第八讲机器人动力学牛顿-欧拉方程.
教学课件：第八讲-机器人动力学-牛顿-欧拉方程
目录
• 引言 • 牛顿-欧拉方程的原理 • 牛顿-欧拉方程的应用 • 机器人动力学仿真 • 牛顿-欧拉方程的扩展与展望
01 引言
主题简介
01
机器人动力学是研究机器人在运 动过程中力与运动关系的学科。
02
牛顿-欧拉方程是描述机器人关节 运动的数学模型，用于分析机器 人的动态行为。
动态特性分析
动态控制策略
根据动力学模型，设计合适的控制算 法和策略，实现机器人的稳定、快速 和准确的运动控制。
分析机器人在动态环境中的响应特性， 包括稳定性、动态精度和跟踪性能等。
机器人的控制策略
轨迹规划
根据任务需求，规划机器 人的运动轨迹，包括路径 规划、速度规划和加速度 规划等。
控制器设计
基于动力学模型和控制算 法，设计合适的控制器， 实现机器人对给定轨迹的 精确跟踪。
05
总结词：功能模块
06
详细描述：列举仿真软件的功能模块，例如建模模块、求 解器模块、后处理模块等，并简要介绍每个模块的作用。
仿真模型的建立
总结词：建模步骤 总结词：模型精度 总结词：模型验证
详细描述：介绍建立机器人动力学仿真的步骤，包括建 立机器人模型、设置约束和力矩、定义初始状态等。
详细描述：说明建模过程中需要考虑的因素，如模型的 精度、简化程度等，以及如何权衡这些因素。
机器人动力学模型
总结词
描述机器人运动过程中力和运动的数 学模型。
详细描述
机器人动力学模型基于牛顿-欧拉方程， 通过建立力和运动的数学关系，可以 预测机器人的运动轨迹和姿态。该模 型对于机器人的控制和优化设计至关 重要。
03 牛顿-欧拉方程的应用
牛顿-欧拉方程向量法推导
牛顿-欧拉方程向量法推导
欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，该定律为：
)]([1b
b b b b b I M I Ω⨯Ω-=Ω-& 其中b Ω为体坐标系下的角速度，b I 为体坐标系下的转动惯量，b M 为体坐标系下的外力矩。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)，此处只推导欧拉方程。
在不考虑外力矩时，约束条件为惯性坐标系的角动量守恒（非体坐标系的角动量守恒），即有：
0/)(=Ωdt RI d b b
其中R 为旋转矩阵。
拆解有：
0=Ω+Ωb
b b b RI I R && 0)(=Ω+Ω⨯Ωb
b b b b I I & 最后可得：
b
b b b b I I /)(Ω⨯Ω-=Ω& 加入外力矩后可得完整的欧拉方程：
)]([1b
b b b b b I M I Ω⨯Ω-=Ω-&。
牛顿—欧拉方程(可编辑修改word版)
M Ω b bb 牛顿-欧拉方程欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于 1750 年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：Ωb = I ‒ 1[M ‒ Ω × ( I Ω )]该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时 '刚体所受外力矩 与角加速度 的关系式，大多时候可简写成:Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/Ix x yy zz y x xx Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/I y y zz xx x z yy Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/Ixzzzyyx yzz其中，M x ,M y ,M z 分别为刚体坐标系S b 下三个轴的所受的外力矩， I xx ,I yy ,I zz 分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下S b )。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)：F (t ) = ma (t )M b = Ωb × ( I b Ωb ) + I b Ωb这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。
1. 单质点角动量定理 质点旋转时，有动量定理：F =d (mv ) dtr × F = r × d (mv )对两边叉乘质点位置矢量r ：dt b b观察：d (r × mv ) = r × d (mv ) + dr × mv因为：dt dt dt故有：dr× mv = v × mv = 0 dtd (r × mv ) = r × d (mv )dt dtr × F =d (r × mv )dt定义角动量L = r × mv ，可以看出r × F 为外力矩M故有单质点的角动量定理：2. 刚体的角动量定理M =dL dt定义刚体的角动量为：L G =∫L idm其中：L G 下标 G 表示该向量为大地坐标系S G 下的，L i 的下标 i 表示该向量为大地坐标S G 下各个质量元的向量。
第八讲机器人动力学牛顿-欧拉方程.
