第九讲(1) 机器人动力学 拉格朗日方程
应用拉格朗日方程在求解机器人动力学问题的优点
应用拉格朗日方程在求解机器人动力学问题的优点
机器人动力学问题是指研究机器人在运动过程中受到的各种力
和力矩的作用，以及机器人关节运动的角度、速度和加速度等参数的变化规律。
在机器人控制和设计中，动力学问题是一个非常重要的研究领域。
在求解机器人动力学问题时，常用的方法是应用牛顿-欧拉方程或欧拉-拉格朗日方程。
其中，应用欧拉-拉格朗日方程能够更加简便、快捷地求解机器人动力学问题，具有以下优点：
1. 数学上更加简洁
欧拉-拉格朗日方程是一种用于描述系统动力学的方程，它不仅可以描述机器人的运动，还可以应用于其他物理系统的研究。
相较于牛顿-欧拉方程，欧拉-拉格朗日方程在数学上更加简洁，形式更加优美。
2. 可以考虑非完整约束
机器人运动时受到的约束是非常复杂的，有些约束甚至是非完整约束，这些约束甚至可能导致机器人的运动无法得到完全描述。
但是，欧拉-拉格朗日方程可以更好地考虑这些非完整约束的影响，使得机器人动力学问题的求解更加准确和全面。
3. 适用范围广泛
欧拉-拉格朗日方程不仅适用于机器人动力学问题，还可以应用于其他的物理学问题中，例如弹簧振子、摆锤等。
这意味着，应用欧拉-拉格朗日方程可以更好地将机器人的动力学问题与其他物理学问
题联系起来，使得机器人控制和设计更加全面和综合。
综上所述，应用欧拉-拉格朗日方程在求解机器人动力学问题中具有诸多优点，是一种更加简便、快捷、准确、全面的求解方法。
四足机器人动力学建模拉格朗日动力学
四足机器人动力学建模：拉格朗日动力学引言在机器人领域中，四足机器人是一种常见的机器人类型。
它们具有四条腿和能够模拟和模仿动物行走的能力。
为了实现自主步行和平稳运动，我们需要对四足机器人的动力学进行建模和分析。
本文将介绍使用拉格朗日动力学方法对四足机器人进行建模的过程和步骤。
拉格朗日动力学简介拉格朗日动力学是一种描述系统动力学行为的方法。
它基于拉格朗日原理，通过最小化系统的运动方程，求解系统中的广义坐标和约束力。
在机器人动力学中，拉格朗日动力学方法被广泛应用于建模和控制。
四足机器人动力学建模步态与坐标系在进行四足机器人动力学建模之前，首先需要确定机器人的步态和坐标系。
通常，四足机器人的步态可以分为步行和跑步两种模式。
对于步行模式，机器人的步态可以简化为前后左右四个联系稳定的点。
在这种情况下，机器人的坐标系可以选择为正前方为x轴正方向，右侧为y轴正方向，地面为z轴正方向。
运动学分析在进行动力学建模之前，需要进行机器人的运动学分析。
运动学分析可以得到机器人各个关节的位置、速度和加速度信息。
这些信息对于后续的动力学建模非常重要。
动力学建模操作要素在进行动力学建模之前，需要确定机器人系统的操作要素。
这些要素包括机器人的质量、惯性、关节约束等。
通过对这些要素的分析和建模，可以得到机器人的整体动力学方程。
拉格朗日方程拉格朗日动力学方法使用拉格朗日方程来描述系统的运动方程。
拉格朗日方程可以通过系统的动能和势能表达式得到。
对于四足机器人，为了简化模型，通常可以假设机器人为刚体，并且忽略其柔软特性。
拉格朗日方程的形式如下：L = T - V其中，L为拉格朗日函数，T为系统的动能，V为系统的势能。
动力学模拟通过对拉格朗日方程进行求解，可以得到系统的运动方程。
为了模拟机器人的动力学行为，可以使用数值方法进行迭代求解。
常见的数值方法有欧拉法和中点法等。
结论通过拉格朗日动力学方法进行建模，可以得到四足机器人的运动方程和动力学模拟。
机器人操作的数学导论——机器人动力学1
2、开链机器人动力学
2.1 开链机器人的拉格朗日函数 计算n个关节的开链机器人的动能，可将其中每一连杆动能求和， 定义一固连于第i杆质心的坐标系Li，则可得Li位形:
第i杆质心的物体速度为：
式中
ξ Ad1ˆ j j j
(e
e
ˆ i i
gsl i (0))
j
j i
为相对于第i连杆坐标系的第j个瞬时关节运动螺旋。
机器人的动力学及控制
1.拉格朗日方程
2.开链机器人动力学方程
1、拉格朗日方程
1.1 刚体的惯性 设V R3表示刚体的体积，ρ(r), r∈V是刚体的密度。如果物 体是均匀的，那么ρ(r)= ρ为常量。 刚体的质量可以表示为：
m (r )dV
V
刚体的质心是密度的加权平均：
r 1 (r )rdV mV
如图所示刚体，在质心建立 物体坐标系，g=(p,R)∈SE(3)为 物体相对于惯性坐标系的运动轨 迹，r∈R3为刚体上一点相对于 物体坐标系的坐标，现求刚体的 动能。
1、拉格朗日方程
1.1刚体的惯性 点在惯性坐标系的速度为：
物体的动能可用如下求得：
展开计算可得：
=
其中w为在物体坐标系中表示的刚体角速度，矩阵З ∈R3x3为物体坐标 系中的物体惯性张量
T=(1/2)VT
V=(1/2)(AdgV)T (Adg)-1
(AdgV)
=(AdgT)-1
选取三个坐标轴，使刚体的广义惯性矩阵为对角阵，则这三个轴 为刚体的惯性主轴。
1、拉格朗日方程
1.2 拉格朗日方程 定义拉格朗日函数示为：
