全称量词与存在量词习题人教版高二数学选修1-1
人教新课标版数学高二数学选修1-1练习1-4-1~3全称量词与存在量词
1．4全称量词与存在量词1．4.1全称量词1．4.2存在量词1．4.3含有一个量词的命题的否定双基达标（限时20分钟）1．下列命题中，不是全称命题的是()．A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数解析D选项是特称命题．答案 D2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()．A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1 x>2解析A中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有1x<0，所以D是假命题．答案 B3．下列命题中的假命题是()．A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2解析A中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是特称命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；D中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．答案 B4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋4<0的否定綈p：________．解析特称命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定是全称命题“∀x∈M，綈p(x)”．故填∀x∈R，x2＋2x＋4≥0.答案∀x∈R，x2＋2x＋4≥05．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．解析对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.答案(－∞，3]6．判断下列命题的真假，并写出命题的否定：(1)有一个实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立；(2)对任意实数x，不等式|x＋2|≤0成立；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．解(1)对于方程x2－(a＋1)x＋a＝0的判别式Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，则不存在实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立，所以命题为假命题．它的否定为：对任意实数a，使x2－(a＋1)x＋a>0不恒成立．(2)当x＝1时，|x＋2|>0，所以原命题是假命题，它的否定为：存在实数x，使|x＋2|>0.(3)真命题，它的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．综合提高（限时25分钟）7．下列命题的否定为假命题的是()．A．∀x∈R，－x2＋x－1<0B ．∀x ∈R ，|x |>xC ．∀x ，y ∈Z ，2x －5y ≠12D ．∃x 0∈R ，sin 2x 0＋sin x 0＋1＝0解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有选项A 中的命题为真命题，其余均为假命题，所以选A.答案 A8．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，则实数a 的取值范围是( )．A ．a <1B ．a ≤1C ．－1<a <1D ．－1<a ≤1解析 当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0；当a >0时，必需Δ＝4－4a 2>0，解得－1<a <1，故0<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是a <1.答案 A9．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”．答案 有的向量与零向量不共线10．若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________．解析 依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0a 2－1<1⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >1－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2. 答案 (－2，－1)∪(1，2)11．已知命题“对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是假命题，求实数a 的取值范围．解因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x20＋ax0＋1<0”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式是真命题．由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．12．(创新拓展)若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1，1]．。
全称量词与存在量词早练专题练习(二)附答案人教版高中数学选修1-1
高中数学专题复习
《全称量词与存在量词》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．有四个关于三角函数的命题：
1p ：∃x ∈R, 2
sin 2x +2cos 2x =12 2p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ∀x ∈[]0,π,1cos 22x -=sinx 4p : sinx=cosy ⇒x+y=2
π 其中假命题的是（ ）
A ．1p ，4p B.2p ，4p C.1p ，3p D.2p ，4p (2020海南宁夏理5).
2．命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是 （ ）
A ．任意一个有理数,它的平方是有理数
B ．任意一个无理数,它的平方不是有理数
C ．存在一个有理数,它的平方是有理数
D ．存在一个无理数,它的平方不是有理数 （2020湖北文）
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明。
全称量词与存在量词午练专题练习(六)带答案人教版高中数学选修1-1
