如图，在菱形ABCD中，延长AB到E，延长AD到F，使BE＝DF，连接EF，连接AC并延长交EF于点G．（1）求证：AG⊥EF；（2）连接BD交AC于O，过B作BM⊥EF于点M，若BD＝2，C为AG中点，求EM 的长．22．如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD交AC于点F，且FC＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，tan A＝，求GF的长．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，函数y＝（x＞0）的图象经过点B，与直线y＝x+b交于点D．（1）求k的值；（2）直线y＝x+b与BC边所在直线交于点M，与x轴交于点N．①当点D为MN中点时，求b的值；②当DM＞MN时，结合函数图象，直接写出b的取值范围．24．疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．观看直播课节数的频数分布表节数x频数频率0≤x＜1080.1610≤x＜20100.2020≤x＜3016b30≤x＜40a0.24x≥4040.08总数501其中，节数在20≤x＜30这一组的数据是：20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是；（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有人．25．如图，M是弦AB与弧AB所围成的图形的内部的一个定点，P是弦AB上一动点，连接PM并延长交弧AB于点Q，连接QB．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，Q两点间距离为y1cm，BQ两点间距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了研究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，补全如表；x/cm0123456y1/cm 5.24 4.24 3.24 1.54 1.79 3.47y2/cm 1.31 1.34 1.42 1.54 1.80 2.45 3.47（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值对应的点（x1，y1）和（x2，y2）并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△PQB为等腰三角形时，AP的长度约cm（精确到0.1）．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B，与y轴交点C．（1）求抛物线的对称轴和点C坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域为图形W（不含边界）．①当m＝1时，求图形W内的整点个数；②若图形W内有2个整数点，求m的取值范围．27．如图，在△ABM中，∠ABC＝90°，延长BM使BC＝BA，线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连结DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM＝15°时，∠AMD的度数是；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM＝MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM＝MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD＝CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM＝CF，从而解决问题；想法3：通过BC＝BA，∠ABC＝90°，连结AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD 是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMB是一定度数时，AM＝MB．（一种方法即可）28．如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是⊙C上不重合的两个点，连结PA，PB．当∠APB＝60°时，我们称点P为⊙C的“关于AB的关联点”．（1）如图2，当点P在⊙C上时，点P是⊙C的“关于AB的关联点”时，画出一个满足条件的∠APB，并直接写出∠ACB的度数；（2）在平面直角坐标系中，点M（1，），点M关于y轴的对称点为点N．①以点O为圆心，OM为半径画⊙O，在y轴上存在一点P，使点P为⊙O“关于MN 的关联点”，直接写出点P的坐标；②点D（m，0）是x轴上一动点，当⊙D的半径为1时，线段MN上至少存在一个点是⊙D的“关于某两个点的关联点”，求m的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．厨余垃圾FoodWasteB．可回收物RecyclableC．其他垃圾ResidualWasteD．有害垃圾HazardousWaste【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．2．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（）A．a B．b C．c D．无法确定【分析】根据数轴上点的位置，结合相反数，绝对值的性质判断即可．解：根据数轴上点的位置及a，c互为相反数，得c＜a＜b，且|c|＝|a|＜|b|，则绝对值最大的是b，故选：B．3．聪聪在阅读一篇文章时看到水分子的直径约为0.4纳米，通过百度搜索聪聪又知道1纳米＝10﹣9米，则水分子的直径约为（）A．4×10﹣10米B．0.4×10﹣10米C．4×10﹣9米D．4×10﹣8米【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.4纳米＝0.4×10﹣9米＝4×10﹣10米．故选：A．4．下列几何体中主视图为矩形的是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；B、圆柱的主视图是矩形，符合题意；C、三棱锥的主视图是三角形，不合题意；D、球的主视图是圆，不符合题意．故选：B．5．如果x+y﹣2＝0，那么代数式的值为（）A．B．﹣2C．D．2【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．解：原式＝•＝，由x+y﹣2＝0，得到x+y＝2，则原式＝．故选：C．6．如图，螺丝母的截面是正六边形，则∠1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．解：∵这个正六边形的外角和等于360°，∴∠1＝360°÷6＝60°．故选：C．7．某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位：cm）如图所示：设两队队员身高的平均数依次为甲，乙，方差依次为s甲2，s乙2，下列关系中完全正确的是（）A．甲＝乙，s甲2＜s乙2B．甲＝乙，s甲2＞s乙2C．甲＜乙，s甲2＜s乙2D．甲＞乙，s甲2＞s乙2【分析】利用平均数和方差的计算公式进行计算即可．解：甲：＝＝176，s2＝[（176﹣176）2×2+（177﹣176）2×2+（175﹣176）2]÷6＝，乙：＝＝176，s2＝[（178﹣176）2+（175﹣176）2+（170﹣176）2+（174﹣176）2+（183﹣176）2+（176﹣176）2]÷6＝，则甲＝乙，s甲2＜s乙2，故选：A．8．如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力；④乙的综合评分比甲要高．其中合理的是（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④【分析】根据统计图表中的数据对各个选项的问题进行分析即可．解：由图形可知：甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，故①合理；甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习的能力是甲自身的不足，故②合理；甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，故乙与他人的沟通和合作能力弱于甲，故③合理；甲的各项得分为5，5，4，4，1；乙的各项得分为5，5，4，4，3，乙的综合评分比甲要高2分，故④合理．综上，合理的选项有①②③④．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分)9．因式分解：x2y﹣9y＝y（x+3）（x﹣3）．【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：x2y﹣9y，＝y（x2﹣9），＝y（x+3）（x﹣3）．10．如图所示，边长为1正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则∠ACB+∠ABC的度数为45°．【分析】根据三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定与性质即可求解．解：如图，∠ACB+∠ABC＝∠CAD，∵∠ADC＝90°，AD＝CD＝3，∴∠CAD＝45°，∴∠ACB+∠ABC＝45°．故答案为：45°．11．要使二次根式有意义，那么x的取值范围是x≥1．【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．解：根据题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．12．如图，直线l∥m，点A、B是直线l上两点，点C、D是直线m上两点，连接AC、AD、BC、BD，AD、BC交于点O，设△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1＝S2（填＞，＜或＝号）．【分析】根据同底等高的两个三角形面积相等得到S△ACD＝S△BCD，结合图形计算，得到答案．解：∵l∥m，∴S△ACD＝S△BCD，∴S△ACD﹣S△OCD＝S△BCD﹣S△OCD，即S△AOC＝S△BOD，∴S1＝S2，故答案为：＝．13．若一次函数的图象过点（0，2），且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函数表达式：y＝x+2．【分析】设一次函数的解析式为y＝kx+b，根据一次函数的图象过点（0，2）得到b＝2，根据函数y随自变量x的增大而增大得到k＞0，然后取k＝1写出一个满足条件的解析式．解：设一次函数的解析式为y＝kx+b，把（0，2）代入得b＝2，∴y＝kx+2，∵函数y随自变量x的增大而增大，∴k＞0，∴k可取1，此时一次函数解析式为y＝x+2．故答案为y＝x+2．14．用一个a的值说明命题“﹣a一定表示一个负数”是错误的，a的值可以是﹣1．【分析】利用反例说明命题为假命题，a可以取负数或0．解：当a＝﹣1时，﹣a＝﹣（﹣1）＝1，所以“﹣a一定表示一个负数”是错误的．故答案为﹣1．15．图1中的小矩形长为x，宽为y，将四个同样的小矩形拼成如图2的正方形，则可列出关于x，y的方程组为．【分析】根据图形得出“长+宽＝4，长﹣宽＝2”可得方程组．解：由图形可列出关于x，y的方程组为，故答案为：．16．某商场在端午节前以1元/个的价格购进1000个粽子，现有以下三种销售方式：不加工直接卖，对产品进行粗加工再卖，精加工后再卖．受加工能力和气温影响，粗加工一天只能加工200个，细加工一天只能加工100个，两种加工不能同时进行，且最多加工三天．加工方式加工成本销售单位售价直接卖0个2元/个粗加工1元/个包装袋（一袋5个）30元/袋精加工 2.5元/个礼盒（一盒10个）85元/盒假设所有粽子均能全部售出，则以下销售方式中利润最大的是方案四．方案一：不加工直接销售；方案二：三天全部进行精加工，剩下的直接卖；方案三：两天精加工，一天粗加工，剩下的直接卖；方案四：两天粗加工，一天精加工，剩下的直接卖．【分析】方案一：直接用算术方法计算：不加工的利润×吨数；方案二：分别求出三天全部进行精加工的利润和剩下的直接卖的利润，相加即可求解；方案三：分别求出两天精加工的利润、一天粗加工的利润和剩下的直接卖的利润，相加即可求解；方案四：分别求出两天粗加工的利润、一天精加工的利润和剩下的直接卖的利润，相加即可求解．解：方案一：1000×（2﹣1）＝1000（元）；方案二：100×3＝300（个），1000﹣300＝700（个），（85÷10﹣2.5﹣1）×300+700×（2﹣1）＝2200（元）；方案三：100×2＝200（个），1000﹣200﹣200＝600（个），（85÷10﹣2.5﹣1）×200+（30÷5﹣1﹣1）×200+600×（2﹣1）＝2400（元）；方案四：200×2＝400（个），1000﹣100﹣400＝500（个），（85÷10﹣2.5﹣1）×100+（30÷5﹣1﹣1）×400+500×（2﹣1）＝2600（元）；∵2600＞2400＞2200＞1000，∴销售方式中利润最大的是方案四．故答案为：方案四．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-27题，每小题5分，第28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：2cos30°﹣（3﹣π）0+（）﹣1﹣．【分析】先化简二次根式、计算负整数指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得．解：原式＝2×﹣1+2﹣2＝﹣1+2﹣2＝1﹣．18．解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式2（x﹣3）＜x﹣4，得：x＜2，解不等式，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x＜2．19．下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l和直线外一点P．求作：过点P作直线l的平行线．作法：如图，①在直线l上任取点O；②作直线PO；③以点O为圆心OP长为半径画圆，交直线PO于点A，交直线l于点B；④连接AB，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交⊙O于点C（点A与点C不重合）；⑤作直线CP；则直线CP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：连接BP、BC，∵AB＝BC，∴＝，∴∠CPB＝∠APB，又∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∴∠CPB＝∠OBP，∴CP∥l（内错角相等，两直线平行）（填推理的依据）．【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；（2）结合（1）根据圆周角定理即可完成证明．解：（1）补全图形如下：（2）证明：连接BP、BC，∵AB＝BC，∴＝，∴∠CPB＝∠APB，又∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，∴∠CPB＝∠OBP，∴CP∥l（内错角相等，两直线平行）．故答案为：CPB，APB，OBP，OPB，内错角相等，两直线平行．20．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+k﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．【分析】（1）计算判别式的值，再利用非负数的性质可判断△≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）令k＝1得到方程为x2﹣1＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】（1）证明：∵△＝（k﹣1）2﹣4（k﹣2）＝k2﹣6k+1+8＝（k﹣3）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：当k＝1时，方程为x2﹣1＝0，解方程得x1＝1，x2＝﹣1．21．如图，在菱形ABCD中，延长AB到E，延长AD到F，使BE＝DF，连接EF，连接AC并延长交EF于点G．（1）求证：AG⊥EF；（2）连接BD交AC于O，过B作BM⊥EF于点M，若BD＝2，C为AG中点，求EM 的长．【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，可得AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，根据BE＝DF，得AF＝AE，所以根据等腰三角形的性质即可得AG⊥EF；（2）根据题意可得四边形BOGM是矩形，根据C为AG中点，可得AC＝CG，进而可得＝，进而可得EM的长．解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，∵BE＝DF，∴AD+DF＝AB+BE，即AF＝AE，∵∠DAC＝∠BAC，∴AG⊥EF；（2）如图，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，由（1）可知：AG⊥EF，∵BM⊥EF，∴四边形BOGM是矩形，∴GM＝OB＝BD＝1，OA＝OC＝AC，∵C为AG中点，∴AC＝CG，∴＝，∵BD∥EG，∴＝，即＝，∴EM＝3．所以EM的长为3．22．如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD 交AC于点F，且FC＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，tan A＝，求GF的长．【分析】（1）根据OB＝OD，可得∠OBD＝∠ODB，由FC＝BC，可得∠CFB＝∠CBF，再由OD⊥AC，可得∠DGF＝90°，进而可得∠OBC＝90°，即可证明BC是⊙O的切线；（2）如图，连接BE，根据AB是⊙O的直径，可得∠AEB＝90°，得OD∥BE，得∠GDF＝∠EBF，所以得tan∠GDF＝tan∠EBF，再根据⊙O的半径为5，tan A＝，可得OA＝OD＝5，OG＝3，AG＝4，BE＝6，AE＝8，进而可得GF的长．解：（1）证明：∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵FC＝BC，∴∠CFB＝∠CBF，∵OD⊥AC，∴∠DGF＝90°，∴∠ODB+∠DFG＝90°∵∠CFB＝∠DFG，∴∠ODB+∠CFB＝∠OBD+∠CBF＝∠OBC＝90°，∴OB⊥BC，∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）如图，连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠AGO＝90°，∴OD∥BE，∴∠GDF＝∠EBF，∵⊙O的半径为5，tan A＝，∴OA＝OD＝5，OG＝3，AG＝4，∴DG＝OD﹣OG＝2，∵在Rt△ABE中，AB＝10，tan A＝，∴BE＝6，AE＝8，∵OG⊥AE，∴AG＝EG＝4，∴EF＝EG﹣GF＝4﹣GF，∵∠GDF＝∠EBF，∴tan∠GDF＝tan∠EBF，即＝，∴＝，解得GF＝1．所以GF的长为1．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，函数y＝（x＞0）的图象经过点B，与直线y＝x+b交于点D．（1）求k的值；（2）直线y＝x+b与BC边所在直线交于点M，与x轴交于点N．①当点D为MN中点时，求b的值；②当DM＞MN时，结合函数图象，直接写出b的取值范围．【分析】（1）由题意可得点B坐标，将其代入y＝（x＞0），解得k的值即可；（2）①观察图形结合直线y＝kx+b为与x轴正方向成45°角的直线，可得点D坐标，将其代入直线y＝kx+b，解得b的值即可；②由函数图象可知，当直线y＝x+b由①中位置向右平移时DM＞DN，则可得b的取值范围．解：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴B（2，2），将其代入y＝（x＞0）得：2＝，∴k＝4；（2）①当点D为MN中点时，观察图形结合直线y＝x+b可得D（4，1），如图所示：∴将D（4，1）代入y＝x+b得：1＝4+b，∴b＝﹣3；②由①函数图象可得，当DM＞MN时，b的取值范围是b＜﹣3．24．疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．观看直播课节数的频数分布表节数x频数频率0≤x＜1080.1610≤x＜20100.2020≤x＜3016b30≤x＜40a0.24x≥4040.08总数501其中，节数在20≤x＜30这一组的数据是：20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29请根据所给信息，解答下列问题：（1）a＝12，b＝0.32；（2）请补全频数分布直方图；（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是24；（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有160人．【分析】（1）根据频数分布表即可求出a，b；（2）结合（1）根据频数分布表即可补全频数分布直方图；（3）根据频数分布表中的节数x，即可得观看直播课节数的中位数；（4）利用样本估计总体的方法即可估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的人数．解：（1）a＝50﹣8﹣10﹣16﹣4＝12，b＝1﹣0.16﹣0.20﹣0.24﹣0.08＝0.32；故答案为：12，0.32；（2）补全的频数分布直方图如下：（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是（23+25）÷2＝24，故答案为：24；（4）500×（0.24+0.08）＝160（人）．答：估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有160人．故答案为：160．25．如图，M是弦AB与弧AB所围成的图形的内部的一个定点，P是弦AB上一动点，连接PM并延长交弧AB于点Q，连接QB．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，Q两点间距离为y1cm，BQ两点间距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了研究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，补全如表；x/cm0123456y1/cm 5.24 4.24 3.24 2.24 1.54 1.79 3.47y2/cm 1.31 1.34 1.42 1.54 1.80 2.45 3.47（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值对应的点（x1，y1）和（x2，y2）并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△PQB为等腰三角形时，AP的长度约 3.7或4.7或4.3cm（精确到0.1）．【分析】（1）根据表中的数据可得出答案；（2）利用描点法画出图象即可．（3）图中寻找直线y＝﹣x+6与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可．解：（1）观察表中数据可得：当x＝3时，y1＝2.24．（2.0﹣2.5之间的数均可）（2）函数图象如图1所示：（3）如图2．观察图象可知：当y1＝y2或6﹣x＝y1或6﹣x＝y2，△PQB为等腰三角形，即当BQ＝PQ或PB＝PQ或PB＝BQ时，x＝3.7cm或4.7cm或4.3cm，综上所述，满足条件的x的值为3.7cm或4.7cm或4.3cm．故答案为：3.7或4.7或4.3．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B，与y轴交点C．（1）求抛物线的对称轴和点C坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域为图形W（不含边界）．①当m＝1时，求图形W内的整点个数；②若图形W内有2个整数点，求m的取值范围．【分析】（1）直接利用对称轴公式计算，即可得出抛物线的对称轴，再令x＝0，即可求出点C的坐标；（2）①先确定出抛物线解析式，即可得出结论；②先判断出满足条件的整数点由（1，﹣1），进而抛物线的顶点坐标的范围即可得出结论．解：（1）∵抛物线的解析式为y＝mx2﹣2mx﹣1（m＞0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，令x＝0，则y＝﹣1，∴C（0，﹣1）；（2）①当m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1，由（1）知，C（0，﹣1），抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线还经过（2，﹣1），∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），∴图形W内的整点只有（1，﹣1）一个；②如图，由①知，抛物线过点（0，﹣1），（2，﹣1），∵图形W内有2个整数点，∴2＜≤3，∴﹣2≤m＜﹣1或1＜m≤2，∵m＞0，∴1＜m≤2．27．