差异量数
第四章差异量数
Q3在70-74组。
将Lb 5 4.5, f Q1 2 5, Fb 2 4, i 5, N 4.7 , 得 3 6代入公式 4 36 24 Q1 5 4.5 5 25 5 6.9
将Lb 6 9.5, f Q1 1 8, Fb 1 0 1 , i 5, 3N 4.8, 得 108 代入公式 4 1 0 8 1 0 1 Q3 6 9.5 5 18 7 1.4
1 6, 2 5.3, 3 7, 4 8.2
50 90 52 85 48 88 51 92 则Xt 50 52 51 48 89
d1 X 1 X t 90 89 1 d 2 X 2 X t 58 89 4 d 3 X 3 X t 88 89 1 d 4 X 4 X t 92 89 3
平均差、方差、标准差、差异系 数等
第一节
标准差
一、全距：一组数据中最大值与最小值之 差，又称极差。(用符号R表示。)
全距的优缺点： 优点：概念清楚，意义明确，计算简便。
缺点：易受两个极端的数值影响。
二、方差和标准差
方差（又称为变异数、均方）。是表示一组数据离散
2 S 程度的统计指标。一般样本的方差用 表示，总体
X
100
（4.9）
式中：CV 为差异系数； 为标准差；X 为平均数。
2、差异系数的作用
比较不同单位(现象)资料的差异(变异)程度
比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 可判断特殊差异情况
差异系数CV又称为相对标准差，属于相对差异量
数，不具有测量单位。在算术平均数不为零的情况
4差异量数
N
z 1
•标准分数（Z分数）
标准分数的优点
（1）可比性； （2）可加性； （3）明确性； （4）稳定性。
标准分数的应用
（1）用于比较分属性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低； （2）计算不同质的观测值的总和或平均值，以表示在团体中的相对位置； （3）表示标准测验分数。
例： 假定甲、乙两生高考入学考试成绩如下表所示，试问根
（2）一组原始分数转换得到的Z 分数可以是正值，也可以是负值。
（3）一组原始分数中，各个Z 分数的标准差为1，即 sZ 1
（4）若原始分数呈正态分布，则转换得到的所有Z 分数值的均值为0， 标准差为1的标准正态分布。即将原始分数标准化后不改变原来数据的分布。
• 证明 Z 0, z 1
解： Z X X σ
与最小值而求得，易受两极端数值影响。不考虑中间数值的 差异，它反应不灵敏，因此，它只是一种低效的差异量数。 它的用处一般只用于研究的预备阶段，用它检查数据的大概 散布范围，以便确定如何进行统计分组。
•二、百分位数 百分等级 百分位差
百分位数的概念
百分位数是位于依一定顺序排列的一组数据中某一百分位 置的数值。百分位数一般用 表示。 百分位数的计算方法
则有 Z
X
σ
X
N
1 σ
(X X)
N
1 Nσ
(X
X)
1 Nσ
[(X1
X)
(X2
X) ......
(Xn
X)]
1 Nσ
[(X1
X2
...