高中数学专题复习《全称量词与存在量词》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．已知命题p :∀x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≥0,则⌝p 是（ ）A ．∃x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)<0D ．∀x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1)(x 2-x 1)<0（2020辽宁文）2．下列命题中，真命题是 (A)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是偶函数(B)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是奇函数(C)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数(D)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数 （2020天津文5)3．命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是（ ）A ．不存在01,23≤+-∈x x R xB ．存在01,23≥+-∈x x R x C ．存在01,23>+-∈x x R xD ． 对任意的01,23>+-∈x x R x (2020山东) 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题4．命题“,x R ∃∈1x ≤或24x >”的否定是________．5．命题“0,x ∀>都有sin 1x ≥-”的否定： .6．命题“0s in ,>∈∀x R x ”的否定 ▲ .7．下列命题中真命题的个数有 个（1）2,10x R x x ∀∈-+>（2）{}1,1,0,10x x ∀∈-+>（3）3,x N x x ∃∈≤使8．下列四个命题：①2n n n ∀∈R ，≥； ②2n n n ∀∈<R ，；③2n m m n ∀∈∃∈<R R ，，；④n m m n m∃∈∀∈⋅=R R ，，．其中真命题的序号是 ．科网9．命题“2,210x R x x ∃∈-+≤”的否定是 ▲ ．10．已知命题P ：∈∃x R ，0322>-+x ax ．如果命题 ⌝P 是真命题，那么a 的范围是 ▲ ．由⌝P ：∈∀x R ，322-+x ax ≤0是真命题，即322-+x ax ≤0恒成立，得a ≤31- 11．已知命题2:,20,p x R x ax a ∃∈++≤若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是12．命题:,sin 2x R x ∀∈<的否定是 ▲ .3. ,sin 2.x R x ∃∈≥13．若命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知(a －1)2－4>0解得a >3或a <－1.14．命题“∃x ∈R ，x 2－2x + l ≤0”的否定形式为 ▲ ．15．命题“2,10x R x x ∃∈-+=”的否定是 。
高二人教版数学选修1-1练习：1.4全称量与存在量词 Word版含答案
►基础梳理1．全称量词与全称命题．短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中的任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词和特称命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”．3．全称命题的否定．一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．全称命题的否定是特称命题．4．特称命题的否定．一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．特称命题的否定是全称命题．,►自测自评1．命题“有理数的平方仍是有理数”，用符号“∀”写成全称命题为∀x∈{有理数}，x2∈{有理数}．2．给出下列命题：①所有的偶数都不是素数；②∀x>5且x∈R，都有x>3；③有的奇数不是素数；④存在x∈R，x既能被5整数也能被3整除．其中是全称命题的命题序号是①②．1．下列命题是特称命题的是(D)A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在无理数大于等于32．有下列命题：(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，(x－1)2＋1≥1；(3)有的无理数的平方是无理数；(4)∃x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1＝0；(5)存在两条相交直线垂直于同一个平面；(6)∃x 0∈R ，x 20≤0.其中是真命题的为________________(填序号)．答案：(2)(3)(6)3．给下列四个结论：①“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，2x ＞0”；②“∀x ∈N ，(x －1)2＞0”的否定是“∃x ∈N ，(x －1)2≠0”；③“∃x ∈R ，lg x ＜1”的否定是“∀x ∈R ，lg x ≥1”；④“∃x ∈R ，tan x ＝2”的否定是“∀x ∈R ，tan x ＞2或tan x ＜2”．其中正确结论的序号是______．答案：③④4．判断下列命题的真假．(1)有的正方形不是矩形；(2)有理数是实数；(3)存在一个数，它的相反数是它本身；(4)∀x ∈N ，x 2＞0；(5)∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥（a ＋b ）22； (6)∃x ∈R ，x 2＋1＜0.解析：(1)是假命题，所有的正方形都是矩形；(2)是真命题，所有的有理数都是实数；(3)是真命题，0的相反数就是它本身；(4)是假命题，自然数0的平方不大于0；(5)是真命题，因为对于任意实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ，从而有a 2＋b 2≥（a ＋b ）22恒成立；(6)是假命题，任何一个实数x 都不满足x 2＋1＜0.5．命题p ：∀x ∈[－1，2]，4x －2x ＋1＋2－a ＜0，若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围．解析：依题意，∀x ∈[－1，2]，4x －2x ＋1＋2－a ＜0恒成立．令t ＝2x ，由x ∈[－1，2]，得t ∈⎣⎡⎦⎤12，4，则4x －2x ＋1＋2－a ＜0，可化为a ＞t 2－2t ＋2，即a ＞(t －1)2＋1，∴命题p 等价于∀t ∈⎣⎡⎦⎤12，4.a ＞(t －1)2＋1恒成立，令y ＝(t －1)2＋1.当t ∈⎣⎡⎦⎤12，4时，y max ＝(4－1)2＋1＝10，所以只须a ＞10，即可得p 为真命题，故所求实数a 的取值范围是(10，＋∞)．1．下列是全称命题且是真命题的是(B)A ．∀x ∈R ，x 2＞0B ．∀x ∈Q ，x 2∈QC ．∃x ∈Z ，x 20＞1D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2＞02．下列命题中，真命题是(A)A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数解析：∵当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )，∴f (x )是偶函数．又∵当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x (x ∈R )，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．