如图，在△ABM中，∠ABC＝90°，延长BM使BC＝BA，线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连结DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM＝15°时，∠AMD的度数是60°；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM＝MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM＝MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD＝CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM＝CF，从而解决问题；想法3：通过BC＝BA，∠ABC＝90°，连结AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD 是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMB是一定度数时，AM＝MB．（一种方法即可）【分析】（1）由题意画出，图形；（2）由旋转的性质可得出△DCM为等腰直角三角形，则∠DMC＝45°，∠AMB＝75°，可求出答案；（3）根据三种想法证明△AMD为等边三角形即可得出结论．解：（1）由题意画出图形如图1，（2）如图1，∵∠BAM＝15°，∠ABC＝90°，∴∠AMB＝90°﹣15°＝75°，∵线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，∴CM＝CD，∠MCD＝90°，∴∠CMD＝∠MDC＝45°，∴∠AMD＝180°﹣∠AMB﹣∠DMC＝180°﹣75°﹣45°＝60°．故答案为：60°．（3）当∠AMB＝75°时，AM＝DM．想法1证明：如图2，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E，∵∠AEC＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCE正方形，∴AB＝AE，BC＝CE，由（2）可知CM＝CD，∴BM＝DE，∴△ABM≌△AED（SAS），∴AM＝AD，由（2）可知∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法2证明：如图3，过点C作CF∥AD交AB于点F，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD＝CF，AF＝CD，∵AB＝AF+BF，BC＝BM+CM，AB＝BC，∴CD+BF＝BM+CM，∵CD＝CM，∴BF＝BM，又∵AB＝BC，∠FBC＝∠MBC＝90°，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∴AM＝AD，又∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法3证明：如图4，连接AC，∵BC＝AB，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ACD＝45°，又∵CM＝CD，AC＝AC，∴△ACM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．28．如图1，点P是平面内任意一点，点A，B是⊙C上不重合的两个点，连结PA，PB．当∠APB＝60°时，我们称点P为⊙C的“关于AB的关联点”．（1）如图2，当点P在⊙C上时，点P是⊙C的“关于AB的关联点”时，画出一个满足条件的∠APB，并直接写出∠ACB的度数；（2）在平面直角坐标系中，点M（1，），点M关于y轴的对称点为点N．①以点O为圆心，OM为半径画⊙O，在y轴上存在一点P，使点P为⊙O“关于MN的关联点”，直接写出点P的坐标；②点D（m，0）是x轴上一动点，当⊙D的半径为1时，线段MN上至少存在一个点是⊙D的“关于某两个点的关联点”，求m的取值范围．。
2019-2020学年最新北京市平谷区中考二模数学试题及答案解析A
初三数学统练二学校 班级 姓名 考号试一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一．．．个．是符合题意的． 1．25-的绝对值是 A ．52 B ．52-C ．25D ．25-2．打开百度搜索栏，输入“数学学习法”，百度为你找到的相关信息约有12 000 000条， 将12 000 000用科学记数法表示为A ．1.2×107B. 61.210⨯ C ．61210⨯ D ．71210⨯ 3．一个正多边形的一个外角是40°，这个正多边形的边数是A ．10B ．9C ．8D ．54．有分别写数字1、2、3、4、5的五张卡片，除数字不同外其它均相同，从中任意抽取一张，那么抽到的数是奇数的概率是 A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 5．如图，AB ∥CD ，O 为CD 上一点，且∠AOB=90°，若∠B=33°，则∠AOC 的度数是 A ．33° B ．60° C ．67° D ．57°6．甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是20.65S =甲，20.55S =乙，20.50S =丙 20.45S =丁，则射箭成绩最稳定的是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7. 如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为．8. 如图，扇形OAB 的半径OA=6，圆心角∠AOB=90°，C 是»AB 上不同于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连结DE ，点H 在线段DE 上，且EH=32DE ．设EC 的长为x ，△C EH 的面积为y ，下面表示y 与x 的函数关系式的图象可能是A ．B ．C ． D. 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．分解因式：339-=a b ab ．A ．0.7B ．1.5C ．1.75D ．1.710．直线过点（0，-1），且y 随x 的增大而减小．写出一个满足条件的一次函数解析式．_________________．11.如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC=50°，则∠CDB 的度数为__________．12．如图，□ABCD 的面积为16，对角线交于点O ；以AB 、AO 为邻边做□AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB 、AO 1为邻边做□AO 1C 2B ，对角线交于点O 2；…；依此类推．则□AOC 1B 的面积为_______；□AO 4C 5B 的面积为_______；□AO n C n+1B 的面积为___________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．如图，AD 平分∠BAC ，AD=AC ，E 为AD 上一点，且AE=AB ，连结BD 、CE ．求证：BD=CE ．14．计算：1012014tan 603-⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭．212题图15．求不等式组2(2)43251x x x x-≤-⎧⎨--⎩＜的整数解．16．已知a 2＋2a=3，求代数式22(1)(2)a a a ---的值．17．已知一次函数y kx b =+(0)k ≠与反比例函数(0)my m x=≠的图象交于(23)(6)A B n -，、，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）P 是y 轴上一点，且12ABP S ∆=，直接写出P 点坐标．18．A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，求A 型、B 型两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？四、解答题(本题共20分，每小题5分)19．如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠A=120 ∠C=60°，AB=5，AD=3． （1）求证：AD=DC ； （2）求四边形ABCD 的周长．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC相切于点E ，连接DE 并延长DE 交BC 的延长线于点F ． （1）求证：BD=BF ；（2）若CF=1，cosB=35，求⊙O 的半径．21．某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中信息解答问题.（1）将条形统计图补充完整；（2）本次抽样调查的样本容量是____________；（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数.22. 如图1，若点A 、B 在直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使AP+BP 的值最小，做法是：作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′，与直线l 的交点就是所求的点P ，线段AB′的长度即为AP+BP 的最小值．（1）如图2，在等边三角形ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP+PE 的值最小．做法是：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，这点就是所求的点P ，故BP+PE 的最小值为 ；（2）如图3，已知⊙O 的直径CD 为2，AC 的度数为60°，点B 是AC 的中点，在直径CD 上作出点P ，使BP+AP 的值最小，则BP+AP 的最小值为 ；（3）如图4，点P 是四边形ABCD 内一点，BP=m ，ABC α∠=，分别在边AB 、BC 上作出点M 、N ，使PMN ∆的周长最小，求出这个最小值（用含m 、α的代数式表示）．图4C图3图2图1P D EBA备用图五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分) 23．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=． （1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）关于x 的二次函数211y x mx m =-+-的图象1C 经过2(168)k k k --+，和2(568)k k k -+-+，两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P(a ，b)为抛物线2C 在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围．图2图1E DCA24.（1）如图1，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，E 为BC 上一点，且CE=AB ，BE=CD ，连结AE 、DE 、AD ，则△ADE 的形状是_________________________.(2)如图2，在90ABC A ∆∠=︒中，，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，连结BE 、CD ，两线交于点P ．①当BD=AC ，CE=AD 时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明． ②当BD CEAC AD==时， BPD ∠的度数____________________．25.定义：任何一个一次函数y px q =+，取出它的一次项系数p 和常数项q ，有序数组][q p ，为其特征数.例如：y=2x+5的特征数是]52[，，同理，[]a b ，，c 为二次函数2y ax bx c =++的特征数。
2020北京平谷高三二模数学含答案
2020北京平谷高三二模数学 2020.5第I卷选择题（共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合A={−1,0,1},B={x|x2<1},则A∪B=A. {−1,1}B. {−1,0,1}C. {x|−1≤x≤1}D. {x|x≤1}2. 若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是A. sin(α+π2) B.cos(α+π2)C. sin(π+α)D. cos(π+α)3.在下列函数中，值域为R的偶函数是A. f(x)=√xB. f(x)=ln|x|C. f(x)=2x+2−xD. f(x)=xcosx4. 若等差数列{a n}的前n项和为S n，且S13=0,a3+a4=21,则S7的值为A. 21B. 63C. 13D. 845. 若抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是A. p<1B.p>1C. p<2D. p>26.已知x,y∈R,且x>y>0,则A. 1x −1y>0 B. cosx−cosy<0C. (12)x −(12)y<0D. ln (x −y )>07. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A. 23 B. 43C. 2D. 838. 设a,b 是向量，“|a |=|a +b |”是“|b |=0”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 溶液酸碱度是通过pH 计算的，pH 的计算公式为pH =−lg[H +],其中[H +]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5×10−2摩尔/升,则胃酸的pH 是（参考数据：lg2≈0.3010） A. 1.398B. 1.204C. 1.602D. 2.60210.如图，点O 为坐标原点，点A(1,1),若函数y =a x (a >0,且a ≠1)及y =log b x(b >0,且b ≠1)的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a,b 满足 A. a <b <1 B. b <a <1 C. b >a >1 D. a >b >1第II 卷 非选择题（共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。
2020年北京市平谷区高三数学二模试题及详细解析2020.6
北京市平谷区2019-2020学年度初三数学二模试题及参考答案2020年6月第I 卷选择题（共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,0,1A =-，2{1}B x x =< ，则A B =U （ ）A. {}1,1-B. {}1,0,1-C. {}11x x -≤≤D. {}1x x ≤2.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A. sin(+)2πα B. s(+)2co πα C. sin()πα+ D. s()co πα+3.在下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A. ()f x x =B. ()f x ln x =C. ()22xxf x -=+D. ()f x xcosx =4.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）． A. 21B. 63C. 13D. 845.若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A. p ＜1B. p ＞1C. p ＜2D. p ＞26.已知∈，x y R ，且0x y >>，则（ ）A.110x y-> B. 0cosx cosy -<C. 11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()ln 0x y ->7.某三棱锥三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.23B.43C. 2D.838.设a br r，是向量，“a a b=+r r r”是“0b=r”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH lg H+⎡⎤=-⎣⎦，其中H+⎡⎤⎣⎦表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为22.510-⨯摩尔/升，则胃酸的pH是（）（参考数据：20.3010lg≈）A. 1.398B. 1.204C. 1.602D. 2.60210.如图，点O为坐标原点，点(1,1)A，若函数xy a=及log by x=的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足．A. 1a b<< B. 1b a<< C. 1b a>> D. 1a b>>第II卷非选择题（共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分.11.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是12,z z，则21zz=_______.12.在ABC∆中，4Aπ∠=，222a b c ab+-=，3c=，则C∠=__________ ；a=____________.13.如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点. 当点P 在BC 边上时，AB OP ⋅u u u v u u u v的值为________；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ⋅u u u v u u u v的最小值为_________.14.已知函数()1f x cosx x=+，给出下列结论： ①()f x 在(]0π，上有最小值，无最大值； ②设()()()F x f x f x =--，则()F x 为偶函数；③()f x 在()02π，上有两个零点 其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号）15.地铁某换乘站设有编号为A B C D E ，，，，的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A B ，B C ，C D ，D E ， A E ， 疏散乘客时间（s ） 120 220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是________.三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数())32032f x cos xsin x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭， ，求()f x 在66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的值域. 从①若()()12122f x f x x x -=-，的最小值为2π；②()f x 两条相邻对称轴之间的距离为2π；③若()()12120f x f x x x ==-，的最小值为2π，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 17.某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分，每项评分最低分0分，最高分100分，每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（I ）若从交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率；（II ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（III ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？（只写出结果） 18.如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，01190,1,2,5BAC AB BC BB C D CD ∠======，平面1CC D ⊥平面11ACC A ．（Ⅰ）求证： 1AC DC ⊥；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3π？若存在，求BP BC的值，若不存在，说明理由．19.已知函数()sin cos f x x x a x x =++，R a ∈.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程； （2）当=2a 时，求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值；（3）当2a >时，若方程()30f x -=在区间[0,]2π上有唯一解，求a 的取值范围.20.已知点3(1,)2P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值． 21.已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a Nn m ∈=L ；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m =L 则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>； （III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m的最大值.2020北京平谷高三二模数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共6页，共150分，考试时间为120分钟.2.试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效.3.考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好.第I 卷选择题（共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,0,1A =-，2{1}B x x =< ，则A B =U （ ）A. {}1,1-B. {}1,0,1-C. {}11x x -≤≤D. {}1x x ≤【答案】C 【解析】集合{}1,0,1A =-，{}21{|11}B x x x x =<=-<<所以{}11A B x x ⋃=-≤≤. 故选C. 2.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ）A. sin(+)2πα B. s(+)2co πα C. sin()πα+ D. s()co πα+【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断. 【详解】解：角α的终边在第二象限，sin +2πα⎛⎫⎪⎝⎭＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝sin α-＜0，B 不符；()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符；()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确故选D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键． 3.在下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）A. ()f x =B. ()f x ln x =C. ()22xxf x -=+ D. ()f x xcosx =【答案】B 【解析】 【分析】通过函数的奇偶性和值域对选项进行排除，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，函数()f x =[)0,+∞，故为非奇非偶函数，不符合题意.对于B 选项，()f x ln x =的定义域为{}|0x x ≠，且()()ln f x x f x -==，所以()f x 为偶函数，由于0x >，所以()f x ln x =的值域为R ，符合题意.对于C 选项，()1222x x f x =+≥=，故()22x x f x -=+的值域不为R . 对于D 选项，()cos f x x x =的定义域为R ，且()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以()cos f x x x =为奇函数，不符合题意.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和值域，属于基础题.4.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）． A. 21 B. 63C. 13D. 84【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d ，1a ，然后结合等差数列的求和公式即可求解． 【详解】解：因为130S =，3421a a +=，所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =，则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题． 