北京市人大附中九年级(下)月考数学试卷(4月份)
北京下学期初中九年级4月月考数学试卷
北京下学期初中九年级4月月考数学试卷一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 长江经济带覆盖上海、江苏、浙江、安徽、江西、湖北、湖南、重庆、四川、云南、贵州等11省市，面积约2050000平方公里，约占全国面积的2l ％。
将2050000用科学记数法表示应为（ ）A. 205万B. 205×104C. 2.05×106D. 2.05×1072. 若a=17，则实数a 在数轴上对应的点是（ ）A. 点EB. 点FC. 点GD. 点H3. 利用“分形”与“迭代”可以制作出很多精美的图形，以下是制作出的几个简单图形，其中是中心对称但不是轴对称的图形是（ ）A B C D4. 抛掷一枚均匀的硬币两次，两次都正面朝上的概率是（ ） A.21B.31C.41D.43 5. 如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A=22.5°，OC=3，则CD 的长为（ ）A. 3B. 32C. 6D. 626. 如果03a 2a 2=-+，那么代数式（a4a -）·2a a 2-的值是（ ）A. 3B. －lC. 1D. －37. 根据北京市统计局发布的统计数据显示，北京市近五年国民生产总值数据如图1所示，2017年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示。
根据以上信息，下列判断错误的是（ ）A. 2013年至2017年北京市国民生产总值逐年增加B. 2017年第二产业生产总值为5320亿元C. 若从2018年开始，每一年的国民生产总值比前一年均增长10％，到2019年的国民生产总值将达到33 880亿元D. 2017年比2016年的国民生产总值增加了10％8. 某中学举办运动会，在1500米的项目中，参赛选手在200米的环形跑道上进行，下图记录了跑得最快的一位选手与最慢的一位选手的跑步过程（最快的选手跑完了全程），其中x 表示最快的选手的跑步时间，y 表示这两位选手之间的距离，现有以下4种说法，正确的有（ ）①最快的选手到达终点时，最慢的选手还有15米未跑； ②跑的最快的选手用时4'46''；③出发后最快的选手与最慢的选手相遇了两次；④出发后最快的选手与最慢的选手第一次相遇比第二次相遇的用时长。
北京市2019届九年级4月月考数学试卷【含答案及解析】
北京市2019届九年级4月月考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、单选题1. 第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行。
在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计。
下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2. 某种流感病毒的直径在0.00 000 012米左右，将0.00 000 012用科学记数法表示应为（）A. 0.12×10-6B. 12×10-8C. 1.2×10-6D. 1.2×10-73.A. 点A与点DB. 点A与点CC. 点B与点CD. 点B与点D4. 的值是（）A. 3B. -3C. ±3D. 65. 如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF，∠B=40°，则∠E的度数为（）A. 20°B. 30°C. 40°D. 15°6. 如果a=b+4，那么代数式2a2-4ab+2b2-25的值是（）A. 32B. 7C. -7D. 577. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（）A. B. C. D.8. 如图是本地区一种产品30天的销售图象，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的大致函数关系如图①，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（）A. 日销售量为150件的是第12天与第30天B. 第10天销售一件产品的利润是15元C. 从第1天到第20天这段时间内日销售利润将先增加再减少D. 第18天的日销售利润是1225元9. 已知二次函数y=2x2+m。
如图，此二次函数的图象经过点（0，-4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴彩部分的面积之和为（）A. 2B. 4C. 8D. 1810. 某校九年级学生共900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1 min的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；乙：跳绳次数不少于105次的同学占96％；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15。
2021-2022学年北京人大附中分校九年级(下)限时练习数学试卷(4)(附答案详解)
2021-2022学年北京人大附中分校九年级（下）限时练习数学试卷（4）1.冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办.下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为()A. B.C. D.2.据《央视网》2021年10月26日报道，我国成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”.截至报道时，根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”用时大约为0.00000023秒，将数字0.00000023用科学记数法表示应为()A. 2.3×10−6B. 2.3×10−7C. 0.23×10−6D. 23×10−83.小明想在2个“冰墩墩”和1个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是()A. 12B. 13C. 23D. 164.大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是()A. 3cmB. 4cmC. 6cmD. 9cm5.如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα=23，则满足条件的∠α是()A. B.C. D.6.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是()A. √3rB. (1+√22)r C. (1+√32)r D. √2r7.在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是()A. P→A→QB. P→B→QC. P→C→QD. P→D→Q8.如图，在甲，乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小宇在甲路口西南角的A处，需要步行到对于乙路口东北角B处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间与小宇的步行时间如下表所示：人行横道交通信号灯的切换时间小宇的步行时间甲路口每1min沿人行横道穿过一条马路0.5min乙路口每2min在甲、乙两路口之间(CD段)5min 假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交通信号灯颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计．若小宇在A处时，甲、乙两路口人行横道东西向的交通信号灯均恰好转为红灯，小宇从A处到达B 处所用的最短时间为()A. 6.5minB. 7minC. 8minD. 9min在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．9.若√1−xx2+310.如图是由哪个立体图形展开得到的______．11.如图1是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD，BC与桌面构成如图2，已知OA=OB=OC=OD=20√3cm，∠COD=60°，则点A到地面(CD所在的平面)的距离是______cm．12.斛是中国古代的一种量器．据《汉书⋅律历志》记载：“斛底，方而圜(ℎuán)其外，旁有庣(tiāo)焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺)，则此斛底面的正方形的边长为______尺．(k≠0)的图象有两个交点，则13.在同一平面直角坐标系xOy中，若函数y=x与y=kxk的取值范围是______．14.为了疫情防控工作的需要，枣庄某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME=7.5米，学生身高BD=1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A 时测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长是______.(结果保留根号)15.小明烘焙了几款不同口味的饼干，分别装在同款的圆柱形盒子中，为区别口味，他打算制作“∗∗饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面．为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90°(如图).已知该款圆柱形盒子底面半径为6cm，则标签长度l应为______cm.(π取3.1)16.为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一(9)班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名(没有并列)，对应名次的得分都分别为a ，b ，c(a >b >c 且a ，b ，c 均为正整数).选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，小奕同学第三轮的得分为______分．第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小恩 aa27 小地 abc 11 小奕cb1017.计算：(13)−1+√18+|−2|−6sin45°．18. 解不等式组{3(x −1)<5x +1x−12≥2x −4，并求它的整数解．19. 如果a 2+3a +1=0，求代数式(a 2+9a+6)⋅2a 2a+3的值．20. 下面是小晗同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：在△ABC 中，AB =BC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D.求作：∠BPC ，使∠BPC =∠BAC ． 作法：①分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧交于点E 和点F ，连接EF 交BD 于点O ；②以点O 为圆心，OB 的长为半径作⊙O；③在劣弧AB上任取一点P(不与点A、B重合)连接BP和CP.所以∠BPC=∠BAC.根据小玟设计的尺规作图过程．(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接OA、OC.∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD=CD，(______)(填推理的依据)．∴OA=OC．∵EF是线段BC的垂直平分线，∴OB=______.(______)∴OB=OA.⊙O为△ABC的外接圆．∵点P在⊙O上，∴∠BPC=∠BAC(______)(填推理的依据)．21.已知关于x的一元二次方程x2−2ax+a2−1=0．(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；(2)若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．22.如图，一次函数y1=−x+2的图象与反比例函数y2=k的图象相交于A，B两点，点B的坐标为x(2m,−m)．(1)求出m值并确定反比例函数的表达式；(2)请直接写出当x<m时，y2的取值范围．23.如图，在△ABC中，D为AB边上一点、F为AC的中点，过点C作CE//AB交DF的延长线于点E，连结AE．(1)求证：四边形ADCE为平行四边形．(2)若EF=2√2，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．24.如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若sinC=4，AC=6，求⊙O的直径．525.为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组白鼠给服甲离子溶液，B组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同，经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比．按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如表：～A2表示实验数据的范围为121若记A为事件：“乙离子残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5”，根据实验数据得到P(A)的估计值为0.70．(1)a=______；b=______．(2)实验室常用同一组中的数据用该组区间的中点值为代表来估计数据的平均值，如对甲离子残留百分比的平均值估计如下：(3×0.01)+(4×0.08)+(5×0.27)+ (6×0.30)+(7×0.22)+(8×0.12)=6.00，用上述方法估计乙离子残留百分比的平均值；(3)甲、乙离子如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位数、众数、方差如表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2mx−m2+4．(1)将y=−x2+2mx−m2+4写成y=a(x−ℎ)2+k的形式为______；(2)当−1≤x≤2时，求y=−x2+2mx−m2+4的最大值；(3)已知A(m−1,y1)，B(3,y2)是抛物线y=−x2+2mx−m2+4上两点．①若m=0，比较y1，y2的大小，并说明理由；②若y1<y2，求m的取值范围．27.在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，连接DE．(1)①请补全图形；②写出CD，AD，ED之间的数量关系，并证明；(2)取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．28.对于平面直角坐标系内的点P和点Q，若点Q能绕着点P旋转α°之后(0<α<180)，落在y轴上，则称Q是P的转换点．(1)已知点A(2,1)．①如图，在B1(4,2)，B2(3,0)，B3(2,−2)中，是A的转换点的是______；②M(3,m)是点A的转换点，则m的取值范围是______；(2)已知直线y=34x+32上所有点都是N(t,0)的转换点，直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】B【解析】解：0.00000023=2.3×10−7．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．