第三章集中量数
算术平均数的意义、适用条件及应用原则
算术平均数的意义
算术平均数是应用最普遍的集中量数，它是“真值”渐近、最佳的估计 值。 算术平均数的适用的条件 一组数据是比较准确，可靠又同质，而且需要每一个数据都加入计算， 同时还要作进一步代数运算时，这时就需要用算术平均数表示其集中趋势。 计算和应用算术平均数的原则 ① 同质性原则； （相同的观测手段；相同的观测指标；同问题的同一特质数据） ② 平均数与个体数值相结合的原则；(毕业生应聘的尴尬） ③ 平均数与标准差、方差相结合的原则。
a
为低于众数所在组一个组距那一分组区间的次数。
众数的意义与应用
众数的意义
众数虽然简明易懂，较少受两极端数值的影响，但极
不准确、稳定，反应不灵敏，不适合代数运算，受抽样的 影响较大等。因此，应用也不广泛，只在特殊情况下应用。 众数适用的情况 （1）当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时；
（2）当一组数据出现不同质的情况时；
627 98 268 60 500 88 • B： X T 3800 86.97
• 一家水果店购进一批水果，其中包括 第一天的平均价 30斤苹果， 30斤桃子。苹果一块钱两斤，桃子一块钱三斤。 （30（1/2）+30（1/3））/60=5/12 一天之内，这些水果都卖光了，共卖25元。第 二天，店主又购进30苹果，30桃子。店主一想， 苹果1元2斤，桃子1元3斤，那还不如省点事， 把两种水果掺在一起出售， 第二天的平均价2元5斤算了。一天 下来，60斤水果全部卖完了。店主一清点，怎 2/5=0.4 么一共只卖了24元？而不是25元。那1元钱哪 里去了？ 两种卖法的平均单价是多少?
算术平均数的计算方法
（1）未分组数据（原始数据）计算法
X X1 X 2 X N X i N N
例3－1 现有一组实验观测数据如下： 25、27、28、27、25、29、30、32、33
计算它们的平均数
解：1） 2）
X1 X 2 X N X i X N N xi X AM 其中，xi X i AM N
• 一个人开车从A到达B地时速90公里，从 B回A地时速60公里，其平均时速是75公 里吗？试用加权平均数说明为什么？
二、几何平均数
• 例某产品需经三个车间连续加工，已知三个 车间制品的合格率分别为95%，90%，98%， 求三个车间平均合格率。 • 设平均合格率为 M g 则经三个车间连续加工的 合格产品为 • M M M 95% 90% 98%
（1）当一组观测结果中出现两极端数目时；
（2）当次数分布的两端数据或个别数据不清楚时； （3）当需要快速估计一组数据的代表值时。
一项研究调查了19名大学生，他们的月 消费（单位：人民币元）如下： 220，227，230，231，232，232，235，236， 237，239，240，245，246，249，253，258， 260，510，600 现欲了解他们的平均月消费？
省区代码 1 2 3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4 5 6 7 8 合计 人数 627 268 400 670 411 314 610 500 3800 平均分数 98 60 82 96 80 65 96 88 665
• 解：已知Xi(各省区平均数），ni（各省区取样 人数） • A： X T 665 83.13 A的方法不正确 8
Mw
W1 X 1 W2 X 2 Wn X n Wi X i W1 W2 Wn Wi
式中 Wi 为权数
加权平均数的应用 当测量所得的数据，其单位权重并不相等时，
要用加权平均数来求平均数。
例3－7 某课题组在8个省区进行一项调查，各省 区的取样人数和平均数见下表，求该项调查的总 平均数。
算术平均数的概念
算术平均数是所有观察值的总和除以总频数所得之商。用
X
表示。
若以 X1，X2，· · · ，XN 表示变量 X 的各个观察值，N 表示