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
4.2 机械人的牛顿—欧拉方程 我们知道： 刚体运动 =质心的平动 + 绕质心的转动 其中： 质心平动：用牛顿方程描述。 绕质心的转动：用欧拉方程定义。 它们都涉及到质量及其分布，我 们先复习一下转动惯量的计算。
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.4.3、机器人的杆件的速度
例2、试求例1中两杆关节机器人的雅克比 矩阵。 解：由例1知：
0 3 3 2 2 0 1 2
及
l1s 2 1 3 l ( ) v3 l1c 2 1 2 1 2 0
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3.4.3、机器人的杆件的速度
如果在基座坐标系中表示，仅需乘以R03。
c12 s12 0 s12 c12 0 0 0 1 2 R R R R 3 1 2 3 0 1 0
则：
0
3 33
l s12( ) l1s1 1 2 1 2 0 0 3 v3 3 R v3 l1c11 l2 c12(1 2 ) 0
牛顿—欧拉方程
牛顿-欧拉方程欧拉方程(Eulｅｒｅquatｉｏnｓ),是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于１75０年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律:该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时刚体所受外力矩与角加速度的关系式，大多时候可简写成:其中,分别为刚体坐标系下三个轴的所受的外力矩,分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下)。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Eｕlｅr eqｕations)：这里对牛顿的平移运动方程不赘述,只对欧拉方程进行讨论。
1.单质点角动量定理质点旋转时，有动量定理:对两边叉乘质点位置矢量：观察：因为:故有：定义角动量，可以看出为外力矩故有单质点的角动量定理：2.刚体的角动量定理定义刚体的角动量为：其中：下标Ｇ表示该向量为大地坐标系下的，的下标i 表示该向量为大地坐标下各个质量元的向量。
刚体旋转运动参考的惯性系是大地坐标系，不能把采用刚体的本身坐标系作为参考系,本身坐标系的提出只是方便我们某些量的分析与表述，如角速度、惯性张量。
(这里需要特别说明的是因为刚体质量分布不均匀的原因，角动量的方向往往不与刚体角速度方向一致,这也是无力矩进动的原因,即很多时候刚体角速度不守恒但刚体的角动量守恒了，宏观来看就是因为要保证角动量和动量守恒所以才要产生内力作用使角速度变化达到守恒的效果。
)由牛顿第三定律易知内力矩产生的角动量变化相抵,故有刚体的角动量定理:其中:为外力矩把上式展开有：其中：称为惯性矩阵刚体旋转时,是变化的,但刚体在刚体坐标系下的惯性矩阵不会变，且容易分析得到：其中：为刚体坐标系下到大地坐标系的旋转矩阵。
3.欧拉方程的证明在先证欧拉方程前，先给出几个刚体坐标系下的向量:外力矩:；惯性矩阵:；角速度：引入刚体坐标系的向量：旋转运动时：旋转矩阵,刚体角速度都为变量，只有为不变量。
机器人动力学牛顿欧拉方程课件
PART 04
机器人动力学实例
两连杆机器人的动力学分析
01
02
03
连杆的惯性
需要考虑连杆的惯性，包 括质量、质心位置和惯性 张量。
关节约束
需要考虑关节的约束，包 括关节类型、关节角度范 围和关节刚度。
3
牛顿-欧拉方程推导
通过将牛顿第二定律和欧拉第一定律结合，可以 得到牛顿-欧拉方程，它描述了刚体在运动过程 中的动力学行为。
PART 03
牛顿-欧拉方程的应用
两刚体系统的动力学分析
两刚体系统的定义
两刚体系统是指由两个刚体组成的系统，每个刚体具有自己的质 量、位置和速度。
牛顿-欧拉方程的建立
根据牛顿第二定律和欧拉方程，可以建立两刚体系统的动力学方程。
03
多刚体系统的动力学特性包括角动量守恒、动量守恒、能量守
恒等，同时还存在各个刚体之间的相互作用力。
机器人运动学与动力学的关系
运动学与动力学的区别
