第三章 集中量数
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集中量数
X
C
fX
C
用原始数据及根据次数分布表计算的平均数，在数 值上有少许差异，但并不影响以后的统计分析。
某次考试成绩数据已经处理为次数图，根据次数图，求该成绩的平均值？ 分组区间 XC组中值 f频数 96~ 97 2 fXC 194 d 6 fd 12 AM=79
93~
90~ 87~ 84~ 81~ i=3
Mo
M M
M M
d o
1 3
例：求数据11、11、11、11、13、13、13、17、17、18的众数。
2.众数的意义与应用
意义：众数的概念简单明了，容易理解，但
不稳定，受分组影响，亦受样本变动影响； 反应不够灵敏；公式计算得出的众数只是一 个估计值；不能作进一步代数运算；因此， 众数不是一个优良的集中量数。
第三章 集中量数
第一节 算术平均数
算术平均数，简称平均数或均数、均值。一般用M 表示。 ㈠平均数计算方法 1.未分组数据计算平均数的方法 公式： X X
i
N
∑X表示原始分数的总和，N表示分数的个数。
⒉用估计平均数计算平均数 条件：数据数目及每个观测数据值都很大，应用 基本公式计算较麻烦。 公式：
X X1 25 -2 27 0 28 1 27 0 25 -2 29 2 30 3 34 7 32 5 33 6
X=27+(-2+0+1+0+-2+2+3+7+5+6)/10 =29
使用次数分布表计算平均数的方法
公式 N 其中，X为各分组区间的组中值，f为各组次数， 为数据的总次数（等于N） f fd X AM 简便计算可写作： ×i N AM为估计平均数，i为组距，d X i AM 称为组差数
统计心理-第三章 集中量数
例。
XT
ni X i ni
加权平均数
例1：某小学三年级举行英语测验。甲班32名学生的平均 分为72.6，乙班40名学生平均分为80.2，丙班36名学生的 平均分为75分。求全年级英语测验的总平均分数。
xwN1xN 11NN 2x22N N 33x3
加权平均数
例2：某课题组在8个省区进行一项调查，各省区的取样 人数和平均分数见下表，求该项调查的总平均数。
2
中数；若数据个数为偶数时，则 X N 2 X N 2 1 2为中 数。
①求数列4，6，7，8，12的中数。 ②有2，3，5，7，8，10，15，19共8个数，求其中数。
（二）中数的计算方法
（2）一组数据中有重复数值的情况
①当重复数值没有位于数列中间时 求数列5，5，6，10，12，15，17的中数。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
离中趋势是指数据分布中数据彼此分散的程度。 集中量数与差异量数：描述一组数据集中趋势和
离中趋势的统计量，共同描述一组数据的全貌及 统计特征。 测度集中趋势即寻找数据水平的代表值或中心值 集中量数包括算术平均数、中数、众数、加权平 均数、几何平均数、调和平均数等。
Mo3Md2M
第三节 其他集中量数
一、加权平均数 所得数据单位权重不相等时要使用加权平均数。
k
M WW 1X W 1 1W W 2X 22 W W nnXni
1
W
k
i
W
X
i
i
i1
W为权数，指各变量在构成总体中的相对重要性。
第三章集中量数
第三章 集中量数第一节 算术平均数 一、概念及计算公式 （一)概念算术平均数 （mean)，是所有观测值（或变量值)的总和除以总数所得的商。
简称平均数、均数或均值。
其符号系统既有表示样本平均数的数学符号X 和英文符号M (M ean ）,又有表示总体参数的希腊字符μ。
（二）计算公式1、未分组数据计算平均数方法 公式一：例3—1：现有一组实验观测数据,25，27，28，27，25，29，30，34，32，33.计算它们的平均数。
解：根据题意,已知N=10，根据公式：X = = =29公式二:X =AM+= 2、使用次数分布表计算平均数方法 公式一： 公式二：X =AM+ ×i例3—2：100名学生的数学成绩分布如下,计算平均数。
