第四章差异量数
（二）计算公式
（三）优缺点 优点 1、平均差意义明确，计算容易，反应灵敏 2、较好地反映了次数分布的离散程度 缺点 1、平均差计算时要用绝对值，不适合代数运 算，因此在进一步统计分析中应用较少 2、属于一种低效差异量数
二、方差与标准差
（一）概念
（二）计算公式 1、未分组数据的计算
思考：可不可以不计算平均数，只利用原始数据 来算方差和标准差呢
四、优缺点 （一）优点 1简单，容易理解 2计算简单
（二）缺点 1最粗糙，不可靠 2只是利用了数据中的极端值，其他数据未参与运算过 程 3如果两极端值有偶然性或属于异常值时，全距不稳定 4全距受到取样变动的影响
第二节百分位差与四分位差
一、百分位数 （一）概念 百分位数(percentile),又叫百分位分数,用符号Pp表示，指 次数分布中相对于某个特定百分点(小p)的原始分数，它 表明在次数分布中 小于这个分数的数据个数占数据分布 中全部数据个数的一定百分比。 如P70 =85，表明将一批数据从小到大排列后，小于85分 的数据占该批数据的70%
第四章差异量数
全距
百分位差
差 异 量 数
四分位差
平均差
标准差
方差
第一节全距(range)
一、概念与计算公式 （一）全距又称两级差，用R表示，用一组数据 的最大值减去最小值 （二）R=X max－X min
二、地位 说明数据离散程度的最简单的统计量 三、应用 主要用于对数据作预备性检查，了解数据的大概散 布范围，以便确定如何进行统计分组
思考： 在分组次数分布表中，当我们想求P50 时，如何 计算？
二、百分位差 （一）概念 指两个百分位数之差，也叫百分位距。 常用的百分位距有两种 P90－ P10， P93－ P7
（二）地位 能较好地反映一组数据的差异程度，但有一定 的局限，只作为主要差异量数的辅助量数
（三）应用 1、求百分位差
（四）一组原始数据中，各个Z分数的标准差为1 根据标准差性质：原始分数加上或减去一个数， 标准差不变；原始分数乘一个数，标准差变为原 来的N倍； Z=(Xi -X平均）/S不就是原始分数减去 平均数（标准差不变），再乘标准差的倒数吗？ （标准差为原来的1/S倍）原来标准差为S 转化Z分 数后就是S*(1/S) ，所以是1 （五）如果原始分数呈正态分布，那么转换得到Z 分数分布叫标准正态分布，以0为平均数，1为标 准差
（二）缺点 1、计算相对比较繁杂，还有负值和零值， 常常还会带有小数 2、在进行比较时，还必须满足原始数据 的分布形态相同这一条件
五、应用 （一）比较几个分属性质不同的观测值在各自数据分布 中相对位臵的高低
比如有一人的身高是 170 厘米，体重是 65 千克，究竟身 高还是体重在各自的分布中较高？设身高 Z 身高 1.70 =0.5 ， Z 体重65 =1.2 ，则该人的体重离平均数的距离要比身高离 平均数的距离远，即该人在某团体中身高稍微偏高， 而体重更偏重些
当两个公式计算的结果有出入时，原始 数据计算的结果更精确
计算该次数分布表的方差和标准差
（三）总标准差的合成 方差具有可加性的特点，在已知几个小组的方差或 标准差的情况下可以计算几个小组联合在一起的总 的方差或标准差 思路是：总的方差=组内方差之和与组间方差之和
组内离均差
组间离均差
应用：为了研究噪音对解决数学问题的影响，根据噪 音的三种情况（强、中、弱）把被试分为三组，每组 4个人，因变量是解决数学问题时产生的错误频数， 数据如下表，请计算噪音所产生的总的方差
（三）计算公式
X 即 Pp
（四）应用 下表所列的考试分数分布中，已知某应试者的考分为82 分，问在这次考试中低于该应试者的人数比例
第三节平均差、方差、标准差
一、平均差(average deviation或mean deviation) （一）概念 平均差(通常用AD或MD表示) 指一组数据中，每一个数据与该组数据的平均数之差 的绝对值的算数平均数
（二）不同团体进行的是同一种类型的观测，但测 的是水平相差较大，需要比较观测值的离散程度