∴A 对，B 、C 、D 错．故选A.3．(·广州二模)命题“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋5≤0”的否定是(C )A ．∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋5＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋5≤0 C ．∀x ∈R ，x 2＋4x ＋5＞0D ．∀x ∈R ，x 2＋4x ＋5≤04．命题“原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称”的否定是(C )A ．原函数与反函数的图象关于直线y ＝－x 对称B ．原函数不与反函数的图象关于直线y ＝x 对称C ．存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y ＝x 对称D ．存在原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称5．下列命题中的真命题是(D )A ．∃x 0∈R 使得sin x 0＋cos x 0＝1.5B ．∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos xC ．∃x 0∈R 使得x 20＋x 0＝－1D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x ＞x ＋16．已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C)A ．∃x 0∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x 0∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)7．命题∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0的否定是________________________________________________________________________．答案：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0. 8．有以下三个命题：①∀α∈R ，在[α，α＋π]上函数y ＝sin x 都能取到最大值1；②若∃a ∈R ，且a ≠0，f (x＋a )＝－f (x )时∀x ∈R 成立，则f (x )为周期函数；③∃x ∈⎝⎛⎭⎫－74π，－34π，使sin x ＜cos x . 其中正确命题为______(填序号)．解析：①为假，如α＝π，ɑ∈[π，2π]时y ＝sin x 最大值为0；②为真，f (x ＋2a )－f (x ＋a )＝f (x )，x ∈R 恒成立，T ＝2a ；③为假，sin x ＞cos x .答案：②9．已知命题：“存在x ∈[1，2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围________． 答案：[－8，＋∞)10．(·揭阳二模)已知函数f (x )＝4|a |x －2a ＋1.若命题：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，则实数a 的取值范围为________．答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞11．指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题，判断否命题的真假：(1)直线与x 轴都有交点；(2)正方形都是菱形；(3)梯形的对角线相等；(4)存在一个三角形，它的内角和大于180°.答案：(1)全称命题，否命题为：有些直线与x 轴没有交点．真命题．(2)全称命题，否命题为：有些正方形不是菱形，假命题．(3)全称命题，否命题为：有些梯形对角线不相等．真命题．(4)特称命题，否命题为：所有三角形内角和小于或等于180°.真命题．12．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解析：命题p ：x 2－a ≥0，即a ≤x 2，∵x ∈[1，2]时，上式恒成立，而x 2∈[1，4]，∴a ≤1. 命题q ：Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.∵p 且q 为真命题，∴p ，q 均为真命题，∴a ＝1或a ≤－2.即实数a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤－2}．►体验高考1．(·湖北卷)命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是(D )A ．∀x 0∉R ，x 20≠x 0B ．∀x 0∈R ，x 20＝x 0C ．∃x ∉R ，x 20≠x 0D ．∃x 0∈R ，x 20＝x 02．(·天津卷)已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ＞1，则綈p 为(B )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)e x 0≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x 0≤1解析：已知命题中含有“∀”，所以该命题是一个全称命题，由全称命题的否定形式可知，其否定是一个特称命题，把全称量词改为存在量词，然后把“(x ＋1)e x ＞1”改为“(x 0＋1)e x ≤1”即可得到该命题的否定为：“∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1”，故选B.3．(·重庆卷)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为(A )A ．存在x 0∈R ，使得x 20＜0B ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．不存在x ∈R ，使得x 20＜04．(·四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则(C )A ．綈p ：∃x ∈A ，2x ∈BB ．綈p ：∃x ∉A ，2x ∈BC ．綈p ：∃x ∈A ，2x ∉BD ．綈p ：∀x ∉A ，2x ∉B5．(·新课标全国卷Ⅰ)已知命题綈p ：∀x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是(B )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧綈qD ．綈p ∧綈q解析：对于命题p ，由于x ＝－1时，2－1＝12＞13＝3－1，所以是假命题，故綈p 是真命题；对于命题q ，设f (x )＝x 3＋x 2－1，由于f (0)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以f (x )＝0在区间(0，1)上有解，即存在x ∈R ，x 3＝1－x 2，故命题q 是真命题．综上，綈p ∧q 是真命题，故选B.。
最新高中数学选修1-1(人教版 练习)：1.4全称量词与存在量词 第二课时.3 Word版含答案