表3-1 简化平均数计算表组别 c XfdC fXfd96～ 97 2 6 194 12 93～ 94 3 5 282 15 90～ 91 4 4 364 16 87～ 88 83 704 24 84~ 85 11 2 935 22 81~ 82 17 1 1394 17 78～ 79 19 0 1501 0 75～ 76 14 -1 1064 -14 72~ 73 10 —2 730 —20 69～ 707 -3 490 -21 66~673—4201-12∑∑=f fm X Nfd∑Nx ∑'1033...2725+++10290NX X i∑=29102027=+63～ 64 1 -5 64 —5 60~611 —6 61 -6 ∑—100—798428①将∑fm ，N 代入上面第一个公式计算： X = = =79.84②设AM=79,将AM ，∑fd ，N ，i 代入上面第二个公式计算：X =AM + ×i=79+ ×3=79.84这两个公式计算的结果完全相同，但第二个公式更简便.二、平均数的特点1、一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积，即∑=X N X2、一组变量值的离均差之和等于零,即()∑=-0X X3、在一组变量值中，每个变量值加上或减去、乘以或除以常数c ，所得的平均数等于原平均数减去或加上，除以或乘以常数c 。
第三章 集中量数
例：某门课程期中考试成绩与期末考试成绩的权数分 别为3和7。已知某个考生期中考了92分，期末考了85分。 若不考虑其他因素，问该生在这门课上的成绩是多少。
W1 X 1 W2 X 2 Wn X n 解： X w W1 W2 Wn 92 3 85 7 = 3 7 =87.10
众数的优缺点
众数虽然简明易懂，但是它并不具备一个良好的集中 量的基本条件。它主要在以下情况下使用：
当需要快速而粗略地找出一组数据的代表值时； 当一组数据出现不同质的情况时 当次数分布中有极端数据时 当粗略估计次数分布的形态时，有时利用平均数与众数之 差，表示次数分布是否偏态的指标。
第二节
中数与众数
一、中数的概念 中位数是位于以一定顺序（从小到大或 从大到小）排列的一组数据中央位置的数值， 在这一数值上、下各有一半频数分布着。用 Md表示。
二、中位数的计算方法
1．总频数为奇数
某项研究调查了 25 名大学教师的月经济收入， 结果如下（单位：元） ： 2275， 3300，3326， 3358， 3363， 3394， 3402， 3455， 3467，3485， 3500， 3565， 3587， 3592， 3618， 3633，3646， 3674， 3720， 3734， 3756， 3775， 3820， 5695， 7100
1.原始数据计算法 上学期考试结束后某专业学生的分数： 97，93，71，86，88，78，91，86，90， 47，88，74，78，75，85,98，98，100， 75，85，93，91，81，91，93，96，88， 75，100，98,94，97，97，97，77，98， 95
X 1 X 2 X N X N
第三章集中量数
三、算术平均数的性质
一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 即 ∑ X = NX 一组变量值的离均差之和等于零， 一组变量值的离均差之和等于零，即
∑ (X − X ) = 0
在一组变量值中，每个变量值加上或减去 、乘以或 在一组变量值中，每个变量值加上或减去、 除以常数 ， 所得的平均数等于原平均数减去或 加上，除以或乘以常数 加上， 。
i N Mdn = La − − Fa f 2
5 57 = 74.5 − − 24 = 74.5 − 1.5 = 73 15 2
分组次数表与重复次数中位数的联系
1N Mdn = Lb + − Fb f 2
三、百分位数与四分位数
（一）百分位数：在任一百分位上的数值。
例3-6：五名学生的物理成绩分别55,64,89,98, 34请问五名学生的平均成绩是多少？
解：1、排序：34、55、64、89、98 2、 N=5，为奇数 为奇数 N +1 3、 中数位置= 2 =3 4、排在第 个位置上的数是 ，所以中位数 排在第3个位置上的数是 排在第 个位置上的数是64， 是64 答：五名同学的的物理平均成绩是64分。 五名同学的的物理平均成绩是 分
Fl →u
Fu→l
Fa = 24
57 54 46 33 18 9 3 1 —
3 11 24 39 48 54 56 57 —
④代入公式计算中数
i N Mdn = Lb + − Fb f 2 5 57 = 69.5 + − 18 = 69.5 + 3.5 = 73 15 2
例3-7:六架直升飞机的最大速度分别为 六架直升飞机的最大速度分别为450km/h、 六架直升飞机的最大速度分别为 、 420km/h、500km/h 、 530km/h 、600km/h 、 、 1100km/h，请问平均速度是多少 ，请问平均速度是多少? 1、排序：420、450、500、530、600、1100 N 2、N=6，为偶数 中数位置= 2
