高中数学直线、平面垂直的判定与性质(公开课)(共12张PPT)
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
直线与平面垂直的判定PPT课件
例题二：求点到直线的距离
方法一
利用点到直线的距离公式，通过计算 点到直线上任意一点的向量在直线方 向向量上的投影长度，从而得出点到 直线的距离。
方法二
利用向量的叉积，通过计算点到直线上 两个点的向量与直线方向向量的叉积的 模，再除以直线方向向量的模，从而得 出点到直线的距离。
例题三：解决实际问题中的应用
方法三：结合图形进行判断
• 步骤 • 观察图形中已知直线与平面的位置关系； • 如果看起来垂直，则可以直接判断已知直线与平面垂直。 • 注意：以上三种方法都可以用来判断一条直线是否与一个平
面垂直，但具体使用哪种方法需要根据题目的具体情况来决 定。同时，在实际应用中，还需要注意一些特殊情况的处理， 例如当已知直线在平面内或与平面平行时，需要采用其他方 法进行判断。
点到直线距离公式可以用来辅助判断直线与平面是否垂直。
03
直线与平面垂直的判定方 法
方法一：利用定义直接判断
定义：如果一条直线与一个平面内的任意 一条直线都垂直，那么这条直线与这个平 面垂直。
如果都垂直，则已知直线与平面垂直。
步骤
验证已知直线与这两条相交直线是否垂直；
在平面内任意取两条相交直线；
方法二：利用判定定理进行判断
直线与平面垂直 的判定PPT课件
目录
• 直线与平面垂直的基本概念 • 直线与平面垂直的判定定理 • 直线与平面垂直的判定方法 • 直线与平面垂直的应用举例 • 直线与平面垂直的拓展延伸
01
直线与平面垂直的基本概 念
直线与平面的位置关系
01
02
03
直线在平面内
直线上的所有点都在平面 内。
直线与平面相交
步骤
验证这两条直线是否垂直；
直线与平面垂直的判定(公开课) ppt课件
3、如图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC， 写出图中所有的 直角三角形。
A
D
B
C
第1题图
第2题图
PPT课件
第3题图
20
PPT课件
21
PPT课件
10
直线和平面垂直的判定定理：
文字语言：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：
垂直 l a
图形语言：
内
l b a
l
b
相交 a b A
判定定理
线线垂直
线面垂直
性质
PPT课件
l
b
Aa
11
四：典型例题
例1 如图，已知 a // b, a ，求证 b .
形所在的平面。(×)
(3)、若一条直线与一个梯形的两腰垂直， 则这条直线垂直于梯形所在的平面。
(√ )
PPT课件
14
三、判定定理的应用
例2 如图,已知P是菱形ABCD所在平面外一
点,且PA=PC.求证:AC 平面PBD.
证明:设AC BD O ，连O为AC的中点
10
10
8
PPT课件
6O 6 B A
18
课后思考（P79 B组2）
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证： B1D A1C1B
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
PPT课件
19
六:布置作业
1、如图，在三棱锥A-BCD中，AD ⊥ BD，AD ⊥ DC， 求证：AD ⊥ BC。
2、已知PA⊥平面ABC，AB是⊙ 的直径，C是圆上的任一点， 求证：PC⊥BC ．
A
D
B
C
第1题图
第2题图
PPT课件
第3题图
20
PPT课件
21
PPT课件
10
直线和平面垂直的判定定理：
文字语言：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：
垂直 l a
图形语言：
内
l b a
l
b
相交 a b A
判定定理
线线垂直
线面垂直
性质
PPT课件
l
b
Aa
11
四：典型例题
例1 如图，已知 a // b, a ，求证 b .
形所在的平面。(×)
(3)、若一条直线与一个梯形的两腰垂直， 则这条直线垂直于梯形所在的平面。
(√ )
PPT课件
14
三、判定定理的应用
例2 如图,已知P是菱形ABCD所在平面外一
点,且PA=PC.求证:AC 平面PBD.
证明:设AC BD O ，连O为AC的中点
10
10
8
PPT课件
6O 6 B A
18
课后思考（P79 B组2）
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证： B1D A1C1B
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
PPT课件
19
六:布置作业
1、如图，在三棱锥A-BCD中，AD ⊥ BD，AD ⊥ DC， 求证：AD ⊥ BC。
2、已知PA⊥平面ABC，AB是⊙ 的直径，C是圆上的任一点， 求证：PC⊥BC ．
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
直线与平面垂直判定完整版课件
绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。
直线与平面垂直的判定(优秀公开课)精品PPT课件
探究活动：请同学们拿出一块
三角形的纸片，做如图所示的
试验：
过△ABC的顶点A翻折纸片，
D
得到折痕AD，将翻折后的纸片
A
竖起放置在桌面上（BA D、DC
与桌面接触）.