Xn)
NX]
1 Nσ
0
0
Z 0
解： ( X X )2 N
则有 z
统计心理-第四章 差异量数
第二节 平均差、方差与标准差
一、平均差 • 1. 意义： 次数分布中所有原始数据与平均
数绝对离差的平均值。一般用符号A.D.或 M.D. 来表示。 • 2. 计算： • （1）原始数据求平均差
A.D. Xi X
n
例题：
有5名被试的错觉实验数据如下，求其平均差。
被试
1
2
3
4
5
错觉量 16
18
i 1
N
i 1
N
i
（三）总标准差的合成
St
N 1
S
2 1
d
2 1
N2
S
2 2
d
2 2
Nk
S
2 k
d
2 k
N1 N2 Nk
k
k
N
i
S
2 i
N
i
d
2 i
i1
i1
k
Ni
i1
S
：
t
总
标
准差
注意：只有应用同一种观测手段，测量同一 个特质，只是样本不同时，才能应用该公式 合成方差和标准差。
易受极端值的影响； 易受取样变动的影响； 未考虑数据的分布。
7 8 9 10 7 8 9 10 全距只是一种低效的差异量数，主要用 于对数据的预备性检查，了解数据的大概 范围，以确定如何统计分组。
二、百分位差（percentile）
• 为了避免极端数据的影响，将数据的两 端各截去10%，即P10和P90之间的距离作 为差异量数。
负号，应用较少。
二、方差与标准差
名词解释差异量数
名词解释差异量数在数学中，差异量数是指两个数字或两个集合之间的差异量，它表示两个数字或两个集合之间的差别。
比如，如果有两个整数a和b，那么a与b之间的差异量数就是a-b。
如果有两个集合A和B，它们的差异量数就是A-B，表示A中的数字和B中的数字之间的差别。
差异量数可以用来计算数字的绝对值或者相对大小，也可以用来表示两个数字之间的差异。
通常用来确定两个数字的差异量，其实也可以用来确定两个不同集合的差异量。
差异量数在数学中有多种用途，比如用于求和、求导、解决不等式问题等。
简单来说，当有两个数字时，可以使用差异量数来计算它们之间的差异。
比如，如果有两个整数a和b，那么差异量数就是a-b。
复杂一些的，当有两个不同集合A和B时，可以用A-B来表示A 中的元素和B中的元素之间的差异量数。
比如，如果有两个集合A={1,2,3,4}和B={2,3,4,5}，那么A-B就是{1}，表示A和B之间的差异量数是1。
差异量数不仅仅可以用来计算数字之间的差异，还可以用来衡量两个概念之间的差异。
例如，可以用一个差异量数来表示中国文化和美国文化之间的差异，从而比较两个文化之间的差异性。
本质上，差异量数可以分为两类：无符号差异量数和有符号差异量数。
无符号差异量数是指两个数字之间的差异量，不止一种。
有符号差异量数是指可以定义正负号的差异量数，表示两个数字之间的大小关系，比如a-b的符号就表示a是大于b的。
差异量数在数学上的应用非常广泛，它既可以用于求和，也可以用于求导或求解不等式等问题，还可以用于衡量概念之间的差异性以及衡量数字之间的绝对值和相对大小。
因此，本文探讨了差异量数的定义、特点、用法以及它在数学中的应用，以帮助读者更好地理解差异量数。
综上所述，差异量数为数学领域提供了重要概念，并且在多个应用领域得到广泛运用，从而深刻影响了我们的日常生活。
第四章 差异量数
三、由各部分的标准差合成总标准差的计算方式
已知总体中各部分的标准差，若求其总标准 差，可用下面公式进行合成： （4.6） 式中： t为总标准差； N t 为总体中数据的个 d 数； i为各部分数据的标准差；i 为各部分平 均数与总平均数之差，即 di X i X t 。其中
Nt
t
例6．某小学四年级248名学生的平均身高为 143.52厘米，标准差是6.48厘米；平均体重
30.28千克，标准差4.56千克，试比较身高与体
重两变量的离散程度。
解：
CV身高
6.48 100＝ 100 4.52 X 143 00 15.06 X 30.28
=
50 90 52 85 48 88 51 92 50 52 48 51
= 89
d1 X 1 X t 90 89 1 d 2 X 2 X t 85 89 4 d 3 X 3 X t 88 89 1 d 4 X 4 X T 92 89 3
