心理统计学第三章 集中量数
第三章集中量数,趋中量数(MeasuresofCentralTendency)
第三章集中量數（或趨中量數）(Measures of Central Tendency)壹、本單元的目標1、解釋集中量數的目的，並說明此量數所傳達的訊息2、計算，說明，及比較眾數（mode）、中位數（median）、以及平均數（mean）的差異3、說明平均數的數學特性4、依照測量尺度及偏態（skew）來選擇適當的集中量數貳、各種集中量數上個單元所介紹的次數分配及圖表等是用來描述資料的整體分配情況。
本單元及下個單元則介紹兩類的描述統計，以進一步瞭解資料整體分配的細節。
這兩類統計能告訴我們以下的資訊是：1、代表此分配之典型或平均狀況的個案為何。
與此有關的描述統計就是各種「集中量數」。
2、此分配之變異或異質性的狀況。
與此有關的描述統計就是各種「離散量數」。
所以，集中量數就是以一個數值來描述樣本資料中，那一個分數或數值是最常見的、站在中間的位置、或最具代表性。
最常見的集中量數有三種，即眾數(Mode)、中位數(Median)、和算術平均數(Mean)。
這三種量數雖有共同的目的，但它們測量資料之集中趨勢（central tendency）的作法卻不同，也傳達不同的訊息。
因此，只有在特定的條件下，這三種量數的數值才會相同。
到底用那一個集中量數和the level of measurement（測量尺度）以及研究之目的有關。
集中量數之使用和測量尺度之關係：Nominal －ModeOrdinal －Mode、Median （也可用Mean，但解釋時要小心）Interval-Ratio －Mode、Median、Mean一、眾數(Mode)：是指資料中出現最多的數值。
眾數適用於各種測量尺度。
但當變項為名目尺度時，這是唯一可用的集中量數。
在名目尺度變項，或次數分配表中，眾數是指含件數或次數最多的類別。
眾數雖是最簡單之集中量數，但有缺點：1、有些分配不一定有眾數，換言之，分配很平均時或眾數很多時，眾數即失去意義和功能。
[教育学]心理统计学：绪论_集中量数_图表
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心理与教育统计学▪统计学是一种思想方法▪常用统计指标▪概率及概率分布▪抽样分布参数估计参数假设检验▪平均数差异的显著性检验方差分析▪相关分析回归分析▪χ2检验总体比率的推断非参数检验▪抽样设计问题▪某研究机构研制出一种能提高5岁幼儿阅读能力的游戏产品，该产品能在使用3个月之后提高幼儿的阅读能力，请设计一个实验验证这种游戏产品的作用。
——2007年心理学研究生入学试题统计学▪统计学是科学研究的基本技能。
▪统计学不难。
▪立足于自学。
▪从现实中寻找问题，在教材中寻找答案。
方案一▪抽取一组5岁幼儿，前测－游戏－后测。
▪如果成绩提高，说明产品有效。
▪问题：幼儿成熟，阅读水平也会提高。
方案二▪抽取A、B两组5岁幼儿，A组用该产品，B组不用，分别进行前测－游戏－后测。
▪如果两组前测成绩相当，后测A好于B，说明产品有效。
▪问题：前测成绩不等怎么办？方案三▪抽取A、B两组5岁幼儿，A组用该产品，B组不用，分别进行前测－游戏－后测。
▪A组后测成绩－前测成绩（提高幅度）高于B组，说明产品有效。
▪问题：谁能保证分数的差异不是出于随机误差？其他问题▪不能打百分制怎么办？▪及格－不及格▪及格人数－不及格人数▪如果有A、B、C三种产品竞争，如何设计研究方案？▪一次实验就能说明产品一定有效（或无效）吗？▪……统计资料也骗人（1）▪某城市公安局加大对带有黑社会性质的犯罪团伙的侦办力度，2004年共侦破此类案件50起，抓获犯罪嫌疑人800人，而2003年这两个数字分别是5起和100人。
一些人士惊呼：仅仅一年时间，该城市治安形势急剧恶化。
统计资料也骗人（2）▪某城市（人口数1000万）中过去没有禽流感传染给人的病例。
但是2003年出现了2例，2004年出现了4例。
由此可以得出结论：2003—2004年期间，该病发病率增加了100%。
这样的增幅足以令卫生部门和市民忧心忡忡。
统计资料也骗人（3）▪某公司在广告中声称，在过去的10年它销售的汽车中，10辆里面有9辆仍在道路上行驶。
心理统计学第三章
第三章第三章集中量数第一节算术平均数 ................................................. 错误!未定义书签。
第二节中位数 ................................................................. 错误!未定义书签。
第三节众数 ....................................................................... 错误!未定义书签。