5.若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A. p ＜1 B. p ＞1C. p ＜2D. p ＞2【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p，列不等式求解. 【详解】∵设P 为抛物线的任意一点， 则P 到焦点的距离等于到准线：x 2p=-的距离， 显然当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p ． ∴12p＞，即p ＞2． 故选：D ．【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题. 6.已知∈，x y R ，且0x y >>，则（ ）A.110x y-> B. 0cosx cosy -<C. 11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()ln 0x y ->【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值排除错误选项，利用函数的单调性证明正确选项. 【详解】取2,1x y ==，则1102-<，所以A 选项错误. 取4,2x y ππ==，则cos4cos2110ππ-=-=，所以B 选项错误.由于12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，而0x y >>，所以111102222x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 选项正确. 取2,1x y ==，则()ln 210-=，所以D 选项错误. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查比较大小，属于基础题. 7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.23B.43C. 2D.83【答案】A 【解析】由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为1和2，所以底面面积为11212S =⨯⨯= 高为2h =的三棱锥，所以三棱锥的体积为11212333V Sh ==⨯⨯=，故选A ．8.设a b r r，是向量，“a a b =+r r r ”是“0b =r ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分、必要条件.【详解】当“a a b =+r r r ”时，可能2,4a b ==-，不满足“0b =r”. 当“0b =r ”时，“a a b =+r r r”.所以“a a b =+r r r ”是“0b =r”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.9.溶液酸碱度是通过pH 计算的，pH 的计算公式为pH lg H +⎡⎤=-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为22.510-⨯摩尔/升，则胃酸的pH 是（ ）（参考数据：20.3010lg ≈）A. 1.398B. 1.204C. 1.602D. 2.602【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算以及pH 的定义求得此时胃酸的pH 值. 【详解】依题意()22.5100lg 2.510lg lg lg 401002.5pH -=-⨯=-== ()lg 410lg4lg102lg2120.30101 1.602=⨯=+=+≈⨯+=.故选：C【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.10.如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数x y a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A. 1a b <<B. 1b a <<C. 1b a >>D. 1a b >>【答案】A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解.【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得322263b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<.故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.第II 卷非选择题（共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分.11.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B 对应的复数分别是12,z z ，则21z z =_______.【答案】12i -- 【解析】由题意，根据复数的表示可知12,2z i z i ==-，所以212(2)()12()z i i i i z i i i --⋅-===--⋅-． 12.在ABC ∆中，4A π∠=，222a b c ab +-=，3c =，则C ∠=__________ ；a =____________.【答案】 (1). 3π(2). 6【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可求cos C 12=，结合范围C ∈（0，π），可求C 的值，进而根据正弦定理可得a 的值． 【详解】∵a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴可得cos C2221222 a b c ababab+-===，∵C∈（0，π），∴C3π=，∵4Aπ∠=，c＝3，∴由正弦定理a csinA sinC=，可得：23=，解得：a6=．故答案为3π，6．【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现ab及2b、2a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.13.如图，矩形ABCD中，2AB=，1BC=，O为AB的中点.当点P在BC边上时，AB OP⋅u u u v u u u v的值为________；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，AB OP⋅u u u v u u u v的最小值为_________.【答案】(1). 2(2). 2-【解析】【分析】建立坐标系，利用坐标运算求出向量的点积，分情况讨论即可.【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则A（0,0），O（1,0），B（2,0），设P（2，b），（1）AB OP u u u r u u u rg ＝2,02⋅（）(1,b)＝； （2）当点P 在BC 上时，AB OP u u u r u u u rg ＝2；当点P 在AD 上时，设P （0，b ），AB OP u u u r u u u rg ＝（2，0）（－1，b ）＝－2； 当点P 在CD 上时，设点P （a ，1）（0＜a ＜2）AB OP u u u r u u u rg ＝（2,0）（a －1，1）＝2a －2， 因为0＜a ＜2，所以，－2＜2a －2＜2，即(2,2)AB OP ∈-u u u r u u u rg 综上可知，AB OP u u u r u u u rg 的最小值为－2. 故答案为-2.【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 14.已知函数()1f x cosx x=+，给出下列结论： ①()f x 在(]0π，上有最小值，无最大值； ②设()()()F x f x f x =--，则()F x 为偶函数；③()f x 在()02π，上有两个零点 其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】 ①利用导函数()'fx 进行判断；②根据奇偶性的定义进行判断. ③利用函数图像进行判断.【详解】①，由于(]0,x π∈，所以()'21sin 0fx x x =--<，所以()f x 在(]0,π上递减，所以()f x 在(]0,π上有最小值，无最大值，故①正确. ②，依题意()()()()11cos cos F x f x f x x x x x ⎡⎤=--=+----⎢⎥⎣⎦2x=，由于()()F x F x -≠，所以()F x 不是偶函数，故②错误.③，令()0f x =得1cos x x=-，画出cos y x =和1y x =-在区间()0,2π上的图像如下图所示，由图可知cos y x =和1y x=-在区间()0,2π上的图像有两个交点，则()f x 在()0π，2上有两个零点，故③正确.故答案为：①③【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查函数的奇偶性，考查函数零点个数的判断，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15.地铁某换乘站设有编号为A B C D E ，，，，的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A B ， B C ， C D ， D E ， A E ， 疏散乘客时间（s ） 120 220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是________. 【答案】D 【解析】 【分析】通过对疏散时间的比较，判断出疏散乘客最快的一个安全出口的编号.【详解】同时开放AE ，需要200秒；同时开放DE ，需要140秒；所以D 疏散比A 快. 同时开放AE ，需要200秒；同时开放AB ，需要120秒；所以B 疏散比E 快. 同时开放AB ，需要120秒；同时开放BC ，需要220秒，所以A 疏散比C 快. 同时开放BC ，需要220秒；同时开放CD ，需要160秒，所以D 疏散比B 快. 综上所述，D 疏散最快.故答案为：D【点睛】本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题.三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数())203f x cos xsin x πωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ，求()f x 在66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的值域. 从①若()()12122f x f x x x -=-，的最小值为2π；②()f x 两条相邻对称轴之间的距离为2π；③若()()12120f x f x x x ==-，的最小值为2π，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】()f x 在区间66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为[]0,1. 【解析】 【分析】根据三个条件求得半周期，由此求得ω，进而求得()f x 在66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域.【详解】由于()23f x cos xsin x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭12cos sin 2x x x ωωω⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭[]1sin 2cos 2sin 21,1223x x x πωωω⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭. 所以①②③都可以得到()f x 的半周期为2π，则1222πππωωω==⇒=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 由于66x ππ-≤≤，20233x ππ≤+≤， 所以()[]0,1f x ∈，即()f x 的值域为[]0,1.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期、单调性、最值、值域的求法，属于中档题. 17.某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分，每项评分最低分0分，最高分100分，每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（I ）若从交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率；（II ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（III ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？（只写出结果） 【答案】（I ）25；（II ）分布列见解析，期望为1；（III ）12x x > 【解析】 【分析】（I ）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率. （II ）利用超几何分布的知识求出分布列和数学期望. （III ）根据两种得分的数据离散程度进行判断.【详解】（I ）由图可知，交通得分前6名的景点中，安全得分大于90分的景点有4个，所以从交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率为242662155C C ==. （II ）结合两个图可知，景点总分排名前6的的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个，所以ξ的可能取值为0,1,2.()()()3211244242333666012131,,555C C C C C P P P C C C ξξξ=========.所以ξ的分布列为:ξ12 P153515所以()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=. （III ）由图可知，26个景点中，交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近，安全得分主要集中在80分附近，且80分一下的景点接近一半，故 12x x >.【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查超几何分布，考查数据分析与处理能力，属于中档题. 18.如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，01190,1,2,5BAC AB BC BB C D CD ∠======，平面1CC D ⊥平面11ACC A ．（Ⅰ）求证： 1AC DC ⊥；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3π？若存在，求BP BC的值，若不存在，说明理由．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析. 【解析】试题分析：（1）由条件中090BAC ∠=，平面1CC D ⊥平面11ACC A ，结合线面垂直的性质定理，可以证明线面垂直，从而证明线线垂直（2）建立空间坐标系，求出法向量，然后根据题意计算是否存在点满足要求解析：(Ⅰ)证明:在直三棱柱中,平面ABC,故,由平面平面,且平面平面,所以平面, 又⊂平面,所以(Ⅱ)证明:在直三棱柱中,平面ABC,所以,,又,所以,如图建立空间直角坐标系,根据已知条件可得,,,,,,所以,,设平面的法向量为,由即令,则,,于是,平面的法向量为设,,则,若直线DP与平面成角为,则,计算得出,故不存在这样的点.点睛：方法总结：由面面垂直n线面垂直n线线垂直，这里需要用到垂直的性质定理进行证明，难度不大，但在书写解答过程中，注意格式，涉及二面角问题可以采用空间坐标系的相关知识，计算法向量然后再求解19.已知函数()sin cos f x x x a x x =++，R a ∈.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当=2a 时，求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值；（3）当2a >时，若方程()30f x -=在区间[0,]2π上有唯一解，求a的取值范围.【答案】（1）1y x =-；（2）最大值为()2f π=π，最小值为(0)2f =；（3）23a <≤ 【解析】【详解】试题分析：（1）由()01f '=可得切线斜率，再由点斜式可得切线方程； （2）由()'sin cos 1f x x x x =-++，可得()'0f x >，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而可得最值；（3）当2a >时，()()'1sin cos 1f x a x x x =-++.设()()1sin cos 1h x a x x x =-++，()()'2cos sin h x a x x x =--，分析可知()h x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()010h =>，11202h a a π⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，所以存在唯一的00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()00h x =，即()0'0f x =，结合函数单调性可得解. 试题解析：（1）当1a =-时，()sin cos f x x x x x =-+， 所以()'2sin cos 1f x x x x =++，()'01f =. 又因为()01f =-，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =-. （2）当2a =时，()sin 2cos f x x x x x =++， 所以()'sin cos 1f x x x x =-++．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1sin 0x ->，cos 0x x >， 所以()'0f x >.所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． 因此()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为()02f =. （3）当2a >时，()()'1sin cos 1f x a x x x =-++.设()()1sin cos 1h x a x x x =-++，()()'2cos sin h x a x x x =--，因为2a >，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以()'0h x <. 所以()h x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． 因为()010h =>，11202h a a π⎛⎫=-+=-<⎪⎝⎭， 所以存在唯一的00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()00h x =，即()0'0f x =. 所以()f x 在区间[]00,x 上单调递增，在区间02x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减．因为()0=f a ，2f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为方程()30f x -=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一解， 所以23a <≤.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20.已知点3(1,)2P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值． 【答案】（Ⅰ）22143x y +=．（Ⅱ）见解析． 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）依题意，得到1c =，利用定义得到2a =，即可求解椭圆的标准方程； （Ⅱ）设(,)D m n ，(,)E m n --，根据直线方程，求解,M N的坐标，可得GM GN ⊥，利用 0GM GN ⋅=u u u u v u u u v ，求得t 的值，即可得到弦长为定值．试题解析： （Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为()1,0F '-，且1c =．因为24a ==，所以2a =，b ==所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）证明：由题意可知D ，E 两点与点P 不重合．因为D ，E 两点关于原点对称，所以设(),D m n ，(),E m n --，()1m ≠±．设以MN 为直径的圆与直线32y =交于33,,,(0)22G t H t t ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两点， 所以GM GN ⊥．直线PD ：()332121n y x m --=--． 当0x =时，33212n y m -=-+-，所以3320,12n M m ⎛⎫- ⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭． 直线PE ：()332121n y x m +-=-+．当0x =时，33212n y m +=-++，所以3320,12n N m ⎛⎫+ ⎪-+ ⎪+ ⎪⎝⎭． 所以32,1n GM t m ⎛⎫- ⎪=-- ⎪- ⎪⎝⎭u u u u v ，32,1n GN t m ⎛⎫+ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭u u u v ， 因为GM GN ⊥，所以0GM GN ⋅=u u u u v u u u v ，所以()22249041n GM GN t m -⋅=+=-u u u u v u u u v ． 因为22143m n +=，即223412m n +=，224933n m -=-， 所以2304t -=，所以2t =．所以32G ⎫⎪⎪⎝⎭，32H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以GH = 所以以MN 为直径的圆被直线32y =． 点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用,,a b c 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21.已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a N n m ∈=L ；②12·...m a a a <<<若数列{}n b 满足()12* (1)m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m =L 则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”. （I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>； （III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值.【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33.【解析】【分析】（I ）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.（II ）利用差比较法判断出{}n b 的单调性，由此证得结论成立.（III ）利用累加法、放缩法求得关于m a 的不等式，由此求得m 的最大值.【详解】（I ）不存在.理由如下：因为*413579751b N ++++-=∈-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II ）因为*11,11,1n n n n a a b b n m n N m ++--=≤≤-∈-， 又因为12m a a a <<<L ，所以10n n a a +-<，所以1101n n n n a a b b m ++--=<-，即1n n b b +<，所以12···m b b b >>>成立.（III ）1i j m ∀≤<≤，都有1j j i j a a b b m --=-，因为*i b N ∈，12m b b b >>>L ， 所以*i j b b N -∈，所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--. 因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-， 所以11n n a a m --≥-.而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-++-≥-+-++-L L ()21m =-，即()2204911m -≥-，所以()212048m -≤，故46m ≤. 由于*20481N m ∈-，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33. 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.。
