统计心第三章 集中量数
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第三章集中量数,趋中量数(MeasuresofCentralTendency)
第三章集中量數（或趨中量數）(Measures of Central Tendency)壹、本單元的目標1、解釋集中量數的目的，並說明此量數所傳達的訊息2、計算，說明，及比較眾數（mode）、中位數（median）、以及平均數（mean）的差異3、說明平均數的數學特性4、依照測量尺度及偏態（skew）來選擇適當的集中量數貳、各種集中量數上個單元所介紹的次數分配及圖表等是用來描述資料的整體分配情況。
本單元及下個單元則介紹兩類的描述統計，以進一步瞭解資料整體分配的細節。
這兩類統計能告訴我們以下的資訊是：1、代表此分配之典型或平均狀況的個案為何。
與此有關的描述統計就是各種「集中量數」。
2、此分配之變異或異質性的狀況。
與此有關的描述統計就是各種「離散量數」。
所以，集中量數就是以一個數值來描述樣本資料中，那一個分數或數值是最常見的、站在中間的位置、或最具代表性。
最常見的集中量數有三種，即眾數(Mode)、中位數(Median)、和算術平均數(Mean)。
這三種量數雖有共同的目的，但它們測量資料之集中趨勢（central tendency）的作法卻不同，也傳達不同的訊息。
因此，只有在特定的條件下，這三種量數的數值才會相同。
到底用那一個集中量數和the level of measurement（測量尺度）以及研究之目的有關。
集中量數之使用和測量尺度之關係：Nominal －ModeOrdinal －Mode、Median （也可用Mean，但解釋時要小心）Interval-Ratio －Mode、Median、Mean一、眾數(Mode)：是指資料中出現最多的數值。
眾數適用於各種測量尺度。
但當變項為名目尺度時，這是唯一可用的集中量數。
在名目尺度變項，或次數分配表中，眾數是指含件數或次數最多的類別。
眾數雖是最簡單之集中量數，但有缺點：1、有些分配不一定有眾數，換言之，分配很平均時或眾數很多時，眾數即失去意義和功能。
心理统计学第三章
第三章第三章集中量数第一节算术平均数 ................................................. 错误!未定义书签。
第二节中位数 ................................................................. 错误!未定义书签。
第三节众数 ....................................................................... 错误!未定义书签。
第四节几何平均数和倒数平均数............................... 错误!未定义书签。
第五节 SPSS实验——均数、中数和众数...................... 错误!未定义书签。
同步练习与思考题 ............................................................... 错误!未定义书签。
学习目标1．识记和理解各种集中量指标的概念2．熟练掌握各种平均指标的计算方法3．掌握均数、中数和众数应用范围4．了解几何平均数和倒数平均数的应用在实验、测量或调查中获得的大量观测数据，具有一种向数据中央某一点靠拢的趋势，这种趋势在统计学中称为集中趋势（central tendency），它是数据分布的特征之一。
用于描述观测数据集中趋势的量数称为集中量数。
集中量数（central measures）是一组数据的代表值，用以说明一组数据分布的典型情况或一般水平，它比个别数据更能反映客观现象或事物的实际情况。
集中量数还可以用于组与组之间的差异比较。
譬如，某教师在两个平行班进行了传统教学法和多媒体教学的实验研究，通过一年实验后，观测到两个班级的平均成绩之间出现较大的差异。
描述客观现象集中趋势的数量指标有算术平均数、加权平均数、中数、众数、几何平均数和倒数平均数。
统计心理-第三章 集中量数
例。
XT
ni X i ni
加权平均数
例1：某小学三年级举行英语测验。甲班32名学生的平均 分为72.6，乙班40名学生平均分为80.2，丙班36名学生的 平均分为75分。求全年级英语测验的总平均分数。
xwN1xN 11NN 2x22N N 33x3