第四节几何平均数和倒数平均数............................... 错误!未定义书签。
第五节 SPSS实验——均数、中数和众数...................... 错误!未定义书签。
同步练习与思考题 ............................................................... 错误!未定义书签。
学习目标1．识记和理解各种集中量指标的概念2．熟练掌握各种平均指标的计算方法3．掌握均数、中数和众数应用范围4．了解几何平均数和倒数平均数的应用在实验、测量或调查中获得的大量观测数据，具有一种向数据中央某一点靠拢的趋势，这种趋势在统计学中称为集中趋势（central tendency），它是数据分布的特征之一。
用于描述观测数据集中趋势的量数称为集中量数。
集中量数（central measures）是一组数据的代表值，用以说明一组数据分布的典型情况或一般水平，它比个别数据更能反映客观现象或事物的实际情况。
集中量数还可以用于组与组之间的差异比较。
譬如，某教师在两个平行班进行了传统教学法和多媒体教学的实验研究，通过一年实验后，观测到两个班级的平均成绩之间出现较大的差异。
描述客观现象集中趋势的数量指标有算术平均数、加权平均数、中数、众数、几何平均数和倒数平均数。
统计心理-第三章 集中量数
例。
XT
ni X i ni
加权平均数
例1：某小学三年级举行英语测验。甲班32名学生的平均 分为72.6，乙班40名学生平均分为80.2，丙班36名学生的 平均分为75分。求全年级英语测验的总平均分数。
xwN1xN 11NN 2x22N N 33x3
加权平均数
例2：某课题组在8个省区进行一项调查，各省区的取样 人数和平均分数见下表，求该项调查的总平均数。
2
中数；若数据个数为偶数时，则 X N 2 X N 2 1 2为中 数。
①求数列4，6，7，8，12的中数。 ②有2，3，5，7，8，10，15，19共8个数，求其中数。
（二）中数的计算方法
（2）一组数据中有重复数值的情况
①当重复数值没有位于数列中间时 求数列5，5，6，10，12，15，17的中数。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
离中趋势是指数据分布中数据彼此分散的程度。 集中量数与差异量数：描述一组数据集中趋势和
离中趋势的统计量，共同描述一组数据的全貌及 统计特征。 测度集中趋势即寻找数据水平的代表值或中心值 集中量数包括算术平均数、中数、众数、加权平 均数、几何平均数、调和平均数等。
Mo3Md2M
第三节 其他集中量数
一、加权平均数 所得数据单位权重不相等时要使用加权平均数。
k
M WW 1X W 1 1W W 2X 22 W W nnXni
1
W
k
i
W
X
i
i
i1
W为权数，指各变量在构成总体中的相对重要性。
第三章集中量数 - 心理统计学!
第一节 算术平均数 第二节 中位数与众数 第三节 加权平均数、几何平均数、调和平均数
第一节 算术平均数
一、概念及计算公式 （一）概念
算术平均数 (mean)，是所有观测值（或变量值） 的总和除以总数所得的商。简称平均数、均数或 均值。
符号：样本平均数—— X、M（Mean）， 总体平均数——
2、平均数与个体值相结合的原则 3、平均数与标准差、方差相结合的原则
第二节 中位数与众数
一、中数 中位数又称中点数，简称中数，用符号 Mdn
或 Md表示，是位于按一定顺序排列的一组数 中央位置的数值。
中数是一种位置量数。
二、中数的计算
（一）未分组数据的计算
1、中数附近无重复数时
若数据个数（N）为奇数时，中数则为 N 1 位置的
中数所在的组。因为本例累积次数36包含了
35.5，所以中数所在组为75-77。
④ 确定公式中各符号的内容，有
Lb 74.5，Fb 22 ，f Md 14 ，i 3
⑤代入公式计算中数
Md
Lb
i fMd
(N 2
Fb )
74.5 3 (35.5 22) 14
=77.4
二、众数
(一)众数的定义 众数（Mode）是指一群数据中出现次数最多的那 个数值，又称范数，用符号 Mo表示。众数的确定 方法
1、一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘
积，即 X NX
2、一组变量值的离均差之和等于零，即
X X 0
3、在一组变量值中，每个变量值加上或减去、乘以 或除以常数，所得的平均数等于原平均数减去或
加上，除以或乘以常数 c 。
三、平均数的意义
平均数是应用最普遍的一种集中量数； 是真值渐进、最佳的估计值； 当观测次数无限增加时，算术平均数趋近于真值。
心理统计学第三章集中量数
04 集中量数的计算方法
简单平均数计算方法
总结词