观察值的个数，则算术平均数可表示为：
X1 X 2 X N Xi X N N
算术平均数的特点
（1）在一组数据中每个变量与平均数之差的总和等于0，
第三章 集中量数
算术平均数 中数 众数 其它集中量数（加权平均数、几何平均数、调和平 均数等）
集中量数的概念
集中量数就是对一组数据的集中趋势特点进行度量和描
述的统计量。它反映了次数分布中大量数据向某方向集中的
程度。 常用的集中量数有算术平均数、中数、众数 、加权平均 数、几何平均数、调和平均数等。
算术平均数的优缺点
算术平均数具备一个良好的集中量数所应具备的一些条件： ① 反应灵敏； ② 严密确定； ③ 简明易懂； ④ 计算简单； ⑤ 适合代数运算； ⑥ 较少受抽样变动的影响。 除此之外，算术平均数还有以下一些特殊的优点： ① 只知一组观察值的总和及总频数就可以求出算术平均数； ② 用加权法可以求出几个平均数的总平均数； ③ 用样本数据推断总体集中量数时，算术平均数最接近总体集中量数 的真值，它是总体平均数的最好估计值； ④ 在计算方差、标准差、相关系数以及进行统计推断时，都要用到它。 但是算术平均数也有一些缺点： ① 易受极端数据的影响； ② 若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数。
表中，次数最多一组的组中值就是粗略众数。
（2）用经验公式求理论众数的近似值 ① 皮尔逊经验法
M 0 3M d 2M （适合正态分布）
② 金氏插补法
fa M 0 Lb i （适合偏态分布） fa fb
b
那一分组区间的次数， f
其中Lb为含众数这一区间的精确下限，f 为高于众数所在组一个组距
中数的概念
中数是按顺序排列在一起的一组数据中居于中 间位置的数，即在这组数据中，有一半的数据比它 大，有一半的数据比它小。中数用Ｍd 表示。
未分组数据（原始数据）求中数的方法
（1）一组数据中无重复数值的情况 指一组数据中没有相同的数，这时取处于序列中间位 置的那个数为中数。如果数据个数为奇数，则中数为 N21 位置的那个数；如果数据个数为偶数，则中数为居于中间 位置两个数的平均数，即第 N 与第 N 1 位置的两个 2 2 数据的平均数。 例3－2 求数据4、6、7、8、12的中数 例3－3 求2、3、5、7、8、10、15、19的中数。
数据分组后（次数分布表）求中数的方法
将原始数据整理成次数分布表后，求中数的原理同重复数 目求中数是一样的，也是取序列中将N平分为两半的那一点的 值作为中数。
N 2
M d Lb
Fb i f Md
或
Fa Md La i f Md
N 2
式中 Lb 为中数所在分组区间的精确下限，La 为中数所在
即
Xi X 0 。
（2）在一组数据中，每一个数都加上一常数C，则所得的平均数为原 。
来的平均数加常数C，即 X i C X C
N
（3）在一组数据中，每一个数都乘以一常数C，则所得的平均数为原 来的平均数乘以常数C，即 X i C C X
N
。
答： 参加方队学生的最佳身高值应取1.66。
这是因为从这10个身高值可以看出，1.66出现的
次数最多，是这组数的众数，既然这10个男生中
有3个身高为1.66米，而一个班远不止10个男生，
那么8个班的男生中应该能选出40名这种身高的人。
算术平均数、中数、众数之间的关系
（1）当次数分布呈正态时： M M M d 0
d （2）当次数分布呈正偏态时： M M d M 0 且 M M0 3
M M
1
M Md 1 （3）当次数分布呈负偏态时： M M d M 0 且 M M0
3
一、加权平均数
加权平均数的概念
加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平
均数，用 MW 表示。 加权平均数的计算方法
当一组数据彼此间变异较大，几乎是按一定的比例关系变化 时，要用几何平均数计算平均比率。