例：通过一个测验，一年级（7岁）学生的平均分数为60分， 标准差为4.02分，五年级（11岁）学生的平均分数为80分，标 准差为6.04分，问这两个年级的测验分数中哪一个分散程度大？
三、注意事项
（一）测量的数据至少是等距数据 （二）差异系数只能用于一般的相对差异量的描述， 不能做进一步的点 1优点 （1）在两极端数据不清楚时可以应用 （2）常与中数联系起来共同应用 （3）对数据的离散程度的描述比全距好
2缺点 （1）没有把全部数据考虑在内，其稳定性会差一些 （2）反应不够灵敏 （3）不适合进行代数运算
四、百分等级分数 （一）概念 百分等级分数与百分位数相反，它是事先知道分布 中的一个原始分数，再求这个原始分数在分布中所 处的相对位臵——百分等级 （二）意义 百分等级分数指出原始数据在常模团体中的相对位 臵，百分等级越小，原始数据在分布中相对位臵越 低，百分等级越大，原始数据在分布中相对位臵越 高。
三、性质 （一）Z分数无实际单位，是以平均数为参照点， 以标准差为单位的一个相对量 （二）一组原始分数转换得到的Z分数可以是正 值，也可以是负值，凡小于平均数的原始分数的 Z值为负数，大于平均数的原始分数的Z值为正数， 等于平均数的原始分数的Z值为零。 （三）所有原始分数的Z分数之和为零，Z分数的 平均数也为零
第五节差异量数的选用
如何选用差异量数 （一）当样本是随机取样时，s、Q、R的可靠性依次降 低 （二）当要求计算要容易快捷时， s、Q、R依次变得 简单 （三）当要求统计量进一步使用时，s远胜于其他差异 量数 （四）在偏态分布中，Q比s更常用
（五）当分布是截尾分布时，只有Q能正确的指出 分布的变异性 （六）在选用差异量数时，同时应考虑合适的集中 量数。 差异量数越小，集中量数的代表性则越大 差异量数越大，集中量数的代表性则越小 要描述一组数据的典型性特点，必须同时使用集中 量数和差异量数。 一般常用的搭配是： 中数和Q或其它百分位差一起 平均数和标准差一起（最常用）
本章课后练习题 1、2、3、4（直接回答） 6、7、8、9（课堂计算）
本章随堂练习
（5）受抽样变动影响小，即不同样本的标准差或 方差比较稳定 （6）简单明了，虽然比其他差异量数稍有不足， 但其意义还是较明白的
二、应用条件 （一）同一个团体不同观测值离散程度的比较 即同一个团体但是所测得特质不同 例：已知某小学一年级学生的平均体重为25千 克，体重的标准差为3.7千克，平均身高为110 厘米，标准差为6.2厘米，问体重与身高的离散 程度哪个大？
2、某招干考试分数如下表，预定取考分居前10% 的应考人员进行面试选拔，请划定面试分数线
三、四分位差(quartile deviation) （一）概念 百分位差的一种，又叫四分位距，指第三个四分位数 与第一个四分位数之差的一半，即在一个次数分布中， 中间50%的次数的距离的一半，用Q表示。
（二）由来 四分位差的计算，基于两个百分位数，即P25和P75,这两 个点值与中数（50%点）一起把整个数据的次数等分为 四部分， P25之下占有总次数的四分之一，被称为第一 四分位，中数被称为第二四分位， P75被称为第三四分 位
四、优缺点
（一)优点 1、可比性 不同性质的成绩，转化为标准正态分数后，相当 于处在不同背景下的分数，放在同一背景下去考 虑，具有可比性 2、可加性 标准分数没有具体单位，不同性质的原始分数经 转化后可以相加
3、明确性 知道了某一被试的标准分数，可以知道其百分等 级 （注意：在心理统计这门课中，我们默认的是样 本分布服从正态分布） 4、稳定性 原始分数转化为标准分数后，标准分数的标准差 为1（性质4），保证了不同性质的分数在总分中 的权重一样
（三）经线性转化后，表示标准测验分数 经过标准化的教育和心理测验，如果其常模分 数分布接近正态分布，为了克服标准分数出现 的小数，负数，常常是将其转化成正态标准分 数 转化公式为Z’=aZ+b Z’为经过转化后的标准正态分数，a,b为常数
（四）整理数据时，常采用三个标准差法则取舍数 据，即如果数据值落在平均数加减三个标准差之外， 则在整理数据时，可以将这个数据作为异常值舍弃 操作方法：利用spss转化为Z分数后，Z值不在[-3,3] 范围内，可以舍弃