运动学主要研究机器人的位置、姿态和速度等几何特征，而动力学则研究机器人的力、力矩和加速度等物理特征。
运动学与动力学的联系
机器人的运动学和动力学是相互联系的，运动学可以提供机器人的运动状态信息，而动力学则可以提供机器人的运动 控制信息。
描述刚体在空间中的位置需要使用矢量，矢量中包含了物体的位置、方向和大 小等信息。
运动描述
描述刚体的运动需要使用速度和加速度等运动学量。
牛顿-欧拉方程的建立过程
1 2
牛顿第二定律 对于一个物体，其受到的力等于其质量与加速度 的乘积，即F=ma。
欧拉第一定律 对于一个刚体，其受到的力矩等于其角动量与角 加速度的乘积，即τ=Iα。
优选第八讲机器人动力学牛顿欧拉方程
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
3.4.3、机器人的杆件的速度
机器人杆件的速度包括线速度和角速 度，下面介绍如何从i杆件的速度递推计算 i+1杆件的线速度和角速度。
如图所示，设已知i杆件的速度为ωi和 vi，i+1杆件绕Zi+1轴旋转的角速度为 i 1 。
4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
我们知道： 刚体运动 =质心的平动 + 绕质心的转动
其中： 质心平动：用牛顿方程描述。 绕质心的转动：用欧拉方程定义。 它们都涉及到质量及其分布，我
们先复习一下转动惯量的计算。
4.2 机械人的牛顿—欧拉方程
一、 惯量矩阵（张量）
如图所示，设刚体的质
量为m ，以质心为原点的
l2c12
3.4.3、机器人的杆件的速度
雅克比矩阵的逆为：
0J
1 (
)
1 l1l2s2
l2c12 l1c1 l2c12
l2s12 l1s1 l2c12
当手尖沿X方向以速度1m/s运动时，由
雅克比逆矩阵可得：0v (1,0)T
12
0J
1 (
)vvxy
1 l1l2 s 2
l2c12 l1c1 l2c12
随体坐标系 Cxyz下的惯量
矩阵 IC由六个量组成，表
示为： Ixx
Ic I xy
Ixy I yy
Ixz
I
yz
式中：
I xz I yz I zz
Y
y y’
P
m
r
p c
C
z’
z
O
x x’ X
Z
图3.1
机器人动力学牛顿欧拉方程教学课件
基于牛顿第二定律和欧拉方程，可以推导出 机器人动力学中的牛顿欧拉方程。
推导过程：首先根据机器人的连杆结构，将 机器人的运动分解为各个连杆的质心运动和 绕质心的转动；然后对每个连杆应用牛顿第 二定律和欧拉方程，得到每个连杆的力和力 矩平衡方程；最后将各个连杆的力和力矩平 衡方程联立起来，消去中间变量，得到机器 人整体的牛顿欧拉方程。
逆向动力学计算流程
介绍逆向动力学计算的基本步骤，包括期望轨迹规划、逆向求解关 节力、考虑约束条件等。
逆向动力学实例分析
以具体机器人为例，展示逆向动力学计算过程，包括数值计算和仿 真验证。
动力学仿真与验证
1 2
动力学仿真软件介绍
介绍常用的机器人动力学仿真软件，如 MATLAB/Simulink、ADAMS等。
实验结果分析
数据处理
将采集到的关节位置、速度和加速度数据进 行处理和分析，得到机器人的实际运动轨迹
。
轨迹对比
根据实验结果，评估机器人在运动过程中的 稳定性、精确性和动态性能。
性能评估
将实际运动轨迹与预设轨迹进行对比，分析 两者之间的差异及其原因。
教学反馈
将实验结果反馈给学生，帮助他们深入理解 机器人动力学的原理和实际应用。
机器人连杆质心与转动惯量计算
01
02
03
质心位置计算
通过积分方法或几何方法 计算连杆的质心位置。
转动惯量计算
根据连杆的质量分布和形 状，计算连杆相对于其质 心的转动惯量。
产品惯性矩阵计算
将所有连杆的转动惯量和 产品惯性矩阵组合起来， 得到整个机器人的产品惯 性矩阵。
机器人关节力与力矩计算
牛顿-欧拉方程
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则：
l1s 2 1 v3 3 v 3 l1c 21 l2 (1 2 ) 3 1 2 0 l1 s 2 l1c 2 l2 l2 1 3J θ 2 1 1
l2c12 l2 s12 1 v x 1 0 1 1 J ( ) v l c1 l c12 l s1 l c12 0 l l s 2 2 1 2 y 1 2 1 2
l2 s12 1 l2c12 J ( ) l c 1 l c 12 l s 1 l c 12 l1l2 s 2 2 1 2 1