第四章
差异量数
第一节 标准差 第二节 四分差 第三节 差异系数 第四节 相对地位量数 习 题与思考题
描述一组数据离中趋势(波动性)的量数，称 为差异量数。
差异量数有：绝对差异量数和相对差异量数 两种。绝对差异量数包括全距、平均差、四分差 、方差、标准差等，相对差异量数有差异系数和 峰态量数、偏态量数。
本章重点介绍标准差、四分差、差异系数， 并学习标准分数和百分等级两个相对地位量数。
第一节 标准差
一、标准差的概念 二、标准差的计算方法
1、对原始数据计算标准差
2、对次数分布表计算标准差
(完整版)心理与教育统计学第4章差异量数
复习专题：
平均增加率与几何平均数 平均增加量与算术平均数
一列数据分别为X1，X2，X3…Xn， 按一定的比例关系变化，则：
1
X2 X1
2
X3 X 2
N 1
XN X N 1
1 2 N 1
Mg N1 12 N1
Mg N1 X 2 X 3 X N X1 X 2 X N 1
160
170
180
190
A
B
4.1 全距与百分位数
• 4.1.1 全距
• 全距（range）又称为两极差，用符号R 表示。
• 用最大值（maximum)减去最小值 （minimum)得到全距。
R X max X min （4.1）
全距的特点： • 全距是最粗糙的差异量数，只利用了数据
中的极端值； • 容易受极端值的影响；
]
（4.5）
PR 百分等级； X 给定的原始分数。
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
60－
5
12
55－
4
7
50－
2
3
4.54+79.5=84.04
45－
1
1
合计
58
精确组限 79.5~84.49
5/7=0.71
采用次数分布表计算百分位数
PP
Lb
P 100
N
Fb
i fP
（4.4）
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限； fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数； i为组距。
X N X N 1 cN 1
差异量数
差异量数对于一组数据资料，如果只通过求其集中量数，了解它的集中趋势，这并不能准确反映该群体的全貌。
因为平均数相同的不同群体，在很多情况下，可能存在着较大的差异。
例如，我们现在给出甲、乙、丙三组数据资料，每组都是5个数据，并且具有相同的平均值。
甲：56，66，76，86，96平均值为76乙：70，72，76，80，82平均值为76丙：66，71，76，81，86平均值为76观察上面三组数据，我们可以发现，尽管三组的集中量数相同，但它们的离散程度明显存在着差异。
乙组最集中，丙组居中，甲组最分散。
如果用“全距”这一最简单的描述差异情况的量数来做比较，可以看出：甲组差异量数最大，说明各数据值分散范围广并且参差不齐。
乙组差异量数最小，说明各数据值最集中、整齐。
丙组差异量数居中。
由此可知，为了客观认识数据资料的全貌，做出科学的判断，在比较各组数据资料平均值的同时，还要考虑其差异情况，只有这样，才能更准确可靠地掌握数据资料的全貌。
差异量数是代表一组数据变异程度或离散程度的量数。
它反映了数据分布的离中趋势，即分化的程度。
差异量数大，表示各数值分散的范围甚广且参差不齐；差异量数小，表示各数值甚为集中、整齐，其变动的范围小。
要想了解集中量数的代表性如何，可通过差异量数来进行判断。
差异量数愈大，则集中量数的代表性愈小；差异量数愈小，则集中量数的代表性愈大。
集中量数在量尺上反映为一个点，差异量数在量尺上反映为一段距离。
只有很好地发挥二者的功能，才能对数据分布的全貌有一个比较明晰的了解。
差异量数大致分为绝对差异量数、相对差异量数和相对位置量数三类。
绝对差异量数是反映一组数据离中趋势并以数据单位为单位的统计量，具体包括全距、平均差和标准差等。
相对差异量数是一个比率值，不以数据单位为单位，它通常被用于比较两种测量单位不同的数据资料的差异情况，具体有差异系数等。