加权平均数
例2：某课题组在8个省区进行一项调查，各省区的取样 人数和平均分数见下表，求该项调查的总平均数。
2
中数；若数据个数为偶数时，则 X N 2 X N 2 1 2为中 数。
①求数列4，6，7，8，12的中数。 ②有2，3，5，7，8，10，15，19共8个数，求其中数。
（二）中数的计算方法
（2）一组数据中有重复数值的情况
①当重复数值没有位于数列中间时 求数列5，5，6，10，12，15，17的中数。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
离中趋势是指数据分布中数据彼此分散的程度。 集中量数与差异量数：描述一组数据集中趋势和
离中趋势的统计量，共同描述一组数据的全貌及 统计特征。 测度集中趋势即寻找数据水平的代表值或中心值 集中量数包括算术平均数、中数、众数、加权平 均数、几何平均数、调和平均数等。
Mo3Md2M
第三节 其他集中量数
一、加权平均数 所得数据单位权重不相等时要使用加权平均数。
k
M WW 1X W 1 1W W 2X 22 W W nnXni
1
W
k
i
W
X
i
i
i1
W为权数，指各变量在构成总体中的相对重要性。
第三章 集中量数
例：某门课程期中考试成绩与期末考试成绩的权数分 别为3和7。已知某个考生期中考了92分，期末考了85分。 若不考虑其他因素，问该生在这门课上的成绩是多少。
W1 X 1 W2 X 2 Wn X n 解： X w W1 W2 Wn 92 3 85 7 = 3 7 =87.10
众数的优缺点
众数虽然简明易懂，但是它并不具备一个良好的集中 量的基本条件。它主要在以下情况下使用：
当需要快速而粗略地找出一组数据的代表值时； 当一组数据出现不同质的情况时 当次数分布中有极端数据时 当粗略估计次数分布的形态时，有时利用平均数与众数之 差，表示次数分布是否偏态的指标。
第二节
中数与众数
一、中数的概念 中位数是位于以一定顺序（从小到大或 从大到小）排列的一组数据中央位置的数值， 在这一数值上、下各有一半频数分布着。用 Md表示。
二、中位数的计算方法
1．总频数为奇数
某项研究调查了 25 名大学教师的月经济收入， 结果如下（单位：元） ： 2275， 3300，3326， 3358， 3363， 3394， 3402， 3455， 3467，3485， 3500， 3565， 3587， 3592， 3618， 3633，3646， 3674， 3720， 3734， 3756， 3775， 3820， 5695， 7100
1.原始数据计算法 上学期考试结束后某专业学生的分数： 97，93，71，86，88，78，91，86，90， 47，88，74，78，75，85,98，98，100， 75，85，93，91，81，91，93，96，88， 75，100，98,94，97，97，97，77，98， 95
X 1 X 2 X N X N
第三章集中量数
三、算术平均数的性质
一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 即 ∑ X = NX 一组变量值的离均差之和等于零， 一组变量值的离均差之和等于零，即
∑ (X − X ) = 0
在一组变量值中，每个变量值加上或减去 、乘以或 在一组变量值中，每个变量值加上或减去、 除以常数 ， 所得的平均数等于原平均数减去或 加上，除以或乘以常数 加上， 。
i N Mdn = La − − Fa f 2
5 57 = 74.5 − − 24 = 74.5 − 1.5 = 73 15 2
分组次数表与重复次数中位数的联系
1N Mdn = Lb + − Fb f 2
三、百分位数与四分位数
（一）百分位数：在任一百分位上的数值。
例3-6：五名学生的物理成绩分别55,64,89,98, 34请问五名学生的平均成绩是多少？
解：1、排序：34、55、64、89、98 2、 N=5，为奇数 为奇数 N +1 3、 中数位置= 2 =3 4、排在第 个位置上的数是 ，所以中位数 排在第3个位置上的数是 排在第 个位置上的数是64， 是64 答：五名同学的的物理平均成绩是64分。 五名同学的的物理平均成绩是 分
Fl →u
Fu→l
Fa = 24
57 54 46 33 18 9 3 1 —
3 11 24 39 48 54 56 57 —
④代入公式计算中数