3.【答案】C【解析】解：根据题意画图如下：共有6种等可能的情况数，其中选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的有4种，则小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”额概率是46=23．故选：C．画树状图，共有6种等可能的结果，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”结果有4种，再由概率公式求解即可此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4.【答案】B【解析】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，由相似三角形的性质得到：1015=x6．解得x=4．即蜡烛火焰的高度是4cm．故选：B．直接利用相似三角形的对应边成比例解答．本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．5.【答案】B【解析】解：A.观察图形可得tanα=32，不符合题意；B.观察图形可得tanα=23，符合题意；C.观察图形可得tanα=12，不符合题意；D.观察图形可得tanα=13，不符合题意．故选：B．根据正切的定义分别求出每个图形中的α的正切值可得答案．本题考查解直角三角形知识，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中的灵活应用是解题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查作图−复杂作图，正多边形与圆的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中档题．如图连接CD，AC，DG，AG，在直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图连接CD，AC，DG，AG．∵AD是⊙O直径，∴∠ACD=90°，在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，∴AC=√3r，∵DG=AG=CA，OD=OA，∴OG⊥AD，∴∠GOA=90°，∴OG=√AC2−OA2=√(√3r)2−r2=√2r，故选：D．7.【答案】B【解析】解：B，D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；A，B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路．故选：B．分类讨论投篮线路经过A，B，C，D四个点时篮球上升阶段的水平距离求解．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，通过分类讨论求解．8.【答案】B【解析】解：由已知得：0.5+0.5+0.5+5+0.5=7(min)故选：B．(1)甲路口出发向北走0.5min(2)等红灯0.5min(3)向东走0.5min(4)走过CD5min(5)乙路口向东走0.5min本题考查有理数的加法运算．9.【答案】x ≤1【解析】解：由题意可得{1−x ≥0x 2+3≠0， 解得：x ≤1，故答案为：x ≤1．根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件(被开方数为非负数)，分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．10.【答案】三棱柱【解析】解：如图，是三棱柱的展开图，故答案为：三棱柱．根据三棱柱的特征进行分析解答．本题考查几何体的展开图，理解三棱柱的特征是解题关键．11.【答案】60【解析】解：连接CD ，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，∵OC =OD ，∠COD =60°，∴△COD 是等边三角形，∴∠ODC =60°，在Rt △AED 中，AD =OA +OD =40√3cm ，∴AE =ADsin60°=40√3×√32=60(cm)，∴点A 到地面(CD 所在的平面)的距离是60cm ，故答案为：60．连接CD ，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，先证明△COD 是等边三角形，从而求出∠ODC =60°，然后在Rt △AED 中，利用锐角三角函数进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．12.【答案】√2【解析】解：如图，∵四边形CDEF为正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE为直径，∠ECD=45°，由题意得AB=2.5，∴CE=2.5−0.25×2=2，∴CD=√22CE=√2．故答案为：√2．根据正方形性质确定△CDE为等腰直角三角形，CE为直径，根据题意求出正方形外接圆的直径CE，求出CD，问题得解．本题考查了正方形外接圆的性质，等腰直角三角形性质，解题关键是判断出正方形对角线为其外接圆直径．13.【答案】k>0【解析】解：联立两解析式得：{y=x y=kx，消去y得：x2−k=0，∵两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点，∴△=b2−4ac=4k>0，即k>0．故k的取值范围是k>0．故答案为：k>0．联立两函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，由两函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点得到根的判别式大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解本题的关键．14.【答案】4√3米【解析】解：根据题意可知：四边形EFCA和ABDC是矩形，ME=7.5米，∴CA=EF=BD=1.5米，CD=AB，设FC=x，在Rt△MFC中，∵∠MCF=60°，∴∠FMC=30°，∴MC=2FC=2x，MF=√3x，∵∠MDC=30°，∴∠CMD=60°−30°=30°，∴CD=CM=2x，∵ME=MF+EF，∴√3x+1.5=7.5，解得：x=2√3，∴MC=2x=4√3(米)，答：体温监测有效识别区域AB的长为4√3米．故答案为：4√3米．首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．15.【答案】9.3=3π=9.3(cm)，【解析】解：标签长度l=90⋅π⋅6180故答案为：9.3．利用弧长公式求解即可．．本题考查弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式l=nπr18016.【答案】2【解析】解：由题意可得：(a+b+c)×6=27+11+10=48，∴a+b+c=8，∵a，b，c均为正整数，若每轮比赛第一名得分a为4，则最后得分最高的为4×6=24<27，∴a必大于4，又∵a>b>c，∴b+c最小取3，∴4<a<6，∴a=5，b=2，c=1，∴小恩同学最后得分27分，他5轮第一，1轮第二；小地同学最后得分11分，他1轮第一，1轮第二，4轮第三；又∵表格中第二轮比赛，小地第一，小奕第三，∴第二轮比赛中小恩第二，∴第三轮中小恩第一，小地第三，小奕第二，∴小奕的第三轮比赛得2分，故答案为：2．根据三维同学的最后得分情况列出关于a，b，c的等量关系式，然后结合a>b>c且a，b，c均为正整数确定a，b，c的值，从而确定小奕同学第三轮的得分．本题考查方程的解逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键．17.【答案】解：原式=3+3√2+2−6×√22=3+3√2+2−3√2=5．【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：{3(x−1)<5x+1 ①x−12≥2x−4 ②，由①得：x>−2，由②得：x≤73，∴不等式组的解为−2<x≤73，∴其整数解为：x=−1，0，1，2．【解析】首先计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19.【答案】解：原式=(a2+9a +6aa)⋅2a2a+3=a2+6a+9a ⋅2a2 a+3=(a+3)2a ⋅2a2 a+3=2a(a+3)=2a2+6a．∵a2+3a+1=0，∴a2+3a=−1，∴原式=2×(−1)=−2．【解析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a2+3a+1=0，即可求得所求式子的值．本题考查分式的化简求值，解题关键是明确分式化简求值的方法．20.【答案】等腰三角形的性质OC线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)同弧所对的圆周角相等【解析】(1)解：如图，(2)怎么：连接OA、OC，∵AB=BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD=CD，(等腰三角形的性质)∴OA=OC．∵EF是线段BC的垂直平分线，∴OB=OC.(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)∴OB=OA.⊙O为△ABC的外接圆．∵点P在⊙O上，∴∠BPC=∠BAC(同弧所对的圆周角相等)．故答案为：等腰三角形的性质；OC，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；同弧所对的圆周角相等．(1)根据几何语言画出对应的几何图形即可；(2)先根据等腰三角形的性质得到BD⊥AC且AD=CD，再根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，所以OB=OA.则⊙O为△ABC的外接圆，然后根据圆周角定理得到∠BPC=∠BAC．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质和圆周角定理．21.【答案】(1)证明：依题意，得Δ=(−2a)2−4(a2−1)=4a2−4a2+4=4，∵Δ>0，∴该方程总有两个不相等的实数根；(2)解：解方程x2−2ax+a2−1=0，得x1=a−1，x2=a+1，∵方程的两个根均为负数，∴{a−1<0,a+1<0.解得a<−1．【解析】(1)求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△≥0，根据判别式的意义即可证明；(2)根据题意得不等式组，解不等式组求得a的取值范围即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，用到的知识点：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．22.【答案】解：(1)∵据题意，点B的坐标为(2m,−m)且在一次函数y1=−x+2的图象上，代入得−m=−2m+2．∴m=2．∴B点坐标为(4,−2)，把B(4,−2)代入y2=k得k=4×(−2)=−8，x∴反比例函数表达式为y2=−8；x(2)当0<x<2时，y2的取值范围是y2<−4，当x<0时，y2>0．【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．(1)把B的坐标代入y1=−x+2求得m的值，得出B(4,−2)，再代入入y2=k即可求得k的x值；(2)根据图象即可求得．23.【答案】(1)证明：∵CE//AB ，∴∠DAF =∠ECF ，∵F 为AC 的中点，∴AF =CF ，在△DAF 和△ECF 中{∠DAF =∠ECFAF =CF ∠AFD =∠CFE，∴△DAF≌△ECF(ASA)，∴AD =CE ．∵CE//AB ，∴四边形ADCE 为平行四边形．(2)作FH ⊥DC 于点H ，∵四边形ADCE 为平行四边形，∴AE//DC ，DF =EF =2√2， ∴∠FDC =∠AED =45°．在Rt △DFH 中，∠DHF =90°，DF =2√2，∠FDC =45°，∴sin∠FDC =FHDF =√22，得FH =2，tan∠FDC =HFHD =1，得DH =2．在Rt △CFH 中，∠FHC =90°，FH =2，∠FCD =30°，∴FC =2FH =4． 由勾股定理，得HC =√CF 2−FH 2=√42−22=2√3．∴DC =DH +HC =2+2√3．【解析】本题是平行四边形的判定方法，勾股定理和全等三角形的判定的综合应用，正确作出辅助线是关键．(1)首先证明△DAF≌△ECF ，则AD =CE ，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得；(2)作FH ⊥DC 于点H ，在Rt △DFH 中利用三角函数求得FH 的长，在Rt △CFH 中利用勾股定理即可求解．24.【答案】(1)证明：∵AB =AC ，AD =DC ，∴∠C =∠B ，∠1=∠C ，∴∠1=∠B ，又∵∠E =∠B ，∴∠1=∠E ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE =90°，∴∠E+∠EAD=90°，∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；(2)解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DA=DC，∴CF=12AC=3，在Rt△CDF中，∵sinC=DFDC =45，设DF=4x，DC=5x，∴CF=√CD2−DF2=3x，∴3x=3，解得x=1，∴DC=5，∴AD=5，∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，∴△ADE∽△DFC，∴AEDC =ADDF，即AE5=54，解得AE=254，即⊙O的直径为254．【解析】(1)根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；(2)过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=12AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC=DFDC =45，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．25.【答案】1035【解析】解：(1)根据题意知，b100+0.2+0.15=0.7，0.05+a100+0.15=0.3，解得a=10，b=35，故答案为：10、35；(2)估计乙离子残留百分比的平均值为(3×0.05)+(4×0.10)+(5×0.15)+(6×0.35)+(7×0.20)+(8×0.15)=6.00；(3)甲离子溶液待检药物相对更安全，理由：服用甲、乙离子溶液残留百分比的平均值相同，但服用甲离子溶液残留的中位数和方差均小于乙种溶液，即服用甲离子溶液残留的百分比超过5.9的少于乙溶液，且百分比稳定．(1)根据P(A)的估计值为0.70得出b100+0.2+0.15=0.7，0.05+a100+0.15=0.3，解之可得答案；(2)分别用组中值乘以对应频率，再相加即可；(3)在残留百分比的平均值相同的前提下，比较中位数和方差即可得出答案．本题主要考查方差，解题的关键是掌握频率、加权平均数的定义及中位数和方差的意义．26.【答案】y=−(x−m)2+4【解析】解：(1)y=−x2+2mx−m2+4=−(x2−2mx+m2)+4=−(x−m)2+4，故答案为：y=−(x−m)2+4；(2)y=−(x−m)2+4−1≤x≤2时抛物线开向下，对称轴为x=m．①m<−1时，当x=−1时，y最大=−(−1−m)2+4=−(m+1)2+4．②m=−1时，y最大=4．③−1<m<2时，在顶点处取得最大值，y最大=4．④m=2时，y最大=4．