相对位置量数主要反映一个量数在其总体中所处的位置，从而便于比较不同量数在不同总体中所处的位置，它包括百分等级和标准分等。
度量离中趋势的差异量数有哪些
度量离中趋势的差异量数有哪些
度量离中趋势的差异量数主要包括平均数、中位数、众数、方差、标准差、均方差和极差等。
下面将具体介绍这些差异量数。
1. 平均数（mean）：平均数是一组数据的总和除以数据的数量，它是度量数据离中趋势的最基本方法之一。
2. 中位数（median）：中位数是一组数据值按升序排列后，位于中间位置的值。
如果数据的数量为奇数，则中位数为中间值；如果数据的数量为偶数，则中位数为中间两个值的平均数。
3. 众数（mode）：众数是数据集中出现次数最多的值。
一个
数据集可以有一个或多个众数，或者没有众数。
4. 方差（variance）：方差衡量数据与其平均值之间的差异程度。
方差的计算是将每个数据值与平均值的差异平方后求和，并除以数据数量。
5. 标准差（standard deviation）：标准差是方差的平方根，它
衡量数据相对于平均值的离散程度。
标准差越大，表示数据点相对于平均值的离散程度越大。
6. 均方差（mean squared deviation）：均方差是测量数据离中
趋势的一种方法。
它是将每个数据值与平均值的差异平方后求和，再除以数据数量的平方根。
7. 极差（range）：极差是一组数据中最大值与最小值的差异
量。
它衡量数据的整体变化范围。
极差可以指示数据分散程度的大小。
这些差异量数能够帮助我们了解数据集的分布情况和数据的离散程度，对于分析和描述数据的趋势和变化有着重要的作用。
不同的差异量数可以从不同的角度度量和描述数据集的特征，综合运用这些差异量数可以得到更全面的数据分析结果。
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差异量数对于一组数据资料，如果只通过求其集中量数，了解它的集中趋势，这并不能准确反映该群体的全貌。
因为平均数相同的不同群体，在很多情况下，可能存在着较大的差异。
例如，我们现在给出甲、乙、丙三组数据资料，每组都是5个数据，并且具有相同的平均值。
甲：56，66，76，86，96平均值为76乙：70，72，76，80，82平均值为76丙：66，71，76，81，86平均值为76观察上面三组数据，我们可以发现，尽管三组的集中量数相同，但它们的离散程度明显存在着差异。
乙组最集中，丙组居中，甲组最分散。
如果用“全距”这一最简单的描述差异情况的量数来做比较，可以看出：甲组差异量数最大，说明各数据值分散范围广并且参差不齐。
乙组差异量数最小，说明各数据值最集中、整齐。
丙组差异量数居中。
由此可知，为了客观认识数据资料的全貌，做出科学的判断，在比较各组数据资料平均值的同时，还要考虑其差异情况，只有这样，才能更准确可靠地掌握数据资料的全貌。
差异量数是代表一组数据变异程度或离散程度的量数。
它反映了数据分布的离中趋势，即分化的程度。
差异量数大，表示各数值分散的范围甚广且参差不齐；差异量数小，表示各数值甚为集中、整齐，其变动的范围小。
要想了解集中量数的代表性如何，可通过差异量数来进行判断。
差异量数愈大，则集中量数的代表性愈小；差异量数愈小，则集中量数的代表性愈大。
集中量数在量尺上反映为一个点，差异量数在量尺上反映为一段距离。
只有很好地发挥二者的功能，才能对数据分布的全貌有一个比较明晰的了解。
差异量数大致分为绝对差异量数、相对差异量数和相对位置量数三类。
绝对差异量数是反映一组数据离中趋势并以数据单位为单位的统计量，具体包括全距、平均差和标准差等。
相对差异量数是一个比率值，不以数据单位为单位，它通常被用于比较两种测量单位不同的数据资料的差异情况，具体有差异系数等。
相对位置量数主要反映一个量数在其总体中所处的位置，从而便于比较不同量数在不同总体中所处的位置，它包括百分等级和标准分等。
现分别进行简要介绍。
一．对差异量数（一）全距在本章第一节有关次数分布表编制的内容中，已经提到了全距。
不过在本节中应该对全距有一个更加全面的认识。
1．全距的概念全距又称两极差，代表符号为R.。
全距是指全部数据中的最大值与最小值之差。