i N Mdn = Lb + − Fb f 2 5 57 = 69.5 + − 18 = 69.5 + 3.5 = 73 15 2
例3-7:六架直升飞机的最大速度分别为 六架直升飞机的最大速度分别为450km/h、 六架直升飞机的最大速度分别为 、 420km/h、500km/h 、 530km/h 、600km/h 、 、 1100km/h，请问平均速度是多少 ，请问平均速度是多少? 1、排序：420、450、500、530、600、1100 N 2、N=6，为偶数 中数位置= 2
02第三、第四章_集中量数-差异量数解析
表示。
百分位数的计算方法
Pp Lb pn f b
i fp
（4．4）
公式中:Lb为百分位数所在组的精确下限
fb为百分位数所在组下限以下的累积频数 p为百分数
n为数据总和
fp为百分位数所在组的频数
i为组距
３．中位数的特点及应用
中位数是根据全部数据的个数来确定其位置的，
意义简明，对按顺序排列的数据来讲，计算中位数
第三章 集中量数
集中量用来表现数据资料的
典型水平或集中趋势（central tendency）。
常用的集中量包括算术平均
数、加权平均数、中位数和众数
等等。
一、算术平均数
算术平均数（arithmetic average ）
一般简称为平均数（average）或均 数、均值（mean）。 一般用Ｍ，或者用 X 表示。 算术平均数是最常用的集中量。
（5．1）
其中： n f b25 Q1 LQ1 4 i f Q1
3n f b75 Q3 LQ3 4 i f Q3
（5．２a）
（5．２b）
用中位数作集中量时，常用四分位距作差异量。
二、平均差
平均差（average deviation 或者
mean deviation）是指一组数据中，每一
二、中位数
中位数（median）又称为中数，
是按顺序排列的一组数据中位于中 间位置的数。
中位数是常用集中量的一种。 一般用Md或Mdn表示。
1、中位数的计算方法
原始数据计算法
首先将一组数据按顺序排列
n 1 若n为奇数 , 则Md 为第 个数 2
Xn Xn 若n为偶数, 则Md
百分位数的计算方法
Pp Lb pn f b
i fp
（4．4）
公式中:Lb为百分位数所在组的精确下限
fb为百分位数所在组下限以下的累积频数 p为百分数
n为数据总和
fp为百分位数所在组的频数
i为组距
３．中位数的特点及应用
中位数是根据全部数据的个数来确定其位置的，
意义简明，对按顺序排列的数据来讲，计算中位数
第三章 集中量数
集中量用来表现数据资料的
典型水平或集中趋势（central tendency）。
常用的集中量包括算术平均
数、加权平均数、中位数和众数
等等。
一、算术平均数
算术平均数（arithmetic average ）
一般简称为平均数（average）或均 数、均值（mean）。 一般用Ｍ，或者用 X 表示。 算术平均数是最常用的集中量。
（5．1）
其中： n f b25 Q1 LQ1 4 i f Q1
3n f b75 Q3 LQ3 4 i f Q3
（5．２a）
（5．２b）
用中位数作集中量时，常用四分位距作差异量。
二、平均差
平均差（average deviation 或者
mean deviation）是指一组数据中，每一
二、中位数
中位数（median）又称为中数，
是按顺序排列的一组数据中位于中 间位置的数。
中位数是常用集中量的一种。 一般用Md或Mdn表示。
1、中位数的计算方法
原始数据计算法
首先将一组数据按顺序排列
n 1 若n为奇数 , 则Md 为第 个数 2
Xn Xn 若n为偶数, 则Md
心理统计学第三章集中量数
04 集中量数的计算方法
简单平均数计算方法
总结词
简单平均数是集中量数中最基本的计算方法，它通过将一组数值相加后除以数值 的数量来得出平均值。
详细描述
简单平均数计算公式为 $overline{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是数值的数量，$x_i$ 是每一个数值。这种方法适用于数据分布均匀且无异常值的 情况。
对未来研究的展望
01 02
探索新的集中量数
随着数据类型和复杂性的增加，传统的集中量数可能无法满足某些研究 需求。未来研究可以探索新的集中量数，以更准确地描述数据的集中趋 势。
改进现有集中量数的计算方法和性质
现有集中量数的计算方法和性质可能存在一些局限性和不足之处，未来 研究可以尝试改进这些方法和性质，以提高集中量数的准确性和可靠性。