（二）计算不同质的观测值的总和或平均值，来表示在团 体中的相对位臵 不同质的原始观测值因不等距，也没有一致的参照点， 因此不能简单地相加或相减，当需要把这些不同质的 数据合成时，如果已知这些不同质的观测值的次数分 布为正态，这时可采用 Z 分数来计算不同质的观测值 的总和或平均值。比如高考的各科成绩，经转化为 Z 分数后，可以相加
3意义 （1）方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好 指标，其值越大，说明数据分布的离散程度越大，该 组数据较分散，其值越小，说明数据分布比较集中， 离散程度越小。 （2）它们是统计描述与统计推断分析中最常用的差 异量数。在描述统计部分，只需要标准差就足以说明 一组数据的离中趋势
4标准差的有点 （1）反应灵敏，每个数据取值的变化，方差或标准差都随之 变化 （2）计算公式严密确定 （3）容易计算 （4）适合代数运算 93页说标准差不可以进行统计运算，但是94也总结标准差 的优点的时候又说适合代数运算，怎么回事？ 93页所说的标准差不可以进行代数运算是指两个标准差之间不 可以进行加减乘除的运算，而不像方差那样具有可加性；94页 所说的标准差的优点是指标准差除可以用以描述统计之外，还 可以进一步参与到推论统计的运算当中，而平均差、百分位差、 四分位差等其他的差异量数则不能参与到推论统计的运算当中
（四）方差与标准差的性质与意义 1、方差性质 可分解性与可加性 2、标准差性质 （1）每个观测值都加上一个相同常数C后， 计算得到的标准差等于原标准差 （2）每个观测值都乘以一个相同常数C，则 所得的标准差等于原标准差乘以这个常数 （3）每一个观测值都乘以同一个常数C （C≠0），再加一个常数d,所得的标准差等于 原标准差乘以这个常数C。（分组数据时用估 计平均数计算标准差的公式）
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第四章差异量数
Q3在70-74组。
将Lb 5 4.5, f Q1 2 5, Fb 2 4, i 5, N 4.7 , 得 3 6代入公式 4 36 24 Q1 5 4.5 5 25 5 6.9
将Lb 6 9.5, f Q1 1 8, Fb 1 0 1 , i 5, 3N 4.8, 得 108 代入公式 4 1 0 8 1 0 1 Q3 6 9.5 5 18 7 1.4
1 6, 2 5.3, 3 7, 4 8.2
50 90 52 85 48 88 51 92 则Xt 50 52 51 48 89
d1 X 1 X t 90 89 1 d 2 X 2 X t 58 89 4 d 3 X 3 X t 88 89 1 d 4 X 4 X t 92 89 3
平均差、方差、标准差、差异系 数等
第一节
标准差
一、全距：一组数据中最大值与最小值之 差，又称极差。(用符号R表示。)
全距的优缺点： 优点：概念清楚，意义明确，计算简便。
缺点：易受两个极端的数值影响。
二、方差和标准差
方差（又称为变异数、均方）。是表示一组数据离散
2 S 程度的统计指标。一般样本的方差用 表示，总体
X
100
（4.9）
式中：CV 为差异系数； 为标准差；X 为平均数。
2、差异系数的作用
比较不同单位(现象)资料的差异(变异)程度
比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 可判断特殊差异情况
差异系数CV又称为相对标准差，属于相对差异量
数，不具有测量单位。在算术平均数不为零的情况
教育统计学4
2.峰度（Ku) 2.峰度（ 峰度
峰度是描述图形中次数最多 之处的山峰高耸的程度 Ku=0 图形呈标准的常态状 Ku>0 图形的山峰显得尖 Ku>0 Ku<0 图形的山峰显得矮平 Ku<0
第五节 标准分数