从其概念中可看出，全距是以自身的长短来表明数据分散情况的，全距差大则说明数据分布得比较分散，它的意义很明确，是表示数据分布离散程度的十分简单和容易计算的一种差异量数。
2．全距的计算方法全距的计算公式为：R=max(X)—min(X)式中：R为全距，max(X)、min(X)分别为数据中的最大值和最小值。
对于原始数据或已编成简单次数分布表的数据，可直接找出其最大值和最小值并相减，所得之差就是全距。
如数距3，5，6，8，13，16，20的全距R=20—3=17。
当面对次数分布表求全距时，只需用最大一组的组中值减最小一组的组中值，所得之差即为全距。
例如表10—10中，最大一组为90——100，组中值为95；最小一组为50——60，组中值为55。
因此，全距R=95—55=40。
3．关于全距全距的意义简明，计算简单，但由于它是依据最大值和最小值计算得来，只能体现一组数据的两极端数据之间的离散程度，不能反映中间数据的差异，受两极端数据的影响很大。
例如，数距44，57，59，67，67，68，74和数据44，72，72，72，72，72，74，虽然两组数据的全距都是30，但它们的离散程度却差异很大。
因此，全距对数据分布的差异状况描述得很粗略，并没有提供多少数据分布内部变异情况的信息，只能作为差异量数的辅助指标。
（二）平均差我们知道全距的计算不是利用所有的数据，所以不能说明全部数据的分散程度。
而平均差就避免了这一缺陷。
1．平均差的概念所谓平均差，就是指一组数据中的各个数据与该组数据的平均数（或中位数）离差的绝对值的算术平均数。
如果用各数据与其平均数之差作为离差来计算平均差，就用AD 表示平均差；如果用各数据与其中位数之差作为离差来计算平均差，则用MD 表示平均差。
即：AD=NX X ∑-(公式10—8a)NMX MD d∑-=(公式10—8b)式中：AD 和MD 为平均差，X 为平均数，d M 为中位数，X 为数据，N 为数据的总个数。
2． 平均差的计算方法①原始数据计算平均差的方法对于未经整理分组的原始数据，可利用(公式10—8a)或(公式10—8b)来计算平均差。
例1，设有学生8人参加某次竞赛，个人所得分数如表10—14所示，平均分X =80.25分，试求其平均差。
表10—14原始数据求平均差示例②根据次数分布表计算平均差的方法对于已分组的数据，可用组中值来代替各组的数据。
计算公式为：NX X f AD c ∑-=（公式10—9）式中：c X 为组中值，f 为次数。
例2，已知144名成人体重的次数分布表如下，求其平均差。
（1）求平均数8.52==∑NfXX X c，表10—15利用次数分布表求平均差示例（2）求各组组中值与平均数之差的绝对值，即X X c -。
（3）用各组次数f 分别乘X X c -，求出X X f c -∑。
X X f c -∑=548.6（4）代入（公式10—9），求出平均差。
3．关于平均差平均差是用离差的绝对值来进行运算的。
因为从描述数据分布的离散程度这一观点来看，无论是正离差（数据高于平均数或中位数），还是负离差（数据低于平均数或中位数），都表示与集中量数（平均数或中位数）有差异，所以应取绝对值。
因为如果不取绝对值，那么，由于平均数的一个性质是数据与平均数之差的代数和为零，我们将无法计算下去，也将无法描述数据之间的差异状态。
（三）标准差由于平均差的计算必须依靠绝对值的存在，这导致平均差的用途大受限制。
为克服平均差的缺点，统计学家们研究出了一种比较理想的差异量数——标准差。
8.31446.584==-=∑NX X f AD c1． 标准差的概念所谓标准差是指各数据与其平均数离差的平方和之平均数的平方根。
在统计学的书籍中，总体标准差用σ表示，样本标准差用s 表示。
标准差的基本公式为：NX X S ∑-=2)(（公式10—10）由计算公式可知，计算标准差首先要将每一离差数加以平方，这是因为正负离差数经过平方后均为正数，不会出现相互抵制而等于零的现象，这样做就可以避免平均差的缺点。
但离差数平方后的结果，其单位与原来数据的单位不一致，为了保证标准差的单位与原始数据的单位相一致，就必须要进行开方。