⑤m>2时，当x=2时，y最大=−(2−m)2+4=−(m−2)2+4．给上所述，当m<−1时，y最大=−(m+1)2+4．当−1≤m≤2时，y最大=4．当m>2时，y最大=−(m−2)2+4．(3)①y1>y2，理由如下：若m=0，则对称轴是y轴，∵A(−1,y1)，B(3,y2)，∴B到y轴的距离大于A到y轴的距离．∵a<0，∴y1>y2．②y1=−(m−1−m)2+4=−1+4=3．y2=−(3−m)2+4=−m2+6m−5．∵y1<y2∴3<−m2+6m−5m2−6m+8<0(m−2)(m−4)<0∴2<m<4．(1)利用配方法化简即可．(2)根据对称轴m在x的取值范围的哪一侧即可求出最值．(3)①m=0代入到抛物线的解析式和A点中，根据x离对称轴的远近，就可以得到y的大小．②把两个点的横坐标代入到抛物线的解析式得到y1、y2的解析式，解不等式即可求得．本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．27.【答案】解：(1)①补全图形如下：②CD，AD，ED之间的数量关系是CD2+AD2=DE2，证明如下：连接AE，如图：∵∠ABC=90°，BA=BC，∴∠C=∠BAC=45°，∵线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，∴∠ABE=90°−∠ABD=∠CBD，BE=BD，在△ABE和△CBD中，{AB=BC∠ABE=∠CBD BE=BD，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴∠BAE=∠C=45°，AE=CD，∴∠EAD=∠EAB+∠BAC=90°，∴AE2+AD2=DE2，∵AE=CD，∴CD2+AD2=DE2；(3)CE=2BF，CE⊥BF，证明如下：设BF交CE于H，延长BF至G，使FG=BF，连接AG，如图：∵F是AD中点，∴AF=DF，∵FG=BF，∠AFG=∠DFB，∴△AFG≌△DFB(SAS)，∴∠GAF=∠FDB，AG=BD，∵BD=BE，∴AG=BE，∵∠FDB=∠DBC+∠DCB=∠DBC+45°，∴∠GAF=∠DBC+45°，∴∠GAB=∠GAF+∠BAC=∠DBC+45°+45°=∠DBC+90°，∵∠CBE=∠DBC+∠DBE=∠DBC+90°，∴∠GAB=∠CBE，∵AB=BC，∴△GAB≌△EBC(SAS)，∴BG=CE，∠ABG=∠BCE，∵BG=2BF，∴CE=2BF，∵∠ABG+∠GBC=90°，∴∠BCE+∠GBC=90°，∴∠BHC=90°，∴CE⊥BF．【解析】(1)①根据题意补全图形即可；②连接AE，根据∠ABC=90°，BA=BC，得∠C=∠BAC=45°，由线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BE，可得∠ABE=90°−∠ABD=∠CBD，BE=BD，即可得△ABE≌△CBD(SAS)，有∠BAE=∠C=45°，AE=CD，故∠EAD=∠EAB+∠BAC=90°，可得AE2+AD2=DE2，从而CD2+AD2=DE2；(3)设BF交CE于H，延长BF至G，使FG=BF，连接AG，根据F是AD中点，可证明△AFG≌△DFB(SAS)，得∠GAF=∠FDB，AG=BD，可得AG=BE，∠GAB=∠DBC+90°，又∠CBE=∠DBC+∠DBE=∠DBC+90°，得∠GAB=∠CBE，知△GAB≌△EBC(SAS)，故BG=CE，∠ABG=∠BCE，从而CE=2BF，可证CE⊥BF．本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及勾股定理、角的和差等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．28.【答案】B1，B3m≥1+√3或m≤1−√3【解析】解：(1)①AB1=√5，AB2=√2，AB3=3．AB1>2，AB2<2，AB3>2．∴A的转换点的是B1，B3．②如图，点M轨迹为直线x=3．AM=√AC2+CM2=√(3−2)2+(m−1)2．当AM=2时解得m=1±√3．∴m≥1+√3或m≤1−√3．(2)如图，作NM⊥直线y=34x+32于点M.直线交x轴y轴于点H，K．∴0H =2，OK =32，HK =52．∴sin∠KHO =OK KH =MN HN =35． 即MN =35HN =35|t +2|．由题意得N 到直线距离≥N 到y 轴距离，即35|t +2|≥|t|，①t ≥0时，0≤t ≤3．②−2<t <0时，−34≤t <0．③t ≤−2时无解．故答案为：−34≤t ≤3．(1)求出点与点距离进行比较．(2)构造直角三角形，通过相似求线段长度，再通过不等式求解．本题考查一次函数综合应用，解题关键是理解题意，数形结合通过构造线段长度作差求解．。
北京人大附中2019-2020学年九年级(下)限时练习数学试卷(4)(含解析)
2019-2020学年北京人大附中九年级（下）限时练习数学试卷（4）一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y＝x2﹣4x+5的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）2．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3B．x＞且x≠3C．x≥2D．x≥且x≠3 3．如果点A（1，m）与点B（3，n）都在直线y＝﹣2x+1上，那么m与n的关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定4．从长度分别是2，3，4的三条线段中随机抽出一条，与长为1，3的两条线段首尾顺次相接，能构成三角形的概率是（）A．1B．C．D．05．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（）A．﹣30B．﹣20C．﹣5D．06．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为（）A．B．C．D．7．函数y＝k（x﹣k）（k＜0）的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．小雨利用几何画板探究函数y＝图象，在他输入一组a，b，c的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（）A．a＞0，b＞0，c＝0B．a＜0，b＞0，c＝0C．a＞0，b＝0，c＝0D．a＜0，b＝0，c＞0二．填空题（共8小题）9．分解因式：4x2﹣8x+4＝．10．在平面直角坐标系中，点P（m，m﹣2）在第三象限内，则m的取值范围是．11．写出一个函数，满足当x＞0时，y随x的增大而减小且图象过（1，3），则这个函数的表达式为．12．已知反比例函数y＝的图象上两点A（x1，y1），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m 的取值范围是．13．已知二次函数y＝ax2+8x﹣7的图象和x轴有交点，则a的取值范围是．14．将直线L1：y＝2x+3沿y轴向下平移5个单位的到L2，则L1与L2的距离为．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，若|ax2+bx+c|＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．16．如图，正方形ABCD的边长是3，P，Q分别在AB，BC的延长线上，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与CD，BC交于点F，E，连接AE．下列结论：①AQ⊥DP②OA2＝OE•OP③S△AOD＝S四边形OECF④当BP＝1时，tan∠OAE＝其中正确结论的序号是．三．解答题（共8小题）17．计算：．18．已知x2+4x+1＝0，求代数式（x﹣1）2﹣2x（x+1）+7的值．19．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝4，BC＝．（1）若OA＝4，求k的值；（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．20．为了促进旅游业的发展，某市新建一座景观桥．桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB 为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），求与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度．21．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，交BC于点F，连接DF．（1）求证：DF＝2CE；（2）若BC＝3，sin B＝，求线段BF的长．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x＝2．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；（3）抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围．23．如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．①求∠CAM的度数；②当FH＝，DM＝4时，求DH的长．24．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M，给出如下定义：若⊙M上存在两个点A，B，使AB＝2PM，则称点P为⊙M的“美好点”．（1）当⊙M半径为2，点M和点O重合时．①点P1（﹣2，0），P2（1，1），P3（2，2）中，⊙O的“美好点”是；②若直线y＝2x+b上存在点P为⊙O的“美好点”，求b的取值范围；（2）点M为直线y＝4上一动点，以2为半径作⊙M，点P为直线y＝x上一动点，点P 为⊙M的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y＝x2﹣4x+5的顶点坐标为（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴该函数的顶点坐标为（2，1），故选：A．2．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠3B．x＞且x≠3C．x≥2D．x≥且x≠3【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0，x﹣3≠0，解得x，且x≠3，故选：D．3．如果点A（1，m）与点B（3，n）都在直线y＝﹣2x+1上，那么m与n的关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据1＜3即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中，k＝﹣2＜0，∴y随着x的增大而减小．∵点A（1，m）与点B（3，n）都在直线y＝﹣2x+1上，1＜3，∴m＞n．故选：A．4．从长度分别是2，3，4的三条线段中随机抽出一条，与长为1，3的两条线段首尾顺次相接，能构成三角形的概率是（）A．1B．C．D．0【分析】先写出3种等可能的结果数，然后根据三角形三边的关系确定三条线段能构成三角形的结果数，再根据概率公式求解．【解答】解：共有3种等可能的结果数，它们是：2、1、3，3、1、3，4、1、3，其中三条线段能构成三角形的结果数为1，所以三条线段能构成三角形的概率＝．故选：C．5．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（）A．﹣30B．﹣20C．﹣5D．0【分析】原式利用完全平方公式配方后，确定出最小值即可．【解答】解：x2﹣10x+5＝x2﹣10x+25﹣20＝（x﹣5）2﹣20，当x＝5时，代数式的最小值为﹣20，故选：B．6．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，，故选：A．7．函数y＝k（x﹣k）（k＜0）的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据k＜0来推测函数y＝k（x﹣k）（k＜0 ）的图象不经过的象限．【解答】解：y＝k（x﹣k）（k＜0 ）可变形为：y＝kx﹣k2，∵k＜0，∴k2＞0，∴﹣k2＜0，∴函数y＝kx﹣k2，的图象经过第二、三、四象限．故选：A．8．小雨利用几何画板探究函数y＝图象，在他输入一组a，b，c的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（）A．a＞0，b＞0，c＝0B．a＜0，b＞0，c＝0C．a＞0，b＝0，c＝0D．a＜0，b＝0，c＞0【分析】从函数整体图象来看，发现部分图象有类似反比例函数，再从y轴右侧图象，判断图象虚线代表的意义，即可求解．【解答】设虚线为x＝m（显然，m＞0），易知两条由图中可知，当x＜m时，y＞0，|x﹣c|＞0，所以＞0，当x＞m时，y＜0，|x﹣c|＞0，所以＜0，可得（x﹣b）在m的左右两侧时，符号是不同的，即b＝m＞0；当x＜b时，x﹣b＜0，而y＞0，所以a＜0显然另外一条分割线为x＝0＝c，故选：B．二．填空题（共8小题）9．分解因式：4x2﹣8x+4＝4（x﹣1）2．【分析】先提取公因式4，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：4x2﹣8x+4＝4（x2﹣2x+1）＝4（x﹣1）2．故答案为：4（x﹣1）2．10．在平面直角坐标系中，点P（m，m﹣2）在第三象限内，则m的取值范围是m＜0．【分析】利用第三象限点的坐标特征得到，然后解不等式组即可．【解答】解：∵点P（m，m﹣2）在第三象限内，∴，∴m＜0．故答案为m＜0．11．写出一个函数，满足当x＞0时，y随x的增大而减小且图象过（1，3），则这个函数的表达式为如，答案不唯一．【分析】没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．【解答】解：符合题意的函数解析式可以是y＝，y＝﹣x+4，y＝﹣x2+4等，（本题答案不唯一）故答案为：如，答案不唯一；12．已知反比例函数y＝的图象上两点A（x1，y1），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m 的取值范围是m＞﹣．【分析】根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，∴1+3m＞0，解得，m＞﹣，故答案为m＞﹣．13．已知二次函数y＝ax2+8x﹣7的图象和x轴有交点，则a的取值范围是a≥﹣且a ≠0．【分析】直接利用根的判别式进行计算，“图象和x轴有交点”说明△≥0，a≠0．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+8x﹣7的图象和x轴有交点，∴△＝b2﹣4ac＝64+28a≥0，∴a≥﹣，其中a≠0．故答案为：a≥﹣且a≠0．14．将直线L1：y＝2x+3沿y轴向下平移5个单位的到L2，则L1与L2的距离为．【分析】根据平移的规律得到L2的解析式为：y＝2x﹣2，求得L2：y＝2x﹣2与y轴交于（0，﹣2），根据三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：∵将直线L1：y＝2x+3沿y轴向下平移5个单位的到L2，∴L2的解析式为：y＝2x﹣2，∴L2：y＝2x+2与y轴交于（0，﹣2），如图，∵y＝2x+3与x轴交于B（﹣，0），与y轴交于A（0，3），y＝2x﹣2与x轴交于F（1，0），与y轴交于E（0，﹣2），过O作OC⊥AB于C，反向延长OC交EF于D，∵AB∥EF，∴CD⊥EF，∵OA＝3，OB＝，∴AB＝＝，∵OE＝2，OF＝1，∴EF＝＝，∵AB•OC＝OA•OB，∴OC＝＝，∵EF•OD＝OE•OF，∴OD＝＝，∴CD＝，∴L1与L2的距离为，故答案为．