北京市平谷区2019-2020学年中考二诊数学试题含解析
北京市平谷区2019-2020学年中考二诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列说法：①2a+b=0，②当﹣1≤x≤3时，y ＜0；③3a+c=0；④若（x 1，y 1）（x 2、y 2）在函数图象上，当0＜x 1＜x 2时，y 1＜y 2，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③C ．①②③D ．①③④2．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3tan 3CAB ∠=，3AB =，点D 在以斜边AB 为直径的半圆上，点M 是CD 的三等分点，当点D 沿着半圆，从点A 运动到点B 时，点M 运动的路径长为（ ）A ．π或2π B ．2π或3π C ．3π或π D ．4π或3π 3．如图1，点O 为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t 秒，机器人到点A 的距离设为y ，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当t ＝3时，机器人一定位于点O ；③机器人一定经过点D ；④机器人一定经过点E ；其中正确的有（ ）A ．①④B ．①③C ．①②③D ．②③④4．如图，两个一次函数图象的交点坐标为(2,4)，则关于x ，y 的方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为（ ）A ．2,4x y =⎧⎨=⎩B ．4,2x y =⎧⎨=⎩C ．4,0x y =-⎧⎨=⎩D ．3,0x y =⎧⎨=⎩5．计算(1－1x )÷221x x x-+的结果是()A ．x －1B ．11x - C ．1x x - D ．1x x- 6．舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（ ） A ．4.995×1011 B ．49.95×1010 C ．0.4995×1011D ．4.995×10107．关于x 的正比例函数，y=（m+1）23m x -若y 随x 的增大而减小，则m 的值为 （ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．-128．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，如果AD ＝2，BD ＝3，那么由下列条件能够判定DE ∥BC 的是( ) A ．DE BC ＝23B ．DE BC ＝25C ．AE AC ＝23D ．AE AC ＝259．二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图，则反比例函数y=ax与一次函数y=bx ﹣c 在同一坐标系内的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．10．若点A(1，a)和点B(4，b)在直线y ＝－2x ＋m 上，则a 与b 的大小关系是( ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．与m 的值有关11．如图，矩形ABCD 中，AD=2，AB=3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是（ ）A ．5B ．136C ．1D ．5612．已知m ＝12+，n ＝12-，则代数式223m n mn +-的值为 （ ） A ．±3B ．3C ．5D ．9二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0cm 刻度线与量角器的0°线在同一直线上，且直径DC 是直角边BC 的两倍，过点A 作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E ，则点E 在量角器上所对应的度数是____.14．若关于x 的一元二次方程2210mx x --=无实数根，则一次函数y mx m =+的图象不经过第_________象限.15．一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则它的周长为__cm ．16．已知边长为5的菱形ABCD 中，对角线AC 长为6，点E 在对角线BD 上且1tan 3EAC ∠=，则BE 的长为__________．17．袋中装有6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为34”，则这个袋中白球大约有_____个．18．钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）九（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查(每名学生分别选一个活动项目)，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图.根据以上信息解决下列问题:m=，n=;扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为°;从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法(画树状图或列表)求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.20．（6分）某初中学校组织400 位同学参加义务植树活动，每人植树的棵数在5至10之间，甲、乙两位同学分别调查了30位同学的植树情况，并将收集的数据进行了整理，绘制成统计表分别为表1和表2：表1：甲调查九年级30位同学植树情况统计表（单位：棵）每人植树情况7 8 9 10人数 3 6 15 6频率0.1 0.2 0.5 0.2表2：乙调查三个年级各10位同学植树情况统计表（单位：棵）每人植树情况 6 7 8 9 10人数 3 6 3 11 6频率0.1 0.2 0.1 0.4 0.2根据以上材料回答下列问题：（1）表1中30位同学植树情况的中位数是棵；（2）已知表2的最后两列中有一个错误的数据，这个错误的数据是，正确的数据应该是；（3）指出哪位同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况，并用该样本估计本次活动400位同学一共植树多少棵？21．（6分）关于x的一元二次方程mx2+(3m﹣2)x﹣6＝1．(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为负整数．22．（8分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC，DC⊥BC，且AD=1，DC=3，点P为边AB上一动点，以P 为圆心，BP 为半径的圆交边BC 于点Q ． (1)求AB 的长； (2)当BQ 的长为409时，请通过计算说明圆P 与直线DC 的位置关系．23．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，过点D 作AE 的垂线交AE 于点G ，交AB 延长线于点F ，连接EF ，ED .求证：EF ED =； 若60ABC ∠=︒，6AD =， 2CE =，求EF 的长.24．（10分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A 、B 两种树苗共17棵，已知A 种树苗每棵80元，B 种树苗每棵60元．若购进A 、B 两种树苗刚好用去1220元，问购进A 、B 两种树苗各多少棵？若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．25．（10分）P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把PA•PB 的值称为点P 关于⊙O 的“幂值”（1）⊙O 的半径为6，OP=1．①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为_____；②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙0的“幂值”的取值范围；（2）若⊙O 的半径为r ，OP=d ，请参考（1）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围_____；（3）在平面直角坐标系xOy 中，C （1，0），⊙C 的半径为3，若在直线y=3x+b 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的“幂值”为6，请直接写出b 的取值范围_____．26．（12分）某市正在举行文化艺术节活动，一商店抓住商机，决定购进甲，乙两种艺术节纪念品．若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品3件，需要550元，若购进甲种纪念品5件，乙种纪念品6件，需要800元．（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共80件，其中甲种纪念品的数量不少于60件．考虑到资金周转，用于购买这80件纪念品的资金不能超过7100元，那么该商店共有几种进货方案7（3）若销售每件甲种纪含晶可获利润20元，每件乙种纪念品可获利润30元．在（2）中的各种进货方案中，若全部销售完，哪一种方案获利最大？最大利利润多少元？ 27．（12分）先化简代数式211a a a a a +⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再从﹣1，0，3中选择一个合适的a 的值代入求值． 参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．B 【解析】∵函数图象的对称轴为：x=-2b a =132-+=1，∴b=﹣2a ，即2a+b=0，①正确； 由图象可知，当﹣1＜x ＜3时，y ＜0，②错误； 由图象可知，当x=1时，y=0，∴a ﹣b+c=0， ∵b=﹣2a ，∴3a+c=0，③正确；∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，∴若（x 1，y 1）、（x 2，y 2）在函数图象上，当1＜x 1＜x 2时，y 1＜y 2；当x 1＜x 2＜1时，y 1＞y 2； 故④错误； 故选B ．点睛：本题主要考查二次函数的相关知识，解题的关键是：由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理． 2．A 【解析】 【分析】根据平行线的性质及圆周角定理的推论得出点M 的轨迹是以EF 为直径的半圆，进而求出半径即可得出答案，注意分两种情况讨论． 【详解】当点D 与B 重合时，M 与F 重合，当点D 与A 重合时，M 与E 重合，连接BD ，FM ，AD ，EM ， ∵2,33CF CM CE EF AB BC CD CA AB ===== ∴//,//,2FM BD EM AD EF =,FMC BDC CME CDA ∴∠=∠∠=∠∵AB 是直径90BDA ∴∠=︒即90BDC CDA ∠+∠=︒ ∴90FMC CME ∠+∠=︒∴点M 的轨迹是以EF 为直径的半圆， ∵2EF =∴以EF 为直径的圆的半径为1 ∴点M 运动的路径长为1801=180ππg g 当1'3CM CD =时，同理可得点M 运动的路径长为12π故选：A ． 【点睛】本题主要考查动点的运动轨迹，掌握圆周角定理的推论，平行线的性质和弧长公式是解题的关键． 3．C 【解析】 【分析】根据图象起始位置猜想点B 或F 为起点，则可以判断①正确，④错误．结合图象判断3≤t≤4图象的对称性可以判断②正确．结合图象易得③正确． 【详解】解：由图象可知，机器人距离点A1个单位长度，可能在F 或B 点，则正六边形边长为1．故①正确；观察图象t 在3－4之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB 或OF 上，则当t ＝3时，机器人距离点A 距离为1个单位长度，机器人一定位于点O ，故②正确； 所有点中，只有点D 到A 距离为2个单位，故③正确；因为机器人可能在F 点或B 点出发，当从B 出发时，不经过点E ，故④错误． 故选：C ． 【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，解答时要注意动点到达临界前后时图象的变化趋势． 4．A 【解析】 【分析】根据任何一个一次函数都可以化为一个二元一次方程，再根据两个函数交点坐标就是二元一次方程组的解可直接得到答案． 【详解】解：∵直线y 1=k 1x+b 1与y 2=k 2x+b 2的交点坐标为（2，4）， ∴二元一次方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,4.x y =⎧⎨=⎩ 故选A. 【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 5．B 【解析】 【分析】先计算括号内分式的加法、将除式分子因式分解，再将除法转化为乘法，约分即可得． 【详解】解：原式=（x x -1x ）÷()2x 1x-=x 1x -•()2x x 1-=1x 1-， 故选B ． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 6．D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将499.5亿用科学记数法表示为：4.995×1．故选D．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．B【解析】【分析】根据正比例函数定义可得m2-3=1，再根据正比例函数的性质可得m+1＜0，再解即可．【详解】由题意得：m2-3=1，且m+1＜0，解得：m=-2，故选：B．【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质和定义，关键是掌握正比例函数y=kx（k≠0）的自变量指数为1，当k ＜0时，y随x的增大而减小．8．D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理,当AD AEDB EC=或AD AEAB AC=时,DE BDP,然后可对各选项进行判断.【详解】解：当AD AEDB EC=或AD AEAB AC=时,DE BDP,即23AEEC=或25AEAC=.所以D选项是正确的.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理.9．C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象找出a 、b 、c 的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论． 【详解】解：观察二次函数图象可知： 开口向上，a ＞1；对称轴大于1，2ba-＞1，b ＜1；二次函数图象与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞1． ∵反比例函数中k ＝﹣a ＜1，∴反比例函数图象在第二、四象限内； ∵一次函数y ＝bx ﹣c 中，b ＜1，﹣c ＜1， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限． 故选C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、反比例函数的图象以及一次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出a 、b 、c 的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象找出a 、b 、c 的正负，再结合反比例函数、一次函数系数与图象的关系即可得出结论． 10．A 【解析】【分析】根据一次函数性质：y kx b =+中，当k>0时，y 随x 的增大而增大；当k<0时，y 随x 的增大而减小.由-2<0得，当x 12时，y 1>y 2.【详解】因为，点A(1，a)和点B(4，b)在直线y ＝－2x ＋m 上，-2<0, 所以，y 随x 的增大而减小. 因为，1<4, 所以，a>b. 故选A【点睛】本题考核知识点：一次函数性质. 解题关键点:判断一次函数y kx b =+中y 与x 的大小关系，关键看k 的符号. 11．D 【解析】 【分析】过F 作FH ⊥AE 于H,根据矩形的性质得到AB=CD,AB//CD,推出四边形AECF 是平行四边形,根据平行四边形的性质得到AF=CE,根据相 似三角形的性质得到AE ADAF FH=,于是得到AE=AF,列方程即可得到结论. 【详解】解：如图：解:过F 作FH ⊥AE 于H,Q 四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD,AB ∥CD,Q AE//CF, ∴四边形AECF 是平行四边形,∴AF=CE,∴DE=BF,∴AF=3-DE,∴24DE +Q ∠FHA=∠D=∠DAF=90o ,∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90, ∴∠DAE=∠AFH,∴△ADE~△AFH, ∴AE AD AF FH= ∴AE=AF, ∴243DE DE +=-,∴DE=56, 故选D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及三角形相似，做合适的辅助线是解本题的关键.12．B【解析】【分析】 由已知可得：2,(12)(12)1m n mn +==+-=-223m n mn +-2()5m n mn +-【详解】 由已知可得：2,(12)(12)1m n mn +==+-=-，原式22()525(1)93m n mn +-=-⨯-==故选：B【点睛】考核知识点：二次根式运算.配方是关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）【分析】首先设半圆的圆心为O ，连接OE ，OA ，由题意易得AC 是线段OB 的垂直平分线，即可求得∠AOC ＝∠ABC ＝60°，又由AE 是切线，易证得Rt △AOE ≌Rt △AOC ，继而求得∠AOE 的度数，则可求得答案．【详解】设半圆的圆心为O ，连接OE ，OA ，∵CD ＝2OC ＝2BC ，∴OC ＝BC ，∵∠ACB ＝90°，即AC ⊥OB ，∴OA ＝BA ，∴∠AOC ＝∠ABC ，∵∠BAC ＝30°，∴∠AOC ＝∠ABC ＝60°，∵AE 是切线，∴∠AEO ＝90°，∴∠AEO ＝∠ACO ＝90°，∵在Rt △AOE 和Rt △AOC 中，AO AO OE OC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △AOE ≌Rt △AOC(HL)，∴∠AOE ＝∠AOC ＝60°，∴∠EOD ＝180°﹣∠AOE ﹣∠AOC ＝60°，∴点E 所对应的量角器上的刻度数是60°，故答案为：60.【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．14．一根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=（-2）2-4m×（-1）＜0，所以m＜-1，然后根据一次函数的性质判断一次函数y=mx+m的图象所在的象限即可．【详解】∵关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0无实数根，∴m≠0且△=（-2）2-4m×（-1）＜0，∴m＜-1，∴一次函数y=mx+m的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故答案为一．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．15．1【解析】【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长.【详解】试题解析：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=1cm．故填1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.16．3或1【解析】【分析】菱形ABCD中，边长为1，对角线AC长为6，由菱形的性质及勾股定理可得AC⊥BD，BO=4，分当点E 在对角线交点左侧时（如图1）和当点E在对角线交点左侧时（如图2）两种情况求BE得长即可．【详解】解：当点E在对角线交点左侧时，如图1所示：∵菱形ABCD中，边长为1，对角线AC长为6，∴AC⊥BD，BO=222253AB AO-=-=4，∵tan∠EAC=133OE OEOA==，解得：OE=1，∴BE=BO﹣OE=4﹣1=3，当点E在对角线交点左侧时，如图2所示：∵菱形ABCD中，边长为1，对角线AC长为6，∴AC⊥BD，222253AB AO-=-，∵tan∠EAC=133OE OEOA==，解得：OE=1，∴BE=BO﹣OE=4+1=1，故答案为3或1．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解决问题时要注意分当点E在对角线交点左侧时和当点E在对角线交点左侧时两种情况求BE得长．17．1【解析】试题解析：∵袋中装有6个黑球和n个白球，∴袋中一共有球（6+n）个，∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为34，∴63 64n=+，18．64.410【解析】试题分析：将4400000用科学记数法表示为：4.4×1．故答案为4.4×1．考点：科学记数法—表示较大的数．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）8，3；（2）144；（3）2 3 .【解析】试题分析：（1）利用航模小组先求出数据总数，再求出n .（2）小组所占圆心角=；（3）列表格求概率.试题解析：（1）；(2)；(3)将选航模项目的名男生编上号码，将名女生编上号码. 用表格列出所有可能出现的结果：由表格可知，共有种可能出现的结果，并且它们都是第可能的，其中“名男生、名女生”有种可能.(名男生、名女生).(如用树状图，酌情相应给分)考点：统计与概率的综合运用.20．（1）9；（2）11，12；（3）3360棵【解析】【分析】（1）30位同学的植树量中第15个、16个数都是9，即可得到植树的中位数；（2）根据频率相加得1确定频率正确，计算频数即可确定错误的数据是11，正确的硬是12；（3）样本数据应体现机会均等由此得到乙同学所抽取的样本更好，再根据部分计算总体的公式即可得到答案.【详解】（2）表2的最后两列中，错误的数据是11，正确的数据应该是30×0.4＝12；故答案为：11，12；（3）乙同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况，（3×6+6×7+3×8+12×9+6×10）÷30×400＝3360（棵），答：本次活动400位同学一共植树3360棵．【点睛】此题考查统计的计算，掌握中位数的计算方法，部分的频数的计算方法，依据样本计算总体的方法是解题的关键.21．(1) m≠1且m≠2-3;(2) m=-1或m=-2.【解析】【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，可得△＞1，列出关于m的不等式解之可得答案;(2) 解方程,得:12x=m，2x=-3，由m为整数,且方程的两个根均为负整数可得m的值. 【详解】解:(1) Q△=2b-4ac=(3m-2)2+24m=(3m+2)2≥1∴当m≠1且m≠2-3时,方程有两个不相等实数根.(2)解方程,得:12x=m，2x=-3，Q m为整数,且方程的两个根均为负整数,∴m=-1或m=-2.∴m=-1或m=-2时,此方程的两个根都为负整数【点睛】本题主要考查利用一元二次方程根的情况求参数.22．（1）AB长为5;（2）圆P与直线DC相切，理由详见解析.【解析】【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据矩形的性质得到CE=AD=1，AE=CD=3，根据勾股定理即可得到结论；（2）过P作PF⊥BQ于F，根据相似三角形的性质得到PB=259，得到PA=AB-PB=209，过P作PG⊥CD于G交AE于M，根据相似三角形的性质得到PM=169，根据切线的判定定理即可得到结论．【详解】则四边形AECD是矩形，∴CE=AD=1，AE=CD=3，∵AB=BC，∴BE=AB-1，在Rt△ABE中，∵AB2=AE2+BE2，∴AB2=32+（AB-1）2，解得：AB=5；（2）过P作PF⊥BQ于F，∴BF=12BQ=209，∴△PBF∽△ABE，∴PB BF AB BE=，∴20954 PB=，∴PB=259，∴PA=AB-PB=209，过P作PG⊥CD于G交AE于M，∴GM=AD=1，∵DC⊥BC∴PG∥BC∴△APM∽△ABE，∴AP PM AB BE=，∴20954PM=，∴PM=169，∴PG=PM+MG=259=PB，∴圆P与直线DC相切．