第四章__差异量数
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第四章差异量数
Q3在70-74组。
将Lb 5 4.5, f Q1 2 5, Fb 2 4, i 5, N 4.7 , 得 3 6代入公式 4 36 24 Q1 5 4.5 5 25 5 6.9
将Lb 6 9.5, f Q1 1 8, Fb 1 0 1 , i 5, 3N 4.8, 得 108 代入公式 4 1 0 8 1 0 1 Q3 6 9.5 5 18 7 1.4
1 6, 2 5.3, 3 7, 4 8.2
50 90 52 85 48 88 51 92 则Xt 50 52 51 48 89
d1 X 1 X t 90 89 1 d 2 X 2 X t 58 89 4 d 3 X 3 X t 88 89 1 d 4 X 4 X t 92 89 3
平均差、方差、标准差、差异系 数等
第一节
标准差
一、全距：一组数据中最大值与最小值之 差，又称极差。(用符号R表示。)
全距的优缺点： 优点：概念清楚，意义明确，计算简便。
缺点：易受两个极端的数值影响。
二、方差和标准差
方差（又称为变异数、均方）。是表示一组数据离散
2 S 程度的统计指标。一般样本的方差用 表示，总体
X
100
（4.9）
式中：CV 为差异系数； 为标准差；X 为平均数。
2、差异系数的作用
比较不同单位(现象)资料的差异(变异)程度
比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 可判断特殊差异情况
差异系数CV又称为相对标准差，属于相对差异量
数，不具有测量单位。在算术平均数不为零的情况
教育统计学_第四章 教育统计学之差异量
敏 因此，全距只能作为差异量的粗略指标，
在编制频数分布表示决定全距范围之用。
二、四分位距： 以一定顺序排列的一组数据中间部位50%个频数
距离的一半作为差异量指标。
QD
Q 3
Q 1
2
QD 表示四分位距
Q 表示第三个四分位距（第75%百分位数） 3
Q 1
表示第一个四分位距（第25%百分位数）
1．原始数据计算法 例如：教育学专业99级学生教育测量学成绩如
105－
107.5
14
110－
112.5
9
115—
117.5
4
120－
122.5
3
125－
127.5
2
总和
100
累积频数 3 11 23 44 68 82 91 95 98 100
解：全距=127.5—82.5 =45 或者，全距=130-80=50
评价
优点：概念清楚，意义明确，计算简单 缺点：易受两极端数值影响，反映不灵
差异量
表示一组数据变异程度或离散程度的量称为 差异量。 用多边图把几组数据的频数分布表示出来， 我们可以很直观地了解数据的变异性或离散程度。
A、B、C三个平行班在某次数学考试上的得分情况。 三个班的平均数差别不大，而各班的离散程度却有很明 显的不同。在这三个班中，B班的分数分布（高、狭）范 围最窄，最整齐；C班的分数分布（平、宽）范围最广， 变异最大。这是用图所进行的直观分析和判断。若用一 个统计量概括地说明数据的变异程度或离散程度的特征， 这个统计量就是差异量。
乙组
20 40 60 80 100
对于一个小组的成绩，我们通常用平均数来代表各 组的成绩。但在这样的情况下，仅用平均数就不能正确 反映两组的区别。
在编制频数分布表示决定全距范围之用。
二、四分位距： 以一定顺序排列的一组数据中间部位50%个频数
距离的一半作为差异量指标。
QD
Q 3
Q 1
2
QD 表示四分位距
Q 表示第三个四分位距（第75%百分位数） 3
Q 1
表示第一个四分位距（第25%百分位数）
1．原始数据计算法 例如：教育学专业99级学生教育测量学成绩如
105－
107.5
14
110－
112.5
9
115—
117.5
4
120－
122.5
3
125－
127.5
2
总和
100
累积频数 3 11 23 44 68 82 91 95 98 100
解：全距=127.5—82.5 =45 或者，全距=130-80=50
评价
优点：概念清楚，意义明确，计算简单 缺点：易受两极端数值影响，反映不灵