1.标准分数，又称Z分数，是以标准差为单位表示一个 1.标准分数，又称Z 原始分数在团体中所处位置的相对位置量数。 2.计算公式： 2.计算公式： xi − x z = s Z的数值有正负，表示正向（或负向）离开平均多少个 标准差单位 Z=0 表明其原始分数为平均数 Z>0 表明其原始分数高于平均数 Z<0 表明其原始分数低于平均数
ZA ZB 0 2.5 0.5 -1 0.6 -0.4 1.1 1.1
结论：两个学生在三门功课中的成绩总分没有差异。
4.标准分数的转换 4.标准分数的转换 由于Z 由于Z分数会出现小数、负数等缺点，我们常常将 其转换成正态标准分数。
Z ′ = aZ + b
韦克斯勒的韦式成人智力量表 IQ=15Z+100
CV1=3.7/25*100%=14.8% CV2=6.2/110*100%=5.64% 结论：体重的分散程度比身高的分散程度大。
第四节 偏态量和峰态量
偏态量和峰度量是描述数 据分布特征的统计量，又 称偏度和峰度。 1.偏度：是描述图形离开对 1.偏度：是描述图形离开对 称的方向和程度的指标。 偏度SK=0 偏度SK=0 图形对称 偏度SK>0 偏度SK>0 图形呈正偏 态 偏度SK<0 偏度SK<0 图形呈负偏 态
作业1 作业1
正确理解偏度和峰度的含义 解释标准分数Z 解释标准分数Z的意义 计算方差、标准差及无偏方差和无偏标准 差
张厚粲《现代心理与教育统计学》(第4版)章节题库-差异量数(圣才出品)
6．已知一组数据 6，5，7，4，6，8 的标准差是 1.29，把这组中的每一个数据都加上
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5，然后再乘以 2，那么得到的新数据组的标准差是（ ）。 A．1.29 B．6.29 C．2.58 D．12.58 【答案】C 【解析】标准差有三个特性：①每一个观测值都加同一个常数 c 之后，得到的标准差等
2．研究者决定通过每一个分数除以 10 来对原始分数进行转换。原始分数分布的平均 数为 40，标准差为 15。那么转换以后的平均数和标准差将会是（ ）。
A．4，1.5 B．0.4，0.15 C．40，1.5 D．0.4，1.5 【答案】A
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5 1.92
5．某学生某次数学测验的标准分为 2.58，这说明全班同学中成绩在他以下的人数百分 比是（ ），如果是－2.58，则全班同学中成绩在他以上的人数百分比是（ ）。
A．99%，99% B．99%，1% C．95%，99% D．95%，95% 【答案】A 【解析】Z＝2.58，查正态分布表可得 p＝0.99，即该生的数学测验标准分为 2.58 时， 全班同学中成绩在他以下的人数百分比为 99%；同理，当该生的数学测验标准分为－2.58 时，全班同学中成绩在他以上的人数百分比也为 99%。
【解析】平均数的特点是在一组数据中，每一个数都乘以一个常数 c 所得的平均数为原 来的平均数乘以常数 c，因此转换后的平均数为 4；标准差的特点是每一个观测值都乘以一 个相同的常数 c，则所得的标准差等于原标准差乘以这个常数，因此转换后的标准差为 1.5。
3．已知平均数 M＝4.0，S＝1.2，当 X＝6.4 时，其相应的标准分数为（ ）。
统计心理-第四章 差异量数
第二节 平均差、方差与标准差
一、平均差 • 1. 意义： 次数分布中所有原始数据与平均
数绝对离差的平均值。一般用符号A.D.或 M.D. 来表示。 • 2. 计算： • （1）原始数据求平均差
A.D. Xi X
n
例题：
有5名被试的错觉实验数据如下，求其平均差。
被试
1
2
3
4
5
错觉量 16
18
i 1
N
i 1
N
i
（三）总标准差的合成
St
N 1
S
2 1
d
2 1
N2
S
2 2
d
2 2
Nk
S
2 k
d
2 k
N1 N2 Nk
k
k
N
i
S
2 i
N
i
d
2 i
i1
i1
k
Ni
i1
S
：
t
总
标
准差