06 总结与展望
总结心理统计学第三章集中量数的要点
集中量数
集中量数是描述数据集中趋势的统计量，用于反映一组 数据的中心位置或典型值。
常见集中量数
常见的集中量数包括算术平均数、中位数和众数等。
算术平均数
算术平均数是所有数值的和除以数值的个数，是最常用 的集中量数之一。它具有线性性和可加性，能够反映数 据的平均水平。
在社集中量数来描述被调查者的社会特征， 例如通过平均年龄和标准差等指标来分析被调查者的社会 经济地位和人口结构。
社会政策制定
政府和社会组织可以利用集中量数来制定社会政策，例如 通过分析不同地区居民的平均收入和收入分布来制定社会 保障政策。
社会问题研究
研究者可以利用集中量数来研究社会问题，例如通过平均 失业率和标准差等指标来分析社会经济不平等和就业状况。
心理统计学第三章 集中量数
有重复数时，需考虑重复数的影响。
例：求11，11，11，11，13，13，13，17， 17的中 数。
分析：N=9，中间位置为5，第5个数为13。
但是数据中有3个13，需要重新考虑。
有3个13，意味着3个13占了一个单位。
第五位的13 ，中数计算（12.5+12.83） /2=12.665
或者12.5+1/3*1/2=12.666
例题3-4 计算加权平均数
省区代码 1 2 3 4 5 6 7 8
人数 平均分数
627
98
268
60
400
82
670
96
411
80
314
65
610
96
500
88
3800
665
解：
62798 268 60 50088
MW
3800
330496 86.97 3800
例题3-5 课堂练习
大。
练习
P79 5-6（10分钟）
第二节 中数与众数
一、中数 中位数又称中点数，中位数，中值，简称中数，用符
号Md 或Mdn表示，是位于按一定顺序排列的一组数 中央位置的数值。 中数是一种位置量数。 能将数据分成较大的一半和较小的一半。
（一）未分组数据的中数计算
1.中数附近无重复数时 若数据个数（N）为奇数时，中数则为（N+1）/2
2.众数的计算 （1）直接观察法 未分组数据——次数最多的数值 次数分布表——次数最多一组的组中值
例题3-3 计算众数
组别 81～ 78～ 75～ 72～ 69～ 66～ 63～ 60～
f
向上累加次数
17
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? 25，28，12，-1，-10，39，10，18，-7，-13，22，3
第一节 算术平均数
二、算术平均数的计算方法
（三）使用次数分布表计算平均数 1.由次数分布表求平均数
X ? ? fX C N
2.用估计平均数计算分组次数分布表平均数
? X ? AM ?
fd i ...
...d ?
X ? AM C
第一节 算术平均数
一、算术平均数的定义
算术平均数，一般简称为平均数，或均数，或均 值。一般用字母M或 X 表示。
第一节 算术平均数
二、算术平均数的计算方法
（一）未分组数据计算平均数
N
? ? X i ?
X ? i?1 N
?可简写为X ? ?
X?
N
? ?
第一节 算术平均数
二、算术平均数的计算方法
（二）用估计平均数计算算术平均数
? ?2
中数；若数据个数为偶数时，则 X N 2 ? X ?N 2?1? 2 为中 数。
①求数列4，6，7，8，12的中数。 ②有2，3，5，7，8，10，15，19共8个数，求其中数。
（二）中数的计算方法
（2）一组数据中有重复数值的情况
①当重复数值没有位于数列中间时 求数列5，5，6，10，12，15，17的中数。
(分散程度)
偏态和峰态 （形状）
集中趋势与离中趋势
?集中趋势 是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
集中趋势与离中趋势
?集中趋势 是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
?离中趋势 是指数据分布中数据彼此分散的程度。 ?集中量数与差异量数 ：描述一组数据集中趋势和
离中趋势的统计量，共同描述一组数据的全貌及 统计特征。 ? 测度集中趋势即寻找数据水平的代表值或中心值 ?集中量数 包括算术平均数、中数、众数、加权平 均数、几何平均数、调和平均数等。
因为：? x ? 0， ? X ? n X
代入可得：?
d?
nX
- n?，
?d
n
?
X
-?