差异量
表示一组数据变异程度或离散程度的量称为 差异量。 用多边图把几组数据的频数分布表示出来， 我们可以很直观地了解数据的变异性或离散程度。
A、B、C三个平行班在某次数学考试上的得分情况。 三个班的平均数差别不大，而各班的离散程度却有很明 显的不同。在这三个班中，B班的分数分布（高、狭）范 围最窄，最整齐；C班的分数分布（平、宽）范围最广， 变异最大。这是用图所进行的直观分析和判断。若用一 个统计量概括地说明数据的变异程度或离散程度的特征， 这个统计量就是差异量。
乙组
20 40 60 80 100
对于一个小组的成绩，我们通常用平均数来代表各 组的成绩。但在这样的情况下，仅用平均数就不能正确 反映两组的区别。
张厚粲《现代心理与教育统计学》(第4版)章节题库-差异量数(圣才出品)
6．已知一组数据 6，5，7，4，6，8 的标准差是 1.29，把这组中的每一个数据都加上
3 / 18
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5，然后再乘以 2，那么得到的新数据组的标准差是（ ）。 A．1.29 B．6.29 C．2.58 D．12.58 【答案】C 【解析】标准差有三个特性：①每一个观测值都加同一个常数 c 之后，得到的标准差等
2．研究者决定通过每一个分数除以 10 来对原始分数进行转换。原始分数分布的平均 数为 40，标准差为 15。那么转换以后的平均数和标准差将会是（ ）。
A．4，1.5 B．0.4，0.15 C．40，1.5 D．0.4，1.5 【答案】A
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5 1.92
5．某学生某次数学测验的标准分为 2.58，这说明全班同学中成绩在他以下的人数百分 比是（ ），如果是－2.58，则全班同学中成绩在他以上的人数百分比是（ ）。
A．99%，99% B．99%，1% C．95%，99% D．95%，95% 【答案】A 【解析】Z＝2.58，查正态分布表可得 p＝0.99，即该生的数学测验标准分为 2.58 时， 全班同学中成绩在他以下的人数百分比为 99%；同理，当该生的数学测验标准分为－2.58 时，全班同学中成绩在他以上的人数百分比也为 99%。
【解析】平均数的特点是在一组数据中，每一个数都乘以一个常数 c 所得的平均数为原 来的平均数乘以常数 c，因此转换后的平均数为 4；标准差的特点是每一个观测值都乘以一 个相同的常数 c，则所得的标准差等于原标准差乘以这个常数，因此转换后的标准差为 1.5。
3．已知平均数 M＝4.0，S＝1.2，当 X＝6.4 时，其相应的标准分数为（ ）。
第四章 差异量数
例2:比较两组女童体重的差异情况
表4—2 某市两组女童体重的调查资料
平均数 2个月组 6岁组 5.45千克 19.02千克 标准差 0.62千克 2.12千克
解：
CV 1
S 0.62 100 0 0 100 0 0 11.4 0 0 5.45 X
CV 2
1
S 2.12 100 0 0 100 0 0 11.2 0 0 19.02 X
组。
二、平均差
(一)定义：平均差是指一组数据中，
每一个数据与该组数据的平均数离差的绝 对值的算术平均数，通常用AD表示。 （二）计算公式
AD
Xi X n
例1:有5名被试的错觉实验数据如下， 求其平均差。
被试
错觉量
1
16
2
18
3
20
4
22
5
17
（ms）
解：已知n=5
则
AD Xi X
优点：① 反应灵敏； ② 严密确定；
③ 容易计算；④ 适合进一步代数运算； ⑤ 受抽样变动的影响小； ⑥ 简单明了。 缺点：应用方差和标准差比较两个不
同数据的次数分布，必须保证两数据的
单位相同。而且两数据的平均水平比较 接近。
四、差异系数
（一）定义
差异系数是指标准差与其算术平均数
的百分比。它是没有单位的相对差异量
2
2.根据原始数据计算方差和标准差的公式
Xi Xi S n n
2 2 2
Xi Xi S n n
2
2
原始数据的计算公式等价于定义公式，当两
个公式计算结果有出入时，应以原始数据计算公 式的结果为准，因其更准确。
第04章 差异量数思考题