注意：只有应用同一种观测手段，测量同一 个特质，只是样本不同时，才能应用该公式 合成方差和标准差。
易受极端值的影响； 易受取样变动的影响； 未考虑数据的分布。
7 8 9 10 7 8 9 10 全距只是一种低效的差异量数，主要用 于对数据的预备性检查，了解数据的大概 范围，以确定如何统计分组。
二、百分位差（percentile）
• 为了避免极端数据的影响，将数据的两 端各截去10%，即P10和P90之间的距离作 为差异量数。
负号，应用较少。
二、方差与标准差
差异变量1
Q1=1.7 Q=(2.2-1.7)/2=0.25
Q3=2.2
（2）数据分组后（次数分布表）计算法
Q Q 3 Q1 2
其中
这里 L b 表示百分位数所在组的精确下限， b 表示小于L b F 的各组次数的和， f 表示百分位数所在组的次数；
例：下表为一个年级期末考试数学的分数，求四分位差？
21
6 4 4 3 2 2 1
43
22 16 12 8 5 3 1
合计
196
未分组资料的百分等级 PR=100-{(100R-50)/N|}, 其中R是原始分数排列顺序数，N是指总人数 （样本的总人数）。 例如：小东在30名同学中语文成绩是80分，排 列第5名，则其百分等级为： PR=100-{（100*5-50）/30}=85 百分等级为85即指，在100名被试中，语文成 绩低于小东的80分的有85人。
R=Xmax– Xmin
次数分布表的全距一般是最大一组与最小一组的组中值 之差，或者是最大一组上限与最小一组下限之差。
例：下列数据是实验中所得的，10个被试的跳远距离：2.0、 2.3、2.5、1.9、1.6、1.5、2.8、2.2、1.7、1.8（单位m）， 求这组数据的全距是多少？ R=Xmax– Xmin=2.8—1.5=1.3m
第四章 差异量数
差异量数的概念
差异量数就是对一组数据的变异性（离中趋势） 特点进行度量和描述的统计量。它反映了次数分 布中数据彼此分散的程度。 常用的差异量数有全距、四分位差、百分位 差、平均差、标准差与组数据中最大值与最小值之差。全距用R表示。
全距的计算方法 原始数据的全距是最大值与最小值之差。
85-89
80-84 75-79
第四章 差异量数
三、由各部分的标准差合成总标准差的计算方式
已知总体中各部分的标准差，若求其总标准 差，可用下面公式进行合成： （4.6） 式中： t为总标准差； N t 为总体中数据的个 d 数； i为各部分数据的标准差；i 为各部分平 均数与总平均数之差，即 di X i X t 。其中
Nt
t
例6．某小学四年级248名学生的平均身高为 143.52厘米，标准差是6.48厘米；平均体重
30.28千克，标准差4.56千克，试比较身高与体
重两变量的离散程度。
解：
CV身高
6.48 100＝ 100 4.52 X 143 00 15.06 X 30.28
=
50 90 52 85 48 88 51 92 50 52 48 51
= 89
d1 X 1 X t 90 89 1 d 2 X 2 X t 85 89 4 d 3 X 3 X t 88 89 1 d 4 X 4 X T 92 89 3
第四章
差异量数
第一节 标准差 第二节 四分差 第三节 差异系数 第四节 相对地位量数 习 题与思考题
描述一组数据离中趋势(波动性)的量数，称 为差异量数。
差异量数有：绝对差异量数和相对差异量数 两种。绝对差异量数包括全距、平均差、四分差 、方差、标准差等，相对差异量数有差异系数和 峰态量数、偏态量数。
本章重点介绍标准差、四分差、差异系数， 并学习标准分数和百分等级两个相对地位量数。
第一节 标准差
一、标准差的概念 二、标准差的计算方法
1、对原始数据计算标准差
2、对次数分布表计算标准差
(完整版)心理与教育统计学第4章差异量数
心理与教育统计学
复习专题：
平均增加率与几何平均数 平均增加量与算术平均数
一列数据分别为X1，X2，X3…Xn， 按一定的比例关系变化，则：
1
X2 X1
2
X3 X 2
N 1
XN X N 1
