水文随机分析第四章090918

(2)(2) 式 l =1 中 )
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事实上以上公式含义： 事实上以上公式含义： 要做k+1时刻 步预报=在k时刻作 步预报值 + （k+1时 时刻l步预报 时刻作l+1步 要做 时刻 步预报= 时刻作 时 刻实测值与在k时刻对 时刻对k+1时刻预测值之差）*权重系数 时刻预测值之差） 刻实测值与在 时刻对 时刻预测值之差 。
r2 = 0.11
求预测1983-1985平均流量。 平均流量。 求预测 平均流量
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年为k时刻进行预报 ①以1982年为 时刻进行预报 年为
1983年由ˆk (1) = ϕ1 yk +ϕ2 yk−1 = 0.49*(−38) − 0.10(−58) = −12.8 , y ˆ xk (1) = 467 + (−12.8) = 454
2 Var [ek (l)] = (1+ G2 + G2 +⋯+ Gl2 1)σε 2 − 1
区间预报
∴G0 =1
G = ϕ1 = 0.49 1
G2 = ϕ1G +ϕ2 = 0.14⋯
2 σε2 = σx (1−ϕ1r −ϕ2r2 ) = 41.12 1
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1983 1984 1985
值 xt = 400 ⇒预 1985年 t +1 x t →1984
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式取数学期望得： 对（1）式取数学期望得： 式取数学期望得
ˆ ˆ yt +1 = 0.514yt = 0.514*(400 − 417) = −8.7 ˆ ˆ ∴xt +1 = yt +1 + 417 = 408m / s
最简单一个例子： 最简单一个例子： 对中心化（离均差后） 系列建立了一阶自回归模型： 对中心化（离均差后） yt 系列建立了一阶自回归模型：
yt+1 = 0.514yt + ε t+1
xt = yt + 417
ε t+1 ~ N(0,232 )
（1）
xt
—水文序列 水文序列
t +1→1985
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已知1984年 年 已知
α = 0.05
ˆ xt (1) ±1.96σε 作 区 预 , 评 误 为 间 报 价 差
建立水文随机模型（假如无趋势及周期） ①建立水文随机模型（假如无趋势及周期） ② 已知水文序列作预报。 给出预报公式和预报方法。 已知水文序列作预报。 给出预报公式和预报方法。 利用现在及过去观测值作预测， ③利用现在及过去观测值作预测，必要时作实时 修正。 修正。 区间预报，误差分析，对模型作评定及检验。 ④区间预报，误差分析，对模型作评定及检验。
实 值 大
ˆ ˆ ) yk (2) = ϕ1 yk (1 +ϕ2 yk = 0.49*(−12.8) + (−0.10) + (−38) = −2.5 ˆ xk (2) = 464 =− 0.1 ˆ xk (3) = 466.9 = 467 (实 值 测 410) (实 值 1984 = 416) 测 x (l > p) ˆ ˆ ˆ ) yk (3) = ϕ1 yk (2) +ϕ2 yk (1
ˆ 所谓平稳线性最小方差预报定义为： E in 所谓平稳线性最小方差预报定义为： [ yk+l − yk (l)]2 ⇒ m
ˆ 已知且为条件 ∴ yk (l)必须是yk+l 期望值,由于yk , yk−1,⋯ ˆ ) ∴ yk (l) = E( yk+l / yk , yk−1,⋯
水文变量
ˆ ˆ xk (l) = yk (l) +µ x(常 ) 数
序列传递形式预报公式： 二、ARMA（p、q）序列传递形式预报公式：
yt = Z Gjεt− j
j =0 co
残 为 噪 ϕ1⋯ p 差 白 声 ϕ
θ1⋯ q θ
(2)
G =1 O G = ϕ −θ 1 1 1 G = ϕ1G +ϕ2 −θ2 2 1 3 2 1 G = ϕ1G +ϕ2G +ϕ3 −θ3 ⋮ Gj = ϕ1Gj−1 +ϕ2Gj−2 +⋯+ϕj −1G +ϕj −θ j 1
实例： 模型已建立（正态分布假定） 实例：某站中心化 AR(2)模型已建立（正态分布假定）
yt = 0.49yt−1 − 0.10yt−2 +εt Xt = yt + 467
1981 1982
εt − N(0,41.12 )
t
σx = 46.7
xt = 408 xt = 429
r = 0.44 1
yt = −59 yt = −38
(l项 )