例3－9 在一项有关阅读能力的实验中，得 到这样的结果。阅读的遍数与每遍理解的 程度依次是：第一遍为40%，第二遍为52%， 第三遍为65 %，第四遍为75%第五遍为 86%，第六遍为97%.在该实验研究中被试 阅读能力的平均进步率是多少？阅读能力 的平均增加比率又是多少？
g g g
几何平均数的概念
几何平均数是N个数值连乘积的N次方根，用
几何平均数的计算方法
Mg
表示。
Mg
几何平均数的应用
N
X1 X 2 X N
（1）直接应用公式计算几何平均数 当一组实验数据中有少数数据偏大或偏小，数据的分布呈偏 态时，要用几何平均数作为集中趋势的代表。
（2）应用几何平均数的变式计算
（3）当次数分布中有两极端的数目时； （4）当粗略估计次数分布的形态时。
思考题 学校要召开运动会，决定从高一年级8个班中
抽调40名男生组成一个整齐的彩旗方阵队，如果从高一（1） 班的体检表中任意抽出10份男生表格，得到10个男同学的身高 （单位：米）如下： 1.63 1.60 1.68 1.66 1.66 1.63 1.75 1.66 1.58 1.65 请根据这10个身高值提供的信息确定参加方队学生的最佳身高 值应取多少？并说明理由。
思考题
X 272.63
解：由于这19名大学生的月消费中存在极端数据，算
术平均数（ 元）不能很好地反映他们的平均月消 X 272.63 费（19人中17人月消费低于272.63元），应求中数：
N 1 19 1 10 2 2
M d 239 （元）
答：这些大学生的平均月消费是239元。
众数的概念
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第三章集中量数,趋中量数(MeasuresofCentralTendency)
第三章集中量數（或趨中量數）(Measures of Central Tendency)壹、本單元的目標1、解釋集中量數的目的，並說明此量數所傳達的訊息2、計算，說明，及比較眾數（mode）、中位數（median）、以及平均數（mean）的差異3、說明平均數的數學特性4、依照測量尺度及偏態（skew）來選擇適當的集中量數貳、各種集中量數上個單元所介紹的次數分配及圖表等是用來描述資料的整體分配情況。
本單元及下個單元則介紹兩類的描述統計，以進一步瞭解資料整體分配的細節。
這兩類統計能告訴我們以下的資訊是：1、代表此分配之典型或平均狀況的個案為何。
與此有關的描述統計就是各種「集中量數」。
2、此分配之變異或異質性的狀況。
與此有關的描述統計就是各種「離散量數」。
所以，集中量數就是以一個數值來描述樣本資料中，那一個分數或數值是最常見的、站在中間的位置、或最具代表性。
最常見的集中量數有三種，即眾數(Mode)、中位數(Median)、和算術平均數(Mean)。
這三種量數雖有共同的目的，但它們測量資料之集中趨勢（central tendency）的作法卻不同，也傳達不同的訊息。
因此，只有在特定的條件下，這三種量數的數值才會相同。
到底用那一個集中量數和the level of measurement（測量尺度）以及研究之目的有關。
集中量數之使用和測量尺度之關係：Nominal －ModeOrdinal －Mode、Median （也可用Mean，但解釋時要小心）Interval-Ratio －Mode、Median、Mean一、眾數(Mode)：是指資料中出現最多的數值。
眾數適用於各種測量尺度。
但當變項為名目尺度時，這是唯一可用的集中量數。
在名目尺度變項，或次數分配表中，眾數是指含件數或次數最多的類別。
眾數雖是最簡單之集中量數，但有缺點：1、有些分配不一定有眾數，換言之，分配很平均時或眾數很多時，眾數即失去意義和功能。
统计心理-第三章 集中量数
例。
XT
ni X i ni
加权平均数
例1：某小学三年级举行英语测验。甲班32名学生的平均 分为72.6，乙班40名学生平均分为80.2，丙班36名学生的 平均分为75分。求全年级英语测验的总平均分数。
xwN1xN 11NN 2x22N N 33x3
加权平均数
例2：某课题组在8个省区进行一项调查，各省区的取样 人数和平均分数见下表，求该项调查的总平均数。