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
B
(2)如何翻折才能保证折痕AD
D
与桌面所在平面肯定垂直？
B
D
C
C
A
B
D
C
C
l
m
α
O
n
直线与平面垂直的判定定理：
例2.如图，已知a∥b、a⊥α.
ab
求证：b⊥α.
分析：垂直的定义可知，
直线a与这两条相交直线是垂直的，
又由b平行a，可证b与这两条相交
直线也垂直，从而可证直线与平面
垂直。
a
例2.如图，已知a∥b、a⊥α. 求证：b⊥α.
b n
m
证明: 在平面内作两条相交直线m,n.
⇔ l⊥PQ ⇔l⊥平面PAQ
练习：
1.如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA＝VC,
AB＝BC,K是AC的中点. 求证：AC⊥平面VKB．
A
变式：
V
K
C B V
在练习1.中若E、F分别为AB、 BC 的中点，试判断EF与平面
A
VKB的位置关系．
K
E
C F
B
知识小结
1. 2. 3
作业
书本P67练习1， 书本P74 B组 第2题.
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、教学目的
通过联系生活，使学生理解直线与平面垂直的定义， 通过折纸试验，使学生归纳和确认直线与平面垂直 的判定定理，并能简单应用定义和判定定理；
直线、平面垂直的判定及其性质市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
以立体几何旳定义、公理和定理为出发点， 认识和了解空间中线面垂直旳有关性质与鉴定定 理.
1. 直线与平面垂直
2.直线和平面所成旳角 3.二面角旳有关概念
4.平面与平面垂直
[思索探究] 垂直于同一平面旳两平面是否平行？
提醒：垂直于同一平面旳两平面可能平行，也可能相交.
1.直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β旳位置关系是 ( )
[思绪点拨]
[课堂笔记] (1)证明：因为E、F、G分别是AB、AC、 AP旳中点， 所以EF∥BC，GF∥CP. 因为EF，GF⊄平面PCB. 所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB. 又EF∩GF＝F， 所以平面GFE∥平面PCB.
(2)∵BC⊥PC，BC⊥CA，且PC∩AC＝C， ∴BC⊥平面PAC. 过点C作CH⊥PA于H点， 连结HB，则易证HB⊥PA， ∴∠BHC即为二面角B－AP－C旳平面角.
＝
要使PM最小，只需CM最小，此时CM⊥AB，
∴CM＝
＝2 ，∴PM旳最小值为2 .
答案：2
5.如图，平面ABC⊥平面BDC，
∠BAC＝∠BDC＝90°，且
AB＝AC＝a，则AD＝
.
解析：取BC中点E，连结ED、AE，
∵AB＝AC，∴AE⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BDC，
∴AE⊥平面BCD.
∴AE⊥ED.
1.证明平面与平面垂直旳措施主要有： (1)利用定义证明.只需鉴定两平面所成旳二面角为直二面角
即可. (2)利用鉴定定理.在审题时，要注意直观判断哪条直线可能
是垂线，充分利用等腰三角形底边旳中线垂直于底边， 勾股定理等结论.
2.有关三种垂直关系旳转化可结合下图记忆.
(2023·江苏高考)如图，在 三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别 是A1B、A1C旳中点，点D在B1C1上， A1D⊥B1C.求证： (1)EF∥平面ABC； (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
1. 直线与平面垂直
2.直线和平面所成旳角 3.二面角旳有关概念
4.平面与平面垂直
[思索探究] 垂直于同一平面旳两平面是否平行？
提醒：垂直于同一平面旳两平面可能平行，也可能相交.
1.直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β旳位置关系是 ( )
[思绪点拨]
[课堂笔记] (1)证明：因为E、F、G分别是AB、AC、 AP旳中点， 所以EF∥BC，GF∥CP. 因为EF，GF⊄平面PCB. 所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB. 又EF∩GF＝F， 所以平面GFE∥平面PCB.
(2)∵BC⊥PC，BC⊥CA，且PC∩AC＝C， ∴BC⊥平面PAC. 过点C作CH⊥PA于H点， 连结HB，则易证HB⊥PA， ∴∠BHC即为二面角B－AP－C旳平面角.
＝
要使PM最小，只需CM最小，此时CM⊥AB，
∴CM＝
＝2 ，∴PM旳最小值为2 .
答案：2
5.如图，平面ABC⊥平面BDC，
∠BAC＝∠BDC＝90°，且
AB＝AC＝a，则AD＝
.
解析：取BC中点E，连结ED、AE，
∵AB＝AC，∴AE⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BDC，
∴AE⊥平面BCD.
∴AE⊥ED.
1.证明平面与平面垂直旳措施主要有： (1)利用定义证明.只需鉴定两平面所成旳二面角为直二面角
即可. (2)利用鉴定定理.在审题时，要注意直观判断哪条直线可能
是垂线，充分利用等腰三角形底边旳中线垂直于底边， 勾股定理等结论.
