第四章 差异量数

三、由各部分的标准差合成总标准差的计算方式
已知总体中各部分的标准差，若求其总标准 差，可用下面公式进行合成： （4.6） 式中： t为总标准差； N t 为总体中数据的个 d 数； i为各部分数据的标准差；i 为各部分平 均数与总平均数之差，即 di X i X t 。其中
Nt
t
例6．某小学四年级248名学生的平均身高为 143.52厘米，标准差是6.48厘米；平均体重
30.28千克，标准差4.56千克，试比较身高与体
重两变量的离散程度。
解：
CV身高
6.48 100＝ 100 4.52 X 143 00 15.06 X 30.28
=
50 90 52 85 48 88 51 92 50 52 48 51
= 89
d1 X 1 X t 90 89 1 d 2 X 2 X t 85 89 4 d 3 X 3 X t 88 89 1 d 4 X 4 X T 92 89 3
第四章

差异量数
第一节 标准差 第二节 四分差 第三节 差异系数 第四节 相对地位量数 习 题与思考题
描述一组数据离中趋势(波动性)的量数，称 为差异量数。
差异量数有：绝对差异量数和相对差异量数 两种。绝对差异量数包括全距、平均差、四分差 、方差、标准差等，相对差异量数有差异系数和 峰态量数、偏态量数。
本章重点介绍标准差、四分差、差异系数， 并学习标准分数和百分等级两个相对地位量数。
第一节 标准差
一、标准差的概念 二、标准差的计算方法

1、对原始数据计算标准差
2、对次数分布表计算标准差

三、由各部分的标准差合成总标准差的计 算方式
一、标准差的概念
一组数据中每一数值与其算术平均数的差 ，数学上称为“离差”。 离差平方之算术平均数的算术平方根称为 标准差。总体标准差用 符号表示，样本标准 差用 S 符号表示。计算公式为：
将求得的 Q1和 Q3数值代入公式（4、7） Q3 Q1 92.577 80.611 Q 5.98 2 2
第三节 差异系数
标准差和四分差都是绝对差异量数，它们与 原始数据有相同的测量单位。 要比较单位不同或者虽然单位相同但平均数 相差较大的两组数据的离散程度，不适合用绝对 差异量数，需使用相对差异量数来比较。 相对差异量数不具有实际测量单位，它是以 差异系数的大小抽象地反映数据的离散程度。
1 3
i
例5. 某小学六年级120名学生数学考试成绩的次数 分布如下表，求其成绩的四分差。
N 解： 120 f 则 Lb 79.5 ，Q1 18 （4.8）得：
N ， 4 30
，Q1 所以所在组为80—84组。 F ， b 26 ， i 5 。代入公式
N 120 Fb 26 Q1 Lb 4 i 79.5 4 5 80.611 f Q1 18
（二）标准分数的计算
标准分数的计算比较简单，只要已知一组 数据并求得其算术平均数和标准差，就可以求出 某一个原始数据对应的标准分数，其步骤为： （1）计算原始数据的 与 ； X X （2）计算离差 X ； （3）代入公式 X X 。 Z

例8.有10名学生的考试成绩如下表，求各个成绩 的标准分数。
N i ( i2 d i )
2
而 N1 N 2 N K N t
N1 X 1 N 2 X 2 N k X K Xt N1 N 2 N K
例3、某年级四个班的学生人数分别为50人、52 人、48人、51人。期末数学考试各班的平均成绩 分别为90分、85分、88分、92分，标准差分别 为6分、5.5分、7分、8.2分。求四个班成绩的总 标准差。
fX c2 N

（4.4） 2 （ 4.5） fX c
N
式中，X c 表示组中值； f 表示各组对应的次数； N 为总次数。
例2．某班45名学生的语文成绩如表4－4，求其 标准差。
解：将上述表中计算的中间结果代入公式（4.5） 得

fX
N
2 c
2 fX c 332615 3855 7.26 N 45 45 2
解：求得 X 82 ， 9.94 ，根据公式（4.11）
计算得到各个原始分数对应的标准分数，如表4
－6的第3列。
例9．已知A、B两班英语考试成绩如下表。
甲生是A班的学生，成绩为70分。乙生是B班的 学生，成绩也是70分。求甲、乙两人成绩的标准 分数。
解： X X 70 80 甲生的标准分数为： Z甲 ＝ 2 5 4
图4—2 四分差和四分位数之间的关系
二、四分差的计算方法
四分差的计算公式为：
Q3 Q1 Q 2
（4.7）
式中， Q 表示四分差； Q1 表示第1四分位数； Q3表示第3四分位数。
1．
对原始数据计算四分差
求法：将各个数据按大小顺序排列；再将 数据的个数N 除以4，然后根据求中位数的方法 N 1 Q1 Q1的位置为 ）和第3四 求出第1四分位数 ,（ 4 2 Q3 的位置为 3N 1 ），将其代入公式 分位数Q3 （ 4 2 （4.6），即可求得四分差。
Z XX