3.标准差在心理与教育研究中除度量 数据的离散程度处还有哪些用途？
• 作为一个非常优秀的差异量数，标准差有着非常广 泛的用途。 • （1）差异系数。 • 比较同质性数据的离散程度的大小时，如果平均数 相同，可以直接比较标准差的大小。但是： • ①当进行两个或两个以上的样本资料不同质； • ②即使是同质性数据，其平均数相差较大时；比较 其变异程度就不能采用标准差，而需采用标准差与 平均数的比值（相对值）来比较。 • 变异系数可以消除单位和（或）平均数不同对 两个或多个资料变异程度比较的影响。
P100例4－10利用Z分数求总和
问题：如果这两个考生只录取一个该录取谁？
• ③表示标准测验分数
• 经过标准化的心理或教育测验，如果其常模分数 接近正态，常转化为标准正态分数。其转化公式 为： • Z′＝aZ＋b • 式中Z′为正态标准分数z＝（X－X） /σ ， a,b为常数，σ为测验常模的标准差。 • 如：韦氏离差智商为：IQ＝15Z＋100 注：T分数一般是指对学生的各科成绩计算 标准分数。转换公式为T＝ 10 *Z+50
• ②已知不同质的观测值的次数分布为正态时， 可用Z分数求不同的观测值的总合或平均值， 以表示个体在团体中的相对位置。 • 例如高考各科成绩为正态分布，但各科成绩 的难易度不同，因此各科成绩就属于不同质 的分数，如果简单地将各科成绩加起来或求 平均数，这是不科学的。如果用Z分数求综 合才更有意义，也更科学。
第四章
差异量数思考与练习题
• 1.度量离中趋势的差异量数有哪些？为什么要度量 离中趋势？ • （1）有全距、四分位差、百分位差、平均差、标准 差和方差等。 • （2）在心理与教育研究中，要全面描述一组数据的 特征，不但要了解数据的典型情况，而且还要了解 特殊情况。这些特殊性常常表现为数据的变异性。 因此，只用集中量数不可能真实地反映出它们的分 布情形。为了全面反映数据的总体情况，除了必须 求出集中量数外，这时还需要使用差异量数。
差异变量1
Q1=1.7 Q=(2.2-1.7)/2=0.25
Q3=2.2
（2）数据分组后（次数分布表）计算法
Q Q 3 Q1 2
其中
这里 L b 表示百分位数所在组的精确下限， b 表示小于L b F 的各组次数的和， f 表示百分位数所在组的次数；
例：下表为一个年级期末考试数学的分数，求四分位差？
21
6 4 4 3 2 2 1
43
22 16 12 8 5 3 1
合计
196
未分组资料的百分等级 PR=100-{(100R-50)/N|}, 其中R是原始分数排列顺序数，N是指总人数 （样本的总人数）。 例如：小东在30名同学中语文成绩是80分，排 列第5名，则其百分等级为： PR=100-{（100*5-50）/30}=85 百分等级为85即指，在100名被试中，语文成 绩低于小东的80分的有85人。
R=Xmax– Xmin
次数分布表的全距一般是最大一组与最小一组的组中值 之差，或者是最大一组上限与最小一组下限之差。
例：下列数据是实验中所得的，10个被试的跳远距离：2.0、 2.3、2.5、1.9、1.6、1.5、2.8、2.2、1.7、1.8（单位m）， 求这组数据的全距是多少？ R=Xmax– Xmin=2.8—1.5=1.3m
第四章 差异量数
差异量数的概念
差异量数就是对一组数据的变异性（离中趋势） 特点进行度量和描述的统计量。它反映了次数分 布中数据彼此分散的程度。 常用的差异量数有全距、四分位差、百分位 差、平均差、标准差与组数据中最大值与最小值之差。全距用R表示。
全距的计算方法 原始数据的全距是最大值与最小值之差。
85-89
80-84 75-79
第四章 差异量数
三、由各部分的标准差合成总标准差的计算方式
已知总体中各部分的标准差，若求其总标准 差，可用下面公式进行合成： （4.6） 式中： t为总标准差； N t 为总体中数据的个 d 数； i为各部分数据的标准差；i 为各部分平 均数与总平均数之差，即 di X i X t 。其中
Nt
t
例6．某小学四年级248名学生的平均身高为 143.52厘米，标准差是6.48厘米；平均体重
30.28千克，标准差4.56千克，试比较身高与体
重两变量的离散程度。
解：