2
中数；若数据个数为偶数时，则 X N 2 X N 2 1 2为中 数。
①求数列4，6，7，8，12的中数。 ②有2，3，5，7，8，10，15，19共8个数，求其中数。
（二）中数的计算方法
（2）一组数据中有重复数值的情况
①当重复数值没有位于数列中间时 求数列5，5，6，10，12，15，17的中数。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
离中趋势是指数据分布中数据彼此分散的程度。 集中量数与差异量数：描述一组数据集中趋势和
离中趋势的统计量，共同描述一组数据的全貌及 统计特征。 测度集中趋势即寻找数据水平的代表值或中心值 集中量数包括算术平均数、中数、众数、加权平 均数、几何平均数、调和平均数等。
Mo3Md2M
第三节 其他集中量数
一、加权平均数 所得数据单位权重不相等时要使用加权平均数。
k
M WW 1X W 1 1W W 2X 22 W W nnXni
1
W
k
i
W
X
i
i
i1
W为权数，指各变量在构成总体中的相对重要性。
心理统计学(一) 第三章 集中量数
第三章
[学习重点]
集中量数
1.各种集中量数的概念和性质 2.各种集中量数的计算方法 3.各种集中量数的具体应用
第三章
集中量数
集中趋势与离中趋势是次数分布的两个 基本特征。数据的集中趋势就是指数据分布 中大量数据向某方向集中的程度，离中趋势 是指数据分布中数据彼此分散的程度。用来 描述一组数据这两种特点的统计量分别称为 集中量数和差异量数。这两种量数一起共同 描述或反映一组数据的全貌及其各种统计特 征。
算术平均数的计算方法
（1）未分组数据（原始数据）计算法
X X1 X 2 X N X i N N
fX c N
（2）数据分组后（次数分布表）计算法
X
（式中 XC 为各区间的组中值，f 为各区间的次数）
算术平均数的优缺点
算术平均数具备一个良好的集中量数所应具备的一些条件： ① 反应灵敏； ② 严密确定； ③ 简明易懂； ④ 计算简单； ⑤ 适合代数运算； ⑥ 较少受抽样变动的影响。 除此之外，算术平均数还有以下一些特殊的优点： ① 只知一组观察值的总和及总频数就可以求出算术平均数； ② 用加权法可以求出几个平均数的总平均数； ③ 用样本数据推断总体集中量数时，算术平均数最接近总体集中量数的 真值，它是总体平均数的最好估计值； ④ 在计算方差、标准差、相关系数以及进行统计推断时，都要用到它。 但是算术平均数也有一些缺点： ① 易受极端数据的影响； ② 若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数。
算术平均数的概念
算术平均数是所有观察值的总和除以总频数所得之商。用
表示。 X
若以 X1，X2，· · · ，XN 表示变量 X 的各个观察值，N 表示 观察值的个数，则算术平均数可表示为：
X1 X 2 X N Xi X N N
[学习重点]
集中量数
1.各种集中量数的概念和性质 2.各种集中量数的计算方法 3.各种集中量数的具体应用
第三章
集中量数
集中趋势与离中趋势是次数分布的两个 基本特征。数据的集中趋势就是指数据分布 中大量数据向某方向集中的程度，离中趋势 是指数据分布中数据彼此分散的程度。用来 描述一组数据这两种特点的统计量分别称为 集中量数和差异量数。这两种量数一起共同 描述或反映一组数据的全貌及其各种统计特 征。
算术平均数的计算方法
（1）未分组数据（原始数据）计算法
X X1 X 2 X N X i N N
fX c N
（2）数据分组后（次数分布表）计算法
X
（式中 XC 为各区间的组中值，f 为各区间的次数）
算术平均数的优缺点