（4.11）
式中， X 表示原始数据； X 表示原始数据的算术平均数； 表示原始数据的标准差。
标准分数是以算术平均数为参照点，以标准差 为单位，表示每一个原始数据在其团体中的相对 位置。 标准分数有正有负，如果原始数据大于算术平 均数，则标准分数为正值；如果原始数据值小于 算术平均数，则为负值。标准分数的绝对值越大， 则说明原始数据距算术平均数越远。 标准分数没有测量值的单位。
差异系数也叫变异系数，或称相对标准差， 用符号 CV 表示。它是标准差与平均数的比值， 不具有实际测量单位。公式为： CV 100 X （4.10） 式中 ， CV 表示变异系数； 表示标准差； X 表示平均数。 从公式中可以看出，变异系数大，表明数据的 离散程度大，反之数据的离散程度小。
， Fb 74 ， Q3 f
3N 因 为 4 90
Q ， 3 所 以 所 在 组 为 9 0 — 9 4 组 。 则 Lb 89.5， 代入公式（4.9）得 26 ， i 5
3N 3 120 Fb 74 Q3 Lb 4 i 89.5 4 5 92.577 f Q3 26
（米）。
X2
N
2 32.51 16 ＝ 0.25 8 8
(米)。
从上例可以看出，虽然两组数据的平 均数都是2.00米，但两组数据的标准差不 同。 两组数据的差异程度不同，平均数的可 靠性不同。
2. 对次数分布表计算标准差
计算公式为：



f ( X c X )2 N
3.82 100 2.57 X 148 .54

CV六年级

若仅从绝对差异量数标准差来看，六年 级学生的身高的标准差要比一年级学生身高的 标准差稍大一些。但由于这两组数据的平均数 相差较大，用变异系数比较其离散程度，结果 一年级学生身高的离散程度反而比六年级的大 一些。
第四节

相对地位量数
因此 t = ＝
N i ( i2 d i2 ) Nt
N1 N 2 N 3 N 4
2 2 2 2 2 N1 ( 12 d i2 ) N 2 ( 2 d 2 ) N 3 ( 3 d 32 ) N 4 ( 4 d 4 )
50(6 2 12 ) 52[5.5 2 (4) 2 ] 48[7 2 (1) 2 ] 51(8.2 2 3 2 ) 50 52 48 51
1
3
Q3 Q1 79.5 62 Q 8.75 2 2
2．
对次数分布表数据计算四分差
首先计算出 Q1与 Q3两点数值，然后代入公式（4.7） 即可。计算 Q1和 Q3的公式为： N Fb Q1 Lb 4 i （4.8） f Q1 3N Fb Q3 Lb 4 i （4.9） f Q3 式中，Lb 表示该四分位数所在组的下实限； f Q 、 表示 Q1 、 3 所在组的次数； Q fQ Fb 表示该四分位数所在组下一组对应的向上 累积次数；表示组距；为总次数。 N
解： 设
N1 50, N 2 52, N 3 48, N 4 51
X 1 90, X 2 85, X 3 88, X 4 92
1 6, 2 5.5, 3 7, 4 8.2
则
N1 X 1 N 2 X 2 N 3 X 3 N 4 X 4 Xt N1 N 2 N 3 N 4

CV体重 CV身高
体重的离散程度比身高的离散程度大。
例7．已知某校一年级学生的平均身高 为124.20厘米.标准差为3.26厘米；六年级
学生的平均身高为148.54厘米，标准差为
3.82厘米。试比较两个年级身高的离散程 度。
解
CV一年级
3.26 100＝ 100 2.62 X 124 .20
例4． 20名学生英语测验成绩为52、79、73、 60、45、44、89、87、65、81、68、79、67、 80、65、64、72、66、48、83，求测验成绩 的四分差。
解：先将20个数据按从小到大顺序排列：44、 45、48、52、60、64、65、65、66、67、68、 72、73、79、79、80、81、83、87、89。 然后确定 Q1和Q3 的位置，由于 N 20 ，所以Q1 60 64 20 1 Q 62 ；Q 的位置 的位置是 4 2 5.5 ，则 3 2 3 20 1 是 4 2 15.5 ，则 Q 79 80 79.5 。代入公式 2 （4.6）得