15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，若|ax2+bx+c|＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＝0或k＞2．【分析】先根据题意画出y＝|ax2+bx+c|的图象，即可得出|ax2+bx+c|＝k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围．【解答】解：∵当ax2+bx+c≥0，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，∴此时y＝|ax2+bx+c|＝ax2+bx+c，∴此时y＝|ax2+bx+c|的图象是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分的图象，∵当ax2+bx+c＜0时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，∴此时y＝|ax2+bx+c|＝﹣（ax2+bx+c）∴此时y＝|ax2+bx+c|的图象是函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象，∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点纵坐标是﹣2，∴函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是2，∴y＝|ax2+bx+c|的图象如右图，∵观察图象可得当k≠0时，函数图象在直线y＝2的上方时，纵坐标相同的点有两个，函数图象在直线y＝2上时，纵坐标相同的点有三个，函数图象在直线y＝2的下方时，纵坐标相同的点有四个，∴若|ax2+bx+c|＝k有两个不相等的实数根，则函数图象应该在y＝2的上边，故k＝0或k＞2．16．如图，正方形ABCD的边长是3，P，Q分别在AB，BC的延长线上，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与CD，BC交于点F，E，连接AE．下列结论：①AQ⊥DP②OA2＝OE•OP③S△AOD＝S四边形OECF④当BP＝1时，tan∠OAE＝其中正确结论的序号是①③④．【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P＝∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2＝OD•OP，由OD≠OE，得到OA2≠OE•OP；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF＝BE，DF＝CE，于是得到S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD ＝S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE＝，求得QE＝，QO＝，OE＝，由三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵BP＝CQ，∴AP＝BQ，在△DAP与△ABQ中，，∴△DAP≌△ABQ（SAS），∴∠P＝∠Q，∵∠Q+∠QAB＝90°，∴∠P+∠QAB＝90°，∴∠AOP＝90°，∴AQ⊥DP；故①正确；∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠DAO＝∠P，∴△DAO∽△APO，∴＝，∴AO2＝OD•OP，∵AE＞AB，∴AE＞AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE•OP；故②错误；在△CQF与△BPE中，∴△CQF≌△BPE（AAS），∴CF＝BE，∴DF＝CE，在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD＝S四边形OECF；故③正确；∵BP＝1，AB＝3，∴AP＝4，∵△PBE∽△P AD，∴＝＝，∴BE＝，∴QE＝，∵△QOE∽△P AD，∴＝＝＝，∴QO＝，OE＝，∴AO＝5﹣QO＝，∴tan∠OAE＝＝＝，故④正确，故答案为①③④．三．解答题（共8小题）17．计算：．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果．【解答】解：原式＝9+2+1﹣3＝10﹣．18．已知x2+4x+1＝0，求代数式（x﹣1）2﹣2x（x+1）+7的值．【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝x2﹣2x+1﹣2x2﹣2x+7＝﹣x2﹣4x+8，∵x2+4x+1＝0，∴x2+4x＝﹣1，∴原式＝﹣（x2+4x）+8＝1+8＝9．19．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．已知AB＝4，BC＝．（1）若OA＝4，求k的值；（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出AE，BE的长，再利用勾股定理得出OA的长，得出C点坐标即可得出答案；（2）首先表示出D，C点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出C点坐标，再利用勾股定理得出CO的长．【解答】解：（1）作CE⊥AB，垂足为E，∵AC＝BC，AB＝4，∴AE＝BE＝2．在Rt△BCE中，BC＝，BE＝2，∴CE＝，∵OA＝4，∴C点的坐标为：（，2），∵点C在的图象上，∴k＝5，（2）设A点的坐标为（m，0），∵BD＝BC＝，∴AD＝，∴D，C两点的坐标分别为：（m，），（m﹣，2）．∵点C，D都在的图象上，∴m＝2（m﹣），∴m＝6，∴C点的坐标为：（，2），作CF⊥x轴，垂足为F，∴OF＝，CF＝2，在Rt△OFC中，OC2＝OF2+CF2，∴OC＝．20．为了促进旅游业的发展，某市新建一座景观桥．桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB 为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），求与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度．【分析】以AB所在直线为x轴、CD所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为y＝ax2+16，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当x＝5时y的值即可．【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线表达式为y＝ax2+16，由题意可知，B的坐标为（20，0）∴400a+16＝0∴∴，∴当x＝5时，y＝15．答：与CD距离为5米的景观灯杆MN的高度为15米．21．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于点E，交BC于点F，连接DF．（1）求证：DF＝2CE；（2）若BC＝3，sin B＝，求线段BF的长．【分析】（1）连接OE交DF于G，首先证明四边形EGFC是矩形，再根据垂径定理即可证明．（2）设OE＝x，由OE∥BC，得△AOE∽△ABC，得，列出方程求出x，再在Rt△BDF中，由sin B＝，推出cos B＝＝，即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OE交DF于G，∵AC切⊙O于E，∴∠CEO＝90°．又∵BD为⊙O的直径，∴∠DFC＝∠DFB＝90°．∵∠C＝90°，∴四边形CEGF为矩形．∴CE＝GF，∠EGF＝90°，∴DF＝2CE．（2）解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，，∴AB＝5，设OE＝x，∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC．∴，∴，∴，∴BD＝．在Rt△BDF中，∵∠DFB＝90°，sin B＝，∴cos B＝＝＝，∴BF＝．22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x＝2．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；（3）抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围0＜b≤．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求出m的值，进而求出抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）先求出平移后的抛物线解析式，然后求出交点坐标；（3）根据图象即可写出b的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x＝2，∴．∴m＝﹣1．∴抛物线的表达式为y＝﹣2x2+8x﹣6．∴y＝﹣2（x﹣2）2+2．∴顶点坐标为（2，2）．（2）由题意得，平移后抛物线表达式为y＝﹣2（x﹣3）2+2，∵﹣2（x﹣2）2＝﹣2（x﹣3）2，∴．∴A（，）．（3）点A坐标为（，），则点B的坐标为（，），设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点B，则y＝2x﹣2﹣b，故＝7﹣2﹣b，解得b＝，设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点A，＝5﹣2﹣b，b＝，由，消去y得到：2x2﹣10x+14﹣b＝0，由题意：△＝0，∴100﹣8（14﹣b）＝0，∴b＝，观察图象可知：平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，则．23．如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．①求∠CAM的度数；②当FH＝，DM＝4时，求DH的长．【分析】（1）只要证明AB＝ED，AB∥ED即可解决问题；（2）成立．如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．由四边形DMGE是平行四边形，推出ED＝GM，且ED∥GM，由（1）可知AB＝GM，AB∥GM，可知AB∥DE，AB＝DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，只要证明MI＝AM，MI⊥AC，即可解决问题；②设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x，推出AM＝4+2x，BH＝4+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出＝，可得＝，解方程即可；【解答】（1）证明：如图1中，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠ABM，∵CE∥AM，∴∠ECD＝∠ADB，∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD＝DC，∴△ABD≌△EDC，∴AB＝ED，∵AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形．（2）结论：成立．理由如下：如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．∵CE∥AM，∴四边形DMGE是平行四边形，∴ED＝GM，且ED∥GM，由（1）可知AB＝GM，AB∥GM，∴AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形．（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，∵BM＝MC，∴MI是△BHC的中位线，∴MI∥BH，MI＝BH，∵BH⊥AC，且BH＝AM．∴MI＝AM，MI⊥AC，∴∠CAM＝30°．②设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x，∴AM＝4+2x，∴BH＝4+2x，∵四边形ABDE是平行四边形，∴DF∥AB，∴＝，∴＝，解得x＝1+或1﹣（舍弃），∴DH＝1+．24．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M，给出如下定义：若⊙M上存在两个点A，B，使AB＝2PM，则称点P为⊙M的“美好点”．（1）当⊙M半径为2，点M和点O重合时．①点P1（﹣2，0），P2（1，1），P3（2，2）中，⊙O的“美好点”是P1和P2；②若直线y＝2x+b上存在点P为⊙O的“美好点”，求b的取值范围；（2）点M为直线y＝4上一动点，以2为半径作⊙M，点P为直线y＝x上一动点，点P 为⊙M的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．【分析】（1）①根据⊙M的“美好点”即可判断．②求出直线y＝2x+b与⊙M相切时，b的值即可解决问题；（2）当直线y＝4与⊙M相切时，求出点M的坐标，有两个值，由此即可解决问题；【解答】解：（1）①如图1中，∵OP1＝2＝r，OP2＝＜r，OP3＝2＜r，根据⊙M的“美好点”的定义可知，P1，P2是⊙M的“美好点”．故答案为P1和P2．②当直线y＝2x+b与⊙O相切时，设切点为T，该直线交x轴于K，交y轴于E．由题意E（0，b），K（﹣，0），∴OE＝b，OK＝，EK＝b，∵sin∠TKO＝＝，∴＝，∴b＝2，根据对称性可知：当直线与⊙O在下方相切时，OF＝OE＝2，∴b＝﹣2，∴b的取值范围为：﹣2≤b≤2．（2）如图2中，当直线y＝4与⊙M相切时，切点分别为E或E′，连接ME，M′E′，∵EM＝E′M′＝2，∴M′（2，2），m（6，6），∴满足条件的m的取值范围为2≤m≤6．。
北京人大附中 2021-2022 学年度九年级下学期月考数学试题(含答案与解析)
【4题答案】
【答案】C
【解析】
【详解】解：画树状图如下：
一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，
∴P（一红一黄）= = ．故选C．
5.“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动．如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱的高BC＝6 cm，圆锥的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积是( )
A. B.
C. D.
2.把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（ ）
A.y＝（x+1）2+3B.y＝（x﹣2）2+3C.y＝（x﹣1）2+5D.y＝（x﹣1）2+3
3.一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到方程组为（ ）
3.非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔。
4.考试本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1.北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的（如图）．下面四个图案中，可以通过平移图案得到的是（）
（2）若 ， ， ，求 长．
22.如图，点 是 直径 上一点，过 作 交 于点 ，连接 ，延长 至点 ，连接 ，使 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
23.已知点P（1，3），Q（3，m）是函数 图象上两点.