最新人教版数学精品教学资料第一章 1.4 1.4.3A 级 基础巩固一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是导学号 03624281( B ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数[解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B ．2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是导学号 03624282( C ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C ．3．(2016·江西抚州高二检测)已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，则¬p 是导学号 03624283( C )A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<0 B ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2<0 C ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0 D ．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0[解析] ∵全称命题的否定是特称命题，∴选项C 正确． 4．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，sin x ＝12，则¬p 为导学号 03624284( B ) A ．∀x ∈(0，π2)，sin x ＝12B ．∀x ∈(0，π2)，sin x ≠12C ．∃x ∈(0，π2)，sin x ≠12D ．∃x ∈(0，π2)，sin x >12[解析] ¬p 表示命题p 的否定，即否定命题p 的结论，由“∃x ∈M ，p (x )”的否定为“∀x ∈M ，¬p (x )”知选B ．5. 下列说法正确的是导学号 03624285( A )A ．“a >1”是“f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件B ．命题“∃x ∈R 使得x 2＋2x ＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0” C ．“x ＝－1”是“x 2＋2x ＋3＝0”的必要不充分条件 D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则¬p 是真命题[解析] a >1时，f (x )＝log a x 为增函数，f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)为增函数时，a >1，∴A 正确；“<”的否定为“≥”，故B 错误；x ＝－1时，x 2＋2x ＋3≠0，x 2＋2x ＋3＝0时，x 无解，故C 错误；∵sin x ＋cos x ＝2sin (x ＋π4)≤2恒成立，∴p 为真命题，从而¬p为假命题，∴D 错误．6．命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是导学号 03624286( C )A ．存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根[解析] ¬p ：对任意实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根，故选C ． 二、填空题7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0 .导学号 03624287[解析] 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”． 8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为__过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内__.导学号 03624288[解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词． 三、解答题9．写出下列命题的否定并判断真假：导学号 03624289 (1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题． (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．B 级 素养提升一、选择题1．(2015·浙江理)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是导学号 03624290( D )A ．∀n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *,f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0[解析] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ” 其否定为：“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0”．2．命题“∀x ∈R ，e x >x 2”的否定是导学号 03624291( C ) A ．不存在x ∈R ，使e x >x 2B ．∃x ∈R ，使e x <x 2C ．∃x ∈R ，使e x ≤x 2D ．∀x ∈R ，使e x≤x 2[解析] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故选C ． 3．已知命题“∀a 、b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是导学号 03624292( B )A ．∀a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0B ．∀a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0C ．∃a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0D ．∃a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 [解析] 条件ab >0的否定为ab ≤0；结论a >0的否定为a ≤0，故选B ．4．(2016·江西抚州高二检测)已知命题“∃x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是导学号 03624293( B )A ．(－∞，1)B ．(－1,3)C ．(3，＋∞)D ．(－3,1)[解析] 由题意知，∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，恒成立，∴Δ＝(a －1)2－4＝a 2－2a －3<0，∴－1<a <3.5．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x ∈R .sin x －cos x ＝ 2.