简单平均数是集中量数中最基本的计算方法，它通过将一组数值相加后除以数值 的数量来得出平均值。
详细描述
简单平均数计算公式为 $overline{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是数值的数量，$x_i$ 是每一个数值。这种方法适用于数据分布均匀且无异常值的 情况。
对未来研究的展望
01 02
探索新的集中量数
随着数据类型和复杂性的增加，传统的集中量数可能无法满足某些研究 需求。未来研究可以探索新的集中量数，以更准确地描述数据的集中趋 势。
改进现有集中量数的计算方法和性质
现有集中量数的计算方法和性质可能存在一些局限性和不足之处，未来 研究可以尝试改进这些方法和性质，以提高集中量数的准确性和可靠性。
06 总结与展望
总结心理统计学第三章集中量数的要点
集中量数
集中量数是描述数据集中趋势的统计量，用于反映一组 数据的中心位置或典型值。
常见集中量数
常见的集中量数包括算术平均数、中位数和众数等。
算术平均数
算术平均数是所有数值的和除以数值的个数，是最常用 的集中量数之一。它具有线性性和可加性，能够反映数 据的平均水平。
在社集中量数来描述被调查者的社会特征， 例如通过平均年龄和标准差等指标来分析被调查者的社会 经济地位和人口结构。
社会政策制定
政府和社会组织可以利用集中量数来制定社会政策，例如 通过分析不同地区居民的平均收入和收入分布来制定社会 保障政策。
社会问题研究
研究者可以利用集中量数来研究社会问题，例如通过平均 失业率和标准差等指标来分析社会经济不平等和就业状况。
教育与心理统计学第三章：集中量数
几何平均 ①一组数据中有少数数据偏大或偏小，数据的分布呈偏态
数
②需要计算增长比率的平均数等这类问题
调和平均 求平均速率等这类问题 数
课后习题练习
课后作业
思考题与练习题：第4题 作业上交时间：下周上课
1）、当重复数值没有位于数列中间，求中数 的方法与无重复数据时求中数的方法相同
5,5,6,10,12,15,17(N=7) 2）、A、当重复数目位于数列中间，且数据
个数为奇数
11,11,11,11,13,13,13,17,17（N=9） B、当重复数目位于数列中间，且数据个数为
偶数
11,11,11,11,13,13,13,17,17,18
第二节 中数与众数
一、中数
又称中位数，中值，符号为Md或Mdn,按顺序排列在一起 的一组数据中居于中间位置的数。
一、未分组数据 1、无重复数值（先从小到大排序） （1）、数据个数为奇数
4，6, 7, 8, 12 （2）、数据个数为偶数
2 ， 3 ，5 ， 7 ， 8，10 ， 15 ， 19
2、有重复数值
集中趋势——次中彼此分散的程度。
集中量数——用于描述数据集中程度的统计量 离散量数——用于描述数据离散程度的统计量，（即
数据的变异性）
第一节 算术平均数
算术平均数（arithmetic average）——将所有的数据 相加，再用数据的个数去除数据总和。（即用数据总和 除以数据个数），一般记为
①一组数据中出现两极端数目 ②次数分布的两端数据或个别数据不清楚时 ③需要快速估计一组数据的代表值时
①需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时 ②当一组数据出现不同质的情况 ③当次数分布中有两极端的数目时 ④当粗略估计次数分布的形态时，有时用平均数与众数之 差，作为次数分布是否偏态的指标 ⑤当一组数据的次数分布出现双众数时
第三章集中量数
Mo = 3Mdn− 2 X
M o = Lb +
fa ⋅i fb
9
1
集中量数的选择与应用
一、均数、中数、众数的关系 正态分布时 ：
X = Mdn = Mo
数据分布为偏态分布时，
(X − Mdn) : (X − Mo) = 1 : 3
众数、中位数和均值的关系图
均值 中位数 众数 均值 = 中位数 = 众数 众数 中位数 均值
1 1 1 1 1 + + ⋅⋅⋅ + N X1 X 2 XN 1 N = = 1 1 1 ∑ ∑ N X X MH =
17
本章学习要求
这节课你学到了什么知识？ ？ 这节课你学到了什么知识 ☆ 本章学习要求： 本章学习要求：
理解各集中量数的意义与作用 算术平均数、 算术平均数、加权平均数的计算与应用 集中量数的选择
N 2
Mdn =
+X
N +1 2
6
解：1、排序 例3-6：五名 学生的物理成 绩分别55,64, 89,98,34请问 五名学生的平 均成绩是多 少？
2、 N=5，为奇数 为奇数 3、中数位置=
N +1 2
=3
4、中位数是 中位数是64
例3-7:六架直升飞机的最大速度分别为450km/h、 420km/h、 500km/h 、 530km/h 、600km/h 、1100km/h，请问平均速 度是多少?