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3.4.3、机器人的杆件的速度
例2、试求例1中两杆关节机器人的雅克比 矩阵。 解：由例1知：
0 3 3 2 2 0 1 2
及
l1s 2 1 3 l ( ) v3 l1c 2 1 2 1 2 0
0 3 3 2 2 0 1 2
l1s 21 0 l1s 21 3 v3 R23 l1c21 l2 (1 2 ) l1c21 l2 (1 2 ) 0 0 0
i 1
vi 1 i i1R(i vi ii i pi 1 )
其中 pi 1是在{i} 中表示的指向{i+1} 原点的距离。
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i
3.4.3、机器人的杆件的速度
例1、一两杆关节机器人如图所示，计算以关 节速度为函数的手尖处的速度。
0 1 v1 0 0
c2 2 v2 s 2 0
1杆在{1}中表示的速度
0 2 2 0 1 2
s2 c2 0
0 0 l1s 2 1 0 l1 l1c 21 1 0 0
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3.4.3、机器人的杆件的速度
解：1、建立坐标系，如图： 2、求位姿矩阵：
c1 s1 s1 c1 M 01 0 0 0 0
c 2 s 2 s2 c2 M 12 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
0
所以：
l1s1 l2 s12 l2 s12 J ( ) l c 1 l c 12 l c 12 2 2 1
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3.4.3、机器人的杆件的速度
雅克比矩阵的逆为：
0
当手尖沿X方向以速度1m/s运动时，由 0 T v (1,0) 雅克比逆矩阵可得：
3
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3.4.3、机器人的杆件的速度
雅克比矩阵的行数等于笛卡尔空间自 由度，列数等于机器人的关节数。 同理，我们可以求相对基座坐标系的 雅克比矩阵。
l s12( ) l1s1 1 2 1 2 0 0 3 v3 3 R v3 l1c11 l2 c12(1 2 ) 0
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3.4.3、机器人的杆件的速度
如果在基座坐标系中表示，仅需乘以R03。
c12 s12 0 s12 c12 0 0 0 1 2 R R R R 3 1 2 3 0 1 0
则：
0
3 33
l s12( ) l1s1 1 2 1 2 0 0 3 v3 3 R v3 l1c11 l2 c12(1 2 ) 0
0 0 0 1
l1 0 0 1
M 23
1 0 0 0
0 1 0 0
0 l2 0 0 1 0 0 1
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3.4.3、机器人的杆件的速度
得：
0 1 1 0 1
3.6小节
机器人的杆件的速度
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3.6 机器人的杆件的速度
基本思路：
已知基座速度和各关节的相对速度， 从基座速度开始，一步一步递推出末 端执行器的速度。
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3.4.3、机器人的杆件的速度
机器人杆件的速度包括线速度和角速 度，下面介绍如何从i杆件的速度递推计算 i+1杆件的线速度和角速度。 如图所示，设已知i杆件的速度为ω i和 。 vi，i+1杆件绕Zi+1轴旋转的角速度为 i 1
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3.4.3、机器人的杆件的速度
则：在{i+1}坐标系中表示的i+1杆件杆的 角速度为： 在{i+1}中表示的i+1杆的角速度
i 1
i 1Z ˆ i 1 ii 1 Rii i 1 i 1
在{i+1}坐标系中表示的i+1坐标系 原点的线速度为：