CV身高
6.48 100＝ 100 4.52 X 143 00 15.06 X 30.28
=
50 90 52 85 48 88 51 92 50 52 48 51
= 89
d1 X 1 X t 90 89 1 d 2 X 2 X t 85 89 4 d 3 X 3 X t 88 89 1 d 4 X 4 X T 92 89 3
第四章
差异量数
第一节 标准差 第二节 四分差 第三节 差异系数 第四节 相对地位量数 习 题与思考题
描述一组数据离中趋势(波动性)的量数，称 为差异量数。
差异量数有：绝对差异量数和相对差异量数 两种。绝对差异量数包括全距、平均差、四分差 、方差、标准差等，相对差异量数有差异系数和 峰态量数、偏态量数。
本章重点介绍标准差、四分差、差异系数， 并学习标准分数和百分等级两个相对地位量数。
第一节 标准差
一、标准差的概念 二、标准差的计算方法
1、对原始数据计算标准差
2、对次数分布表计算标准差
(完整版)心理与教育统计学第4章差异量数
心理与教育统计学
复习专题：
平均增加率与几何平均数 平均增加量与算术平均数
一列数据分别为X1，X2，X3…Xn， 按一定的比例关系变化，则：
1
X2 X1
2
X3 X 2
N 1
XN X N 1
1 2 N 1
Mg N1 12 N1
Mg N1 X 2 X 3 X N X1 X 2 X N 1
160
170
180
190
A
B
4.1 全距与百分位数
• 4.1.1 全距
• 全距（range）又称为两极差，用符号R 表示。
• 用最大值（maximum)减去最小值 （minimum)得到全距。
R X max X min （4.1）
全距的特点： • 全距是最粗糙的差异量数，只利用了数据
中的极端值； • 容易受极端值的影响；
]
（4.5）
PR 百分等级； X 给定的原始分数。
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
60－
5
12
55－
4
7
50－
2
3
4.54+79.5=84.04
45－
1
1
合计
58
精确组限 79.5~84.49
5/7=0.71
采用次数分布表计算百分位数
PP
Lb
P 100
N
Fb
i fP
（4.4）
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限； fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数； i为组距。
X N X N 1 cN 1
复习专题：
平均增加率与几何平均数 平均增加量与算术平均数
一列数据分别为X1，X2，X3…Xn， 按一定的比例关系变化，则：
1
X2 X1
2
X3 X 2
N 1
XN X N 1
1 2 N 1
Mg N1 12 N1
Mg N1 X 2 X 3 X N X1 X 2 X N 1
160
170
180
190
A
B
4.1 全距与百分位数
• 4.1.1 全距
• 全距（range）又称为两极差，用符号R 表示。
• 用最大值（maximum)减去最小值 （minimum)得到全距。
R X max X min （4.1）
全距的特点： • 全距是最粗糙的差异量数，只利用了数据
中的极端值； • 容易受极端值的影响；
]
（4.5）
PR 百分等级； X 给定的原始分数。
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
60－
5
12
55－
4
7
50－
2
3
4.54+79.5=84.04
45－
1
1
合计
58
精确组限 79.5~84.49
5/7=0.71
采用次数分布表计算百分位数
PP
Lb
P 100
N
Fb
i fP
（4.4）
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限； fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数； i为组距。
X N X N 1 cN 1
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第四章 差异量数