心理统计学第三章集中量数
04 集中量数的计算方法
简单平均数计算方法
总结词
简单平均数是集中量数中最基本的计算方法，它通过将一组数值相加后除以数值 的数量来得出平均值。
详细描述
简单平均数计算公式为 $overline{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是数值的数量，$x_i$ 是每一个数值。这种方法适用于数据分布均匀且无异常值的 情况。
对未来研究的展望
01 02
探索新的集中量数
随着数据类型和复杂性的增加，传统的集中量数可能无法满足某些研究 需求。未来研究可以探索新的集中量数，以更准确地描述数据的集中趋 势。
改进现有集中量数的计算方法和性质
现有集中量数的计算方法和性质可能存在一些局限性和不足之处，未来 研究可以尝试改进这些方法和性质，以提高集中量数的准确性和可靠性。
06 总结与展望
总结心理统计学第三章集中量数的要点
集中量数
集中量数是描述数据集中趋势的统计量，用于反映一组 数据的中心位置或典型值。
常见集中量数
常见的集中量数包括算术平均数、中位数和众数等。
算术平均数
算术平均数是所有数值的和除以数值的个数，是最常用 的集中量数之一。它具有线性性和可加性，能够反映数 据的平均水平。
在社集中量数来描述被调查者的社会特征， 例如通过平均年龄和标准差等指标来分析被调查者的社会 经济地位和人口结构。
社会政策制定
政府和社会组织可以利用集中量数来制定社会政策，例如 通过分析不同地区居民的平均收入和收入分布来制定社会 保障政策。
社会问题研究
研究者可以利用集中量数来研究社会问题，例如通过平均 失业率和标准差等指标来分析社会经济不平等和就业状况。
第三章 集中量数
可能不止一个单峰分布 双峰分布
计算
未分组数据-次数最多的数据
次数分布表-次数最多一组的组中值
皮尔逊经验公式Mo=3Md-2X拔
平均数。中数、众数三者之间的关系
1.正态分布Md=Mo=X拔
2.偏态分布 Mo=3Md-2X拔
3.负偏态中 分数分布在高端X拔＜Md＜Mo
4.正偏态中 分数分布在低端X拔＞Md＞Mo
缺点：容易受极端数据影响；如果出现模糊不清的数据无法使用
中数与众数
中数
概念
中位数又称中点数，简称中数，用符号Md表示，是位于按一定顺序排列的一组数中央位置的数据
中数是一种位置量数
计算
无重复数据时中间那个数（奇数）或中间位置两个数的平均数（偶数）
有重复数据时
众数（Mode）
概念
是指一群数据中出现次数最多的那个数，用符号Mo表示
其他集中量数
加权平均数
W是权重
几何平均数
求银行利பைடு நூலகம்时
调和平均数
MH
主要用于描述速度方面的集中趋势
不同性质代表单位不同，ABD都带单位
第三章 集中量数
算数平均数
概念及计算公式
用X拔或M表示概念 算数平均数是所有观测值（或变量值）的总和除以总数所得的商
每个数据对总体的贡献是等权的
计算公式
定义公式 估算公式 （AM为估计平均数）
平均数的特点
一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的成绩
一组变量值的离均差之和等于零（说明平均数是一组数据的重心）
在一组变量值中，每个变量值加上或减去、乘以或除以常数C，所得的平均数等于原平均数减去或加上，除以或乘以常数C（平均数反应灵敏）
平均数的意义
计算
未分组数据-次数最多的数据
次数分布表-次数最多一组的组中值
皮尔逊经验公式Mo=3Md-2X拔
平均数。中数、众数三者之间的关系
1.正态分布Md=Mo=X拔
2.偏态分布 Mo=3Md-2X拔
3.负偏态中 分数分布在高端X拔＜Md＜Mo
4.正偏态中 分数分布在低端X拔＞Md＞Mo
缺点：容易受极端数据影响；如果出现模糊不清的数据无法使用
中数与众数
中数
概念
中位数又称中点数，简称中数，用符号Md表示，是位于按一定顺序排列的一组数中央位置的数据
中数是一种位置量数
计算
无重复数据时中间那个数（奇数）或中间位置两个数的平均数（偶数）
有重复数据时
众数（Mode）
概念
是指一群数据中出现次数最多的那个数，用符号Mo表示
其他集中量数
加权平均数
W是权重
几何平均数
求银行利பைடு நூலகம்时
调和平均数
MH
主要用于描述速度方面的集中趋势
不同性质代表单位不同，ABD都带单位
第三章 集中量数
算数平均数
概念及计算公式
用X拔或M表示概念 算数平均数是所有观测值（或变量值）的总和除以总数所得的商
每个数据对总体的贡献是等权的
计算公式
定义公式 估算公式 （AM为估计平均数）
平均数的特点
一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的成绩