X =
∑
Xi
N
3
例3-1：10名学生的心理与教育 统计成绩为68，77，63，79， 70，79，70，79，86，80。 试问这组数的平均数为多少？ 试问这组数的平均数为多少？
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有重复数时，需考虑重复数的影响。
例：求11，11，11，11，13，13，13，17， 17的中 数。
分析：N=9，中间位置为5，第5个数为13。
但是数据中有3个13，需要重新考虑。
有3个13，意味着3个13占了一个单位。
第五位的13 ，中数计算（12.5+12.83） /2=12.665
或者12.5+1/3*1/2=12.666
例题3-4 计算加权平均数
省区代码 1 2 3 4 5 6 7 8
人数 平均分数
627
98
268
60
400
82
670
96
411
80
314
65
610
96
500
88
3800
665
解：
62798 268 60 50088
MW
3800
330496 86.97 3800
例题3-5 课堂练习
大。
练习
P79 5-6（10分钟）
第二节 中数与众数
一、中数 中位数又称中点数，中位数，中值，简称中数，用符
号Md 或Mdn表示，是位于按一定顺序排列的一组数 中央位置的数值。 中数是一种位置量数。 能将数据分成较大的一半和较小的一半。
（一）未分组数据的中数计算
1.中数附近无重复数时 若数据个数（N）为奇数时，中数则为（N+1）/2
2.众数的计算 （1）直接观察法 未分组数据——次数最多的数值 次数分布表——次数最多一组的组中值
例题3-3 计算众数
组别 81～ 78～ 75～ 72～ 69～ 66～ 63～ 60～
f
向上累加次数
17
71
19
54
14
36
10
22
7
12
3
5
1
2
1
1
71
—
（2）公式计算法 皮尔逊经验公式（需要记住）
2.缺点：容易受极端数据影响；如果出现模糊不清的 数据，无法使用。
试计算以下两列数据的平均数： 1,1,2,1,3,1,2,1,3 1,1,2,1,3,1,2,1,3,100
请思考
1出现极端数据该怎么处理？ 修剪平均数——截尾平均数，从一组数据中去除一定
百分比（5%）的最大值和最小值，再次计算平均值 2出现模糊数据怎么处理？ 一般用中数代替，描述其集中趋势
n
10
10
解法2： 先设定一个估计平均数AM=27，求x=Xi—AM的值。
Xi 25 27 28 27 25 29 30 34 32 33 x -2 0 1 0 -2 2 3 7 5 6
xi 2 0 1 0 2 2 3 7 5 6 20
X AM xi 27 20 29
注意
在报告平均数的时候需要注意加单位——数字加单位。 书写时，习惯上均数保留的小数位数要比原来测量值 多一位数字。
五、计算和应用平均数的原则
1.同质性原则——同质数据：使用同一个观测手段， 采用相同的观测标准，能反映某一问题的同一方面特 质的数据
比如考试成绩平均数，或者某个团体内的工资水平 2.平均数与个体值相结合的原则 3.平均数与标准差、方差相结合的原则 数据差异大，平均数的代表性就小；反之，其代表性
4.把符号各值带入公式
Md
Lb
(
N 2
Fb
fMd
)
i
74.5 (35.5 22) 3 14
77.4
如果是向下累加呢？
请把课后习题第4题进行向下累加，并计算其中数。
中数的优缺点
计算简单，容易理解，概念明了 缺点：不考虑每一个数据，大小不受制于全体数据，
反应不灵活，尤其对极端值反应不敏感；计算时需要 先排序；中数与总数相乘不等于数据总和；不能进一 步代数运算。 注意：出现极端数值时，用中数较好；当次数分布的 两端数据或个别数据不清晰时，用中数；当需要快速 估计一组数据的代表值时，用中数。
例题3-3 计算中数
组别 81～ 78～ 75～ 72～ 69～ 66～ 63～ 60～
f
向上累加次数
17
71
19
54
14
36
10
22
7
12
3
5
1
2
1
1
71
—
解：
1.确定中数位置N/2 。本例为71，则有35.5 。 2.在累积次数栏中找包含35.5的累积次数并确定中数