1 2 N 1
Mg N1 12 N1
Mg N1 X 2 X 3 X N X1 X 2 X N 1
160
170
180
190
A
B
4.1 全距与百分位数
• 4.1.1 全距
• 全距（range）又称为两极差，用符号R 表示。
• 用最大值（maximum)减去最小值 （minimum)得到全距。
R X max X min （4.1）
全距的特点： • 全距是最粗糙的差异量数，只利用了数据
中的极端值； • 容易受极端值的影响；
]
（4.5）
PR 百分等级； X 给定的原始分数。
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
60－
5
12
55－
4
7
50－
2
3
4.54+79.5=84.04
45－
1
1
合计
58
精确组限 79.5~84.49
5/7=0.71
采用次数分布表计算百分位数
PP
Lb
P 100
N
Fb
i fP
（4.4）
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限； fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数； i为组距。
X N X N 1 cN 1
复习专题：
平均增加率与几何平均数 平均增加量与算术平均数
一列数据分别为X1，X2，X3…Xn， 按一定的比例关系变化，则：
1
X2 X1
2
X3 X 2
N 1
XN X N 1
1 2 N 1
Mg N1 12 N1
Mg N1 X 2 X 3 X N X1 X 2 X N 1
160
170
180
190
A
B
4.1 全距与百分位数
• 4.1.1 全距
• 全距（range）又称为两极差，用符号R 表示。
• 用最大值（maximum)减去最小值 （minimum)得到全距。
R X max X min （4.1）
全距的特点： • 全距是最粗糙的差异量数，只利用了数据
中的极端值； • 容易受极端值的影响；
]
（4.5）
PR 百分等级； X 给定的原始分数。
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
60－
5
12
55－
4
7
50－
2
3
4.54+79.5=84.04
45－
1
1
合计
58
精确组限 79.5~84.49
5/7=0.71
采用次数分布表计算百分位数
PP
Lb
P 100
N
Fb
i fP
（4.4）
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限； fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数； i为组距。
X N X N 1 cN 1
心理统计学-课程讲义4
【课程讲义】第四章差异量数【教学目标】明确差异量数是描述数据离中趋势的一种量数，它与集中量数一起描述数据的全貌；明确标准差是所有差异量数中代表性最好的；掌握各种差异量数的概念、性质、计算方法、适用条件。
【学习方法】了解、理解、计算与应用。
【重点难点】差异量数的概念及适用条件；各种差异量数的计算方法；标准分数及百分等级的概念、适用条件及计算方法。
【讲义内容】前一章讨论的集中量数反映的是一组数据的集中趋势，代表一组数据的一般水平。
但是客观事物总是千差万别的，一组数据中不是所有的数值都与一般水平相等，而是有的高些，有的低些，彼此参差不齐。
描述一组数据波动情况的量数成为差异量数。
差异量数常用来衡量集中量数的代表性程度。
差异量数越大，则集中量数的代表性越小；差异量数越小，则集中量数的代表性越大。
差异量数分为：绝对差异量数和相对差异量数绝对差异量数：标准差，方差，四分差；相对差异量数：差异系数另外，本章还讲到相对地位量数：标准分数，百分等级。
第一节标准差一、标准差的概念及适用条件（一）概念标准差是一组数据中每个数据与其算术平均数之差的平方和，除以总的数据个数，再求算术平方根。