（1）求k值和m值.
（2）直线 与 图象交于A，直线 与直线 平行，与x轴交于点B，且与 的图象交于点C.若线段OA，OB， BC及函数 图象在AC之间部分围成的区域内（不含边界）恰有2个整点，结合函数图象，直接写出b的取值范围.（注：横纵坐标均为整数的点称为整点）
精品解析：北京市海淀区中国人民大学附属中学2019-2020学年九年级月考数学试题(原卷版)
北京市海淀区中国人民大学附属中学2019-2020学年九年级月考数学试题一.选择题1.我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.二次函数2=的图象向左平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（）y xA. 22=-y xy x=+ B. 22C. 2(2)=+ D. 2y x=-(2)y x3.在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以BC长为半径作圆，点A与该圆的位置关系为（）A. 点A在圆外B. 点A在圆内C. 点A在圆上D. 无法确定4.抛物线y＝2x2+4x﹣4的对称轴是( )A. 直线x＝﹣1B. 直线x＝1C. 直线x＝2D. 直线x＝﹣25.如图，在⊙O中，点C是»AB上一点，若∠AOB＝126°，则∠C的度数为( )A. 127°B. 117°C. 63°D. 54°6.二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是（）A. ﹣3＜x＜0B. x＜﹣3或x＞0C. x＜﹣3D. 0＜x＜37.如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC＝2，AE＝3，CE＝1，则弧BD的长是( )A. 39πB.239πC.33πD.233π8.已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A. y3最小，y1最大B. y3最小，y4最大C. y1最小，y4最大D. 无法确定二.填空题9.点（2，－3）关于原点对称点P′的坐标为 .10.请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为(0,2)的抛物线的表达式：_____________．11.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为_____．12.在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2的图象经过点M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，若﹣2＜x1＜0，2＜x2＜4，则y1_____y2.(用“＜”、“＝”或“＞”号连接)13.如图，P A ，PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，点C 为劣弧AB 上任意一点，过点C 的切线分别交AP ，BP 于D ，E 两点．若AP =8，则△PDE 的周长为__________．14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 可以看作是△OCD 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD 得到△AOB 的过程：______．15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y ＜0的x 的值_____．16.如图，⊙O 的动弦AB ，CD 相交于点E ，且AB CD =，BED α∠=(090)α︒<<︒．在①BOD α∠=，②90OAB α∠=︒-，③12ABC α∠=中，一定成立的是____________（填序号）．三.解答题17.如图，∠DAB＝∠EAC，AB＝AD，AC＝AE.求证：BC＝DE.18.已知一抛物线过点(﹣3，0)、(﹣2，﹣6)，且对称轴是x＝﹣1.求该抛物线的解析式.19.已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x …﹣2 ﹣1 0 2 …y …﹣3 ﹣4 ﹣3 5 …(1)求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；(2)求出该函数图象与x轴的交点坐标.20.下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程已知：⊙O求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD内接于⊙O，且其对角线AC，BD的夹角为60°．作法：如图①作⊙O 的直径AC ；②以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交直线AC 上方的圆弧于点B ； ③连接BO 并延长交⊙O 于点D ； 所以四边形ABCD 就是所求作的矩形. 根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)； (2)完成下面的证明．证明：∵点A ，C 都在⊙O 上， ∴OA=OC 同理OB=OD∴四边形ABCD 是平行四边形 ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC=90° （ ）（填推理的依据） ∴四边形ABCD 是矩形 ∵AB= =BO ， ∴四边形ABCD 四所求作的矩形21.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AM 是△ACD 外角∠DAF 的平分线. (1)求证：AM 是⊙O 的切线.(2)若C 是优弧ABD 的中点，AD ＝4，射线CO 与AM 交于N 点，求ON 的长.22.生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O 为圆心AB 为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A 到顶棚的距离为0.8a ，顶棚到路面的距离是3.2a ，点B 到路面的距离为2a ．请你求出路面的宽度l ．（用含a 的式子表示）23.有这样一个问题：探究函数y ＝(x ﹣1)(x ﹣2)(x ﹣3)的图象与性质.小东对函数y ＝(x ﹣1)(x ﹣2)(x ﹣3)的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完成：(1)函数y ＝(x ﹣1)(x ﹣2)(x ﹣3)的自变量x 的取值范围是_______； (2)下表是y 与x 的几组对应值. x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 … y …m﹣24﹣662460…①m ＝_____；②若M(﹣7，﹣720)，N(n ，720)为该函数图象上的两点，则n ＝_____；(3)在平面直角坐标系xOy 中，A(x A ，y A )，B(x B ，﹣y A )为该函数图象上的两点，且A 为2≤x≤3范围内的最低点，A点的位置如图所示.①标出点B的位置；②画出函数y＝(x﹣1)(x﹣2)(x﹣3)(0≤x≤4)的图象.③写出直线y＝12x﹣1与②中你画出图象的交点的横坐标之和为______.24.已知直线l：y=12x+1与抛物线y＝ax2﹣2x+c(a＞0)的一个公共点A恰好在x轴上，点B(4，m)在抛物线上.(Ⅰ)用含a的代数式表示c. (Ⅱ)抛物线在A，B之间的部分(不包含点A，B)记为图形G，请结合函数图象解答：若图形G在直线l下方，求a的取值范围.25.如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）.（1）当0°＜α＜30°时，①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系.26.在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若P′为直线PC与⊙C的一个交点，满足r≤PP′≤2r，则称P′为点P关于⊙C的限距点，如图为点P及其关于⊙C的限距点P′的示意图.(1)当⊙O的半径为1时.①分别判断点M(3，4)，N(52，0)，T(1，2)关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；②点D的坐标为(2，0)，DE，DF分别切⊙O于点E，点F，点P在△DEF的边上.若点P关于⊙O的限距点P′存在，求点P′的横坐标的取值范围；(2)保持(1)中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C的坐标为(1，0)，半径为r，请从下面两个问题中任选一个作答.问题1：若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr，则r的最小值为__________. 问题2：若点P关于⊙C的限距点P′不存在，则r的取值范围为_________.。
2018-2019学年北京人大附中九年级(下)月考数学试卷(4月份)解析版
2018-2019学年北京人大附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）北京是首批国家历史文化名城和世界上拥有世界文化遗产数最多的城市，三千多年的历史孕育了众多名胜古迹，让每一个中国人为之骄傲．如图是一些北京名胜古迹的标志，其中不属于轴对称图形的是（）A．天坛B．圆明园C．颐和园D．天安门【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、C、D中的图形都是轴对称图形，B中图形本是轴对称图形，故选：B．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2分）2015年9月14日，通过位于美国的两个LIGO探测器，人类第一次探测到了引力波的存在，这次引力波的信号显著性极其大，探测结果只有三百五十万分之一的误差．三百五十万分之一约为0.0000002857．将0.0000002857用科学记数法表示应为（）A．2.857×10﹣7B．2.857×10﹣6C．0.2857×10﹣6D．2.857×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000002857＝2.857×10﹣7．故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（2分）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：A、B、C均不是高线．故选：D．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．4．（2分）如图，数轴上A，B两点的位置如图所示，则下列说法中，能判断原点一定位于A、B之间的是（）A．a+b＞0B．ab＜0C．|a|＞|b|D．a、b互为倒数【分析】由题意可知，a＜0＜b，根据实数的乘法法判断即可．【解答】解：A、a+b＞0，原点可能位于A、B之间，原点也可能位于A的左边，故本选项错误；B、∵ab＜0，∴a与b异号，原点一定位于A、B之间，故本选项正确；C、|a|＞|b|，原点可能位于A、B之间，原点也可能位于B的左右边，故本选项错误；D、∵a＜0＜b|，∴a，b不是互为倒数，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；数轴上原点左边的点表示负数，右边的点表示正数；右边的点表示的数比左边的点表示的数要大．5．（2分）如图，在正方形网格中，记∠ABD＝α，∠DEF＝β，∠CGH＝γ，则（）A．α＜β＜γB．α＜γ＜βC．β＜α＜γD．β＜γ＜α【分析】根据题意和图得出：∠DGC＝∠DCG＝45°，∠HGF＝∠GHF∠＝45°，再根据∠DGC+∠HGF+γ＝180°，从而得出γ＝90°，然后结合图观察出α＞90°，β＜90°，最后比较大小即可．【解答】解：由题意知：∠DGC＝∠DCG＝45°，同理∠HGF＝∠GHF∠＝45°，又∵∠DGC+∠HGF+γ＝180°，∴γ＝90°，由图可知α＞90°，β＜90°，∴β＜γ＜α，故选：D．【点评】本题考查了角的大小比较，解题的关键是求出γ角的度数，然后再比较大小就容易了．6．（2分）清明假期将至，小罗一家计划自驾车去某地踏青，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少30分钟，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A．＝+30B．＝+C．＝﹣30D．＝﹣【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少30分钟，列方程即可．【解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，由题意得：＝+．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．7．（2分）“一带一路”倡议提出五年多来，交通、通信、能源等各项相关建设取得积极进展，也为增进各国民众福祉提供了新的发展机遇，如图是2017年“一带一路”沿线部分国家的通信设施现状统计图．根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（）A．互联网服务器拥有个数最多的国家是阿联酋B．宽带用户普及率的中位数是11.05%C．有8个国家的电话普及率能够达到平均每人1部D．只有俄罗斯的三项指标均超过了相应的中位数【分析】互联网服务器个数最多的是俄罗斯，故A选项是不正确的，宽带用户普及率的中位数是（10.4%+11.5%）÷2＝10.95%，故B选项不正确，俄罗斯的电话普及率处于第5名，与马来西亚的电话普及率的平均数是中位数，故D不正确，因此只有C事正确的．【解答】解：互联网服务器个数最多的是俄罗斯，故A选项是不正确的，宽带用户普及率的中位数是（10.4%+11.5%）÷2＝10.95%，故B选项不正确，俄罗斯的电话普及率处于第5名，与马来西亚的电话普及率的平均数是中位数，故D不正确，故选：C．【点评】考查统计图表的识图能力，中位数、平均数的意义，通过复杂的统计图中获取有用的数据是做出判断的前提．8．（2分）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大变化，其体温（℃）与时间（小时）之间的关系如图1所示．小清同学根据图1绘制了图2，则图2中的变量y最有可能表示的是（）A．骆驼在t时刻的体温与0时体温的绝对差（即差的绝对值）B．骆驼从0时到t时刻之间的最高体温与当日最低体温的差C．骆驼在t时刻的体温与当日平均体温的绝对差D．骆驼从0时到t时刻之间的体温最大值与最小值的差【分析】根据时间和体温的变化，将时间分为3段：0﹣4，4﹣8，8﹣16，16﹣24，分别观察每段中的温差，由此即可求出答案．【解答】解：从0时到4时，温差随时间的增大而增大，在4时达到最大，是2℃；再到8时，这段时间的最高温度是37℃，最低是35℃，温差不变，从8时开始，最高温度变大，最低温度不变是35℃，温差变大，达到3℃，从16时开始体温下降，温差不变．即变量y最有可能表示的是骆驼从0时到t时刻之间的体温最大值与最小值的差．故选：D．【点评】考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．理解本题中温差的含义是解决本题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）函数y＝中自变量x的取值范围是x≥﹣2．【分析】根据自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．【解答】解：根据题意得：2x+4≥0，解得x≥﹣2．故答案为x≥﹣2．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．