则下列判断正确的是导学号 03624294( D )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．¬p 是假命题D ．¬q 是假命题[解析] p 中：∵Δ＝4－4＝0，∴p 是假命题，q 中，当x ＝34π时，cos x ＝22，cos x＝－22时，是真命题，故¬q 是假命题． 二、填空题6．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有__p ∨q __¬p __.导学号 03624295[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．7．已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是__m ≤－2或－1<m <2__.导学号 03624296[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.8．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是__a >2或a <－2__.导学号 03624297[解析] 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2.C 级 能力提高1．(2016·山东临沂高二检测)已知命题p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b >0)，函数f (x )＝3sin (x a ＋π3)的周期不大于4π.导学号 03624298(1)写出¬p ；(2)当¬p 是假命题时，求实数b 的最大值． [解析] (1)¬p ：∃a 0∈(0，b ](b ∈R ，且b >0)， 函数f (x )＝ 3 sin(x a 0＋π3)的周期大于4π. (2)∵¬p 是假命题，∴p 是真命题， ∴∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4恒成立，∴a ≤2，∴b ≤2. 故实数b 的最大值是2.2．(2016·安徽安庆高二检测)已知命题p ：∃x 0∈[－1,2]，4x 0>m .导学号 03624299 (1)写出¬p ；(2)当¬p 是真命题时，求实数m 的取值范围． [解析] (1)¬p ：∀x ∈[－1,2]，4x≤m .(2)¬p 是真命题，即当－1≤x ≤2时，m ≥(4x)max ， ∴m ≥42＝16，∴实数m 的取值范围是[16，＋∞)．。
2017-2018学年高中数学人教版选修1-1习题：第一章1.4全称量词与存在量词 Word版含答案
第一章 常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词A 级 基础巩固一、选择题1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x＞2 解析：A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x＜0，所以D 是假命题． 答案：B2．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( )A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是“∃x ∈R ，x2＝x ”．答案：D3．下列特称命题中假命题的个数是( )①有一条直线与两个平行平面垂直；②有一条直线与两个相交平面平行；③存在两条相交直线与同一个平面垂直．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①②都是真命题，③是假命题．答案：B4．设函数f (x )＝x 2＋mx (m ∈R)，则下列命题中的真命题是( )A ．任意m ∈R，使y ＝f (x )都是奇函数B ．存在m ∈R，使y ＝f (x )是奇函数C ．任意m ∈R，使x ＝f (x )都是偶函数D ．存在m ∈R，使y ＝f (x )是偶函数解析：当m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选D.答案：D5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2ax ＜33x ＋a 2恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜1B ．a ＞34C ．0＜a ＜34D ．a ＜34 解析：由题意，得－x 2＋2ax ＜3x ＋a 2，即x 2＋(3－2a )x ＋a 2＞0恒成立，所以Δ＝(3－2a )2－4a 2＜0，解得a ＞34. 答案：B二、填空题6．命题“∃x 0，y 0∈Z ，3x 0－2y 0＝10”的否定是______________．解析：特称命题的否定是全称命题，则否定为∀x ，y ∈Z ，3x －2y ≠10.答案：∀x ，y ∈Z ，3x －2y ≠107．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③ ④8．下面四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＞0恒成立；②∃x 0∈Q ，x 20＝2；③∃x 0∈R ，x 20＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2＞2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．解析：x 2－3x ＋2＞0，Δ＝(－3)2－4×2＞0，所以当x ＞2或x ＜1时，x 2－3x ＋2＞0才成立，所以①为假命题．当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，所以不存在x ∈Q，使得x 2＝2，所以②为假命题．对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，所以③为假命题.4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，所以④为假命题．所以①②③④均为假命题．答案：0三、解答题9．判断下列各命题的真假，并写出命题的否定．(1)有一个实数a ，使不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＞0恒成立；(2)对任意实数x ，不等式|x ＋2|≤0恒成立；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．解：(1)方程x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0的判别式Δ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≥0，则不存在实数a ，使不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＞0恒成立，所以原命题为假命题． 它的否定：对任意实数a ，不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＞0不恒成立．(2)当x ＝1时，|x ＋2|＞0，所以原命题是假命题．它的否定：存在实数x ，使不等式|x ＋2|＞0成立．(3)由一元二次方程解的情况，知该命题为真命题．它的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．