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递推预报公式（可用于实时修正） 三、ARMR（p、q）递推预报公式（可用于实时修正）
式作一些变换， 改为 改为k+1 对（2）式作一些变换，把k改为 式作一些变换
ˆ yk +1(l) = Z Gj +lεk +1− j
j =0 ∞
(把 = 0这 项 取 来 j 一 提 出 )
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第二节 平稳线性最小方差预报
对正态平稳系列作l步预报 对正态平稳系列作 步预报 问题：当前时刻 和过去时刻 问题：当前时刻k和过去时刻 k −1, k − 2,⋯序列值为yk , yk−1, yk−2,⋯ 为已知， 为已知，需对未来时刻随机变量 yk+l 作出预报, l = 1,2,⋯c(正整数)， ˆ 可记为 yk (l) 。
ˆ 效果要好， 显然在 k +1时刻预测 yk+2 比用yk 预测 yk+2 效果要好，用了 误差校正。 误差校正。
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预报误差（评定与检验） 预报误差（评定与检验）
1 N ˆ 均 移 求 好 B = N ∑ (xi − xi )平 偏 ,要 B →0为 i=1 1 N ˆ MSE = ∑ (xi − x2 )2 N i=1 MSE 2 R =1− 2 S2是 i方 x 差 S 2 甲 方 R ≥ 0.90为 等 案 乙 0.7 − 0.9 等 < 0.69, > 0.5 丙 方 等 案
一步预报公式
(l = 2)
(l = p)
(l > p)
⌢ ⌢ yk (2) = ϕ1 yk (1) +ϕ2 yk +ϕ3 yk −1 +⋯+ϕp yk− p+2
(l < p)
⌢ ⌢ ⌢ yk ( p) = ϕ1 yk ( p −1) +ϕ2 yk ( p − 2) +⋯+ϕp−1 yk (1) +ϕp yk
⌢ ⌢ ⌢ ⌢ yk (l) = ϕ1 yk (l −1) +ϕ2 yk (l − 2) +⋯+ϕp yk (l − p)
⋮
先估计模型参数
ϕ ,ϕ2 ,⋯ ϕp , 1
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ˆ ˆ ˆ 再作一步预报 yk (1) ，又由yk (1), yk+1 ⋯ 预报 xk (2)⋯如此递 推可以作l步预测 当然还可以作实时校正预报。 步预测， 推可以作 步预测，当然还可以作实时校正预报。
3
（预报公式） 预报公式）
其实，这是一个期望预报，把随机变量取为 值 平均值） 其实，这是一个期望预报，把随机变量取为0值（平均值）
ˆ et 因此一步预报误差： 因此一步预报误差：(1) = xt+1 − xt (1) = Zt+1 ~ N(0,23 )
2
ˆ xt (1) = E( yt +1 / yt , yt −1 ⋯ + ux = 0.514yt + ux )
R2 →1 好 为
[合格率（允许相对误差范围内如20%）合格率 合格率（允许相对误差范围内如 合格率 ）合格率>85%，甲等； ，甲等； 70%-84%，乙等；60%-69%，丙等 ，乙等； ，丙等] 枯季径流允许误差30%，每日径流 （枯季径流允许误差 ，每日径流20%） ）
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⌢ ⌢ ⌢ ⌢ yk (l) = ϕ1 yk (l −1 +ϕ2 yk (l − 2) +⋯+ϕp yk (l − p) )
模型有此结果） （一般ARMA(p,q)模型有此结果） 一般 模型有此结果
⌢ yk (−l) = yk−l (l ≥ 0)
⌢ ∴yk (1) = ϕ1 yk +ϕ2 yk −1 +⋯+ϕp yk − p+1
ˆ ˆ ˆ = ϕ1 yk (l −1) + ϕ2 yk (l − 2) +⋯+ ϕ p yk (l − p) + 0
模型时， 当MA(0,q)模型时，如 模型时
l >q
ˆ yk (l) = 0
当为AR 模型时，将在后面作介绍。 当为 （p）模型时，将在后面作介绍。
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序列差分形式公式： 一、ARMA（p、q）序列差分形式公式： 序列差分形式公式 离均化 ARMA（p、q）模型
⋯ yt = ϕ1 yt −1 +ϕ2 yt −2 +⋯ ϕp yt − p +εt −θ1εt−1 −θ2εt −2 −θqεt −q t 把 →k + l yk+l = ϕ1 yk+l −1 +ϕ2 yk+l −2 +⋯+ϕp yk+l − p +εk+l −θ1εR+l−1 −⋯−θqεk+l−q