标准差的计算公式为：n XS2)(X-∑=（4.1）X为算术平均数，n为数据的个数。
（二）适用条件1．与算术平均数配合使用，与算术平均数的适用条件相同。
即一组数据的一般水平适合用算术平均数描述时，其离散程度宜用标准差描述；2．计算其他统计量时，如差异系数，标准分数，相关系数等，需要用到标准差；3．在推论统计中，尤其是进行方差分析时，常用方差表示数据的离散程度。
二．标准差的计算方法（一）未分组资料标准差的计算方法1．基本公式法用标准差的定义n XS2)(X-∑=，计算标准差。
例1 某校四年级举行数学竞赛，一班、二班分别派九名选手参加，成绩如下表。
试比较两个班的成绩。
4-1 四年级一班九名学生竞赛成绩统计表4-2 四年级二班九名学生竞赛成绩统计表解：先求年级一班的平均数和标准差。
教育统计学第四章 差 异 量
σ =
2 x
∑ (x
2 i
i
− x)
2
n
σ =
2 x
∑x
n
−
∑x
n
i
2
• 例1 求数据组{52，62，74，45，50， 71，81，85}的方差。 为了使方差与数据组中的数据具有相 同的单位，将方差开平方， 同的单位，将方差开平方，称为数据组的 标准差，用符号бx表示。 标准差，用符号 表示。 标准差的计算公式： 标准差的计算公式： 标准差等于方差的算术平方根
差异系数的计算公式为： 差异系数的计算公式为：
cv =
σx
x
× 100%
例1 某学校一年级学生体重与身高情况 如下述资料表： 如下述资料表：
表4-3 某学校一年级学生体重与身高情况资料表
平均数 体重 身高 21.40公斤 公斤 125.85cm
标准差 2.19公斤 公斤 4.67cm
计算差异系数： 解 计算差异系数：
cv体重
cv身高
2.19 = × 100% = 10.23% 21.40
4.67 = × 100% = 3.71% 125.85
某班期末考试数学平均分为95分 例2 某班期末考试数学平均分为 分， 标准差为10分 语文平均分为60分 标准差为 分；语文平均分为 分，标准差 为9分，试比较数学和语文分数的离散程度。 分 试比较数学和语文分数的离散程度。
频数分布表方差和标准差的计算公式： 频数分布表方差和标准差的计算公式：σ =2Fra bibliotekx∑fx
N
2 i i
−
−
∑fx
N
i i
2
4 差异量数
0
Starting Salary
jinggangshan
第四章 差异量数
•差异量数就是描述一组数据离中趋势的量数。
•集中量数虽然能较好地描述一组数据的集中趋势，但 这还远远不够，它还不能代表一列数据分布的全貌。 客观世界的事物总是千差万别的，这其中不仅有质的 差异，而且还有量的差异，这种事物的差异则是统计 分布的另种特征——离中趋势或离散程度 。
•差异量数主要有：全距 (Range) 、四分位差 (Quartile) 、 百分位距(Percent Rank)、平均差(AD)、方差和标准差 (Variance & SD) 、差异系数(相对标准差CV).
jinggangshan
全距
• 全距是指一列数据最大差距，即一列数 据中最大数与最小数的差距，又称极差， 用符号RN（Range）表示. • 全距意义简明，计算简单，但容易受极 端数据的影响，不反映全部数据的差异 情况 ，使用价值极小。
jinggangshan
四分位差(Quartile)
N i Q1 LQ1 Fb 4 fQ1
N i Q3 LQ3 Fb 4 fQ3
jinggangshan
N i Q90 LQ90 Fb 4 fQ90
N i Q10 LQ10 Fb 4 fQ10
jinggangshan
•平均差(AD）
•是指一组数据的离差绝对值的算术平均数。 •未归表数据求平均差； •已归表数据求平均差。
0 0. 50 62 0.0 50 57 .0 0 50 52 0.0 50 47 0.0 50 42 0.0 50 37 .0 0 50 32 0.0 50 27 0.0 50 22 .0 0 50 17 0.0 50 12 0 . 00 75