式中T和V分别表示系统的动能和势能。 对于广义坐标为q∈Rm、拉格朗日函数为L的机械系统，其运动方 程为： 作用于第i个广 义坐标的外力 上式即为拉格朗日方程，将其写成矢量形式为：
5-5 机器人动力学建模(拉格朗日方程方法)
拉格朗日方程刚体动力学方程：拉格朗日动力学方程拉格朗日函数L被定义为系统的动能K和位能P之差，即=-L PK动能位能拉格朗日方程系统动力学方程，即拉格朗日方程如下：,1,2,i i i d L L i n dt qq ∂∂=-=∂∂ F 式中，q i 表示坐标， 为速度，F i 为作用在第i 个坐标上的力或力矩。
i q ∙动能1n k ki i E E ==∑1(,)()2T k E D =q q q q q势能00T pi i ciE m =-g p 1n P Pi i E E ==∑势能d L L dt ∂∂=-∂∂τqq K K P E E E d dt ∂∂∂=-+∂∂∂τq q q两连杆机械手示例二连杆机械手的动能与位能21111111111111,,,cos 2K m v v d P m gh h d θθ====- 则有：22111111111,cos 2K m d P m gd θθ==- 二连杆机械手动能与位能再求连杆2的动能K 2和位能P 2。
已知22222221,2K m v P m gy ==动能与位能再求连杆2的动能K 2和位能P 2。
已知式中()()222222211212211212sin sin cos cos v x y x d d y d d θθθθθθ=+=++=--+ ()()()222222211221221221122211221211cos 22cos cos K m d m d m d d P m gd m gd θθθθθθθθθθ⎧=++++⎪=>⎨⎪=--+⎩动能与位能这样，二连杆机械手系统的总动能和总位能分别为(10.3)21K K K +=2222121122122212211211()()22cos ()m m d m d m d d θθθθθθθ=+++++ 21P P P +=)cos(cos )(21221121θθθ+-+-=gd m gd m m拉格朗日动力学方程二连杆机械手系统的拉格朗日函数L 为：L K P=-)2(21)(21222121222212121θθθθθ ++++=d m d m m 221221121211cos ()()cos m d d m m gd θθθθθ++++ 2212cos()m gd θθ++拉格朗日动力学方程二连杆机械手系统的拉格朗日函数L 为：n i q L qL dt d i i i ,2,1,=∂∂-∂∂=F 代入拉格朗日方程拉格朗日动力学方程代入拉格朗日方程后，可求得力矩T 1和T 2的动力学方程式：111d L L T dt θθ∂∂=-∂∂ ()()()()2212122212212222122221221222122212112212=2cos cos 2sin sin sin sin m m d m d m d d m d m d d m d d m d d m m gd m gd θθθθθθθθθθθθ⎡⎤+++⎣⎦++--++++拉格朗日动力学方程代入拉格朗日方程后，可求得力矩T 1和T 2的动力学方程式：222d L L T dt θθ∂∂=-∂∂ ()()2222221221222212212212cos sin sin m d m d d m d m d d m gd θθθθθθθ=+++++拉格朗日动力学方程式（10.6）和（10.7）的一般形式和矩阵形式如下：2211111221111122211212121211T D D D D D D D θθθθθθθθ=++++++ 2222112222111222221212221212T D D D D D D D θθθθθθθθ=++++++ (10.8)(10.9)拉格朗日动力学方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ (10.10)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ 拉格朗日动力学方程耦合惯量：关节i,j 的加速度在关节j,i 上产生的惯性力(10.10)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ 拉格朗日动力学方程向心加速度系数：关节i,j 的速度在关节j,i 上产生的向心力(10.10)拉格朗日动力学方程哥氏加速度系数：关节j,k 的速度引起的在关节i上产生的哥氏力⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ (10.10)拉格朗日动力学方程一般形式和矩阵形式如下：2211111221111122211212121211T D D D D D D D θθθθθθθθ=++++++ 2222112222111222221212221212T D D D D D D D θθθθθθθθ=++++++ 重力项：关节i,j 