2.有关三种垂直关系旳转化可结合下图记忆.
(2023·江苏高考)如图，在 三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别 是A1B、A1C旳中点，点D在B1C1上， A1D⊥B1C.求证： (1)EF∥平面ABC； (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
线面垂直的判定定理(公开课)课件
习题
01
02
03
04
B. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的两条相交直
线都垂直，则线面垂直。
C. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的无数条直线
都垂直，则线面垂直。
D. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的两条平行直
线都垂直，则线面垂直。
填空题：若直线a与平面β内 的两条直线分别平行和垂直，
情况二
如果一条直线与平面内的 两条平行直线都垂直，那 么这条直线与这个平面垂 直。
情况三
如果一条直线与平面内的 无数条直线都垂直，那么 这条直线与这个平面垂直 。
线面垂直在几何问题中的应用
应用一
在几何问题中，线面垂直可以用来证明某些几何图形的性质，例如三角形的高线、矩形的对角线等。
应用二
线面垂直可以用来解决一些几何问题，例如求点到平面的距离、求两平面之间的夹角等。
本节课的难点解析
如何理解线面垂直的概念及其几何意 义
运用判定定理解决复杂问题的策略和 方法
判定定理证明中的逻辑推理和数学表 达
下节课预告
线面平行的判定定理及其应用 平行线的性质和判定方法总结
几何问题中线面平行与垂直的综合应用
THANK YOU
判定定理的证明实例
实例一
假设有一个正方体，我们知道它的一个顶点A所在的直线a与顶点B、C所在的平 面β都垂直，那么我们可以应用线面垂直的判定定理证明直线a与平面β垂直。
实例二
假设有一个长方体，我们知道它的一个顶点A所在的直线a与顶点B、C、D所在的 平面β都垂直，那么我们同样可以应用线面垂直的判定定理证明直线a与平面β垂 直。
线面垂直的判定定理(公开课)课件
直线、平面垂直的判定及性质 PPT
l⊥__α______
证两 平
面垂 直
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高三数学（理新科课标版·理）
类别 语言表述
图形表示
如果两个平面
垂直，那么它
们所成 二__面__角__的_平__面__角
是直角
性质
两个平面垂直 ，则一个平面
内垂直于 _交__线___的直线
垂直于
__另__一_个__平__面___
符号表示 应用
α⊥β，∠AOB 是二面角α－l －β的平面角 ，∠则A_O_B_＝__9_0_°_
类 别
语言表述
如果一条直线和
一个平面垂直，
那么这条直线和
这个平面内的
性 __任_意__一__条__直__线___
质
都垂直
垂直于同一个 __平__面____的两条
直线平行
图形表示
符号语言
应用
a b
a a
a
b
a a
b
a
⇒a∥b
证两条 直线 垂直 证两条 直线 平行
返回目录
4 ．两个平面垂直的判定和性质
RtABC, ACB 为直角
A
B RtPBC, PCB 为直角
C
高三数学（理新科课标版·理）
变式：（1）增加条件AE⊥BP于E，AF⊥CP于F. 求证：PB⊥平面AEF.
P
E
F
A
B
C
高三数学（理新科课标版·理）
变式（2） ：PE=EB，在PC上是否存在点F， 使得平面AEF⊥平面PAC.
当F为PC的中点，平面AEF⊥平面PAC，证 明如下：
问题二：翻折后垂直问题的证明、探究 高三数学（理新科课标版·理）
3.如图(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC， AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起 到A1DE的位置，使 A1F CD ，如图(2). (1)求证：A1F BE . (2)线段 A1B 上是否存在点Q，使 A1C⊥平面DEQ？说明理由.