算术平均数具备一个良好的集中量数所应具备的一些条件： ① 反应灵敏； ② 严密确定； ③ 简明易懂； ④ 计算简单； ⑤ 适合代数运算； ⑥ 较少受抽样变动的影响。 除此之外，算术平均数还有以下一些特殊的优点： ① 只知一组观察值的总和及总频数就可以求出算术平均数； ② 用加权法可以求出几个平均数的总平均数； ③ 用样本数据推断总体集中量数时，算术平均数最接近总体集中量数的 真值，它是总体平均数的最好估计值； ④ 在计算方差、标准差、相关系数以及进行统计推断时，都要用到它。 但是算术平均数也有一些缺点： ① 易受极端数据的影响； ② 若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数。
算术平均数的概念
算术平均数是所有观察值的总和除以总频数所得之商。用
表示。 X
若以 X1，X2，· · · ，XN 表示变量 X 的各个观察值，N 表示 观察值的个数，则算术平均数可表示为：
X1 X 2 X N Xi X N N
第三章集中量数
第三章 集中量数第一节 算术平均数 一、概念及计算公式 （一)概念算术平均数 （mean)，是所有观测值（或变量值)的总和除以总数所得的商。
简称平均数、均数或均值。
其符号系统既有表示样本平均数的数学符号X 和英文符号M (M ean ）,又有表示总体参数的希腊字符μ。
（二）计算公式1、未分组数据计算平均数方法 公式一：例3—1：现有一组实验观测数据,25，27，28，27，25，29，30，34，32，33.计算它们的平均数。
解：根据题意,已知N=10，根据公式：X = = =29公式二:X =AM+= 2、使用次数分布表计算平均数方法 公式一： 公式二：X =AM+ ×i例3—2：100名学生的数学成绩分布如下,计算平均数。
表3-1 简化平均数计算表组别 c XfdC fXfd96～ 97 2 6 194 12 93～ 94 3 5 282 15 90～ 91 4 4 364 16 87～ 88 83 704 24 84~ 85 11 2 935 22 81~ 82 17 1 1394 17 78～ 79 19 0 1501 0 75～ 76 14 -1 1064 -14 72~ 73 10 —2 730 —20 69～ 707 -3 490 -21 66~673—4201-12∑∑=f fm X Nfd∑Nx ∑'1033...2725+++10290NX X i∑=29102027=+63～ 64 1 -5 64 —5 60~611 —6 61 -6 ∑—100—798428①将∑fm ，N 代入上面第一个公式计算： X = = =79.84②设AM=79,将AM ，∑fd ，N ，i 代入上面第二个公式计算：X =AM + ×i=79+ ×3=79.84这两个公式计算的结果完全相同，但第二个公式更简便.二、平均数的特点1、一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积，即∑=X N X2、一组变量值的离均差之和等于零,即()∑=-0X X3、在一组变量值中，每个变量值加上或减去、乘以或除以常数c ，所得的平均数等于原平均数减去或加上，除以或乘以常数c 。
第三章 集中量数
例：某门课程期中考试成绩与期末考试成绩的权数分 别为3和7。已知某个考生期中考了92分，期末考了85分。 若不考虑其他因素，问该生在这门课上的成绩是多少。
W1 X 1 W2 X 2 Wn X n 解： X w W1 W2 Wn 92 3 85 7 = 3 7 =87.10
众数的优缺点
众数虽然简明易懂，但是它并不具备一个良好的集中 量的基本条件。它主要在以下情况下使用：
当需要快速而粗略地找出一组数据的代表值时； 当一组数据出现不同质的情况时 当次数分布中有极端数据时 当粗略估计次数分布的形态时，有时利用平均数与众数之 差，表示次数分布是否偏态的指标。
第二节
中数与众数
一、中数的概念 中位数是位于以一定顺序（从小到大或 从大到小）排列的一组数据中央位置的数值， 在这一数值上、下各有一半频数分布着。用 Md表示。
二、中位数的计算方法
1．总频数为奇数