10．对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x ＞m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：令y ＝sin x ＋cos x ，则y ＝sin x ＋cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. 因为－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－ 2. 因为∀x ∈R ，sin x ＋cos x ＞m 恒成立，所以只要m ＜－2即可．故实数m 的取值范围是(－∞，－2)．B 级 能力提升1．若命题p ：∀x ∈R ，log 2x >0，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0<0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧qD ．p ∨(綈q )解析：命题p ：∀x ∈R ，log 2x >0为假命题，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0<0为假命题，所以p ∨(綈q )为真命题，故选D.答案：D2．已知命题“∃x 0∈R ，2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意可得“对∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0恒成立”是真命题，令Δ＝(a －1)2－4＜0，得－1＜a ＜3.答案：(－1，3)3．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ＋2＝0”，若命题“p 或q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解：p⇔a≤(x2)min＝1.q⇔Δ＝4a2－4(a＋2)≥0⇔a≤－1或a≥2.因为“p或q”为真命题，所以p、q中至少有一个真命题．所以a≤1或a≤－1或a≥2，所以a≤1或a≥2.所以“p或q”是真命题时，实数a的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．。
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：1.4 全称量词与存在量词 Word版含解析
1.4 全称量词与存在量词课时过关·能力提升一、基础巩固1.下列命题不是全称命题的是( )A.任何一个实数乘以零都等于零B.每一个向量都有大小C.自然数都是正整数D.一定存在没有最大值的二次函数A中“任何一个”、选项B中“每一个”、选项C中“都是”这三者是全称量词,故A,B,C项都是全称命题.选项D中“存在”是存在量词,故D项是特称命题.2.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( )A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数3.下列命题既是特称命题,又是真命题的是( )A.两个无理数的和必是无理数B.存在一个实数x0,使1=0x0C.至少有一个实数x0,使x20<0D.存在某个实数的倒数等于它本身项为全称命题;B,故B是假命题;C项,x2≥0,故不存在实数x0,项1是不能为零的使x0,当实数为1或-1时可满足题意,故D正确.x20<0;D项4.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )A.任意一个有理数,它的平方是有理数B.任意一个无理数,它的平方不是有理数C.存在一个有理数,它的平方是有理数D.存在一个无理数,它的平方不是有理数“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.5.已知下列四个命题:①∀x∈R,2x2-3x+4>0;②∀x∈{1,-1,0},2x+1>0;③∃x0∈N,≤x0;使x20④∃x0∈N*,使x0为29的约数.其中真命题的个数为( )B.2C.3D.46.已知下列四个命题:p 1:∃x 0∈(0,+∞),(12)x 0<(13)x 0;p 2:∃x 0∈(0,1),l og 12x 0>log 13x 0;p 3:∀x ∈(0,+∞),(12)x >log 12x ;p 4:∀x ∈(0,13),(12)x <log 13x .其中的真命题是( )B.p 1,p 4C.p 2,p 3D.p 2,p 4x ∈(0,+∞)p 1为假命题;时,(12)x >(13)x ,故取x 0l p 2为真命题;=12,则og 12x 0=1,log 13x 0=log32<1,故取x 00p 3为假命题;=18,则<(12)x 0<1,log 12x 0=log 1218=3,即(12)x 0<log 12x 0,故当x ∈l p 4为真命题.(0,13)时,(12)x <1,而og 13x >1,故7.命题“存在x 0∈R ,使得x 20+2x 0+5=0”的否定是________________________.x ∈R ,都有x 2+2x+5≠08.已知命题:“∃x 0∈[1,2],≥0”为真命题,则a 的取值范围是 . 使x 20+2x 0+a1≤x ≤2时,3≤x 2+2x ≤8,若存在x 0∈[1,2],≥0为真命题,则-a ≤8,使x 20+2x 0+a 故a ≥-8.≥-89.对任意实数x ,不等式2x>m (x 2+1)恒成立,求实数m 的取值范围.x>m (x 2+1)恒成立,也就是对∀x ∈R ,mx 2-2x+m<0恒成立,再考虑m 是否为零.若为零,则原式化为-2x<0,显然不恒成立;若m ≠0,则m<0,且Δ<0.2x>m (x 2+1)对任意x 都成立,即不等式mx 2-2x+m<0恒成立.(1)当m=0时,不等式化为-2x<0,显然不恒成立,不合题意.(2)当m ≠0时,要使mx 2-2x+m<0恒成立,,得m<-1.则{m <0,(-2)2-4m 2<0,解之综上可知,所求实数m 的取值范围为m<-1.二、能力提升1.已知命题p :∀x ∈R ,2x 2+2x ∃x 0∈R ,sin x 0-cos x 0+12<0;命题q :=2,则下列判断正确的是( )A.p 是真命题 B.q 是假命题C.p 是假命题D. q 是假命题2x 2+2x ≥0,+12=2(x 2+x +14)=2(x +12)2∴p 为假命题, p 为真命题.∵sin x 0-cos x 0=2sin (x 0-π4),∴当x 0,sin x 0-cos x 0=3π4时=2.∴q 为真命题, q 为假命题.2.已知命题p :∃x 0∈R ,使sin x 0∀x ∈R ,都有x 2+x+1>0.给出下列结论:=52;命题q :①命题p ∧q 是真命题;②命题p ∧(q )是假命题;③命题(p )∨q 是真命题;④命题(p )∨(q )是假命题.其中正确的是( )A.②③B.②④C.③④D.①②③p 假q 真,∴p 真, q 假.∴p ∧(q )为假命题,( p )∨q 为真命题.3.下列命题中,假命题是( )A.∀x ∈R ,21-x >0B.∃α∈R ,使函数y=x α的图象关于y 轴对称C.函数y=x α的图象经过第四象限D.∀x ∈(0,+∞),使2x >xA,由指数函数性质可知是真命题.对B,当α=2时,y=x α的图象关于y 轴对称,B 是真命题;对C,当x>0时,y=x α>0恒成立,从而其图象不过第四象限,C 是假命题.