10．（2分）如图是某个几何体的三视图，请写出这个几何体的名称是圆锥．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故答案为：圆锥．【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．11．（2分）已知y是x的函数，且满足：①x的取值范围是全体实数，②y的取值范围是y ≥﹣1，③在x＞1时，y随x的增大而增大．请写出一个符合条件的函数解析式y＝（x ﹣1）2﹣1（答案不唯一）．【分析】根据①可以排除该函数图象不是双曲线；根据②可以排除该函数图象不是直线；根据③可以得到该函数图象是抛物线且对称轴是x＝1、抛物线开口方向向上．【解答】解：由题意知，该函数属于二次函数，且图象的对称轴为x＝1，开口方向向上，所以符合条件的函数解析式可以是：y＝（x﹣1）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．【点评】考查了反比例函数、一次函数、正比例函数以及二次函数的性质，根据题意得到该函数属于二次函数是解题的难点．12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为110°．【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝20°，即可求∠BCD的度数．【解答】解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠AED＝20°，∴∠ACD＝20°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝110°，故答案为：110°．【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13．（2分）“四个一”活动自2014年9月启动至今，已有数十万北京中小学生参观了天安门广场的升旗仪式．如图是利用平面直角坐标系画出的天安门广场周围的景点分布示意图．如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示美术馆的点的坐标为（2，4），表示中国国家博物馆的点的坐标为（1，﹣1），那么表示人民大会堂的点的坐标是（﹣1，﹣1）．【分析】根据美术馆的点的坐标为（2，4），表示中国国家博物馆的点的坐标为（1，﹣1）确定坐标原点的位置，然后建立坐标系，进而可确定人民大会堂的位置．【解答】解：如图所示：人民大会堂的点的坐标是（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确建立坐标系．14．（2分）如果2a2+4a﹣1＝0，那么代数式的值是．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝•＝﹣a（a+2）＝﹣a2﹣2a，∵2a2+4a﹣1＝0，∴a2+2a＝，∴原式＝﹣，故答案为：．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．15．（2分）图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知的长是m．【分析】首先根据题意，可得，然后根据圆的周长公式，求出直径是2m的圆的周长是多少；最后用直径是2m的圆的周长除以3，求出的长是多少即可．【解答】解：根据题意，可得，∴（m），即的长是m．故答案为：．【点评】此题主要考查了弧长的计算，以及圆的周长的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出，并求出直径是2m的圆的周长是多少．16．（2分）小夏同学从家到学校有A，B两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：据此估计，早高峰期间，乘坐B线路“用时不超过35分钟”的概率为，若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐A（填A或B）线路．公交车用时频数公交车线路25≤t≤3030＜t≤3535＜t≤4040＜t≤45总计A59151166124500B4357149251500【分析】用“用时不超过35分钟”的人数除以总人数即可求得概率；【解答】解：∵乘坐B线路“用时不超过35分钟”的有43+57＝100人，∴乘坐B线路“用时不超过35分钟”的概率为＝，∵A线路不超过40分钟的有59+151+166＝376人，B线路不超过40分钟的有43+57+149＝249人，∴选择A线路，故答案为：，A．【点评】考查了用频率估计概率的知识，能够读懂图是解答本题的关键，难度不大．三、解答题[本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）17．（5分）计算：．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝1﹣3×+3﹣（2﹣），＝1﹣+3﹣2+，＝2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．（5分）解不等式组：【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集是x＜1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．19．（5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，当该方程的两个根都是整数，求正整数m的值．【分析】（1）由关于x的一元二次方程得到m不为0，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；（2）由△＝（m+3）2知x1＝，x2＝1，根据两个根都是整数即可确定出m的正整数值．【解答】解：（1）由题意m≠0，∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即[﹣3（m+1）]2﹣4m（2m+3）＝（m+3）2＞0，解得：m≠﹣3，则m的取值范围为m≠0和m≠﹣3；（2）∵△＝（m+3）2，∴x＝，∴x1＝，x2＝1，当x1＝是整数时，可得m＝1或m＝﹣1（舍）或m＝3，∴m＝1或m＝3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．20．（5分）下面是小如同学设计的“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C＝90°求作：Rt△ABC的外接圆．作法：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交AB于点O；③以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．根据小如同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接PA，PB，QA，QB，OC，∵由作图，PA＝PB，QA＝QB，∴PQ⊥AB且AO＝BO（线段的垂直平分线的定义）（填推理的依据）．∵∠ACB＝90°，∴OC＝AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）（填推理的依据）．∴OA＝OB＝OC，∴A，B，C三点在以O为圆心，AB为直径的圆上．∴⊙O为△ABC的外接圆．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用直角三角形斜边中线的性质证明：OC＝OA＝OB即可．【解答】解：（1）补全图形如图所示．（2）连接PA，PB，QA，QB，OC，∵由作图，PA＝PB，QA＝QB，∴PQ⊥AB且AO＝BO（线段的垂直平分线的定义）．∵∠ACB＝90°，∴OC＝AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∴OA＝OB＝OC，∴A，B，C三点在以O为圆心，AB为直径的圆上．∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线等于斜边的一半．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）连接DE，交AB于点O，若AC＝10，BE＝6，求sin∠AOD的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠ADB＝90°，根据矩形的判定得出即可；（2）根据矩形的性质求出DO＝5，根据勾股定理求出CD，求出BD，再根据三角形的面积求出DF，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是矩形；（2）解：过D作DF⊥AB于F，∵AC＝10，AB＝AC，∴AB＝10，∵四边形ADBE是矩形，∴DE＝AB＝10，DO＝AO＝5，在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD＝＝＝8，∵在△ABC中，AD是BC边的中线，∴BD＝CD＝8，＝＝，在Rt△ADB中，S△ADB6×8＝10×DF，解得：DF＝4.8，在Rt△DFO中，sin∠AOD＝＝＝．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能求出四边形ADBE是矩形是解此题的关键．22．（6分）在平面直角坐标系xOy，直线y＝x﹣1与y轴交于点A，与双曲线y＝交于点B（m，2）（1）求点B的坐标及k的值；（2）将直线AB平移，使它与x轴交于点C，与y轴交于点D，若△ABC的面积为6，求直线CD的表达式．【分析】（1）求出A的坐标，把B的坐标代入直线解析式得出M＝3，得出B的坐标，代入双曲线即可得出k的值；（2）由三角形的面积求出b的值即可．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝x﹣1中得y＝﹣1，即A点坐标为（0，﹣1）B（m，2）在直线y＝x﹣1上，∴m＝3，B（3，2）在双曲线y＝上，∴2＝，解得k＝6；（2）设直线CD为y＝x+b，∵AB∥CD，∴S△ABC＝S△ABD＝AD•|xB|＝6，AD＝4＝|b+1|，x B＝3，∴|b+1|•3＝6得b+1＝4或b+1＝﹣4，∴b＝3或b＝﹣5，∴平移后的直线表达式为y＝x+3或y＝x﹣5．【点评】本题考查了待定系数求函数的解析式，正确求得B的坐标和b的值是关键．23．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，以AC，CD为邻边作平行四边形ACDE，DE恰为⊙O的切线．（1）求证：四边形ACDE是菱形；（2）延长ED与AB交于点F，若BF＝2，求⊙O的直径．【分析】（1）证明AE⊥AB，得出AE是⊙O的切线，由切线的性质得出AE＝DE，即可得出四边形ACDE是菱形（2）连接AD、OD，由垂径定理得出，得出AD＝AC，由菱形的性质得出AC＝CD＝AD，△ACD是等边三角形，得出∠DAC＝60°，∠DAB＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ODA＝∠DAB＝30°，求出∠DOF＝60°，由切线的性质得出∠ODF＝90°，得出∠F＝30°，由直角三角形的性质得出OD＝OF，得出OD＝OB＝BF＝2，求出AB ＝2OB＝4．【解答】（1）证明：∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE∥CD，∵CD⊥AB，∴AE⊥AB，∴AE是⊙O的切线，∵DE恰为⊙O的切线，∴AE＝DE，∴四边形ACDE是菱形；（2）解：连接AD、OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴，∴AD＝AC，∵四边形ACDE是菱形，∴AC＝CD，∴AC＝CD＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝∠ADC＝60°，∠DAB＝30°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOF＝30°+30°＝60°，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODF＝90°，∴∠F＝30°，∴OD＝OF，∵OF＝OB+BF，∴OD＝OB＝BF＝2，∴AB＝2OB＝4；即⊙O的直径为4．【点评】本题考查了切线的性质与判定、垂径定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．24．（6分）近日，某中学举办了一次以“弘扬传统文化”为主题的汉字听写比赛，初一和初二两个年级各有600名学生参加．为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，学校分别从两个年级随机抽取了若干名学生的成绩作为样本进行分析．下面是初二年级学生成绩样本的频数分布表和频数分布直方图（不完整，每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分）：初二学生样本成绩频数分布表分组/分频数频率50～6020.0560～7040.1070～8080.2080～90140.3590～100120.30合计40 1.00请根据所给信息，解答下列问题：（1）补全成绩频数分布表和频数分布直方图；（2）若初二学生成绩样本中80～90分段的具体成绩为：808081.58282.582.58384.58586.5878888.589①根据上述信息，估计初二学生成绩的中位数为82.75；②若初一学生样本成绩的中位数为80，甲同学在比赛中得到了82分，在他所在的年级中位居275名，根据上述信息推断甲同学所在年级为初一（选填“初一”或者“初二”）③若成绩在85分及以上均为“优秀”，请你根据抽取的样本数据，估计初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为270人．【分析】（1）频数4÷0.10×0.20＝8，频率1﹣0.10﹣0.20﹣0.35﹣0.30＝0.05；（2）中位数为（82.5+83）÷2＝82.75；（3）初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为．【解答】解：（1）频数4÷0.10×0.20＝8，40﹣2﹣4﹣8﹣14＝12，频数2÷40＝0.05，1﹣0.10﹣0.20﹣0.35﹣0，05＝0.30，频数分布直方图补全如下：故答案为8，0.05；（2）①根据初二年级学生成绩样本的和频数分布直方图可知，中位数20、21的平均数，落在80﹣90分∵80～90分段的具体成绩为：808081.58282.582.58384.58586.5878888.589，∴中位数为（82.5+83）÷2＝82.75故答案为82.75；②600名学生，中位数为第300、301的中位数，而甲同学在比赛中得到了82分，在他所在的年级中位居275名，初一学生样本成绩的中位数为80，82＞80，∴该同学为初一，故答案为：初一；③初二学生样本中，85分以上共有18人，初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为×600＝270故答案为270．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．25．（6分）如图1，长度为6千米的国道AB两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道AB上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如下表：x/千米0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0y/千米10.58.5 6.5 6.58.510.512.5（2）如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置）答：C、D之间（含C、D两点）．