• 两位参赛人员在八个分赛段的得分（百分制） 分别是：
– A ： 70，72，74，78，71，72，74，73 – B ： 70，80，72，55，90，68，78，73
X A 73 X B 73.25
6
2 A
103.07
2 B
几种常用差异量数
• 对数据集的离中趋势的描述：
解： 则有 z
(X X )
N N
2
2 ( Z Z )
又 Z 0 z 1
2 ( X X )
Z
N 1
2
(
X X
N
)2
z 1
N
1
• 标准分数的应用
– 当一组数据服从正态分布时，其标准分数服从 标准正态分布。 – 标准分数具有可比性和可加性。 – 常用于确定数据在团体中的位置，比较单位不 同数据相对位置的高低或进行分数合成。
1
3 5 16 18 22 30 25 16 3 5
144
143 140 135 119 101 79 49 24 8 5
/2=7.27
相对地位量数：百分等级
• 百分等级的概念
– 指一组有序数据中某一数据以下所含次数占总 次数的百分比，通常用PR表示。
R PR 100 (1 ) N
总次数
– 按大小顺序排列数据 – 找N/4+1/2位置对应的数据，此为第一四分位数 – 3N/4+1/2位置对应的数据，此为第三四分位数 – 代入公式4.5，即可求得
• 求下列18个数据的四分差： • 51，60，58，63，74，88，66，70，71， 75，81，86，52，57，61，65，90，77
• 原始数据法（未分组数据）
2 X
N
X ( ) N
2
2
(X X )
N
2 ( X X )
2
公式4.1
2 2 X 2 X X X
N
2
2 2 ( X 2 X X X )
N
2
X
2 X X NX
N 2 ( X ) 2 X N N
– 原始数据距离平均数有多少个标准差，含义是以平均 数为标准，以标准差为单位表示一个数据在团体中的 相对位置。 – 符号Z X X – 公式： Z 公式4.6
• 标准化与标准化变量
•标准化：对于任意变量X，转换成相应的Z值的过程 •标准化变量：转换后得到的变量Z 被称为标准化变量
• 标准分数的特性
• 某班外语期末考试的平均成绩为75分，标准 差为10分；数学的平均成绩是88分，标准差 为15。学生张某的外语成绩是80分，数学成 绩是93分。请评价一下他的成绩在班上的水 平？
某班甲、乙两考生考试的各科成绩及该班各科成绩的平 均数和标准差如下表，试比较两位考生总成绩的优劣。
两考生成绩及班级各科成绩平均数和标准差统计表 科目 语文 数学 外语 物理 化学 Σ 平均数 80 78 66 70 84 标准差 8 9 10 11 9 甲生分数 84 69 72 70 85 380 乙生分数 86 80 62 68 80 376
X
2
X 2 X N ( N N
2
N
X
N
)2
2 X
N
2
X ( ) N
2 X
N
X ( ) N
公式4.2
• 例4.2 用原始数据法计算下列数据的标准差 11.0，13.0，10.0，9.0，11.5，12.2，13.1， 9.7，10.5
2 X
• 解题思路：分别计算甲乙两人各科的标准 分数，然后分别总计二人的标准分数之和， 再进行比较。
两考生成绩及班级各科成绩平均数和标准差统计表 科目 语文 数学 外语 物理 化学 Σ 平均数 80 78 66 70 84 标准差 8 9 10 11 9 甲生分数 84(0.5) 69(-1) 72(0.6) 70(0) 85(0.11) 380(0.21) 乙生分数 86(0.75) 80(0.22) 62(-0.4) 68(0.18) 80(0.44) 376(1.19)
– 标准差 – 四分差 – 差异系数
• 对某个数据在数据集中位置的描述：
– 百分等级 – 标准分数
标准差的概念
• 概念：标准差是一组数据中每个数据与其算术平均数之差 的平方的算术平均数的算术平方根。
2 ( x x ) i i 1 n
n
– 利用全部数据计算得到 – 仅用一个数值刻画了数据相对于均值的平均偏离程度 – 对于不同的数据集，当离散程度越大，该度量值也越大。
x1 , x2 , x3 ...xn • 请证明：对于任意的样本：