对D,在同一坐标系下作出函数y=2x 与y=x 的图象可知D 是真命题.4.已知命题p :“对∀x ∈R ,∃m ∈R ,使4x +2x ·m+1=0”.若命题p 是假命题,则实数m 的取值范围是( )A.-2≤m ≤2B.m ≥2C.m ≤-2D.m ≤-2或m ≥2p 是假命题,∴p 是真命题.∴m=≤-2(当且仅当2x ,等号成立).‒(2x +12x )=12x 时5.给出下列四个命题:①有理数是实数;②有些平行四边形不是菱形;③∀x ∈R ,x 2-2x>0;④有一个素数含有三个正因数.以上命题的否定为真命题的是 .(填序号)①②是真命题,③④为假命题,又命题与它的否定一真一假,可得③④的否定为真命题.★6.已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R∧q”,x20+2ax0+2‒a=0”,若命题“p是真命题,则实数a的取值范围是 .“p∧q”是真命题,可知命题p与命题q都是真命题,则有{a≤1,(2a)2-4(2-a)≥0, a≤-2或a=1.≤-2或a=17.写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)p:不论m取何实数,方程x2+x+m=0必有实数根;(2)q:存在一个实数x0,使≤0;得x20+x0+1(3)r:等圆的面积相等,周长相等;(4)s:对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.,使方程x2+x+m0=0没有实数根.是真命题.p:存在实数m(2)q:对任意实数x,都有x2+x+1>0.是真命题.(3)r:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等.是假命题.(4)s:存在一个角α0,使sin2α0+cos2α0≠1.是假命题.★8.已知p:ax2+2x+1>0,若对∀x∈R,p是真命题,求实数a的取值范围.,对∀x∈R,ax2+2x+1>0恒成立.先考虑a=0的情况,再考虑a≠0的情况.当a≠0时,可结合二次函数的图象解决此类问题.,∀x∈R,ax2+2x+1>0恒成立.(1)当a=0时,ax2+2x+1=2x+1>0,显然不恒成立,不符合题意.(2)当a≠0时,要使ax2+2x+1>0恒成立,a>1.则{a>0,4-4a<0,解得综上可知,所求实数a的取值范围是(1,+∞).。
高中数学 1.4.1 全称量词、存在量词课时作业(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
课时作业8 全称量词、存在量词知识点一全称命题与特称命题的判断1.下列命题中全称命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析①③是全称命题，②是特称命题．2．下列命题为特称命题的是( )A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3答案 D解析选项A、B、C均为全称命题．故选D.3．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π；(2)有一个有理数x0满足x20＝3；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)∃x0∈Q，x20＝3.(3)∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1.知识点二全称命题与特称命题的真假判定4.下列命题中的假命题是( )A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0答案 C解析选项A，lg x＝0⇒x＝1；选项B，tan x＝1⇒x＝π4＋kπ(k∈Z)；选项C，x3>0⇒x>0；选项D,2x>0⇒x∈R.5．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．答案0解析①当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；②因为x＝±2时，x2＝2，而±2为无理数，故②为假命题；③因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故③为假命题；④原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故④为假命题.知识点三 全称命题与特称命题的应用6.已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．答案 m ≥14解析 因为x 1∈[－1,3]，所以f (x 1)∈[0,9]，又因为对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，即∃x 2∈[0,2]，g (x 2)≤0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－m ≤0，所以m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122，即m ≥14.一、选择题1．下列命题为特称命题的是( ) A ．奇函数的图象关于原点对称B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos xC ．棱锥仅有一个底面D ．存在大于等于3的实数x ，使x 2－2x －3≥0 答案 D解析 A ，B ，C 中的命题都省略了全称量词“所有”，所以A ，B ，C 都是全称命题；D 中的命题含有存在量词“存在”，所以D 是特称命题，故选D.2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A ．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α B ．存在实数x 0，使sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β 答案 A解析 只有A ，B 两个选项中的命题是特称命题．因为|sin x |≤1，所以sin x 0＝π2不成立，故B 中命题为假命题，又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tan α，故A 中命题为真命题．3．下列命题中，是正确的全称命题的是( ) A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0 B ．菱形的两条对角线相等 C ．∃x 0∈R ，x 20＝x 0D ．对数函数在定义域上是单调函数 答案 D解析 A 中含有全称量词“任意”，a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，是假命题．B ，D 在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C 是特称命题，故选D.4．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列四个命题中假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0) 答案 C解析 由题意：x 0＝－b2a 为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的．5．