某项研究调查了 25 名大学教师的月经济收入， 结果如下（单位：元） ： 2275， 3300，3326， 3358， 3363， 3394， 3402， 3455， 3467，3485， 3500， 3565， 3587， 3592， 3618， 3633，3646， 3674， 3720， 3734， 3756， 3775， 3820， 5695， 7100
1.原始数据计算法 上学期考试结束后某专业学生的分数： 97，93，71，86，88，78，91，86，90， 47，88，74，78，75，85,98，98，100， 75，85，93，91，81，91，93，96，88， 75，100，98,94，97，97，97，77，98， 95
X 1 X 2 X N X N
第三章集中量数
三、算术平均数的性质
一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 即 ∑ X = NX 一组变量值的离均差之和等于零， 一组变量值的离均差之和等于零，即
∑ (X − X ) = 0
在一组变量值中，每个变量值加上或减去 、乘以或 在一组变量值中，每个变量值加上或减去、 除以常数 ， 所得的平均数等于原平均数减去或 加上，除以或乘以常数 加上， 。
i N Mdn = La − − Fa f 2
5 57 = 74.5 − − 24 = 74.5 − 1.5 = 73 15 2
分组次数表与重复次数中位数的联系
1N Mdn = Lb + − Fb f 2
三、百分位数与四分位数
（一）百分位数：在任一百分位上的数值。
例3-6：五名学生的物理成绩分别55,64,89,98, 34请问五名学生的平均成绩是多少？
解：1、排序：34、55、64、89、98 2、 N=5，为奇数 为奇数 N +1 3、 中数位置= 2 =3 4、排在第 个位置上的数是 ，所以中位数 排在第3个位置上的数是 排在第 个位置上的数是64， 是64 答：五名同学的的物理平均成绩是64分。 五名同学的的物理平均成绩是 分
Fl →u
Fu→l
Fa = 24
57 54 46 33 18 9 3 1 —
3 11 24 39 48 54 56 57 —
④代入公式计算中数
i N Mdn = Lb + − Fb f 2 5 57 = 69.5 + − 18 = 69.5 + 3.5 = 73 15 2
例3-7:六架直升飞机的最大速度分别为 六架直升飞机的最大速度分别为450km/h、 六架直升飞机的最大速度分别为 、 420km/h、500km/h 、 530km/h 、600km/h 、 、 1100km/h，请问平均速度是多少 ，请问平均速度是多少? 1、排序：420、450、500、530、600、1100 N 2、N=6，为偶数 中数位置= 2
心理统计学第三章集中量数
04 集中量数的计算方法
简单平均数计算方法
总结词
简单平均数是集中量数中最基本的计算方法，它通过将一组数值相加后除以数值 的数量来得出平均值。
详细描述
简单平均数计算公式为 $overline{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是数值的数量，$x_i$ 是每一个数值。这种方法适用于数据分布均匀且无异常值的 情况。
对未来研究的展望
01 02
探索新的集中量数
随着数据类型和复杂性的增加，传统的集中量数可能无法满足某些研究 需求。未来研究可以探索新的集中量数，以更准确地描述数据的集中趋 势。
改进现有集中量数的计算方法和性质
现有集中量数的计算方法和性质可能存在一些局限性和不足之处，未来 研究可以尝试改进这些方法和性质，以提高集中量数的准确性和可靠性。
06 总结与展望
总结心理统计学第三章集中量数的要点
集中量数
集中量数是描述数据集中趋势的统计量，用于反映一组 数据的中心位置或典型值。
常见集中量数
常见的集中量数包括算术平均数、中位数和众数等。
算术平均数
算术平均数是所有数值的和除以数值的个数，是最常用 的集中量数之一。它具有线性性和可加性，能够反映数 据的平均水平。