当且仅当
a
x1 x2 x3 ... xn n
时，
2 ( x a ) 的取值最小。 i
差异系数
• 差异系数的概念 – 差异系数又称相对标准差，即标准差与平均 数之比。符号表示为CV
CV
X
100 %• 差异系数适用条件源自NX ( ) N
2
1128.04 100 2 ( ) 125.338 123.457 9 9
1.881 1.37
• 分组数据：依据次数分布表计算时
f ( X c X )2 N
公式4.3
fX
N
2 c
fX ( N
c
)
2
公式4.4
计算30位运动员成绩的均值和标准差
较身高和体重两组数
据的离散程度。
体重的差异程度大于身高的 差异程度
平均数差异较大
• 某班期末考试，语文平均 成绩为82分，标准差为6.5 分；数学平均成绩为75分，
标准差为5.9分；外语平均
成绩为66分，标准差为8 分。问哪一科成绩的离散 程度大？
四分差的概念
• 四分差又称四分位距，通常用符号Q来表示。它 是指在一个次数分布中，中间50%的次数的全距 之半，也就是第三四分位数Q3与第一四分位数 Q1之差的一半。第3四分位数是指数轴上的一点， 在这一点的下端有占总次数75%的数据，在其上 端有占总次数25%的数据；第1四分位数也是数 轴上一点，在这一点的下端有占总次数25%的数 据，在其上端有占总次数75%的数据。
– 标准分数的平均数为零，标准差为1，即
Z 0, z 1
– 标准分数不带测量单位。
• 证明
Z 0, z 1
XX 解： Z σ XX 1 (X X) σ 1 σ 则有 Z (X X) N N Nσ 1 [(X1 X) (X2 X) ...... (Xn X)] Nσ 1 1 [(X1 X 2 ... X n ) NX] 0 0 Nσ Nσ Z 0
2
• 由各部分的标准差合成总标准差
t
N (
i
2 i
di )
2
Nt
di X i X t N1 X 1 N 2 X 2 N3 X 3 ... N k X k Xt N1 N 2 ... N k
• 例4.4 某年级四个班学生人数分别为50人， 52人，48人，51人。期末数学考试各班的 平均成绩分别是90分，85分，88分，92分， 标准差分别为6分、5.5分、7分、8.2分。求 年级成绩的标准差。
标准差的适用条件
• 与算术平均数配合使用 • 是其他统计量的基础，如差异系数，相关系数， 标准分数等。 • 在推断统计中，尤其是进行方差分析时，常用方 差（ 2 ）表示离散程度。
不同数据情况下怎样计算标准差？
• 基本公式法（未分组的数据，且均值容易 计算）
– A ： 70，72，74，78，71，72，74，73 – B ： 70，80，72，55，90，68，78，73
Q3 Q1 Q 2
公式4.5
四分差
频 数
N 4
N 4
N 4
N 4
Q1
M dn Q3
观测变量
Q2
图4.4 四分差示意图
• 适用条件：
– 与中数配合使用。即当一组数据的集中趋势宜 用中位数描述时，差异情况要用四分差描述。 – 有极端值出现 – 个别数据模糊不清或组限不清时
四分差的计算
• 未分组数据
• 分组数据：
N Fb Q1 Lb 4 i f Q1
3N Fb Q3 Lb 4 i f Q3
某校初一144名学生外语成绩次数分布表
X 次数f 由下向上累 加次数
• Q1=56.9
• Q3=71.44 • Q=（Q3-Q1）
90~94
85~89 80~84 75~79 70~74 65~69 60~64 55~59 50~54 45~49 44以下
85~89
80~84 75~79 70~74
196名学生外语考试成绩
的次数分布表如右图。某 考生的分数为83分，求其 百分等级是多少？
65~69 60~64 55~59 50~54 45~49 40~44 35~39 30~34 25~29 20~24 合计
相对地位量数：标准分数
• 标准分数的概念
X
次数f 3
由下向上累 加次数 196
分组数据的百分等级
95~99
90~94
6 7
14 16 35 42 30 21 6 4 4 3 2 2 1 196
193 187
180 166 150 115 73 43 22 16 12 8 5 3 1