本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（1）详见解析；（2）EF =【解析】【分析】（1）根据题意AB 平分BAD ∠可得90AGF AGD ∠=∠=︒，从而证明()FAG DAG ASA ∆≅∆即可解答 （2）由（1）可知6AF AD ==，再根据四边形ABCD 是平行四边形可得642BF AF AB =-=-=，过点F 作FH EB ⊥延长线于点H ，再根据勾股定理即可解答【详解】（1）证明：Q AB 平分BAD ∠FAG DAG ∴∠=∠DG AE ⊥Q90AGF AGD ∴∠=∠=︒又AG AG =Q()FAG DAG ASA ∴∆≅∆GF GD ∴=又DF AE ⊥QEF ED ∴=（2）FAG DAG ∆≅∆Q6AF AD ∴==Q 四边形ABCD 是平行四边形//AD BC ∴，6BC AD ==180********BAD ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒1602FAE BAD ∴∠=∠=︒ 60FAE B ∴∠=∠=︒ ABE ∴∆为等边三角形624AB AE BE BC CE ∴===-=-=642BF AF AB =-=-=过点F 作FH EB ⊥延长线于点H .在Rt BFH ∆中，60HBF ABC ∠=∠=︒30HFB ∴∠=︒112BH BF ∴== 2222213HF BF BH =--=415EH BE BH =+=+= ()22223527EF FH EH =+=+=【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解题关键在于作好辅助线 24．（1）购进A 种树苗1棵，B 种树苗2棵（2）购进A 种树苗9棵，B 种树苗8棵，这时所需费用为1200元【解析】【分析】（1）设购进A 种树苗x 棵，则购进B 种树苗（12﹣x ）棵，利用购进A 、B 两种树苗刚好用去1220元，结合单价，得出等式方程求出即可；（2）结合（1）的解和购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，可找出方案.【详解】解：（1）设购进A 种树苗x 棵，则购进B 种树苗（12﹣x ）棵，根据题意得：80x+60（12﹣x ）=1220，解得：x=1．∴12﹣x=2．答：购进A 种树苗1棵，B 种树苗2棵．（2）设购进A 种树苗x 棵，则购进B 种树苗（12﹣x ）棵，根据题意得：12﹣x ＜x ，解得：x ＞8.3．∵购进A 、B 两种树苗所需费用为80x+60（12﹣x ）=20x+120，是x 的增函数，∴费用最省需x 取最小整数9，此时12﹣x=8，所需费用为20×9+120=1200（元）．答：费用最省方案为：购进A 种树苗9棵，B 种树苗8棵，这时所需费用为1200元．25．（1）①20；②当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”为定值，证明见解析；（2）点P 关于⊙O 的“幂值”为r 2﹣d 2；（3）﹣33.【解析】角形，然后依据勾股定理可求得PB的长，然后依据幂值的定义求解即可；②过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′．先证明△APA′∽△B′PB，依据相似三角形的性质得到PA•PB=PA′•PB′从而得出结论；（2）连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点．由等腰三角形三线合一的性质可知AP=PB，然后在Rt△APO中，依据勾股定理可知AP2=OA2-OP2，然后将d、r代入可得到问题的答案；（3）过点C作CP⊥AB，先求得OP的解析式，然后由直线AB和OP的解析式，得到点P的坐标，然后由题意圆的幂值为6，半径为1可求得d的值，再结合两点间的距离公式可得到关于b的方程，从而可求得b的极值，据此即可确定出b的取值范围．【详解】（1）①如图1所示：连接OA、OB、OP，∵OA=OB，P为AB的中点，∴OP⊥AB，∵在△PBO中，由勾股定理得：PB=222OB OP64-=-=25，∴PA=PB=25，∴⊙O的“幂值”=25×25=20，故答案为：20；②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值，证明如下：如图，AB为⊙O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直，过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′，∵在⊙O中，∠AA′P=∠B′BP，∠APA′=∠BPB′，∴△APA′∽△B′PB，∴PA PA='，∴PA•PB=PA′•PB′=20，∴当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值；（2）如图3所示；连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点，∵AO=OB，PO⊥AB，∴AP=PB，∴点P关于⊙O的“幂值”=AP•PB=PA2，在Rt△APO中，AP2=OA2﹣OP2=r2﹣d2，∴关于⊙O的“幂值”=r2﹣d2，故答案为：点P关于⊙O的“幂值”为r2﹣d2；（3）如图1所示：过点C作CP⊥AB，，∵CP⊥AB，AB的解析式为3，∴直线CP的解析式为y=33联立AB与CP，得33333y x by x⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，∴点P的坐标为（﹣34﹣3314b），∵点P关于⊙C的“幂值”为6，∴r2﹣d2=6，∴d2=3，即（﹣343）2+（314b）2=3，整理得：b23b﹣9=0，解得b=﹣33或b=3，∴b的取值范围是﹣33≤b≤3，故答案为：﹣33≤b≤3.【点睛】本题综合性质较强，考查了新定义题，解答过程中涉及到了幂值的定义、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定、一次函数的交点问题、两点间的距离公式等，依据两点间的距离公式列出关于b的方程，从而求得b的极值是解题的关键．26．（1）购进甲种纪念品每件需100元，购进乙种纪念品每件需50元．（2）有三种进货方案．方案一：甲种纪念品60件，乙种纪念品20件；方案二：甲种纪念品61件，乙种纪念品19件；方案三：甲种纪念品1件，乙种纪念品18件．（3）若全部销售完，方案一获利最大，最大利润是1800元．【解析】分析：（1）设购进甲种纪念品每件价格为x元，乙种纪念币每件价格为y元，根据题意得出关于x和y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）设购进甲种纪念品a件，根据题意列出关于x的一元一次不等式，解不等式得出a的取值范围，即可得出结论；（3）找出总利润关于购买甲种纪念品a件的函数关系式，由函数的增减性确定总利润取最值时a的值，从而得出结论．详解：（1）设购进甲种纪念品每件需x元，购进乙种纪念品每件需y元．由题意得：，解得：答：购进甲种纪念品每件需100元，购进乙种纪念品每件需50元．（2）设购进甲种纪念品a（a≥60）件，则购进乙种纪念品（80﹣a）件．由题意得：100a+50（80﹣a）≤7100解得a≤1又a≥60所以a可取60、61、1．即有三种进货方案．方案一：甲种纪念品60件，乙种纪念品20件；方案二：甲种纪念品61件，乙种纪念品19件；方案三：甲种纪念品1件，乙种纪念品18件．（3）设利润为W，则W=20a+30（80﹣a）=﹣10a+2400所以W是a的一次函数，﹣10＜0，W随a的增大而减小．所以当a最小时，W最大．此时W=﹣10×60+2400=1800答：若全部销售完，方案一获利最大，最大利润是1800元．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找到相应的数量关系是解决问题的关键，注意第二问应求整数解，要求学生能够运用所学知识解决实际问题.27．11 aa+-,1【解析】【分析】先通分得到22211a a aa a⎛⎫⎛⎫++-÷⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据平方差公式和完全平方公式得到2(1)(1)(1)aa a aa+⨯+-，化简后代入a＝3，计算即可得到答案. 【详解】原式＝22211a a aa a⎛⎫⎛⎫++-÷⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2(1)(1)(1)aa a aa+⨯+-＝11aa+-，当a＝3时（a≠﹣1，0），原式＝1．【点睛】本题考查代数式的化简、平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握代数式的化简、平方差公式和完全平方公式.。
2020年北京市平谷区中考数学二模试卷 (含解析)
2020年北京市平谷区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列标志中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是()A. a>−4B. bd>0C. |a|>|b|D. b+c>03.目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，国产芯片的最小工艺水平理论上是12纳米，已知1纳米=10−9米，用科学记数法将12纳米表示为()米．A. 12×10−9B. 1.2×10−10C. 1.2×10−8D. 0.12×10−84.下列四个几何体中，主视图为圆的是()A. B. C. D.5.如果m+n=1，那么代数式(2m+nm2−mn +1m)⋅(m2−n2)的值为()A. −3B. −1C. 1D. 36.正十边形的每个外角等于()A. 18°B. 36°C. 45°D. 60°7.甲、乙两名运动员参加了射击预选赛，他们的射击成绩(单位：环)如下表所示第一次第二次第三次第四次第五次甲798610乙78988设甲、乙两人成绩的平均数分别为x甲，x乙，方差分别为s2甲，s2乙，下列关系正确的是()A. ，s2甲>s2乙B. ，s2甲<s2乙C. x甲>x乙，s2甲>s2乙D. x甲<x乙，s2甲<s2乙8.学校组织领导、教师、学生、家长等代表对教师的教学质量进行综合评分，满分为100分．张老师的得分情况如下：领导代表给分80分，教师代表给分76分，学生代表给分90分，家长代表给分84分．如果按照1：2：4：1的权重进行计算，张老师的综合评分为()A. 84.5分B. 83.5分C. 85.5分D. 86.5分二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.因式分解：3x2y−27y=______．10.如图所示的网格是正方形网格，∠APB=______°．11.使根式√3−x有意义的x的取值范围是______．12.如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为______ ．13.写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式______.(写出一个即可)(1)y随x的增大而减小；(2)图象经过点(1,0)．14.用一组a，b，c的值说明命题“若ac=bc，则a=b”是错误的，这组值可以是a=______．15.用8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，每个长方形的长和宽如图所示，则可列出关于x，y的二元一次方程组为__________________．16.为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的收费标准如下表：小周要到离家10公里的博物馆参观，如果他乘坐纯电动出租车，那么需付车费______元． 三、计算题（本大题共1小题，共5.0分） 17. 解不等式组{3x +1<x −31+x 2≤1+2x 3+1四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18. 计算：√8−2sin30°−|1−√2|+(12)−2−(π−2020)0．19. 如图，△ABC 内接于⊙O ，请用直尺和圆规按要求作图(保留作图痕迹)(1)在图1中画出一个圆心角，所作角的度数是∠ACB的2倍．(2)在图2中画出一个圆周角，所作角的度数是∠ACB的2倍．20.关于x的一元二次方程x2−(2k−1)x+k2−1=0，其中k<0．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)当k=−1时，求该方程的根．21.如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF，求证：(1)△ADE≌CDF；(2)∠BEF=∠BFE.22.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，以AE为直径作⊙O．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若AC=3，BC=4，求tan∠EDB的值．(k≠0)的图象交于点A(−3,a)和23.在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+4与反比例函数y=kx点B．(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；<2x+4的解集．(2)直接写出不等式kx24.为了解某校九年级学生今年中考立定跳远成绩，随机抽取该年级50名男学生的得分，并把成绩(单位：m)绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．学生立定跳远测试成绩的频数分布直方图学生立定跳远测试成绩的频数分布表请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：(1)表中a=______，b=______，样本成绩的中位数落在______范围内；(2)请把频数分布直方图补充完整；(3)该校九年级共有400名男生，立定跳远成绩不低于2.25米为优秀，估计该校男学生中考立定跳远成绩优秀以上的学生有多少人？25.如图，在△ABC中，∠C=60°，BC=3厘米，AC=4厘米，点P从点B出发，沿B→C→A以每秒1厘米的速度匀速运动到点A.设点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：经测量m的值是______(保留一位小数)．(2)建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在△ABC中画出点P所在的位置．26.已知：关于x的方程x2−(m+2)x+m+1=0．(1)求证：该方程总有实数根；(2)若二次函数y=x2−(m+2)x+m+1(m>0)与x轴交点为A，B(点A在点B的左边)，且两交点间的距离是2，求二次函数的表达式；(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在(2)的条件下，垂直于y轴的直线y=n与抛物线交于点E，F.若抛物线在点E，F之间的部分与线段EF所围成的区域内(包括边界)恰有7个整点，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．27.如图1，△CEF的顶点C、E、F分别与正方形ABCD的顶点C、A、B重合．(1)若正方形的边长为a，用含a的代数式表示正方形ABCD的周长等于，△CEF的面积等于；(2)如图2，将△CEF绕点C顺时针旋转，边CE和正方形的边AD交于点P，连结AF沿旋转角C连结AE，设旋转角∠BCF=β．①试说明∠ACF=∠DCE．②若△AEP有一个内角等于60°，求β的值．28.如图，⊙O与直线MN相切于点A，点B是圆上异于点A的一点，∠BAN的平分线与⊙O交于点C，连接BC．(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)①若∠CAN=15°，⊙O的半径为2√3，则AB=______；②当∠CAN=______时，四边形OACB为菱形．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意．故选D．2.答案：C解析：本题考查了实数与数轴、绝对值的性质．根据数轴上点的位置关系，可得a，b，c，d的大小，根据实数的运算，绝对值的性质，可得答案．解：由数轴上点的位置，得：a<−4<b<−1<0<c<1<d．A.a<−4，故A不符合题意；B.bd<0，故B不符合题意；C.|a|>|b|，故C符合题意；D.b+c<0，故D不符合题意．故选C．3.答案：C解析：解：∵1纳米=10−9米，∴12纳米表示为：12×10−9米=1.2×10−8米．故选：C．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4.答案：C解析：本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．分别分析四个选项的主视图，从而得出是圆的几何体．解：A、圆柱的主视图是矩形，不符合题意；B、圆锥的主视图是三角形，不符合题意；C、球的主视图是圆，符合题意；D、正方体的主视图是正方形，不符合题意．故选C．5.答案：D解析：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．解：原式=2m+n+m−nm(m−n)⋅(m+n)(m−n)=3mm(m−n)⋅(m+n)(m−n)=3(m+n)，当m+n=1时，原式=3．故选D．6.答案：B解析：本题考查了正多边形的外角和、边数、外角度数之间的关系，熟记正多边形三者之间的关系是解题的关键．根据正多边形的每一个外角等于多边形的外角和除以边数，计算即可得解．解：360°÷10=36°，所以，正十边形的每个外角等于36°．故选：B．7.答案：A解析：本题考查平均数和方差，掌握平均数和方差公式是解题的关键.根据平均数和方差的计算公式分别进行计算，再进行比较，即可得出答案．解：∵x甲=(7+9+8+6+10)÷5=8，x乙=(7+8+9+8+8)÷5=8，，，=0.4，∴s2甲>s2乙．故选：A．8.答案：A解析：解：张老师的综合评分为：80×1+76×2+90×4+84×11+2+4+1=84.5，故选：A．先根据加权平均数的公式列出算式，再进行计算即可．此题考查了加权平均数，解题的关键是根据加权平均数的公式列出算式，求出答案，是一道基础题．9.答案：3y(x+3)(x−3)解析：解：原式=3y(x2−9)=3y(x+3)(x−3)，故答案为：3y(x+3)(x−3)．首先提取公因式3y，再利用平方差进行二次分解即可．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10.答案：135解析：解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2=BD2=12+22=5，PB2=12+32=10，∴PD2+DB2=PB2，∴∠PDB=90°，∴∠DPB=45°，∴∠APB=135°．故答案为：135．延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到∠PDB=90°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11.答案：x≤3解析：解：根据题意得，3−x≥0，解得x≤3．故答案为：x≤3．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12.答案：10解析：解：过点A作AF⊥BD于点F，∵△ABD的面积为16，BD=8，∴12BD⋅AF=12×8×AF=16，解得AF=4，∵AE//BD，∴AF的长是△ACE的高，∴S△ACE=12×AE×4=12×5×4=10．故答案为：10．过点A作AF⊥BD于点F，由△ABD的面积为16可求出AF的长，再由AE//BD可知AF为△ACE的高，由三角形的面积公式即可得出结论．本题考查的是平行线间的距离及三角形的面积公式，熟知两平行线间的距离相等是解答此题的关键．13.答案：y=−x+1解析：解：设一次函数解析式为y=kx+b，由于y随x的增大而减小，则可设k=−1，所以y=−x+b，把(1,0)代入得−1+b=0，解得b=1，所以满足条件的一次函数解析式可为y=−x+1．故答案为：y=−x+1．设一次函数解析式为y=kx+b，根据一次函数的性质可设k=−1，然后把(1,0)代入y=−x+b求出对应的b的值即可．本题考查了一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于(0,b)，当b>0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，(0,b)在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．14.答案：−1(答案不唯一)解析：根据题意选择a 、b 、c 的值即可．本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．解：当c =0，a =−1，b =−2，所以ac =bc ，但a ≠b ，故答案为：−1(答案不唯一)15.答案：{x =3yx +y =24解析：此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，从题中所给的已知量24cm 入手，找到两个等量关系是解题的关键．解：由图示可得，x +y =24且2x =3y +x ，所以关于x ，y 的二元一次方程组为{x =3y x +y =24． 故答案为{x =3y x +y =24．16.答案：24解析：解：根据题意，知他乘坐纯电动出租车需付车费10+(10−3)×2=24(元)，故答案为：24．先根据表格中分段计费方法列出算式，再根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得．本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，列出算式，并熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．17.答案：解：由不等式3x +1<x −3得：x <−2，由不等式1+x 2≤1+2x 3+1，得：x ≥−5，所以原不等式组的解集是：−5≤x <−2．解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．−(√2−1)+4−118.答案：解：原式=2√2−2×12=2√2−1−√2+1+4−1=√2+3．解析：本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握二次根式和绝对值的性质、熟记特殊锐角三角函数值、负整数指数幂与零指数幂的规定．先化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．19.答案：解：(1)如图：∠AOB是所求作的角；(2)如图2，作AD⏜=AB⏜，连接CD，∠BCD是所求作的角．或如图3，作BD⏜=AB⏜，连接CD，∠ACD是所求作的角．解析：本题主要考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，属于基础题．(1)根据圆周角定理，连接OA，OB，则∠AOB=2∠ACB；(2)作AD⏜=AB⏜，连接CD，则∠BCD=2∠BCA．或者作BD⏜=AB⏜，连接CD，则∠ACD=2∠BCA．20.答案：解：(1)依题意可知，△=(2k−1)2−4(k2−1)=5−4k，∵k<0，∴△>0．∴方程有两个不相等的实数根．(2)当k=−1时，方程为x2+3x=0．解得x1=−3，x2=0．解析：(1)利用一元二次方程根的判别式就可以证明结论；(2)把k=−1代入原方程即可得到结论．本题考查了一元二次方程的解及根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．21.答案：(1)证明：在△ADE和△CDF，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠A=∠C，又∵∠DFC=∠DEA=90°，∴△ADE≌△CDF(AAS)；(2)证明：由△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴△DEF是等腰三角形，∴∠DEF=∠DFE，又∵∠DFB=∠DEB=90°，∴∠BEF=∠BFE．解析：本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质以及等腰三角形的有关知识．(1)利用菱形的性质得到AD=CD，∠A=∠C，进而利用AAS证明两三角形全等；(2)根据△ADE≌△CDF得到DE=DF，结合等腰三角形的性质即可得到结论．22.答案：(1)证明：连接OD，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵OA =OD ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴OD//AC ，∵AC ⊥BC ，∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt △ACB 中，AB =√32+42=5，设⊙O 的半径为r ，则OA =OD =r ，OB =5−r ，∵OD//AC ，∴△BDO∽△BCA ，∴OD ：AC =BO ：BA ，即r ：3=(5−r)：5，解得r =158， ∴OD =158，OB =258，在Rt △ODB 中，BD =√OB 2−OD 2=52，∴CD =BC −BD =32， 在Rt △ACD 中，tan∠1=CD AC =323=12， ∵AE 为直径，∴∠ADE =90°，∴∠EDB +∠ADC =90°，∵∠1+∠ADC =90°，∴∠1=∠EDB ，∴tan∠EDB =12．解析：(1)连接OD ，如图，先证明OD//AC ，再利用AC ⊥BC 得到OD ⊥BC ，然后根据切线的判定定理得到结论；(2)先利用勾股定理计算出AB =5，设⊙O 的半径为r ，则OA =OD =r ，OB =5−r ，再证明△BDO∽△BCA ，利用相似比得到r ：3=(5−r)：5，解得r =158，接着利用勾股定理计算BD =52，则CD =32，利用正切定理得tan∠1=12，然后证明∠1=∠EDB ，从而得到tan∠EDB 的值．