在社集中量数来描述被调查者的社会特征， 例如通过平均年龄和标准差等指标来分析被调查者的社会 经济地位和人口结构。
社会政策制定
政府和社会组织可以利用集中量数来制定社会政策，例如 通过分析不同地区居民的平均收入和收入分布来制定社会 保障政策。
社会问题研究
研究者可以利用集中量数来研究社会问题，例如通过平均 失业率和标准差等指标来分析社会经济不平等和就业状况。
第三章 集中量数
可能不止一个单峰分布 双峰分布
计算
未分组数据-次数最多的数据
次数分布表-次数最多一组的组中值
皮尔逊经验公式Mo=3Md-2X拔
平均数。中数、众数三者之间的关系
1.正态分布Md=Mo=X拔
2.偏态分布 Mo=3Md-2X拔
3.负偏态中 分数分布在高端X拔＜Md＜Mo
4.正偏态中 分数分布在低端X拔＞Md＞Mo
缺点：容易受极端数据影响；如果出现模糊不清的数据无法使用
中数与众数
中数
概念
中位数又称中点数，简称中数，用符号Md表示，是位于按一定顺序排列的一组数中央位置的数据
中数是一种位置量数
计算
无重复数据时中间那个数（奇数）或中间位置两个数的平均数（偶数）
有重复数据时
众数（Mode）
概念
是指一群数据中出现次数最多的那个数，用符号Mo表示
其他集中量数
加权平均数
W是权重
几何平均数
求银行利பைடு நூலகம்时
调和平均数
MH
主要用于描述速度方面的集中趋势
不同性质代表单位不同，ABD都带单位
第三章 集中量数
算数平均数
概念及计算公式
用X拔或M表示概念 算数平均数是所有观测值（或变量值）的总和除以总数所得的商
每个数据对总体的贡献是等权的
计算公式
定义公式 估算公式 （AM为估计平均数）
平均数的特点
一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的成绩
一组变量值的离均差之和等于零（说明平均数是一组数据的重心）
在一组变量值中，每个变量值加上或减去、乘以或除以常数C，所得的平均数等于原平均数减去或加上，除以或乘以常数C（平均数反应灵敏）
平均数的意义
计算
未分组数据-次数最多的数据
次数分布表-次数最多一组的组中值
皮尔逊经验公式Mo=3Md-2X拔
平均数。中数、众数三者之间的关系
1.正态分布Md=Mo=X拔
2.偏态分布 Mo=3Md-2X拔
3.负偏态中 分数分布在高端X拔＜Md＜Mo
4.正偏态中 分数分布在低端X拔＞Md＞Mo
缺点：容易受极端数据影响；如果出现模糊不清的数据无法使用
中数与众数
中数
概念
中位数又称中点数，简称中数，用符号Md表示，是位于按一定顺序排列的一组数中央位置的数据
中数是一种位置量数
计算
无重复数据时中间那个数（奇数）或中间位置两个数的平均数（偶数）
有重复数据时
众数（Mode）
概念
是指一群数据中出现次数最多的那个数，用符号Mo表示
其他集中量数
加权平均数
W是权重
几何平均数
求银行利பைடு நூலகம்时
调和平均数
MH
主要用于描述速度方面的集中趋势
不同性质代表单位不同，ABD都带单位
第三章 集中量数
算数平均数
概念及计算公式
用X拔或M表示概念 算数平均数是所有观测值（或变量值）的总和除以总数所得的商
每个数据对总体的贡献是等权的
计算公式
定义公式 估算公式 （AM为估计平均数）
平均数的特点
一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的成绩
一组变量值的离均差之和等于零（说明平均数是一组数据的重心）
在一组变量值中，每个变量值加上或减去、乘以或除以常数C，所得的平均数等于原平均数减去或加上，除以或乘以常数C（平均数反应灵敏）
平均数的意义
03第三章 集中量数
离中趋势离中趋势量数平均数的计算特点和优缺点平均数的计算特点和优缺点中数和众数的含义简单计算和优缺点中数和众数的含义简单计算和优缺点平均数中数和众数的关系平均数中数和众数的关系p7811分别计算下列几组数据的平均数中数分别计算下列几组数据的平均数中数众数并说明哪种集中量数更能代表该组数据众数并说明哪种集中量数更能代表该组数据的集中趋势