②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置）答：点D处．【分析】（1）x＝2.0时，y＝NC+CD+DM；x＝4.0时，y＝NC+CD+DT+DT+DM，将相关线段的长代入即可得答案；（2）根据表格数据画出函数图象即可；（3）①由图形可知，若物流基地修建在C、D两点之外，则距离会大于NC+CD+DM，从而可得答案；②结合①的结论及图③分析可得答案．【解答】解：（1）∵A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，A、T之间的距离为x千米，T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米∴当x＝2.0时，T位于点C，此时y＝NC+CD+DM＝2.3+1+3.2＝6.5（千米）；当x＝4.0时，y＝NC+CD+DT+DT+DM＝2.3+1+1+1+3.2＝8.5（千米）故答案为：6.5，8.5．（2）函数的图象如下：（3）①由图形可知，若物流基地修建在C、D两点之外，则距离会大于NC+CD+DM，故若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，物流基地T应该修建在C、D之间（含C、D两点）．故答案为：C、D之间（含C、D两点）．②由①可知，若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，物流基地T应该修建在C、D之间（含C、D两点），由图3可知，D、E段上离点P、Q的距离相等，再往E点以下距离之和一定变大；再往D点以上，到P、Q的距离之和会变大，故答案为：点D处．【点评】本题考查了一次函数在解决实际问题中的应用，数形结合进行分析，是解答本题的关键．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．【分析】（1）令x＝0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B的坐标；（2）求出点A关于对称轴的对称点（2，﹣2），然后设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（3）根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2，∴A（0，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴B（1，0）；（2）易得A点关于对称轴直线x＝1的对称点A′（2，﹣2），则直线l经过A′、B，设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线l的解析式为y＝﹣2x+2；（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，在﹣1＜x＜0这一段位于直线l的下方，∴抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+2＝4，所以，抛物线过点（﹣1，4），当x＝﹣1时，m+2m﹣2＝4，解得m＝2，∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣4x﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，第（3）小题较难，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点（﹣1，4）是解题的关键．27．（7分）如图，等边三角形ABC中，D为边BC上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE，在AD上取点F，使得∠EFD＝60°，射线EF与AC交于点G．（1）设∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）探究CG与DE之间的等量关系，并证明．【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明四边形EBPG是平行四边形，得BE＝PG，再证明△ABD≌△BCP（AAS），可得结论．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠BAD＝α，∴∠FAG＝60°﹣α，∵∠AFG＝∠EFD＝60°，∴∠AGE＝180°﹣60°﹣（60°﹣α）＝60°+α；（2）结论：CG＝DE，理由：如图，连接BE，过B作BP∥EG，交AC于P，则∠BPC＝∠EGP，∵点D关于直线AB的对称点为点E，∴∠ABE＝∠ABD＝60°，∵∠C＝60°，∴∠EBD+∠C＝180°，∴EB∥GP，∴四边形EBPG是平行四边形，∴BE＝PG，∵∠DFG+∠C＝120°+60°＝180°，∴∠FGC+∠FDC＝180°，∴∠ADB＝∠BGP＝∠BPC，∵AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，∴△ABD≌△BCP（AAS），∴BD＝PC＝BE＝PG，∴CG＝2BD，在△BDE中，易知∠EBD＝120°，BE＝BD，∴DE＝BD，∴CG＝DE，【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P到封闭图形W的“极化距离”D（P，W）定义如下：任取图形W上一点Q，记PQ长度的最大值为M，最小值为m（若P与Q重合，则PQ＝0），则“极化距离”D（P，W）＝M﹣m．（1）如图1，正方形ABCD以原点O为中心，点A的坐标为（3，3），①点O到线段AB的“极化距离”D（O，AB）＝3﹣3；点E（﹣5，3）到线段AB的“极化距离”D（E，AB）＝6；②记正方形ABCD为图形W，点P在y轴上，且D（P，W）＝3，求点P的坐标；（2）图形W为圆心T在x轴上，半径为4的圆，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于F，G两点，若线段FG上的任一点P都满足2＜D（P，W）＜6，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．【分析】（1）①由题意得出M＝OB＝3，m＝3，即可得出点O到线段AB的“极化距离”；由题意可得点E，点A，点B三点共线，可得M＝AE＝8，m＝BE＝2，即可得点E （﹣5，3）到线段AB的“极化距离”；②分两种情况讨论，设点P（0，a），利用勾股定理可求M，由题意列出方程可求解；（2）分两种情况讨论，取特殊位置当t＝2时，当t＝0时，当t＝﹣2时，分别求解即。
人教版九年级数学下册-4月月考测试题.docx
初中数学试卷桑水出品2016--2017九年级数学（下）4月月考测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则这四个数中，相反数是正数的为A ．aB ．bC ．cD ．d2．据市统计局调查数据显示，截至2016年年底，全市汽车拥有量首次进入全国“200万俱乐部”，达到了2 217 000辆．将2 217 000用科学记数法表示是 A ．0.2217×106B ．0.2217×107C ．2.217×106D ．2.217×1073．右图是某个几何体的三视图，该几何体是 A ．圆锥 B ．四棱锥 C ．圆柱D ．四棱柱4．某公司的拓展部有五个员工，他们每月的工资分别是3 000元，5 000元，7 000元，4 000元和10 000元，那么他们工资的中位数为 A ．4 000元B ．5 000元C ．7 000元D ．10 000元5．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是 A ．2，3，3B ．2，3，4C ．2，3，5D ．3，4，56．如果21=+b a ，那么a b b b a a -+-22的值是 A ．21B ．41C ．2D ．47．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 满足二次函数bx ax y +=2的表达式，则对该二次函数的系数a 和b 判断正确的是A ．00a b >>，B ．00a b <<，C ．00a b ><，D ．00a b <>，y xA O 2O 18．如图，将一张矩形的纸对折，旋转90°后再对折，然后沿着右图中的虚线剪下，则剪下的纸片打开后的形状一定为 A ．三角形 B ．菱形 C ．矩形D ．正方形9．如图，在平面直角坐标系y xO 1中，点A 的坐标为(1，1).如果将x 轴向上平移3 个单位长度，将y 轴向左平移2个单位长度，交于点O 2，点A 的位置 不变，那么在平面直角坐标系y xO 2中，点A 的坐标是 A ．(3，-2) B ．(-3，2) C ．(-2，-3)D ．(3，4)10．小明和小亮组成团队参加某科学比赛.该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛得分满60则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利.为了在比赛中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了九次测试，下图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合理的是 ①小亮测试成绩的平均数比小明的高 ②小亮测试成绩比小明的稳定 ③小亮测试成绩的中位数比小明的高 ④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮 比赛，比较合理 A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分. 不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相．．．．应位置．．．上） 11．正方形ABCD 内接于⊙O ，E 是AD ︵的中点，连接BE 、CE ，则∠ABE ＝ ▲ °．12．如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转到△DBE 的位置．连接AD ，若∠ADB ＝60°，则∠1＝ ▲ °．13．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图像如图所示，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根的和为▲ ．14．某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，则商品的定价是 ▲ 元．15．我们已经学习过反比例函数y ＝1x 的图像和性质，请回顾研究它的过程，对函数y ＝1x 2进行探索．下列结论：①图像在第一、二象限，②图像在第一、三象限， ③图像关于y 轴对称，④图像关于原点对称，⑤当x ＞0时，y 随x 增大而增大；当x ＜0时，y 随x 增大而增大， ⑥当x ＞0时，y 随x 增大而减小；当x ＜0时，y 随x 增大而增大，是函数y ＝1x 2的性质及它的图像特征的是： ▲ ．（填写所有正确答案的序号）16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝4，CB ＝3．GH ︵与CA 延长线、AB 、CB 延长线相切，切点分别为E 、D 、F ， 则该弧所在圆的半径为 ▲ ．17．如图所示，某地三条互相平行的街道a ，b ，c 与两条公路相交，有六个路口分别为A ，B ，C ，D ，E ，F .路段EF 正在 封闭施工.若已知路段AB 约为270.1米，路段BC 约为539.8 米，路段DE 约为282.0米，则封闭施工的路段EF 的长约 为_______米．18．工人师傅常用角尺（两个互相垂直的直尺构成）平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取 OM =ON ，移动角尺，使角尺两边相同．．的刻度分别与 点M ，N 重合.过角尺顶点C 的射线OC 便是∠AOB 的平分线.这样做的依据是：______________________．三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3(x －3)≥5， 1＋2x 3＞x －2.20．（6分）化简 2x 2－4 －12x －4．21．（10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别是AB 、AC的中点，连接DE 并延长至点F ，使EF ＝DE ，连接AF 、DC ． 求证：四边形ADCF 是菱形．ACDE（第19题）ABCD （第16题） EF GHEA BCFD abc22．（10分）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1）求该函数的表达式；（2）当y ＜5时，x 的取值范围是 ．23．（12分）某商场以80元/个的价格购进1 000个保温杯．经市场调研，保温杯定价为100元/个时可全部售完，定价每提高1元，销售量将减少5个．未卖完的保温杯可以直接退还厂家．要使商场利润达到60 500元，保温杯的定价应为多少元？24．（12分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆O 交BC 于点D ，过点D作DE ⊥AC ，垂足为E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若CE ＝1，BC ＝6，求半圆O 的半径的长．25．（15分）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别以速度v 1、v 2（单位：km/h ，且v 1＞2v 2）匀速驶向乙地．快车到达乙地后停留了2 h ，沿原路仍以速度v 1匀速返回甲地．设慢车行驶的时间为x （h ），两车之间的距离．．．．．．．为y （km ），图中的折线表示从慢车出发至慢车到达乙地的过程中，y 与x 之间的函数关系．根据图像进行以下探究：（1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）求线段AB 、CD 所表示的y 与x 之间的函数表达式；（3）慢车出发多长时间后，两车相距480 km ？（第24题）CO 900y /km EABD参考答案一、选择题二、填空题11．22.5 12．60 13．2 14．300 15．①③⑥ 16．6 17.564左右； 18SSS. 三、解答题 19．解：解不等式①，得x ≥4． ……………………………………………………………2分解不等式②，得x ＜7． ……………………………………………………………4分 所以，不等式组的解集是4≤x ＜7． ……………………………………………6分20．解：2x 2－4 －12x －4＝2(x ＋2)(x －2)－12(x －2)……………………………………………………………2分 ＝42(x ＋2)(x －2)－ x ＋22(x ＋2) (x －2)…………………………………………………4分＝－(x －2)2(x ＋2) (x －2)…………………………………………………………………5分＝－12(x ＋2)．………………………………………………………………………6分21．证明：∵E 是AC 的中点，∴AE ＝CE ． ………………………………………………1分∵EF ＝DE ，………………………………………………………………………2分 ∴四边形ADCF 是平行四边形． …………………3分x /h10O 15 C （第27题）∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ．…………………………………………4分 ∴∠AED ＝∠ACB ．∵∠ACB ＝90°，∴∠AED ＝90°，即AC ⊥DF ． ……………………………………………………… 5分∴□ADCF 是菱形． ………………………………………………………… 6分22．