处的重力⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112212212121211122221222211122111212221121121D D D D D D D D D D D D D D T T θθθθθθθθ动力学方程的典型形式状态空间方程动力学方程也可以写成如下形式：()()(),++ΘΘΘΘΘτ=M V G拉格朗日动力学方程()()22222122211222122222221222222d m d d m c d m m d m d d m c d m d d m c d m ⎡⎤++++=⎢⎥+⎣⎦ΘM ()2212222122122212212,m d d s m d d s m d d s θθθθ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦ΘΘ V ()()221212112212m d gc m m d gc m d gs ++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ΘG。
理论力学经典课件-第九章 拉格朗日方程
9-1-2 典型问题
即
3 G2 G r 2 a1 cos gG2 sin 0 2 g g
(b)
式(a)代入(b),可得
G2 g sin2 a1 3 G1 G2 2 G2 sin 2
G2 a1 并不为零； 令 x 0 时，牵连惯性力 g 令 0 时，相对惯性力 G2 r 并不为零， g 两者相互独立。
r1
r2 B
A
x mg 2
m3 g
m1g
9-2 拉格朗日方程
9-2-4 拉氏方程的应用
系统自由度为1。取轮心B沿斜面位移x为广义坐标。 平衡位置为零势能位置，则任意x位置时，系统动势
3 3 1 1 2 2 2 2 L T V m1 x m2 x m3 x kx 4 4 2 2 L 3 3 L m1 m2 m3 x kx ， x 2 2 x r2 d L L A 中，有 r1 代入拉氏方程 0 m3 g d t x x m1g 3 3 m1 m2 m3 kx 0 x 2 2 2k 即 x x 0 为所求微分方程。 3m1 3m2 2m3
即
G1 G2 a1 G2r cos
有
(a)
又由 WF 0 0, x 0 ,
G2 G2 1 G2 2 r r r a1 cos r G2 sin r 0 2 g g g
9-1 动力学普遍方程
将 FQ j * 能量化 导出拉氏方程。
FQ j 不便计算，拉格朗日方程利用两个经典
微分关系。 9-2-1 两个经典微分关系 9-2-2 拉氏方程基本形式
9-2-4 拉氏方程的应用
拉格朗日方程
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式
整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24
机器人动力学研究常用方法
机器人动力学研究常用方法机器人动力学研究是机器人学中的重要分支，主要研究机器人运动过程中的力学性质和动力学特性，旨在理解机器人运动的原理和控制策略。
在机器人动力学研究中，常用的方法主要包括基于拉格朗日动力学方程的建模方法和使用仿真工具进行分析。
一、基于拉格朗日动力学方程的建模方法拉格朗日动力学方程是机器人动力学中最常见的建模方法之一。
该方法利用拉格朗日力学原理，将机器人系统建立为运动学和物理学参数之间的方程。
基于拉格朗日动力学方程的建模方法通常分为两个步骤：建立拉格朗日函数和导出拉格朗日方程。
建立拉格朗日函数：首先，需要通过建立机器人的运动学模型来描述机器人的位姿。
然后，利用机器人的动力学特性，考虑机器人的质量、摩擦力、惯性力等因素，将机器人的动能和势能表达为拉格朗日函数。
该函数可以描述机器人系统的动力学特性。
导出拉格朗日方程：通过对拉格朗日函数求导，可以得到拉格朗日方程。
拉格朗日方程可以描述机器人系统的运动方程和力学特性。
在实际应用中，可以根据机器人的运动类型，如多关节机械手臂、移动机器人等，建立相应的拉格朗日方程。
二、使用仿真工具进行分析除了基于拉格朗日动力学方程的建模方法，使用仿真工具进行分析也是机器人动力学研究中的常用方法之一。
通过使用仿真工具，可以模拟机器人的运动过程，获取机器人的运动轨迹、力矩和速度等参数。
常用的机器人动力学仿真工具包括ADAMS（Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems）、MATLAB/Simulink等。
这些仿真工具提供了可视化的界面和强大的仿真功能，可以帮助研究人员快速建立机器人模型，并对机器人系统进行动力学分析。
使用仿真工具进行分析的方法一般包括以下步骤：1. 建立机器人模型：根据机器人的结构和运动方式，利用仿真工具建立机器人的几何模型和运动学模型。
2. 设定初始条件：设置机器人的起始位置、速度和力矩等初始条件，并考虑外部环境的影响。
理论力学—拉格朗日方程PPT
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
15
§18-2 拉格朗日(Lagrange)方程