2、缺点：
①易受极值的影响。
“修剪平均数”
②若有数据不够确切，则无法计算该样本平均数。 “缺失值（missing values）的处理”
第一节 算术平均数
五、计算和应用平均数的原则
1、同质性原则：同质的数据才有计算平均数的意义。
2、平均数与标准差、个体数值相结合的原则：描 述数据分布特征不能仅依赖于平均数，还需考察标准差 以及个体数值等。
两者一起描述一组数据的全貌。最常用的即为平均 数和标准差。
第一节 算术平均数
P54
一般简称为平均数（average）或均值（mean)。符
号为M，区分总体/样本平均数。 适用资料：等距数据及以上/连续数据。
一、平均数的计算 [自习，包括“使用次数分布表计算
平均数的方法” P56]
二、平均数的特点
[例3-8计算不当]
三、调和/倒数平均数：适用于比率数据，用于 描述平均速率等方面的问题。
本章要点
集中趋势/量数 vs. 离中趋势/量数 平均数的计算、特点和优缺点 中数和众数的含义、简单计算和优缺点 平均数、中数和众数的关系
本章课后作业
P78
1、分别计算下列几组数据的平均数、中数、 众数，并说明哪种集中量数更能代表该组数据 的集中趋势。
①离均差总和为0。
2、缺点：
①易受极值的影响。
“修剪平均数”
②若有数据不够确切，则无法计算该样本平均数。 “缺失值（missing values）的处理”
第一节 算术平均数
五、计算和应用平均数的原则
1、同质性原则：同质的数据才有计算平均数的意义。
2、平均数与标准差、个体数值相结合的原则：描 述数据分布特征不能仅依赖于平均数，还需考察标准差 以及个体数值等。
两者一起描述一组数据的全貌。最常用的即为平均 数和标准差。
第一节 算术平均数
P54
一般简称为平均数（average）或均值（mean)。符
号为M，区分总体/样本平均数。 适用资料：等距数据及以上/连续数据。
一、平均数的计算 [自习，包括“使用次数分布表计算
平均数的方法” P56]
二、平均数的特点
[例3-8计算不当]
三、调和/倒数平均数：适用于比率数据，用于 描述平均速率等方面的问题。
本章要点
集中趋势/量数 vs. 离中趋势/量数 平均数的计算、特点和优缺点 中数和众数的含义、简单计算和优缺点 平均数、中数和众数的关系
本章课后作业
P78
1、分别计算下列几组数据的平均数、中数、 众数，并说明哪种集中量数更能代表该组数据 的集中趋势。
①离均差总和为0。
第三章集中量数
Mo = 3Mdn− 2 X
M o = Lb +
fa ⋅i fb
9
1
集中量数的选择与应用
一、均数、中数、众数的关系 正态分布时 ：
X = Mdn = Mo
数据分布为偏态分布时，
(X − Mdn) : (X − Mo) = 1 : 3
众数、中位数和均值的关系图
均值 中位数 众数 均值 = 中位数 = 众数 众数 中位数 均值
1 1 1 1 1 + + ⋅⋅⋅ + N X1 X 2 XN 1 N = = 1 1 1 ∑ ∑ N X X MH =
17
本章学习要求
这节课你学到了什么知识？ ？ 这节课你学到了什么知识 ☆ 本章学习要求： 本章学习要求：
理解各集中量数的意义与作用 算术平均数、 算术平均数、加权平均数的计算与应用 集中量数的选择
N 2
Mdn =
+X
N +1 2
6
解：1、排序 例3-6：五名 学生的物理成 绩分别55,64, 89,98,34请问 五名学生的平 均成绩是多 少？
2、 N=5，为奇数 为奇数 3、中数位置=
N +1 2
=3
4、中位数是 中位数是64
例3-7:六架直升飞机的最大速度分别为450km/h、 420km/h、 500km/h 、 530km/h 、600km/h 、1100km/h，请问平均速 度是多少?
X =
∑
Xi
N
3
例3-1：10名学生的心理与教育 统计成绩为68，77，63，79， 70，79，70，79，86，80。 试问这组数的平均数为多少？ 试问这组数的平均数为多少？