一组变量值的离均差之和等于零（说明平均数是一组数据的重心）
在一组变量值中，每个变量值加上或减去、乘以或除以常数C，所得的平均数等于原平均数减去或加上，除以或乘以常数C（平均数反应灵敏）
平均数的意义
03第三章 集中量数
离中趋势离中趋势量数平均数的计算特点和优缺点平均数的计算特点和优缺点中数和众数的含义简单计算和优缺点中数和众数的含义简单计算和优缺点平均数中数和众数的关系平均数中数和众数的关系p7811分别计算下列几组数据的平均数中数分别计算下列几组数据的平均数中数众数并说明哪种集中量数更能代表该组数据众数并说明哪种集中量数更能代表该组数据的集中趋势
2、缺点：
①易受极值的影响。
“修剪平均数”
②若有数据不够确切，则无法计算该样本平均数。 “缺失值（missing values）的处理”
第一节 算术平均数
五、计算和应用平均数的原则
1、同质性原则：同质的数据才有计算平均数的意义。
2、平均数与标准差、个体数值相结合的原则：描 述数据分布特征不能仅依赖于平均数，还需考察标准差 以及个体数值等。
两者一起描述一组数据的全貌。最常用的即为平均 数和标准差。
第一节 算术平均数
P54
一般简称为平均数（average）或均值（mean)。符
号为M，区分总体/样本平均数。 适用资料：等距数据及以上/连续数据。
一、平均数的计算 [自习，包括“使用次数分布表计算
平均数的方法” P56]
二、平均数的特点
[例3-8计算不当]
三、调和/倒数平均数：适用于比率数据，用于 描述平均速率等方面的问题。
本章要点
集中趋势/量数 vs. 离中趋势/量数 平均数的计算、特点和优缺点 中数和众数的含义、简单计算和优缺点 平均数、中数和众数的关系
本章课后作业
P78
1、分别计算下列几组数据的平均数、中数、 众数，并说明哪种集中量数更能代表该组数据 的集中趋势。
①离均差总和为0。
2、缺点：
①易受极值的影响。
“修剪平均数”
②若有数据不够确切，则无法计算该样本平均数。 “缺失值（missing values）的处理”
第一节 算术平均数
五、计算和应用平均数的原则
1、同质性原则：同质的数据才有计算平均数的意义。
2、平均数与标准差、个体数值相结合的原则：描 述数据分布特征不能仅依赖于平均数，还需考察标准差 以及个体数值等。
两者一起描述一组数据的全貌。最常用的即为平均 数和标准差。
第一节 算术平均数
P54
一般简称为平均数（average）或均值（mean)。符
号为M，区分总体/样本平均数。 适用资料：等距数据及以上/连续数据。
一、平均数的计算 [自习，包括“使用次数分布表计算
平均数的方法” P56]
二、平均数的特点
[例3-8计算不当]
三、调和/倒数平均数：适用于比率数据，用于 描述平均速率等方面的问题。
本章要点
集中趋势/量数 vs. 离中趋势/量数 平均数的计算、特点和优缺点 中数和众数的含义、简单计算和优缺点 平均数、中数和众数的关系
本章课后作业
P78
1、分别计算下列几组数据的平均数、中数、 众数，并说明哪种集中量数更能代表该组数据 的集中趋势。
①离均差总和为0。
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分数 80－ 85－ 90－ 95－ 100－ 105－ 110－ 115－ 120－ 125－ 总和
X 82.5 87.5 92.5 97.5 102.5 107.5 112.5 117.5 122.5 127.5
f
fX
3
247.5
8
700.0
12
1110.0
21
2047.5
24
2460.0
14
1505.0
76 78 73 87 80 84 76 75 79 84 89 87 75 71 72 76 85 88 85 83 82 78 66 65
一、平均数（AVERAGE）
（一）算术平均数 算术平均数的优点： （1）反应灵敏； （2）严密确定； （3）简明易懂，计算简便； （4）受抽样变动的影响小（与其它集中量指标相比，
抽样误差小）； （5）总体平均数的最好估计值；
一、平均数（AVERAGE）
（一）算术平均数 算术平均数的缺点： （1）易受极端数值的影响； （2）某个数值的大小模糊不清或不够确切时；
（一）算术平均数 3. 算术平均数的计算（Mean、M，均值）
N
X X1 X 2 L L X N
Xi i1
N
N
X X N
一、平均数（AVERAGE）
（一）算术平均数 3. 简单算术平均数（Mean、M，均值） 例3-1：
某研究者对实验班用计算机辅助教学，而对照班仍用传 统的讲授方式进行教学，期末进行统一测试，两班学生