由n个质点所 组成的质点系
主动力 虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
F (F1, F2,, Fn )
r (r1,r2,,rn )
O1
x1
l
l
rA
rB
xA l cos yA l sin
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
xB l cos
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
2 (m1 m2 )g
m1lcos
10
例题3 质量为m1的三棱柱ABC
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
根据几何关系，有
C
m2g
xA lsin yA lcos
xA l cos
yA l sin
y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
23
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山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 步骤总结： 1、机械臂上一点速度 设杆件i上一点ri，它在基坐标系中的位 置为：
r Ti ri
其中，Ti是{i}坐标系相对基础坐标系的齐次变 换矩阵。 那么，该点的速度为：
速度分量为：
x2 l1sin11 l2 sin (1 2 )(1 2 ) y l cos l cos( )( )
2 1 1 1 2 1 2 1 2
则质量M2的速度平方为：
1 1 1 2
2 2 2 （ x2 y2 l1sin11 l2 sin (1 2 )(1 2 )） 2 （l cos l cos( )( )）
212 2 1 2 212 2 2
m1 m2）gl1 cos1 m2 gl2 cos(1 2 ) （
2 m2l22 m2l1l2 cos 2） m2l222 m2l1l2 sin 2 12 （ 1 1 m2 gl2 cos(1 2 )
1 2
离心力
科氏力
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机器人机构动力学方程 有：
M () V (, ) G() Q
Q 其中： 为广义坐标向量， 为广义力向量。
称 M ()为惯量阵， (, ) 是离心力、科 V G 氏力等相关部分， () 为重力部分。 因为 V (, ) 中仅有速度和位形，上 述方程也称状态空间方程。 特点： 多变量、时变、非线性、强耦合。
n 1 n I a i qi2 mi g T Ti ri 2 i 1 i 1
q j qk
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 5、代入拉格朗日方程
d L dt qi
n i Ti L TiT Trace Hi q q p qi i p k 1 k n i i
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
系统拉格朗日方程为：
d L L Qi dt qi qi
i 1, 2,...n
式中： n
qi q i ——第i个广义速度
——系统的广义坐标数 ——第i个广义坐标
牛顿—欧拉方程实例
惯性力
惯性力矩
2杆件：
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牛顿—欧拉方程实例
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牛顿—欧拉方程实例
向后递推： 2杆件：
1杆件：
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牛顿—欧拉方程实例
取力矩的Z分量，得到关节力矩：
牛顿—欧拉方程实例
例2：如图所示为两杆平面机器人，为 了简单起见，我们假设每个杆件的质量集 中于杆件的前尾部，其大小为m1和m2。 解：每个杆件的质量中心 矢量为：
ˆ ˆ Pc1 l1 X1, Pc 2 l2 X 2
由于点质量假设， 每个杆件相对质心的惯 性张量为零，即：
I c1 0, I c 2 0
1 2 1 2 2 2 l1212 l2 (12 21 2 2 ) 2l1l2 cos(12 1 2 )
所以，M2动能为：
T2 1 2 m2 [l1212 l2 (12 21 2 22 ) 2l1l2 cos 2 (12 1 2 )] 2
qk I a p q p q j qk
2Ti TiT Trace Hi q q q p i p j 1 k 1 j k Ti mi g ri q p i p
n T
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2 2 2 m2l2 m2l1l2 cos 2） m2l2 2 m2l1l2 sin 2 12 （ 1 1 m2 gl2 cos(1 2 )