下列4个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13 x 0； p 2：∃x 0∈(0,1)，log 12x 0>log 13x 0；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <log 13x .其中的真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4答案 D解析 由指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，得当x ∈(0，＋∞)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x恒成立，故p 1是假命题；由对数函数y ＝log 12 x 和y ＝log 13 x 的图象，得当x ∈(0,1)时，log 12 x >log 13x 恒成立，故p 2是真命题；由指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 和对数函数y ＝log 12x 的图象，得当x ∈(0，＋∞)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x 不一定成立，故p 3是假命题；在平面直角坐标系中画出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x和y ＝log 13 x 的图象，如图所示，两函数图象在第一象限内有交点M ，当x ＝13时，log 1313>⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<log 13x ，故p 4是真命题．综上，真命题是p 2，p 4.二、填空题6．给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________．答案①②④解析①②④是全称命题，③是特称命题．7．给出以下命题：①∀x∈R，有x4>x2；②∃α∈R，使得sin3α＝3sinα；③∃a∈R，对∀x∈R，使得x2＋2x＋a<0；④∀a∈R，有f(x)＝x2－ax－1的图象与x轴恒有公共点．其中真命题的序号为________．答案②④解析①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，当α＝kπ(k∈Z)时，sin3α＝3sinα成立，故为真命题；③中，由于函数f(x)＝x2＋2x＋a的图象开口向上，一定存在x ∈R，使x2＋2x＋a≥0，故为假命题；④中，对∀a∈R，Δ＝(－a)2－4×1×(－1)＝a2＋4>0，所以f(x)＝x2－ax－1的图象与x轴恒有公共点，故为真命题．8．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．答案a≤－2或a＝1解析∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1.∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0.∴a≤－2或a≥1.又p∧q为真，故p、q都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1，∴a ≤－2或a ＝1. 三、解答题9．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假． (1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0； (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2； (3)∃T 0∈R ，|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1<0. 解 (1)是全称命题．∵a x>0(a >0，且a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)是全称命题．存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题． (3)是特称命题．y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题． (4)是特称命题．对任意x 0∈R ，x 20＋1>0，∴命题(4)是假命题．10．(1)命题p ：∀x ∈R ，sin x cos x ≥m .若命题p 是真命题，求实数m 的取值范围； (2)命题q ：∃x ∈R ，sin x cos x ≥m .若命题q 是真命题，求实数m 的取值范围． 解 设函数f (x )＝sin x cos x ，x ∈R ， 则f (x )＝12sin2x ，所以函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. (1)由于命题p 是真命题，即对任意x ∈R ，sin x cos x ≥m 恒成立， 所以对任意x ∈R ，f (x )≥m 恒成立．又函数f (x )的最小值为－12，所以只需m ≤－12，所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12.(2)由于命题q 是真命题，即存在实数x 满足sin x cos x ≥m 成立， 所以存在实数x ，满足f (x )≥m 成立． 由于函数f (x )的最大值为12，所以m ≤12，所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.。
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1 1全称命题的否定：
全称命题p ：x M P x ∀∈，（），
它的否定p ⌝：00x M p x ∃∈⌝，（）。
全称命题的否定是特称命题。
2，特称命题的否定：
一般的，对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p ： 00x M p x ∃∈，（）， 它的否定p ⌝： x M p x ∀∈⌝，（）。
特称命题的否定是全称命题。
例1.写出下列全称命题的否定，并判断真假：
(1) P ：所有能被3整除的整数都是奇数； (2) P ：每一个四边形的四个顶点共圆；
(3) P ：对任意2x z x ∈，的个位数字不等于3； (4) P ：22x R x ∀∈+，＞0；
(5)P ：2104
x R x x ∀∈-+≥，
例2. 写出下列特称命题的否定，并判断真假：
（1）P ：2
000,220;x R x x ∃∈++≤ （2）P ：有的三角形是等边三角形；
（3）P ：有一个素数含三个正因数；（4）P ：α∃、,R β∈使sin （αβ+）=sin α+sin β；
（5）P ； ∃x 、y ∈Z ，使3x-2y=10。
2 例3.写出下列命题的否定与否命题：
(1) 等腰三角形有两个内角相等． (2)可以被5整除的整数，末位是0．
(3) 若xy=0，则x=0或y=0．
练习：
1. 试写出下列命题的否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数；
（3）2
,210.x R x x ∀∈-+≥ （4）,21x z x ∀∈-是奇数。
2. 试写出下列命题的否定：
（1）有些实数的绝对值是正数； （2）某些平行四边形是菱形；
（3）2001x R x ∃∈+，＜0； （4）3x Z x ∃∈，＜1。
3. 课本26页1. 2 题。