本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．23.答案：解：(1)∵点A(−3,a)在直线y =2x +4上，∴−6+4=a ，解得a =−2，∴点A(−3,−2)．∵A(−3,−2)在反比例函数y =k x 的图象上，∴k =6，∴反比例函数的表达式是y =6x ；由{y =6x y =2x +4，解得{x 1=−3y 1=−2或{x 2=1y 2=6， ∴B(1,6)；(2)结合图像可知：−3<x <0或x >1．解析：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式；熟练掌握待定系数法求直线解析式是解决问题的关键．(1)由点A 在直线y =2x +4上，即可求出a 的值，从而可得点A 的坐标，根据点A 在反比例函数y =k x的图象上，即可求出反比例函数的解析式，然后将一次函数与反比例函数联立方程组，解方程组即可求出点B 的坐标；(2)根据一次函数y=2x+4与反比例函数y=6的交点坐标即可得不等式的解集．x24.答案：(1)1，25，2.25≤x<2.5；(2)补充完整的频数分布直方图如图所示：(3)400×25+15=320(人)，50答：估计该校男学生中考立定跳远成绩优秀以上的学生有320人．解析：本题考查频数分布表、频数分布直方图、中位数、用样本估计总体．(1)根据频数分布直方图可以求得a的值，进而可以求得b的值和样本成绩的中位数落在哪一组内；(2)根据(1)中的结果可以将频数分布直方图补充完整；(3)根据频数分布表中的数据可以求得该校男学生中考立定跳远成绩优秀以上的学生有多少人．解：(1)由频数分布直方图可知，a=1，b=50−1−9−15=25，样本成绩的中位数落在2.25≤x<2.5范围内，故答案为：1，25，2.25≤x<2.5；(2)见答案；(3)见答案．25.答案：(1)3.0(2)描点、连线，画出图象，如图1所示．(3)在曲线部分的最低点时，BP⊥AC，如图2所示．解析：(1)经过测量可找出BP的长(利用等边三角形的判定定理可得出：当t=6时，△BCP为等边三角形)；解：(1)经测量，当t=6时，BP=3.0．(当t=6时，CP=6−BC=3，∴BC=CP．∵∠C=60°，∴当t=6时，△BCP为等边三角形．)故答案为：3.0．(2)描点、连线，画出函数图象；(3)由点到直线之间垂线段最短，可得出：在曲线部分的最低点时，BP⊥AC，依此即可画出图形．本题考查了动点问题的函数图象、等边三角形的判定、函数图象及垂直．26.答案：解：(1)∵△=(m+2)2−4(m+1)=m2≥0，∴不论m取何值，该方程总有实数根；(2)由题意可知：y=x2−(m+2)x+m+1=(x−1)(x−m−1)，∴A(1,0)，B(m+1,0)．∵两交点间距离为2，∴m+1−1=2．∴m=2．∴y=x2−4x+3；(3)如图所示，n的取值范围是：1≤n<2．解析：本题考查了二次函数综合题，需要掌握抛物线与x轴的交点、抛物线解析式的三种形式间的转化、抛物线解析式与一元二次方程的转化等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．(1)根据关于x的方程x2−(m+2)x+m+1=0判别式的符号进行证明；(2)将已知函数解析式转化为两点式方程，求得点A、B的横坐标，然后结合已知条件求得m的值即可；(3)根据题意作出图形，结合图形直接写出n的取值范围．a2；27.答案：(1)4a；12(2)①四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=∠ACD=45°=∠DAC，∵将△CEF绕点C顺时针旋转，∴∠BCF=∠ACE=β，AC=CE，∴∠ACF=∠DCE；②若∠APE=60°，∴∠ACE=∠APE−∠DAC=60°−45°=15°，∴∠BCF=β=15°；若∠AEP=60°，且AC=EC，∴△AEC是等边三角形，∴∠ACE=60°，∴∠BCF=β=60°；若∠EAP=60°，∴∠EAC=105°，且AC=CE，∴∠EAC=∠AEC=105°∴∠EAC+∠AEC+∠ACE>180°，∴不合题意舍去．综上，β=15°或60°．解析：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．(1)由正方形的性质和三角形面积公式可求解；(2)①由正方形的性质可得∠ACB=∠ACD=45°，由旋转的性质可得∠BCF=∠ACE，即可得结论；②分三种情况讨论，由三角形内角和定理可求解．解：(1)∵正方形的边长为a，a2，∴正方形ABCD的周长=4a，△CEF的面积12a2；故答案为4a；12(2)①②见答案．28.答案：证明：(1)如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，∵MN是⊙O的切线，∴∠DAN=90°，∴∠DAC+∠CAN=90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ADC+∠DAC=90°，∴∠CAN=∠ADC，∵∠ADC=∠B，∵AC是∠BAN的角平分线，∴∠CAN=∠CAB，∴∠CAB=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形；(2)2√3(3)30°解析：解：(1)见答案(2)①如图2，连接OA，∵MN是⊙O的切线，∴∠OAN=90°∵AC是∠BAN的角平分线，∠CAN=15°，∴∠BAN=2∠CAN=30°，∴∠OAB=60°，∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=2√3，故答案为2√3；②如图3，连接OC，∴OA=OC，∵四边形OACB是菱形，∴OA=AC，∴OA=AC=OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠OAC=60°，∴∠CAN=90°−60°=30°，故答案为：30°．(1)先利用切线的性质判断出∠CAN+∠CAD=90°，再判断出∠CAD+∠ADC=90°，得出∠CAN=∠ADC，进而得出∠CAN=∠B，即可得出结论；(2)①先求出∠BAN=30°，进而判断出△AOC是等边三角形即可得出结论；②先判断出△AOC是等边三角形，进而求出∠OAC=60°，得出∠BAN=30°，即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，作出辅助线是解本题的关键．。
2020北京各区初三二模数学分类汇编—逻辑推理与尺规作图含答案
2020北京各区初三二模数学分类汇编—逻辑推理与尺规作图一、逻辑推理1.（2020▪西城初三二模）张老师将自己2019年10月至2020年5月的通话时长（单位：分钟）的有关数据整理如下：① 2019年10月至2020年3月通话时长统计表根据以上信息，推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为（）（A）550 （B）580 （C）610 （D）6302.（2020▪东城初三二模）五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数．得到五个数据，并对数据进行整理和分析，给出如下信息：A.可能会有学生投中了8个B.五个数据之和的最大值可能为30C.五个数据之和的最小值可能为20D.平均数m一定满足4.2≤m≤5.8之间3.（2020▪东城初三二模）某快餐店外卖促销，佳佳和点点想点外卖，每单需支付送餐费5元，每种餐食外卖价格如下表：（1）汉堡套餐5折优惠，每单仅限一套；（2）全部商品（包括打折套餐）满20元减4元，满40元减10元，满60元减15元，满80元减20元.佳佳想要汉堡套餐、鸡翅、冰激凌、蔬菜沙拉各一份；点点想要汉堡套餐、鸡块、冰激凌各一份，若他们把想要的都买全，最少要花_______元（含送餐费）.4.（2020▪朝阳初三二模）在一次生活垃圾分类知识竞赛中,某校七、八年级各有100名学生参加,已知七年级男生成绩的优秀率为40%,女生成绩的优秀率为60%；八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%.对于此次竞赛的成绩,下面有三个推断:①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率.所有合理推断的序号是（）（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③5.（2020▪丰台初三二模）小志自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有盒装草莓、荔枝、山竹，价格依次为40元/盒、60元/盒、80元/盒．为增加销量，小志对这三种水果进行网上促销：一次性购买水果的总价超过100元时，超过．．的部分打5折，每笔订单限购3盒．顾客支付成功后，小志会得到支付款的80%作为货款．（1）顾客一笔订单购买了草莓、荔枝、山竹各一盒，小志收到的货款是______元；（2）小志在两笔．．订单中共售出原价180元的水果，那么他收到的货款最少．．是_______元．6.（2020▪顺义初三二模）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12 、宽为6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n=14．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n=14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n=13．2甲、乙、丙的思路和结果均正确的是_________．7.（2020▪燕山初三二模）“实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客户分为A，B两组，从A，B组各抽取10位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”数据整理成下图，其中“⊙”表示A组的客户，“*”表示B组的客户．/岁下列推断不正确的是( )A．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B组B．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于B组C．A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B组D．这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在B组8.（2020▪燕山初三二模）四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点．有下列四个推断，①对于任意四边形ABCD，四边形MNPQ都是平行四边形；②若四边形ABCD是平行四边形，则MP与NQ交于点O；③若四边形ABCD是矩形，则四边形MNPQ也是矩形；④若四边形MNPQ是正方形，则四边形ABCD也一定是正方形．所有正确推断的序号是_________．9.（2020▪平谷初三二模）如图,是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果网状图，以O 为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足,观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强； ②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；③与甲相比，乙需要加强与他人的沟通和合作能力； ④乙的综合评分比甲要高. 其中合理的是( ) （A ）①③（B ）②④（C ）①②③ (D)①②③④10.（2020▪门头沟初三二模）如图，动点P 在平面直角坐标系xOy 中，按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，2），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，1），第4次接着运动到点（4，0），……，按这样的运动规律，经过第27次运动后，动点P 的坐标是（ ）A ．（26，0）B ．（26，1）C ．（27，1）D ．（27，2） 二、尺规作图11.（2020▪海淀初三二模）下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程.已知：直线l 及直线l 外一点P . 求作：直线PQ ，使得PQ//l.lP12.（2020▪西城初三二模）下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程： 已知：△ABC .求作：点D ，使得点D 在BC 边上，且到AB ，AC 边的距离相等.13.（2020▪燕山初三二模）如图，△ABC 中，AB ＝BC ，CD ⊥AB 于点D ，∠BAC 的平分线AE 交BC 于点E ． (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2) 求证：∠BCD ＝∠CAE ．14.（2020▪房山初三二模）下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A ．求作：∠A ，使得∠A ＝30°．作法：如图， （1）作射线AB ；（2）在射线AB 上取一点O ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线AB 相交于点C ；BD EABA（3）以C 为圆心，OC 为半径作弧，与⊙O 交于点D ，作射线AD ． 则∠DAB 即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是_______15.（2020▪顺义初三二模）下面是小东设计的“以线段AB 为一条对角线作一个菱形”的尺规作图过程．已知：线段AB ．求作：菱形ACBD ．16.（2020▪密云初三二模）已知：点A 、点B 在直线MN 的两侧．（点A 到直线MN 的距离小于点B 到直线MN 的距离）． 如图，（1）作点B 关于直线MN 的对称点C ；（2）以点C 为圆心， 的长为半径作⊙C ，交BC 于点E ；（3）过点A 作⊙C 的切线，交⊙C 于点F ，交直线MN 于点P ； （4）连接PB 、PC ．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中： ①PE 是⊙C 的切线； ② PC 平分EF ； ③ PB=PC=PF ； ④ ∠APN=2∠BPN ． 所有正确结论的序号是___________．17.（2020▪丰台初三二模）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.已知：⊙O 和圆外一点P ． 求作：过点P 的⊙O 的切线．图1DC A BBC21作法：①连接OP；②以OP为直径作⊙M，交⊙O于点A，B；③作直线PA，PB；所以直线PA，PB为⊙O的切线.根据小文设计的作图过程，完成下面的证明.证明：连接OA，OB.∵OP为⊙E的直径，∴∠OAP=∠_____( )∴OA⊥AP ,______⊥BP.∵OA，OB为⊙O的半径，∴直线PA，PB为⊙O的切线.( )18.（2020▪平谷初三二模）下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l和直线外一点P．求作：过点P作直线l的平行线．作法：如图，①在直线l上任取点O；②作直线PO；③以点O为圆心OP长为半径画圆，交直线PO于点A，交直线l于点B；④连接AB，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交⊙O于点C(点A与点C不重合）；⑤作直线CP；则直线CP即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：连接BPP OBA∵AB=BC∴BC AB ⋂⋂=________________,..................................................3 又∵OB=OP ，_________________,..................................................4 ∴∠CPB=∠OBP ，∴CP ∥l （______________________）..................................................5 19.（2020▪东城初三二模）下面是“作一个45°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A ． 求作：∠A ，使得∠A =45°． 作法：如图， 1.作射线AB ；2.在射线AB 上取一点O ，以O 为圆心，OA 长为半径作圆，与射线AB 相交于点C ；3.分别以A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点D ，作射线OD 交O 于点E ； 4.作射线AE .则∠EAB 即为所求的角.（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹) （2）完成下面的证明. 证明: ∵AD=CD ，AO=CO ,∴∠AOE =∠________=________°.∴∠EAB =________.( )(填推理的依据)20.（2020▪朝阳初三二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.已知:直线l 及直线l 外一点P .求作:直线PQ ，使得//PQ l . 作法:如图，①任意取一点K ，使点K 和点P 在直线l 的两旁;②以P 为圆心，PK 长为半径画弧，交l 于点,A B ，连接AP ;③分别以点,P B 为圆心，以,AB PA 长为半径画弧，两弧相交于点Q (点Q 和点A 在直线PB 的两旁); ④作直线PQ .所以直线PQ 就是所求作的直线. 根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:连接BQ ,PQ =_______，BQ =______∴四边形PABQ 是平行四边形()(填推理依据)//PQ l ∴.21．（2020▪门头沟城初三二模）下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 和直线l 外一点P ． 求作：直线PQ ，使直线PQ ∥直线l ． 作法：如图2，图1lP①在直线l 上任取一点A ，作射线AP ；②以P 为圆心，PA 为半径作弧，交直线l 于点B ，连接PB ；③以P 为圆心，PB 长为半径作弧，交射线AP 于点 C ；分别以B ，C 为圆心，大于12BC 长为半径作弧，在AC 的右侧两弧交于点Q ； ④作直线PQ ；所以直线PQ 就是所求作的直线． 根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明：证明：由作图可知PQ 平分∠CPB ， ∴∠CPQ =∠BPQ =12∠CPB ． 又∵PA=PB ，∴∠PAB=∠PBA ．（ ）（填依据1）． ∵∠CPB=∠PAB +∠PBA ， ∴∠PAB=∠PBA =12∠CPB ． ∴∠CPQ =∠PAB ．∴直线PQ ∥直线l ．（ ）（填依据2）图2l2020北京各区初三二模数学分类汇编—逻辑推理与尺规作图参考答案一、逻辑推理 1.B 2. D 3.93 4.B 5. 112；128 6.甲、乙． 7. C ． 8.①②． 9. D ． 10.C 二、尺规作图 11.作法：如图，①在直线l 外取一点A ，作射线AP 与直线l 交于点B ， ② 以A 为圆心，AB 为半径画弧与直线l 交于点C ，连接AC ， ③ 以A 为圆心，AP 为半径画弧与线段AC 交于点Q ，则直线PQ 即为所求.根据小王设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．l证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，（___________等边对等角_________）.（填推理的依据）∵AP=___ AQ.______,∴∠APQ =∠AQP.∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠APQ +∠AQP+∠A=180°，∴∠APQ =∠ABC.∴PQ∥BC（_____同位角相等，两直线平行._______________）.（填推理的依据）即PQ//l.12.作法：如图，作∠BAC的平分线，交BC于点D.则点D即为所求.根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形 (保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明.证明：作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，∵AD平分∠BAC，∴DE =DF ( 角平分线上的点到角两边的距离相等. ) (填推理的依据) .13.(2) 证明：∵AB＝BC，∴∠B＝∠ACB．又∵AE是∠BAC的平分线，∴AE⊥BC，∴∠ACB＋∠CAE＝90°．∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠BCD ＝∠CAE ．14.该尺规作图的依据是_同圆或等圆半径相等，三边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的内角是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半.（直径所对的圆周角是直角，正弦定义，三角函数值）． 15.作法：如图，①以点A 为圆心，以AB 长为半径作⊙A ； ②以点 B 为圆心，以AB 长为半径作⊙B ， 交⊙A 于C ，D 两点；③连接AC ，BC ，BD ，AD ．所以四边形ACBD 就是所求作的菱形． 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵点B ,C ,D 在⊙A 上，∴AB=AC=AD ( 同圆半径相等 )（填推理的依据）． 同理 ∵点A ,C ,D 在⊙B 上， ∴AB=BC=BD ． ∴AC =BC =BD =AD .∴四边形ACBD 是菱形.( 四条边相等的四边形是菱形 )（填推理的依据）． 16.①②④；． 17.作法：①连接OP ；②以OP 为直径作⊙M ，交⊙O 于点A ，B ； ③作直线PA ，PB ；所以直线PA ，PB 为⊙O 的切线根据小文设计的作图过程，完成下面的证明.图1证明：连接OA ，OB. ∵OP 为⊙E 的直径， ∴∠OAP =∠OBP = 90 °. （直径所对的圆周角是直角）. ∴OA ⊥AP ， OB ⊥BP . ∵OA ，OB 为⊙O 的半径，∴直线PA ，PB 为⊙O 的切线.（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）. ……5分 18.作法：如图，①在直线l 上任取点O ； ②作直线PO ；③以点O 为圆心OP 长为半径画圆，交直线PO 于点A ，交直线l 于点B ；④连接AB ，以点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交⊙O 于点C(点A 与点C 不重合）； ⑤作直线CP ； 则直线CP 即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务． （1）补全图形； （2）完成下面的证明： 证明：连接BP ∵AB=BC∴BC AB ⋂⋂=∴∠CPB= ∠APB .................................................3 又∵OB=OP ，∴∠APB=∠OBP ，..................................................4 ∴∠CPB=∠OBP ，∴CP∥l（___内错角相等两直线平行） (5)19.（2020▪东城初三二模）（1）作图略（2）证明: ∵AD=CD，AO=CO,∴∠AOE=∠ COE =90°.∴∠EAB= 45 °.(一条弧所对的圆周角是圆心角的一半)(填推理的依据) 20.作法:如图，①任意取一点K，使点K和点P在直线l的两旁;②以P为圆心，PK长为半径画弧，交l于点,A B，连接AP;AB PA长为半径画弧，两弧相交于点P(点Q和点A在直线PB的两旁);③分别以点,P B为圆心，以,④作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形;(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明.证明:连接BQ,PQ=AB，BQ=PA，∴四边形PABQ是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)(填推理依据)∴.//PQ l21.作法：如图2，①在直线l上任取一点A，作射线AP；②以P为圆心，PA为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；③以P为圆心，PB长为半径作弧，交射线AP于点 C；分别以B，C为圆心，大于12BC长为半径作弧，在AC的右侧两弧交于点Q；④作直线PQ；所以直线PQ就是所求作的直线．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知PQ平分∠CPB，∴∠CPQ =∠BPQ =12∠CPB．又∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA．（等边对等角）（填依据1）．∵∠CPB=∠PAB +∠PBA，∴∠PAB=∠PBA =12∠CPB．∴∠CPQ =∠PAB．∴直线PQ∥直线l．（同位角相等，两直线平行）（填依据2）．图2l。