• 两位参赛人员在八个分赛段的得分（百分制） 分别是：
– A ： 70，72，74，78，71，72，74，73 – B ： 70，80，72，55，90，68，78，73
X A 73 X B 73.25
6
2 A
103.07
2 B
几种常用差异量数
• 对数据集的离中趋势的描述：
解： 则有 z
(X X )
N N
2
2 ( Z Z )
又 Z 0 z 1
2 ( X X )
Z
N 1
2
(
X X
N
)2
z 1
N
1
• 标准分数的应用
– 当一组数据服从正态分布时，其标准分数服从 标准正态分布。 – 标准分数具有可比性和可加性。 – 常用于确定数据在团体中的位置，比较单位不 同数据相对位置的高低或进行分数合成。
1
3 5 16 18 22 30 25 16 3 5
144
143 140 135 119 101 79 49 24 8 5
/2=7.27
相对地位量数：百分等级
• 百分等级的概念
– 指一组有序数据中某一数据以下所含次数占总 次数的百分比，通常用PR表示。
R PR 100 (1 ) N
总次数
– 按大小顺序排列数据 – 找N/4+1/2位置对应的数据，此为第一四分位数 – 3N/4+1/2位置对应的数据，此为第三四分位数 – 代入公式4.5，即可求得
• 求下列18个数据的四分差： • 51，60，58，63，74，88，66，70，71， 75，81，86，52，57，61，65，90，77
• 原始数据法（未分组数据）
2 X
N
X ( ) N
2
2
(X X )
N
2 ( X X )
2
公式4.1
2 2 X 2 X X X
N
2
2 2 ( X 2 X X X )
N
2
X
2 X X NX
N 2 ( X ) 2 X N N
– 原始数据距离平均数有多少个标准差，含义是以平均 数为标准，以标准差为单位表示一个数据在团体中的 相对位置。 – 符号Z X X – 公式： Z 公式4.6
• 标准化与标准化变量
•标准化：对于任意变量X，转换成相应的Z值的过程 •标准化变量：转换后得到的变量Z 被称为标准化变量
• 标准分数的特性
• 某班外语期末考试的平均成绩为75分，标准 差为10分；数学的平均成绩是88分，标准差 为15。学生张某的外语成绩是80分，数学成 绩是93分。请评价一下他的成绩在班上的水 平？
某班甲、乙两考生考试的各科成绩及该班各科成绩的平 均数和标准差如下表，试比较两位考生总成绩的优劣。
两考生成绩及班级各科成绩平均数和标准差统计表 科目 语文 数学 外语 物理 化学 Σ 平均数 80 78 66 70 84 标准差 8 9 10 11 9 甲生分数 84 69 72 70 85 380 乙生分数 86 80 62 68 80 376
X
2
X 2 X N ( N N
2
N
X
N
)2
2 X
N
2
X ( ) N
2 X
N
X ( ) N
公式4.2
• 例4.2 用原始数据法计算下列数据的标准差 11.0，13.0，10.0，9.0，11.5，12.2，13.1， 9.7，10.5
2 X
• 解题思路：分别计算甲乙两人各科的标准 分数，然后分别总计二人的标准分数之和， 再进行比较。
两考生成绩及班级各科成绩平均数和标准差统计表 科目 语文 数学 外语 物理 化学 Σ 平均数 80 78 66 70 84 标准差 8 9 10 11 9 甲生分数 84(0.5) 69(-1) 72(0.6) 70(0) 85(0.11) 380(0.21) 乙生分数 86(0.75) 80(0.22) 62(-0.4) 68(0.18) 80(0.44) 376(1.19)
– 标准差 – 四分差 – 差异系数
• 对某个数据在数据集中位置的描述：
– 百分等级 – 标准分数
标准差的概念
• 概念：标准差是一组数据中每个数据与其算术平均数之差 的平方的算术平均数的算术平方根。
2 ( x x ) i i 1 n
n
– 利用全部数据计算得到 – 仅用一个数值刻画了数据相对于均值的平均偏离程度 – 对于不同的数据集，当离散程度越大，该度量值也越大。
x1 , x2 , x3 ...xn • 请证明：对于任意的样本：