当n ? ? 时， ? d ? 0， 故X ? ? n
平均数的优缺点
（一）优点
1.反应灵敏 2.计算严密 3.计算简单 4.简明易解 5.适合于进一步代数运算 6.较少受抽样变动的影响
平均数的优缺点
（二）缺点
1.易受极端数据影响 修剪平均数：也称截尾平均数，是从一组数据
的中数。
11
12 13
14 15
16
17
12
13
14
（二）中数的计算方法（补充说明）
①个数为奇数（仅与第 (N+1)/2这一个数值有关）：
? 例1：2，2，2，5，6，6，7（无重复） ? 例2：2，3，5，5，5，6，7（对称重复）
看组中值
? 例3：2，2，2，5，5，6，7（不对称重复）
②个数为偶数（与第 N/2和N/2+1两个数值有关）：
? 在报告平均数时，要按特别指定的单位来表达。 ? 在书写平均数时，习惯上平均数保留的小数位数要比
原来的测量数据多一位小数。
计算和应用平均数的原则
?同质性原则 同质数据：指使用同一个观测手段，采用相
同的观测标准，能反映某一问题的同一方面特 质的数据。 ?平均数与个体数值相结合的原则 ?平均数与标准差、方差相结合原则（即平均 数的代表性受标准差和方差所影响）
（二）中数的计算方法
（2）一组数据中有重复数值的情况
②当重复数目位于数据中间，数据的个数为奇数时 求数列11，11，11，11，13，13，13，17，17的中
数。
11
12 13
14 15
16
17
12
13
14
（二）中数的计算方法
（2）一组数据中有重复数值的情况
③当重复数目位于数列中间，数据的个数为偶数时 求数列11，11，11，11，13，13，13，17，17，18
常数C
X ?C? X?C
5. 所有观测值都乘以不等于 0的常数C，则平均 值也增大 C倍
CX ? C ?X
6.
X ?Y ? X?Y
7. 算术平均数是“真值”的渐进、最佳的估计 值
推导：
设观测值与平均数的差为：xi ? Xi - X 观测值与真值的差为： d i ? Xi - ?
? 则： ? x ? ? X - n X， ? d ? ? X - n
第三章 集中量数
? 9，13 ，10， 8，9，11 ，7，12 ，10， 13，10 ，8
?55，57，52，56，55，56，59，58，51，53， 54， 54
? 25， 28，12 ，-1，-10 ，39 ，10，18 ，-7， -13， 22，-3
数据分布的基本特征
集中趋势 (位置) 离中趋势
X ? AM? ? (X ? AM)
N
? AM? ? x'
N
AM为估计平均数 N为数据个数
x'? X ? A M
X
?
AM
?
?
( X ? AM ) ?
AM
??
x'
N
N
? 9，13，10，8，9，11，7，12，10，13，10，8
? 55，57，52，56，55，56，59，58，51，53，54，54
第二节 中数和众数
一、中数
（一）中数的意义和特点
1.定义：
中数又称中点数，中位数，中值，是指 按顺序排列 在一起的一组数据中居于中间位置的数。符号为 Md或 Mdn。
50%
50%
2.特点：
Mdn
受极端数目的影响较小
（二）中数的计算方法
1. 未分组数据求中数的方法
（1）一组数据中无重复数值的情况 先将数据排序，若数据个数为奇数时，则 X N ?1 为
? 例4：2，5，5，5，5，7（自身对称重复） 看上下限 ? 例5：5，5，5，5，5，7（自身不对称重复） ? 例6：2，5，5，6，8(6)，9（一个或两个有重复，连续） ? 例7：2，5，5，8，8(9)，9（一个或两个有重复，不连续）
中去除一定百分比（如5%）的最大值和最小值数 据后，再次计算的算术平均数。
2.若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数
小结
? 如果一组数据比较准确，可靠又同质，而且需要每一 个数据都加入计算，同时还要作进一步代数运算时， 这时就要用算术平均数表示其集中趋势。
? 如果一组数据中出现两个极端的数目，或有一些数据 不清楚，数据不同质时，就不宜使用算术平均数。
N
i
第一节 算术平均数
三、平均数的特点
N
⒈
N ?X ? ? X i
i?1
⒉ 各变量值与均值的离差之和等于零
N
?
?X i
?
X
??
0
i?1
3.各变量值与均值的离差平方和最小
? ?X ? X ?2 最小
? ? ( x i ? x ) 2 ?
(xi ? c)2
第一节 算术平均数
二、平均数的特点
4. 所有的观测值都加上常数 C，则平均值也增加