9
1012.5
4
470.0
3
367.5
2
255.0
100 10175.0
例3-2：某研究者对100名小学生进行智商测试，数据 经过整理，结果如下，现要计算这100名学生的平均智商。
解：
X
fX 11
f X 22
fX NN
f f f
1
ห้องสมุดไป่ตู้
2
N
10175.0 100
101.75
说明：由于Xi为各组数据的组中值而不是其算术平均数， 本算法得到的结果为近似值！
Lakers 2000年球员年薪（单位：百万美元）
Md=260万
二、中位数（MEDIAN）
为什么“中位数”？
M: 57089美元 Med: 37668美元
中国统计局宣布： 中国城市人均月收入已突破9000人民币大关
从全国23个省、5个自治区、4个直辖市、2个特别行政区 共1636个县抽样调查了16360名农民的月收入，这些农民 中有地球人都知道的农民代表赵本山、有山西挖煤的煤 老板、有广东被征收土地后无地的农民、有广西月收入 不足100元的山区农民.......可以说是非常的全面和客观的 。 根据赵本山平均月收入300万、山西某挖煤的煤老板 平均月收入500万、广东某无地的农民靠出租房平均月收 入2万、广西某山区农民月收入97.83元、江苏某农民上个 月买彩票中了5600万、以及其它1万多农民的收入平均算 下来，中国农民人均纯收入为：8000元/月。
用途：一是可以作为一组数据的代表值；二是可以 进行组与组之间的比较。
常用的集中量有算术平均数、几何平均数，调和平 均数、中位数、众数等。
一、平均数（AVERAGE）
平均数（average）：算术平均数（均值Mean）、几 何平均数、调和平均数、加权平均数、指数平均数等
一、平均数（AVERAGE）
的成绩如下，试比较两种授课方式产生的效果有何不同？
实验班
对照班
83 86 87 78 72 75 76
75 84 87 83 78 83 79
92 87 78 90 88 76 89
68 74 83 77 69 76 87
84 87 82 95 79 77 86
84 78 87 90 83 85 88
84 83 81 91 90 89 87
76 78 73 87 80 84 76
86 85 88 87 85 79 78
75 79 84 89 87 75 71
91 89 84 92 79 85 82
72 76 85 88 85 83 82
76 74 80 81
83.76
78 66 65
79.82
一、平均数（AVERAGE）
（一）算术平均数 4. 加权算术平均数： 每个数据与其权数乘积的总和除以权重（weight）总
和所得之商。
X w W1 X 1 W2 X 2 Wn X n W1 W2 Wn
= WX W
P32，例2、例3
例3-2：某研究者对100名小学生进行智商测试，数据 经过整理，结果如下，现要计算这100名学生的平均智商。
（一）算术平均数 1.公式：
N
X X1 X 2 L L X N
Xi i1
N
N
读作：X拔
X X N
一、平均数（AVERAGE）
（一）算术平均数 2.特性 （1）观察值的总和等于算术平均数的N倍
X N X
（2）各观察值与其算术平均数之差的总和等于零
(X X ) 0
一、平均数（AVERAGE）
二、中位数（MEDIAN）
（一）中位数（Md，Med，Mdn）：
一组有序数据中间位置的量数。 一半：在这一数值上、下各有一半频数分布着。
（二）计算方法 排序 数据为奇数时：（N+1）/2 数据为偶数时：？
二、中位数（MEDIAN）
例3-3：某某研究者对实验班用计算机辅助教学， 而对照班仍用传统的讲授方式进行教学，期末进行 统一测试，两班学生的成绩如下，试比较两种授课 方式产生的效果有何不同？
实验班
83 86 87 78 72 75 76 92 87 78 90 88 76 89 84 87 82 95 79 77 86
对照班
75 84 87 83 78 83 79 68 74 83 77 69 76 87 84 78 87 90 83 85 88
84 83 81 91 90 89 87 86 85 88 87 85 79 78 91 89 84 92 79 85 82 76 74 80 81
第三章 集中量数
一、平均数 二、中位数 三、几何平均数 四、众数
最常用的统计量有三类：
一类是代表一组数据典型水平或集中趋势的量， 即集中量；
另一类是反映一组数据的变异程度或离散程度 的量，即差异量；
第三类是反映数据的相关程度的量，即相关量。
集中量数
概念：代表一组数据典型水平或集中趋势的量称为 集中量数；