2020年北京平谷数学二模试卷及答案
平谷区高三年级二模数 学 试 题 2020.5第I 卷 选择题（共40分）一、单项选择题:认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。
共10题，每题4分，共40分。
1. 已知集合A ={−1,0,1},B ={x |x 2<1},则A ∪B =A. {−1,1}B. {−1,0,1}C. {x |−1≤x ≤1}D. {x |x ≤1}2. 若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是 A. sin(α+π2) B.cos(α+π2) C. sin(π+α)D. sin(π+α)3.在下列函数中，值域为R 的偶函数是A. f (x )=√xB. f (x )=ln |x |C. f (x )=2x +2−xD. f (x )=xcosx4. 若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 13=0,a 3+a 4=21,则S 7的值为A. 21B. 63C. 13D. 845. 若抛物线y 2=2px(p >0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是A. p <1B.p >1C. p <2D. p >26.已知x,y ∈R ,且x >y >0,则A. 1x −1yB. cosx −cosy <0C. (12)x −(12)y<0D. ln (x −y )>07. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A. 23B. 43C. 2D. 838. 设a,b是向量，“|a|=|a+b|”是“|b|=0”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH=−lg[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5×10−2摩尔/升,则胃酸的pH是（参考数据：lg2≈0.3010）A. 1.398B. 1.204C. 1.602D. 2.60210.如图，点O为坐标原点，点A(1,1),若函数y=a x(a>0,且a≠1)及y=log b x(b>0,且b≠1)的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a,b满足A. a<b<1B. b<a<1C. b>a>1D. a>b>1第II卷非选择题（共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。
2020北京中考数学二模分类汇编《几何综合》含答案解析
2020北京中考数学二模分类汇编——几何综合1．（2020•海淀区二模）如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．（1）依题意补全图1；（2）求证：AD＝AE；（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．①求证：AE∥CF；②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数为°．2．（2020•西城区二模）在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．求证：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．3．（2020•东城区二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是△ABC外一点，点D 与点C在直线AB的异侧，且点D，A，C不共线，连接AD，BD，CD．（1）如图1，当α＝60°．∠ADB＝30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；（2）当α＝90°，∠ADB＝45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）（3）当∠ADB＝时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．4．（2020•朝阳区二模）已知∠AOB＝40°，M为射线OB上一定点，OM＝1，P为射线OA 上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠APN＝∠OMP；（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．5．（2020•丰台区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°，得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．（1）根据题意补全图形；（2）判断△ACD的形状，并证明；（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明．温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．解法1的主要思路：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF，可证△ABE≌△CFE，再证△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME．解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN＝a，EN＝b，用含a或b 的式子表示AB，BC．……．6．（2020•石景山区二模）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上的一点（不与点B重合），边BC上点E在点D的右边且∠DAE＝∠BAC，点D关于直线AE的对称点为F，连接CF．（1）如图1，①依题意补全图1；②求证：CF＝BD．（2）如图2，∠BAC＝90°，用等式表示线段DE，CE，CF之间的数量关系，并证明．7．（2020•房山区二模）点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在△ABD外侧，以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．（1）如图1，当∠DBA＝30°时：①求证：AC＝BD；②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题；想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG．通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．请你参考上面的想法，证明EC＝EB（一种方法即可）．8．（2020•平谷区二模）如图，在△ABM中，∠ABC＝90°，延长BM使BC＝BA，线段CM 绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连接DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM＝15°时，∠AMD的度数是；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM＝MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM ≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM＝MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD＝CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM＝CF，从而解决问题；想法3：通过BC＝BA，∠ABC＝90°，连接AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMD是一定度数时，AM＝MD．（一种方法即可）9．（2020•密云区二模）已知：MN是经过点A的一条直线，点C是直线MN左侧的一个动点，且满足60°＜∠CAN＜120°，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，在直线MN上取一点B，使∠DBN＝60°．（1）若点C位置如图1所示．①依据题意补全图1；②求证：∠CDB＝∠MAC；（2）连接BC，写出一个BC的值，使得对于任意一点C，总有AB+BD＝3，并证明．10．（2020•昌平区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，将线段AC绕点A 逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．（1）当α＝90°时，①依题意补全图形；②求证：PD＝2PB；（2）写出一个α的值，使得PD＝PB成立，并证明．11．（2020•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C 作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）AE与DF的位置关系是；（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D在运动变化的过程中，∠DAF 的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF＝°，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：想法1：过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG，然后可证△AFG≌△AFE…想法2：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造▱ABGF，然后可证△AFE≌△BGC…请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．12．（2020•门头沟区二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE＝CF，延长BC到G，使CG＝CF，连接EG，DF．（1）依题意将图形补全；（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG＝DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，证明HF＝EG；…请参考以上想法，帮助小华证明EG＝DF．（写出一种方法即可）2020北京中考数学二模分类汇编——几何综合参考答案与试题解析1．（2020•海淀区二模）如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．（1）依题意补全图1；（2）求证：AD＝AE；（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．①求证：AE∥CF；②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数为20°．【分析】（1）由旋转即可补全图形；（2）先判断出∠BAE＝∠CAD，再判断出∠ABE＝60°＝∠C，进而判断出△ABE≌△ACD，即可得出结论；（3）①先判断出AFC＝∠ACF，设∠BAD＝α，进而表示出∠FAD＝α，∠CAF＝60°﹣2α，进而得出∠ACF＝60°+α再判断出∠CAE＝120°﹣α，即可得出结论；②先判断出∠CBG＝30°﹣α，进而判断出∠CDF＝60°﹣2α，再判断出DF＝CF，进而得出∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，再判断出∠DCF＝α，即可得出结论．【解答】解：（1）补全图形如图1所示；（2）由旋转知，∠DAE＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，∵BE是△ABC的外角的平分线，∴∠ABM＝（180°﹣60°）＝60°＝∠C，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AD＝AE；（3）①如图2，连接AF，∵点F是点B关于AD的对称点，∴∠BAD＝∠FAD，AF＝AB，∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠ACF，设∠BAD＝α，则∠FAD＝α，∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠FAD＝60°﹣2α，∴∠ACF＝（180°﹣∠CAF）＝60°+α，由（2）知，∠BAE＝∠CAD＝60°﹣α，∴∠CAE＝∠BAE+∠BAC＝60°﹣α+60°＝120°﹣α，∴∠ACF+∠CAE＝60°+α+120°﹣α＝180°，∴AE∥CF；②如图2，连接BF，设∠BAD＝α，∵点F是点B关于AD的对称点，∴AD⊥BF，垂足记作点G，则∠AGB＝90°，∴∠ABG＝90°﹣α，∵∠ABC＝60°，∴∠CBG＝30°﹣α，连接DF，则BD＝DF，∴∠CDF＝2∠CBG＝60°﹣2α，由（2）知，△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∵BE+CF＝AB，∴CD+CF＝BC＝BD+CD，∴BD＝CF，∴DF＝CF，∴∠DCF＝∠CDF＝60°﹣2α，由①知，∠ACF＝60°+α，∴∠DCF＝∠ACF﹣∠ACB＝α，∴60°﹣2α＝α，∴α＝20°，即∠BAD＝20°，故答案为：20．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，判断出∠CDF＝60°﹣2α是解本题的关键．2．（2020•西城区二模）在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．求证：∠EAB＝∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由平行线的性质可得出∠AGH＝∠GHC．证得∠EAB＝∠AGH．则结论得证；（2）①依题意补全图形即可；②连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．证得NA＝NE．得出∠ANE＝∠ANQ＝90°．则可得出AE＝NE＝CN．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，∴∠AGH＝∠GHC．∵GH⊥AE，∴∠EAB＝∠AGH．∴∠EAB＝∠GHC．（2）①补全图形，如图所示．②证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．∵四边形ABCD是正方形，∴点A，点C关于BD对称．∴NA＝NC，∠BAN＝∠BCN．∵PN垂直平分AE，∴NA＝NE．∴NC＝NE．∴∠NEC＝∠NCE．在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD＝90°，∴∠AQE＝∠NEC．∴∠BAN+∠AQE＝∠BCN+∠NCE＝90°．∴∠ANE＝∠ANQ＝90°．在等腰Rt△ANE中，∴AE＝NE＝CN．【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，轴对称的性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．3．（2020•东城区二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是△ABC外一点，点D 与点C在直线AB的异侧，且点D，A，C不共线，连接AD，BD，CD．（1）如图1，当α＝60°．∠ADB＝30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；（2）当α＝90°，∠ADB＝45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）（3）当∠ADB＝时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．【分析】（1）先判断出∠BDE＝90°，再根据勾股定理得出BD2+DE2＝BE2，即BD2+AD2＝BE2，再判断出△ABE≌△ACD（SAS），得出BE＝CD，即可得出结论；（2）同（1）方法得出DE2+BD2＝BE2，进而得出2AD2+BD2＝BE2，同（1）的方法判断出BE＝CD，即可得出结论；（3）同（1）的方法得出DE2+BD2＝BE2，再判断出DF＝2AD•sin，即可得出结论．【解答】解：（1）AD2+BD2＝CD2，理由：如图1，过AD为边在AD上侧作等边三角形ADE，连接BE，则AD＝DE＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°，∵∠ADB＝30°，∴∠BDE＝∠DBA+∠ADE＝90°，在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BD2+DE2＝BE2，∴BD2+AD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴AD2+BD2＝CD2；（2）如图2，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE，DE，∴∠ADE＝45°，∵∠BDA＝45°，∴∠BDE＝90°，根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，∵DE2＝2AD2，∴2AD2+BD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴2AD2+BD2＝CD2；（3）如图3，将线段AD绕点A顺时针旋转α得到AE，连接DE，BE，∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝90°﹣α，∵∠ADB＝α，∴∠BDE＝90°，根据勾股定理得，DE2+BD2＝BE2，∵∠DAE＝∠BAC＝α，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴DE2+BD2＝CD2，过点A作AF⊥DE于F，则DE＝2DF，∴∠DAF＝90°﹣∠ADE＝α，在Rt△ADF中，sin∠DAF＝，∴DF＝AD•sin∠DAF＝AD•sin，∴DE＝2DF＝2AD•sin，即：（2AD•sin）2+BD2＝CD2．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．4．（2020•朝阳区二模）已知∠AOB＝40°，M为射线OB上一定点，OM＝1，P为射线OA 上一动点（不与点O重合），OP＜1，连接PM，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转40°，得到线段PN，连接MN．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠APN＝∠OMP；（3）H为射线OA上一点，连接NH．写出一个OH的值，使得对于任意的点P总有∠OHN为定值，并求出此定值．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．（3）结论：OH＝1时，∠OHN的值为定值．证明△OMP≌△GPN（SAS），推出OP＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，由OM＝OH＝PG＝1，推出OP＝HG，推出GH＝GN，推出∠GNH＝∠GHN＝（180°﹣40°）＝70°可得结论．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：如图1中，∵∠MPN＝∠AOB＝40°，∠APM＝∠APN+∠MPN＝∠AOB+∠OMP，∴∠APN＝∠OMP．（3）解：结论：OH＝1时，∠OHN的值为定值．理由：在射线PA设取一点G，使得PG＝OM，连接NG．∵PN＝PM，∠GPN＝∠OMP，∴△OMP≌△GPN（SAS），∴OP＝NG，∠AOB＝∠NGP＝40°，∵OM＝OH＝PG＝1，∴OP＝HG，∴GH＝GN，∴∠GNH＝∠GHN＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠OHN＝180°﹣70°＝110°．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（2020•丰台区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将CA绕点C顺时针旋转45°，得到CP，点A关于直线CP的对称点为D，连接AD交直线CP于点E，连接CD．（1）根据题意补全图形；（2）判断△ACD的形状，并证明；（3）连接BE，用等式表示线段AB，BC，BE之间的数量关系，并证明．温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路．解法1的主要思路：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF，可证△ABE≌△CFE，再证△BEF是等腰直角三角形．解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME．解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN＝a，EN＝b，用含a或b 的式子表示AB，BC．……．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）结论：△ACD是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的定义判断即可．（3）结论：BC+BA＝BE．延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF．证明△EAB≌△ECF（SAS），推出BE＝EF，∠AEB＝∠CEF可得结论．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）结论：△ACD是等腰直角三角形．理由：∵A，D关于CP对称，∴AD⊥CP，∠ACP＝∠PCD＝45°，CA＝CD，∴∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形．（3）结论：BC+BA＝BE．理由：延长BC至点F，使CF＝AB，连接EF．∵∠ABC＝∠AEC＝90°，∴∠BAE+∠BCE＝180°，∵∠BCE+∠ECF＝180°，∴∠BAE＝∠ECF，∵△ACD是等腰直角三角形，CE⊥AD，∴AE＝DE，∴CE＝AE＝ED，∵AB＝CF，∴△EAB≌△ECF（SAS），∴BE＝EF，∠AEB＝∠CEF，∴∠BEF＝∠AEC＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝BE，∵BF＝BC+CF＝BC+BA，∴BC+BA＝BE．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2020•石景山区二模）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上的一点（不与点B重合），边BC上点E在点D的右边且∠DAE＝∠BAC，点D关于直线AE的对称点为F，连接CF．（1）如图1，①依题意补全图1；②求证：CF＝BD．（2）如图2，∠BAC＝90°，用等式表示线段DE，CE，CF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②连接AF，如图1，根据已知条件得到∠3＝∠1+∠2．根据轴对称的性质得到AF＝AD，∠FAE＝∠3＝∠1+∠2．根据全等三角形的性质得到结论；（2）连接FA，FE，如图2，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2＝45°，求得∠FCE ＝90°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1；②证明：连接AF，如图1，∵，∴∠3＝∠1+∠2．∵点F与点D关于直线AE对称，∴AF＝AD，∠FAE＝∠3＝∠1+∠2．∴∠4＝∠FAE﹣∠2＝（∠1+∠2）﹣∠2＝∠1．又∵AC＝AB，∴△ACF≌△ABD（SAS），∴CF＝BD；（2）线段DE，CE，CF之间的数量关系是DE2＝CE2+CF2．证明：连接FA，FE，如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠1＝∠2＝45°，由（1）②，可得FE＝DE，∠3＝∠2＝45°，∴∠FCE＝90°，在Rt△FCE中，由勾股定理，得FE2＝CE2+CF2，∴DE2＝CE2+CF2．【点评】本题考查了几何变换的综合题，全等三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．7．（2020•房山区二模）点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在△ABD外侧，以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．（1）如图1，当∠DBA＝30°时：①求证：AC＝BD；②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题；想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG．通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．请你参考上面的想法，证明EC＝EB（一种方法即可）．【分析】（1）①先利用直角三角形斜边的中线得出AC＝2DF，再用含30°的直角三角形的性质得出BD＝2DF，即可得出结论；②先求出∠BDC＝15°，进而得出∠CDE＝60°，即可判断出△CDE是等边三角形，即可得出结论；（2）先判断出BD＝GD，进而判断出△ADB≌△CDG（SAS），得出∠DCG＝∠DAB，判断出△BCG是直角三角形，再判断出EG＝EB，即可得出结论．【解答】解：（1）①如图1，过点D作DF⊥AC于F，则∠DFC＝90°，∵△ADC是AC为斜边作等腰Rt△ADC，∴AC＝2DF，在Rt△DFB中，∠DBA＝30°，∴BD＝2DF，∴AC＝BD；②∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACD＝45°，∵∠DBA＝30°，∴∠CDB＝∠ACD﹣∠DBA＝15°，∵△BDE是等腰直角三角形，∴∠BDE＝45°，∴∠CDE＝∠CDB+∠BDE＝60°，在Rt△ADC中，AC＝DC，在Rt△BDE中，BD＝BE＝DE，由①知，AC＝BD，∴BE＝CD＝ED，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE，∴EC＝EB；（2）如图2，过点D作DG⊥BD交BE的延长线于G，连接CG，∴∠BDG＝90°＝∠ADC，∴∠ADB＝∠CDG，∵△BED是以BD为斜边作等腰Rt△BED，∴∠BED＝90°，∠DBE＝45°，∴∠DGE＝90°﹣∠DBE＝45°＝∠DBE，∴BD＝GD，∵AD＝CD，∴△ADB≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAB，∵∠ACD＝45°，∴∠BCG＝∠ACG＝90°，在Rt△BDG中，DB＝DG，∠BED＝90°，∴EG＝EB，∴BE＝CE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，判断出∠BCG＝90°是解本题的关键．8．（2020•平谷区二模）如图，在△ABM中，∠ABC＝90°，延长BM使BC＝BA，线段CM 绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，连接DM，AD．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM＝15°时，∠AMD的度数是60°；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB是一定度数时，AM＝MD．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE，就易证△ABM ≌△AED，因此易得当∠AMD是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM＝MD，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF，易证AD＝CF，通过△ABM≌△CBF，易证AM＝CF，从而解决问题；想法3：通过BC＝BA，∠ABC＝90°，连接AC，易证△ACM≌△ACD，易得△AMD是等腰三角形，因此当∠AMD是特殊值时，问题得证．请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMD是一定度数时，AM＝MD．（一种方法即可）【分析】（1）由题意画出，图形；（2）由旋转的性质可得出△DCM为等腰直角三角形，则∠DMC＝45°，∠AMB＝75°，可求出答案；（3）根据三种想法证明△AMD为等边三角形即可得出结论．【解答】解：（1）由题意画出图形如图1，（2）如图1，∵∠BAM＝15°，∠ABC＝90°，∴∠AMB＝90°﹣15°＝75°，∵线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，∴CM＝CD，∠MCD＝90°，∴∠CMD＝∠MDC＝45°，∴∠AMD＝180°﹣∠AMB﹣∠DMC＝180°﹣75°﹣45°＝60°．故答案为：60°．（3）当∠AMB＝75°时，AM＝DM．想法1证明：如图2，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E，∵∠AEC＝∠C＝∠ABC＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCE正方形，∴AB＝AE，BC＝CE，由（2）可知CM＝CD，∴BM＝DE，∴△ABM≌△AED（SAS），∴AM＝AD，由（2）可知∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法2证明：如图3，过点C作CF∥AD交AB于点F，∵AF∥CD，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD＝CF，AF＝CD，∵AB＝AF+BF，BC＝BM+CM，AB＝BC，∴CD+BF＝BM+CM，∵CD＝CM，∴BF＝BM，又∵AB＝BC，∠FBC＝∠MBC＝90°，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∴AM＝AD，又∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．想法3证明：如图4，连接AC，∵BC＝AB，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ACD＝45°，又∵CM＝CD，AC＝AC，∴△ACM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∵∠AMD＝60°，∴△AMD为等边三角形，∴AM＝DM．【点评】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．（2020•密云区二模）已知：MN是经过点A的一条直线，点C是直线MN左侧的一个动点，且满足60°＜∠CAN＜120°，连接AC，将线段AC绕点C顺时针旋转60°，得到线段CD，在直线MN上取一点B，使∠DBN＝60°．（1）若点C位置如图1所示．①依据题意补全图1；②求证：∠CDB＝∠MAC；（2）连接BC，写出一个BC的值，使得对于任意一点C，总有AB+BD＝3，并证明．【分析】（1）①根据题意作出图形即可求解；②根据等量关系可证∠CDB＝∠MAC；（2）如图2，连接BC，在直线MN上截取AH＝BD，连接CH，根据SAS可证△ACH≌△DCB，再根据全等三角形的性质和等边三角形的判定与性质即可求解．【解答】解：（1）①如图1所示：②证明：∵∠C＝60°，∠DBN＝60°，∴∠C＝∠DBN，∵∠DBN+∠ABD＝180°，∴∠C+∠ABD＝180°，在四边形ACDB中，∠CDB+∠BAC＝180°，∵∠BAC+∠MAC＝180°，∴∠CDB＝∠MAC；（2）BC＝3时，对于任意一点C，总有AB+BD＝3．证明：如图2，连接BC，在直线MN上截取AH＝BD，连接CH，∵∠MAC＝∠CDB，AC＝CD，∴△ACH≌△DCB（SAS），∴∠ACH＝∠DCB，CH＝CB，∵∠DCB+∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠HCB＝∠ACH+∠ACB＝60°，∴△HCB是等边三角形，∴BC＝BH＝BA+BD＝3．【点评】考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，关键是根据题意作出辅助线，得到△HCB是等边三角形．10．（2020•昌平区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，将线段AC绕点A 逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段AD，连接BD，交AC于点P．（1）当α＝90°时，①依题意补全图形；②求证：PD＝2PB；（2）写出一个α的值，使得PD＝PB成立，并证明．【分析】（1）当α＝90°时，①依题意即可补全图形；②根据30度角所对直角边等于斜边一半即可证明PD＝2PB；（2）当α的值为60或120度时，根据等腰三角形的性质即可证明PD＝PB成立．【解答】解：（1）当α＝90°时，①如图即为补全的图形；②证明：∵∠BAC＝30°，AB＝AC，根据题意可知：AC＝AD，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠CAD＝90°，∴∠DAB＝120°，∴∠ABD＝∠D＝∠BAC＝30°，∴AP＝BP，在Rt△APD中，∠ADB＝30°，∴PD＝2AP，∴PD＝2PB；（2）当α＝60（或120°）时，PD＝PB成立，情况1，如图所示：当α＝60°时，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BE⊥AC于点E，∴DF∥BE，∴△DFP∽△BEP，∴＝，在Rt△ABE中，∠BAC＝30°，∴AC＝AB＝2BE，在Rt△ADF中，∠CAD＝60°，∴AD＝DF，∵AD＝AC＝AB，∴2BE＝DF，∴BE＝DF，∴PD＝PB．情况2，如图所示：当α＝120°时，过点D作DF⊥AC于点F，过点B作BE⊥AC于点E，∴DF∥BE，∴△DFP∽△BEP，∴＝，在Rt△ABE中，∠BAC＝30°，∴AC＝AB＝2BE，在Rt△ADF中，∠FAD＝60°，∴AD＝DF，∵AD＝AC＝AB，∴2BE＝DF，∴BE＝DF，∴PD＝PB．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．11．（2020•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C 作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）AE与DF的位置关系是AE⊥DF；（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D在运动变化的过程中，∠DAF 的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF＝45°，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：想法1：过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG，然后可证△AFG≌△AFE…想法2：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造▱ABGF，然后可证△AFE≌△BGC…请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．【分析】（1）根据题意正确画图；（2）证明△ABD≌△AED（SSS），可得∠AED＝∠B＝90°，从而得结论；（3）想法1：如图2，过点A做AG⊥CF于点G，先证明四边形ABCG是正方形，得AG ＝AB，∠BAG＝90°，再证明Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），得∠GAF＝∠EAF，根据∠BAG ＝90°及角的和可得结论；想法2：如图3，过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，证明四边形ABGF是平行四边形，得AF＝BG，∠BGC＝∠BAF，再证明Rt△AEF≌Rt△BCG（HL），同理根据∠BCG ＝90°及等量代换，角的和可得结论．【解答】解：（1）补全图形如图1：（2）AE与DF的位置关系是：AE⊥DF，理由是：∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB＝AE，BD＝DE，∵AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SSS），∴∠AED＝∠B＝90°，∴AE⊥DF；故答案为：AE⊥DF；（3）猜想∠DAF＝45°；想法1：证明如下：如图2，过点A做AG⊥CF于点G，依题意可知：∠B＝∠BCG＝∠CGA＝90°，∵AB＝BC，∴四边形ABCG是正方形，∴AG＝AB，∠BAG＝90°，∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB＝AE，∠B＝∠AED＝∠AEF＝90°，∠BAD＝∠EAD，∴AG＝AE，∵AF＝AF，∴Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），∴∠GAF＝∠EAF，∵∠BAG＝90°，∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠GAF＝90°，∴∠EAD+∠EAF＝45°．即∠DAF＝45°．想法2：证明如下：如图3，过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，依题意可知：∠ABC＝∠BCF＝90°，∴AB∥FG，∵AF∥BG，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AF＝BG，∠BGC＝∠BAF，∵点B关于直线AD的对称点为E，∴AB＝AE，∠ABC＝∠AED＝90°，∠BAD＝∠EAD，∵AB＝BC，∴AE＝BC，∴Rt△AEF≌Rt△BCG（HL），∴∠EAF＝∠CBG，∵∠BCG＝90°，∴∠BGC+∠CBG＝90°，∴∠BAF+∠EAF＝90°，∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠EAF＝90°，∵∠BAD＝∠EAD，∴∠EAD+∠EAF＝45°，即∠DAF＝45°．故答案为：45．【点评】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，正方形和平行四边形的判定和性质，对称的性质，角的平分线，画图的能力，垂直的判定等知识，正确作辅助线，构建三角形全等是关键．12．（2020•门头沟区二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的两个动点（不与点A，B，C重合），且AE＝CF，延长BC到G，使CG＝CF，连接EG，DF．（1）依题意将图形补全；（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E，F运动过程中，始终有EG＝DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：想法一：连接DE，DG，证明△DEG是等腰直角三角形；想法二：过点D作DF的垂线，交BA的延长线于H，可得△DFH是等腰直角三角形，证明HF＝EG；…请参考以上想法，帮助小华证明EG＝DF．（写出一种方法即可）【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）如图，连接DE，DG，根据正方形的性质得到AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，根据全等三角形的性质得到DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，求得DF＝DG，由等腰三角形的性质得到∠CDF＝∠CDG，推出△EDG是等腰直角三角形，于是得到结论．【解答】解：（1）依题意补全图形如图所示；（2）如图，连接DE，DG，∵在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°，∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，∵∠DCF＝90°，∴DC⊥FG，∵CF＝CG，∴DF＝DG，∴∠CDF＝∠CDG，∴DE＝DG，∠ADE＝∠CDG，∵∠ADC＝90°，∴∠EDG＝90°，∴△EDG是等腰直角三角形，∴EG＝DG＝DF．【点评】本题考查了等腰直角三角形，作图﹣基本作图，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。
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= k2 -6k+9
················································································ 2
=（k-3）2
∵ 0 ∴方程总有两个不相等的实数根 ·······································································3
C（0，-1） ······················································································2
(2)①1 个·······························································································3
（其他取法相应给分）
21．(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴∠1=∠2，AD=AB..............................1 ∵BC=DF ∴AE=AF ∴AG⊥EF .............................................2
（2）证明: ∵菱形 ABCD ∴BD⊥AC ∵BM⊥EF，AG⊥EF
(2) 当k=2 ∴ x2 +x=0 ··················································································4
解得x1=0，x2 =-1 ． ····································································5
13．答案不唯一，如 y = 2x + 2 ；
14．答案不唯一，如 a=-1；
15．xx
+ −
y y
= =
4 2
；或
( xy = 3 )
16．方案四．
三、解答题(本题共 68 分，第 17-21 题，每小题 5 分，第 22-27 题，每小题 6 分，第 28
题
7 分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.解：原式= 2 3 −1+2-2 3 ·······································································4 2
=1- 3 ······················································································5
∴ ∠APB=∠OBP，..................................................4 ∴ ∠CPB=∠OBP， ∴CP∥l（___内错角相等两直线平行）..................................................5
20．解：(1) =（k-1）2 − （4 k-2） ·····································································1
（2）解：∵∠1=90°，半径为 5， tan A = 3 4
∴OG=3，AG=4.........................................4 ∵∠1=∠ABC=90°，∠A=∠A
∴△AGO∽△ABC
∴ OG = AO = AG BC AC AB
∴
3 BC
=
5 AC
=
4 10
②当抛物线顶点为（1，-2）时，m=1 当抛物线顶点为（1，-3）时，m=2 所以，1 m 2 ·················································································6
27.（1）补全图形.....................................................................................１
（3）3.7cm、4.6cm、4.2cm
..............................................................................6
26.（1） x = - b = 1 ························································································1 2a
18.解：由①得 2x-6<x-4
x<2 ···················································································1 由②得 x-1<2x ··················································································2
∴
BC=
15 2
，AC=
25 2
..........................................................5
∴
FC=
15 2
∴GF=1..............................................................6
x>-1 ··················································································3 ∴-1<x<2··················································································5
23.（1）B（2,2）···························································································1 k=4 ·································································································2 （点 B 坐标不写不扣分）
∴△AMD 是等边三角形 ∴AM=DM
·················································································································· 6 (其他证明方法类似给分，辅助线正确写出一个正确语句即给 1 分，证完全等 2 分，完全正 确 3 分）
(2)如图，D（4,1）............................................3 代入得，b=-3............................................4
(3) b 3 ···························································································6
(3)23 ·····································································································4
（4） 500 0.32=16（0 人）·······································································6
19.（1）补全图形；..................................................2
（2） 证明：连接 BP ∵ AB=BC
∴ AB = BC
∴ ∠_CPB__=∠_APB___，..................................................3 又∵ OB=OP，
∴∠BOG=∠OGM=∠GMB=90 ∴四边形 OBMG 是矩形................................................................3
∵C 为 AG 中点，
∴ AO = BO = 1 AG EG 3
∵BD=2 ∴GE=3...........................................................................................................4 ∵GM=OB=1 ∴ME=2 ..............................................................5
(1)证明： ∵半径 OD⊥AE ∴∠1=90°.....................................1 ∴∠2+∠D=90° ∵FC = BC
∴∠3=∠4=∠2.....................................2
∵OD=OB，
∴∠5=∠D
∴∠4+∠5=90° ∴∠ABC=90° ∴BC 与⊙O 相切..........................................3
（2）60°...................................................................................................2