当且仅当
a
x1 x2 x3 ... xn n
时，
2 ( x a ) 的取值最小。 i
差异系数
• 差异系数的概念 – 差异系数又称相对标准差，即标准差与平均 数之比。符号表示为CV
CV
X
100 %• 差异系数适用条件源自NX ( ) N
2
1128.04 100 2 ( ) 125.338 123.457 9 9
1.881 1.37
• 分组数据：依据次数分布表计算时
f ( X c X )2 N
公式4.3
fX
N
2 c
fX ( N
c
)
2
公式4.4
计算30位运动员成绩的均值和标准差
较身高和体重两组数
据的离散程度。
体重的差异程度大于身高的 差异程度
平均数差异较大
• 某班期末考试，语文平均 成绩为82分，标准差为6.5 分；数学平均成绩为75分，
标准差为5.9分；外语平均
成绩为66分，标准差为8 分。问哪一科成绩的离散 程度大？
四分差的概念
• 四分差又称四分位距，通常用符号Q来表示。它 是指在一个次数分布中，中间50%的次数的全距 之半，也就是第三四分位数Q3与第一四分位数 Q1之差的一半。第3四分位数是指数轴上的一点， 在这一点的下端有占总次数75%的数据，在其上 端有占总次数25%的数据；第1四分位数也是数 轴上一点，在这一点的下端有占总次数25%的数 据，在其上端有占总次数75%的数据。
– 标准分数的平均数为零，标准差为1，即
Z 0, z 1
– 标准分数不带测量单位。
• 证明
Z 0, z 1
XX 解： Z σ XX 1 (X X) σ 1 σ 则有 Z (X X) N N Nσ 1 [(X1 X) (X2 X) ...... (Xn X)] Nσ 1 1 [(X1 X 2 ... X n ) NX] 0 0 Nσ Nσ Z 0
2
• 由各部分的标准差合成总标准差
t
N (
i
2 i
di )
2
Nt
di X i X t N1 X 1 N 2 X 2 N3 X 3 ... N k X k Xt N1 N 2 ... N k
• 例4.4 某年级四个班学生人数分别为50人， 52人，48人，51人。期末数学考试各班的 平均成绩分别是90分，85分，88分，92分， 标准差分别为6分、5.5分、7分、8.2分。求 年级成绩的标准差。
标准差的适用条件
• 与算术平均数配合使用 • 是其他统计量的基础，如差异系数，相关系数， 标准分数等。 • 在推断统计中，尤其是进行方差分析时，常用方 差（ 2 ）表示离散程度。
不同数据情况下怎样计算标准差？
• 基本公式法（未分组的数据，且均值容易 计算）
– A ： 70，72，74，78，71，72，74，73 – B ： 70，80，72，55，90，68，78，73
Q3 Q1 Q 2
公式4.5
四分差
频 数
N 4
N 4
N 4
N 4
Q1
M dn Q3
观测变量
Q2
图4.4 四分差示意图
• 适用条件：
– 与中数配合使用。即当一组数据的集中趋势宜 用中位数描述时，差异情况要用四分差描述。 – 有极端值出现 – 个别数据模糊不清或组限不清时
四分差的计算
• 未分组数据
• 分组数据：
N Fb Q1 Lb 4 i f Q1
3N Fb Q3 Lb 4 i f Q3
某校初一144名学生外语成绩次数分布表
X 次数f 由下向上累 加次数
• Q1=56.9
• Q3=71.44 • Q=（Q3-Q1）
90~94
85~89 80~84 75~79 70~74 65~69 60~64 55~59 50~54 45~49 44以下
85~89
80~84 75~79 70~74
196名学生外语考试成绩
的次数分布表如右图。某 考生的分数为83分，求其 百分等级是多少？
65~69 60~64 55~59 50~54 45~49 40~44 35~39 30~34 25~29 20~24 合计
相对地位量数：标准分数
• 标准分数的概念
X
次数f 3
由下向上累 加次数 196
分组数据的百分等级
95~99
90~94
6 7
14 16 35 42 30 21 6 4 4 3 2 2 1 196
193 187
180 166 150 115 73 43 22 16 12 8 5 3 1