解：（1）方法一：由题意得图像的顶点坐标为（2，1）， 设函数的表达式为y ＝a (x －2)2＋1． ………………………………2分由题意得函数的图像经过点（0，5），所以5＝a ·(－2)2＋1． ……………………………………………3分所以a ＝1． …………………………………………………………4分 所以函数的表达式为y ＝(x －2)2＋1（或y ＝x 2－4x ＋5）．………5分 方法二：因为函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点（1，2）、（2，1）、（0，5），所以，⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，a ＋b ＋c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝1.………………………………………………3分解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝5.………………………………………………………4分所以函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋5．………………………………5分（2）0＜x ＜4．…………………………………………………………………8分23．解：设保温杯的价应为x 元．…………………………………………………………1分根据题意，得(x －80)[1000－5(x －100)]＝60500． ………………………………5分 化简，得x 2－380x ＋36100＝0．解得x 1＝x 2＝190．……………………………………………………………………7分 答：保温杯的定价应为190元．……………………………………………………8分24（1）证明：连接OD ． ∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ． ∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠OBD ． ∴∠ACB ＝∠ODB ．∴OD ∥AC ．…………………………………………………………………………2分 ∴∠DEC ＝∠ODE ．∵DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝90°．∴∠ODE ＝90°，即OD ⊥DE ．……………………………………………………3分∵DE 过半径OD 的外端点D ，……………………………………………………4分∴DE 是⊙O 的切线．………………………………………………………………5分（2）解：连接AD ．∵AB 为半圆O 的直径， ∴∠ADB ＝90°．∵DE ⊥AC ， ∴∠DEC ＝∠ADB ＝90°． ∵AB ＝AC ，BC ＝6，∴CD ＝BD ＝12BC ＝3． ………………………………………………………6分又∵∠ECD ＝∠DBA ，∴△CED ∽△BDA ．……………………………………………………………7分 ∴CE BD ＝CDBA． ∵CE ＝1，∴13＝3BA．∴AB ＝9．.................................................................................8分 ∴半圆O 的半径的长为4.5． (9)分25．解：（1）900． ……………………………………………………………………………1分 （2）根据图像，得慢车的速度为90015＝60（km/h ），快车的速度为900×2－10×608＝150（km/h ）． ………………………………3分方法一：所以线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y 1＝900－60x ． ……5分 所以线段CD 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y 2＝(60＋150) (x －10)＝210x －2100． ………………………………………7分 方法二：A 点表示快车到达乙地，所以此时快车行驶的时间为900150＝6（h ）， 两车距离为900－60×6＝540（km ），所以A （6，540）．所以设线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y 1＝－60x ＋b ． …4分 当x ＝6时，y 1＝540，即－60×6＋b ＝540． 解得b ＝900．所以线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y 1＝－60x ＋900．……5分 因为慢车的速度为60 km/h ，快车的速度为150 km/h ， 所以两车的速度之和为60＋150＝210（km/h ）．所以设线段CD 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y 2＝210x ＋n ．……6分 因为函数图像经过点C （10，0）．O得210×10＋n ＝0. 解得n ＝－2100．所以线段CD 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y 2＝210x －2100． ……………………………………………………………………………………7分 （3）①线段OA 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y 3＝90x (0≤x ＜6)，令y 3＝480，得x ＝163． ……………………………………………………8分②线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y 1＝－60x ＋900(6≤x ＜8)， 令y 1＝480，得x ＝7．………………………………………………………9分 ③线段CD 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y 2＝210x －2100(10≤x ＜14)， 令y 2＝480，得x ＝867．答：慢车出发163h 、7h 、867h 后，两车相距480 km ．………………………10分。
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北京市人大附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）7的相反数是（）
A．B．7C．D．﹣7
2．（3分）国家体育场位于北京奥林匹克公园中心区南部，为2008年北京奥运会的主体育场．国家体育场“鸟巢”建筑面积达258000平方米，场内观众坐席约为91000个，举行了奥运会、残奥会开闭幕式、田径比赛及足球比赛决赛．用科学记数法表示258000应为（）
A．2.58×103B．25.8×104C．2.58×105D．258×103 3．（3分）函数y=的自变量x的取值范围是（）
A．x≥B．x≠1
C．x≥且x≠﹣1D．x≥且x≠1
4．（3分）抛物线y=（x﹣3）2﹣1的顶点坐标是（）
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）5．（3分）平面直角坐标系中，与点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，﹣1）D．（2，1）6．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在CB上，DE⊥AB，若DE=2，CA=4，则=（）
A．B．C．D．
7．（3分）在一个不透明的盒子中装有3个红球、2个黄球和1个绿球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为（）
A ．
B ．
C ．D．1
8．（3分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则的长是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．（3分）北京市环保检测中心网站公布的2012年3月31日的PM2.5研究性检
测部分数据如下表：
时间0：004：008：0012：0016：0020：00
PM2.5
（mg/m3）
0.0270.0350.0320.0140.0160.032
则该日这6个时刻的PM2.5的众数和中位数分别是（）
A．0.032，0.0295B．0.026，0.0295
C．0.026，0.032D．0.032，0.027
10．（3分）如图在直角坐标系中，已知A（﹣2，0），B（2，0）．直线y=x+b（﹣2≤b≤2）交x轴于点C，交以AB为直径的⊙O于M，N两点（M在N的上方），点P是MC的中点（当M，C点重合时，点P即是点M）．设线段OP的长度为l，则下列图象中大致能表示l与b之间的函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）因式分解：a3﹣4a=．
12．（3分）若+（n+1）2=0，则m+n的值为．
13．（3分）抛物线y=x2﹣5x+4与y轴交点的坐标是．
14．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC=2，BC=1，那么sin ∠ABD的值是．
15．（3分）已知小聪的身高为1.8米，在太阳光下的地面影长为2.4米，若此时测得一旗杆在同一地面的影长为20米，则旗杆高应为．
16．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=x，作A1（1，0）关于y=x 的对称点B1，将点B1向右水平平移2个单位得到点A2；再作A2关于y=x的对称点B2，将点B2向右水平平移2个单位得到点A3；…．请继续操作并探究：点A3的坐标是，点B2015的坐标是．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．（5分）计算：2sin60°+（﹣）﹣1+|3﹣|+（3﹣π）0．
18．（5分）解不等式组把它的解集在数轴上表示出来，并写出它
的自然数解．
19．（5分）已知x﹣2y=0（x≠0），求的值．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AC⊥CE，且BC=CE，过E作BC的垂线，交BC延长线于点D．求证：AB=CD．
21．（5分）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500．
（1）当销售单价定为元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，同时又能让消费者获得更多的实惠，那么销售单价应定为多少元？
22．（5分）已知：如图，反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=ax+b（a≠0）的图象交于A（3，1）、B（m，﹣3）两点．
（1）求反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=ax+b（a≠0）的解析式．
（2）若点P是直线y=ax+b（a≠0）上一点，且△OPA的面积为1，请直接写出点P的坐标．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．（5分）已知如图，在梯形ABCD中AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，△ABC为边长为6的等边三角形，DC=2．
（1）AD的长为；
（2）求OB的长．
24．（5分）某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款人数的比为1：5．
捐款人数分组统计表：
组别捐款额x/元人数
A1≤x＜10a
B10≤x＜20100
C20≤x＜30
D30≤x＜40
E x≥40
请结合以上信息解答下列问题．
（1）a=，本次调查样本的容量是；
（2）先求出C组的人数，再补全“捐款人数分组统计图1”；
（3）若任意抽出1名学生进行调查，恰好是捐款数不少于30元的概率是多少？
25．（5分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD 于点D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若点E为的中点，AD=，AC=8，求AB和CE的长．
26．（5分）阅读理解：
如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E 恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．（7分）已知一元二次方程x2﹣2mx+m2+m﹣1=0，其中m为常数．
（1）若该一元二次方程有实数根，则m的取值范围；
（2）当m变化时，设抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1顶点为M，点N的坐标为N （3，0），请求出线段MN长度的最小值；
（3）设y=x2﹣2mx+m2+m﹣1与直线y=x交于不同的两点A、B，则m变化时，线段AB的长度是否发生变化？若不变，请求出AB的长；若变化，请说明理由．
28．（7分）如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图②）．
（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
（2）当DB′∥AE时，求此时旋转角α的度数；
（3）如图③，在旋转过程中，设A C′与DE所在直线交于点P，当△ADP成为等腰三角形时，求此时的旋转角α的度数．（直接写出结果）
29．（8分）对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为图形G1、G2的“密距”；
当线段PQ的长度最大值时，我们称这个最大的长度为图形G1、G2的“疏
距”．
请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题；
在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（3，4），矩形ABCD的对称中心为点O．
（1）线段AD和BC的“密距”是，“疏距”是；
（2）设直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；
（3）平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7，
①旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是；
②求四边形KLMN的面积的最大值．
北京市人大附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）
参考答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．D；2．C；3．D；4．B；5．C；6．C；7．B；8．B；9．A；10．C；
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．a（a+2）（a﹣2）；12．2；13．（0，4）；14．；15．15米；16．（3，2）；
（2014，2015）；
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．；18．；19．；20．；21．35；22．；
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．2；24．20；500；25．；26．；
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．m≤1；28．；29．6；10；1≤密距≤3；。