所在的组。因为本例累积次数36包含了35.5，所以中 数所在组为75-77。 3.数据时由下向上累加，确定公式中各符号的内容： Lb=74.5，Fb=22，Fmd=14，i=3
（二）计算公式
1、未分组数据计算平均数方法
公式一： X X i N
公式二： X AM x' N
例题3-1
现有一组实验观测数据，25，27，28，27，25，29， 30，34，32，33。计算它们的平均数。
解法1： 根据题意，已知N=10，根据公式：
X X i 25 27 ... 33 290 29
Md
Lb
(
N 2
Fb )
fMd
i
Lb为中数所在组区间的精确下限
Fb为该组以下各组的累加次数
N为分组数据的样本容量
i为组距
2.用于由高分组向低分组累积次数时
Md
La
(N 2
Fa ) i
f Md
La为中数所在组区间的精确上限
Fa为该组以上各组的累加次数 N为分组数据的样本容量
i为组距
Mo 3Md 2X
金氏（W ·I ·King）插补法（了解即可）
MO
Lb
fa
i
fa fb
三、平均数、中数与众数三者之间的关系
1.正态分布
Md Mo X
2.偏态分布
Mo 3Md 2X
平均数小于众数，称为负偏态；平均数大于 众数，称为正偏态。
在偏态分布中，平均数永远位于尾端。 中位数 位于把分布下的面积分成两等份的点上。 报告正态分布时只需报告平均数。 报告偏态分布时应报告平均数和中数。 一般偏态情况下，Md离均数较近，离众数较远，三
首先分别求每分钟的词汇量30/15=2;30/10=3; 然后带入公式
MH
1 1(1
1)
2.4
22 3
作业
P75两个例题 P77自学spss计算集中量数 P78 1-6 8
者关系如下：Mo=3Md-2M
第三节 其他平均数
一、加权平均数
加权平均数是观测数据（Xi）与其相应权数（W）乘 积的和除以总权数（W1+W2+……+Wn）所得的商， 用符号Mw表示。
权数是指各变量在构成总体中的相对重要性，权数 的大小，由观测者依据一定的理论或实践经验而定。
MW
W1 X1 W2 X 2 Wn X n W1 W2 Wn
以1,2,3,4,5,6这组数据为例，对上述平均数 的性质进行说明。
三、平均数的意义
1.平均数是应用最普遍的一种集中量数； 2.是真值渐进、最佳的估计值； 3.当观测次数无限增加时，算术平均数趋近于真值。
四、平均数的优缺点
1.优点：反应灵敏；计算严密；计算简单；简明容易 理解；适合进一步代数运算、较少受抽样变动的影响。
解：
12.5 12.83 13.16 13.5
12
位置为5
13
位置为6
14
位置为7
如果是偶数呢？
11, 13,11, 17,11, ,1811, 13, 17 , 13 请计算以上数列的中数。
请记住，不管有没有重复数据，第一步是排序
（二）分组数据的计算
1.用于由低分组向高分组累积次数时
位置的那个数，即X（N+1）/2 。 1,2,3,4,5,6,7 若数据个数（N）为偶数时，则中数为居于中间
位置两个数的平均数[XN/2+XN/2+1]/2。 1,2,3,4,5,6,7,8
练习
12, 7, 6,8, 4 2,3,5,8,7,19,15,10
注意：第一步，要排序
2、中数附近有重复数时
n
10
2.分组数据计算平均数方法
公式一：
X
f XC
f
公式二： X AM
f d i
n
例题3-2 计算下列数据的平均数
组别 96～ 93～ 90～ 87～ 84～ 81～ 78～ 75～ 72～ 69～ 66～ 63～ 60～
XC
f
d
97
2
6
பைடு நூலகம்
94
3
5
91
4
4
88
8
3
85
11
2
82
17
1
79
19
0
76
14
-1
73
10
-2
70
7
-3
67
3
-4
64
1
-5
61
1
-6
—
100
—
fX C
fd
194
12
282
15
364
16
704
24
935
22
1394 17 1501 0
1064 -14
730 -20 490 -21
201 -12
64
-5
61
-6
7984 28
解法1：
X f XC f
97 2 943 611 2 3 4 8 11 1
内容概要
第一节 算数平均数 第二节 中数与众数 第三节 其他集中量数