这就是标准差是各数据与其平均数离差的平方和之平均数的平方根的原因。
标准差不如全距和平均差那么容易理解，它表示的是各数据离开平均数的平均距离。
2． 标准差的计算方法 ①未分组数据计算标准差的方法用基本公式计算标准差例3，某班12名学生的数学考试成绩如下表，试求其标准差。
已知X =77分。
解：表10—16未分组数据求标准差示例一1916)(2=-∑X X ，77=X ，N=12，代入（公式10—10）得：NX X S ∑-=2)(===67.159121916即标准差为分。
例4，某班12名学生的英语成绩如下表，试求其标准差。
已知X =77分。
解：表10—17未分组数据求标准差示例二4306)(2=-∑X X ，77=X ，N=12，代入（公式10—10）得：NX X S ∑-=2)(===83.358124306从上面两个例子可以看到，虽然两组数据的平均数都是77分，但是例3中的数据的标准差为分，而例4中的数据的标准差却为分。
这说明两组数据的差异程度很不相同。
例3那组数据的差异程度较小，平均分数77分的代表性就大一些；而例4那组数据的差异程度较大、比较分散，因此其平均分数77分的代表性就小一些。
用原始数据计算标准差由于使用标准差的基本公式求标准差时，必须首先求出平均数，然后再求出各个数据与平均数之差，不仅过程麻烦，而且当平均数是非整数时，离差也会含有小数，计算比较繁杂并且结果不易精确。
所以，当原始数据的个数不是很多的时候，可以利用原始数据直接求出标准差，即精确，又方便。
计算公式为：22)(NX NXS ∑∑-=（公式10—11）式中：∑2X表示原始数据的平方之和；∑2)(X 表示原始数据总和的平方；N 表示总次数。
（公式10—11）来源于（公式10—10）。
现证明如下：证明：因为NX X S ∑-=2)(所以NX X X X NX X S∑∑+-=-=)2()(2222=NXN X X X ∑∑⨯+⨯-222=NNX N X NX X ∑∑∑∑+⨯⨯-22)(2=NNX X∑∑-22)(=22)(NX NX ∑∑-所以22)(NX NXS ∑∑-=例5，根据表10—18资料，求其标准差。
解：表10—18未分组数据求标准差示例三代入（公式10—11）得：22)(NX NXS ∑∑-==2)9657(949747-=14.09 ②根据次数分布表计算标准差的方法在根据次数分布表来求标准差时，各组的代表值是组中值。
其计算公式为： （公式10—12）式中：c X 为各组组中值，X 为平均数，N 为总次数，f 为各组次数。
例6，请根据表10—19的资料，求其标准差。
解：表10—19次数分布表计算标准差示例49747,657,92===∑∑X X N NX Xf S c∑-=2)(N=144，X =52.8，16.3483)(2=-∑X X f c ，代入（公式10—12）得： （四）三种绝对差异量数的比较全距的优点是易于了解，计算简便。
只要找出一组数据的最大值和最小值，就可容易地求出全距。
全距可表明全部数据差异的距离范围，为进一步的研究提供参考。
但因为它只是根据最大值和最小值而求得，没有考虑中间数据的差异，所以感应不灵敏，易受两极端数值的影响。
如果两端出现了一个极大值或极小值，就会导致全距发生很大的变化，因此用全距作为差异量数不够稳定，这是其主要缺点，只能用作差异量数的辅助指标。
平均差是与平均数经常联系使用的差异量数。
它的意义容易理解，感应灵敏，易于计算，能反映全部数据的差异情况。
但平均差的最大缺点是计算中使用离差的绝对值，不适合进一步的代数运算，不利于进一步的统计分析，这使得平均差的应用受到限制。
标准差是最常用的差异量数，它是与平均数经常联系使用的差异量数，在分析学生成绩工作中与平均数处于同样重要的地位。
由于计算标准差需要全部数据都参加运算，所以标准差能够反映数据分布中全部数据的差异情况。
标准差数值稳定，适合代数方法运算，是最重要、最可靠的差异量数指标。
正因为如此，在教育研究中度量离中趋势时多使用标准差为代表量数，而且在进行推断统计时也经常使用它。
当然，我们也看到标准差的意义较难理解，计算方法也较复杂，受极端数据的影响也较平均差大。