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牛顿—欧拉方程实例
通常，机器人的动力学方程常写为抽象的形式， 令：
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
L m2 gl1l2 sin 2 1 (1 2 ) m2 gl2 cos(1 2 ) 2 L 2 m2l2 (1 2 ) m2l1l2 cos 2 1 2
q j qk
3、求系统位能
EP E p i mi gT Ti ri
i 1 i 1 n n
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
4、计算拉格朗日函数
L Ekt E p Ti Ti T 1 n i i Trace Hi q 2 i 1 j 1 k 1 qk j
T i Ti T qk r r k 1 qk
T i i T T Ti i Trace r r q j qk j 1 k 1 q j qk
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势能为： V2 m2 gl1 sin 1 m2 gl2 sin(1 2 )
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
2、拉格朗日函数
L T1 V1 T2 V2 1 1 2 2 2 (m1 m2 )l1 1 m2l2 (1 2 ) 2 m2l1l2 cos 2 (12 1 2 ) 2 2 (m1 m2 ) gl1 sin 1 m2 gl2 sin(1 2 )
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 作用在关节上的广义力为：
T j T j T Qi Trace Hj qk I ai qi q qi j i k 1 k
n j
2T j T j T Trace Hj qk qm q q qi j i k 1 m 1 k m
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
• 2、求系统动能
T i i T Ti 1 i Ek Eki Trace Hi q j qk 2 i 1 j 1 k 1 q j i 1 qk n n
Ti TiT 1 n i i Trace Hi q 2 i 1 j 1 k 1 qk j
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
代入：
1 [(m1 m2 )l12 m2l22 2m2l1l2 cos 2 ]1 [m2l22 m2l1l2 cos 2 ]2 m l l sin 2 2m l l sin
1 T1 m1 (l1 1 ) 2 2
势能为：
V1 m1 gl1 sin 1
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
质量m2的位置表示为：
x2 l1 cos1 l2 cos(1 2 ) y2 l1 sin 1 l2 sin(1 2 )
3、动力学方程
L 2 (m1 m2 )l121 m2l2 (1 2 ) m2l1l2 cos 2 (21 2 ) 1 L (m1 m2 ) gl1 cos1 m2 gl2 cos(1 2 ) 1
d L 2 2 [(m1 m2 )l12 m2l2 2m2l1l2 cos 2 ] [m2l2 m2l1l2 cos 2 ]2 1 dt 1 2m l l sin m l l sin 2
d L 2 2 m2l2 m2l2 2 m2l1l2 cos 2 m2l1l2sin 2 1 2 1 1 dt 2
广义坐标为 1和 2 对应的广义外力为作 用于的关节上的驱动力距 1和 2 。
d L L 1 dt 1 1 d L L - 2 dt 2 2
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
拉格朗日方程是基于能量项（动能 T、势能V）对系统变量及时间的微分 而建立的。 对于简单系统拉格朗日方程法相较 于牛顿—欧拉方程法更显复杂，然而随 着系统复杂程度的增加，拉格朗日方程 法建立系统运动微分方程变得相对简单。
Qi ——作用在第i个广义坐标上的广义
力或广义力矩 L—系统的动能 Ek 和位能 E p之差，称为拉格朗日 函数，即：
L Ek E p
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
例3：对例2所示两杆平面机器人用拉格朗日方 法建立动力学方程。 解： 1、动能和势能 连杆1的动能为： 设Y0=0为零势面，则连杆1的
dr i Ti vi q j ri dt j 1 q j
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 求出速度的平方：
v2 v v Trace v v T i T i Trace q j 1 q j j