直线与平面垂直的判定公开课ppt课件
证明两平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。
证明点到平面的距离
利用直线与平面垂直的性质，可以方便地求解点到平面的距离。
在空间几何中的应用
三维坐标系中的垂直关系
在空间直角坐标系中，直线与坐标平面垂直时，其方向向量与平 面法向量平行。
空间图形的垂直关系
在空间几何中，可以利用直线与平面垂直的性质来描述和证明空间 图形之间的垂直关系。
空间向量的垂直关系
当两个空间向量的点积为零时，这两个向量垂直。利用这一性质， 可以判断直线与平面是否垂直。
在实际问题中的应用
建筑设计中的垂直关系
在建筑设计中，需要保证建筑物的某些部分与地面或其他部分保持垂直，这时可以利用直线 与平面垂直的性质进行计算和设计。
工程测量中的垂直关系
在工程测量中，经常需要测量某一点到某一平面的垂直距离，这时可以利用直线与平面垂直 的性质进行精确的测量。
03
直线与平面垂直的判定定理
Chapter
判定定理一：直线与平面内两条相交直线垂直
在平面内画出两条相交的直线， 再画出一条与这两条直线都垂直 的直线，表示这条直线与平面垂 直。
在几何题目中，经常需要利用这 个定理来证明直线与平面的垂直 关系。
定理内容 图形表示 证明方法 应用举例
如果一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直 线与这个平面垂直。
可以通过反证法或者利用向量的 性质进行证明。
判定定理二：直线与平面内无数条直线垂直
定理内容
如果一条直线与一个平面内的无 数条直线都垂直，那么这条直线 与这个平面垂直。
注意事项
这个定理中的“无数条”直线必 须是互相平行的，否则定理不成 立。
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。
证明点到平面的距离
利用直线与平面垂直的性质，可以方便地求解点到平面的距离。
在空间几何中的应用
三维坐标系中的垂直关系
在空间直角坐标系中，直线与坐标平面垂直时，其方向向量与平 面法向量平行。
空间图形的垂直关系
在空间几何中，可以利用直线与平面垂直的性质来描述和证明空间 图形之间的垂直关系。
空间向量的垂直关系
当两个空间向量的点积为零时，这两个向量垂直。利用这一性质， 可以判断直线与平面是否垂直。
在实际问题中的应用
建筑设计中的垂直关系
在建筑设计中，需要保证建筑物的某些部分与地面或其他部分保持垂直，这时可以利用直线 与平面垂直的性质进行计算和设计。
工程测量中的垂直关系
在工程测量中，经常需要测量某一点到某一平面的垂直距离，这时可以利用直线与平面垂直 的性质进行精确的测量。
03
直线与平面垂直的判定定理
Chapter
判定定理一：直线与平面内两条相交直线垂直
在平面内画出两条相交的直线， 再画出一条与这两条直线都垂直 的直线，表示这条直线与平面垂 直。
在几何题目中，经常需要利用这 个定理来证明直线与平面的垂直 关系。
定理内容 图形表示 证明方法 应用举例
如果一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直 线与这个平面垂直。
可以通过反证法或者利用向量的 性质进行证明。
判定定理二：直线与平面内无数条直线垂直
定理内容
如果一条直线与一个平面内的无 数条直线都垂直，那么这条直线 与这个平面垂直。
注意事项
这个定理中的“无数条”直线必 须是互相平行的，否则定理不成 立。
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A
D
C
E B
面面垂直的 判定与性质
课堂小结 布置作业
S 证明:(2) 若AB＝BC，则AC⊥BD ， 由(1)可知，SD⊥面ABC，而BD⊂面ABC， ∴SD⊥BD 又∵SD∩AC＝D， ∴BD⊥面SAC.
A
B (2)线面垂直的性质，常用来证 明线线垂直．
(1)证明线面垂直，常转化为求 E 证线线垂直
D
B
∵ BN⊂面BDMN， ∴面BDM⊥面ECA.
(2) ∵DM BN ∴ DM⊥面ECA，DM⊂面DEA， ∴平面DEA⊥平面ECA.
线面垂直的 判定与性质
课堂小结 布置作业
P ∴ AD2＋BD2＝AB2.故AD⊥BD. 又∵面PAD⊥面ABCD， 面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD， ∴ BD⊥面PAD. 又∵ BD⊂面MBD， ∴面MBD⊥面PAD. A M D 4 8 C
B
线面垂直的 判定与性质
面面垂直的 判定与性质
空间垂直关系之间的转化
作业布置
必做题
Hale Waihona Puke 选做题SA E B
D
C
D M C
A
N
B
D
C
面面垂直的 判定与性质
课堂小结 布置作业
变式训练1 如图，已知BD⊥平面ABC，AC＝BC，N是棱AB的中点． 求证：CN⊥AD. 证明:∵BD⊥平面ABC，CN⊂平面 ABC， ∴BD⊥CN. 又∵AC＝BC，N是AB的中点， ∴ AB ⊥CN. 又∵BD∩AB＝B，∴CN⊥平面ABD 垂直于平面，则垂 而AD ⊂平面ABD，∴CN⊥AD. 直于平面内的任意 条直线 A
D
M
C
N
B
线面垂直的 判定与性质
课堂小结 布置作业
例2.如图所示，已知△ABC是等边三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC， 且EC、DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE＝2BD.求证： (1)平面BDM⊥平面ECA； (2)平面DEA⊥平面ECA. E
面面垂直的关键是 M 线面垂直 C N ∴四边形MNBD是平行四边形 又∵正三角形ABC中，N是AC中点， ∴BN⊥AC. 又AC∩EC＝C，∴BN⊥面ECA A
直线、平面垂直的判定与性质
P M D 4 8 B C
A
面面垂直的 判定与性质
课堂小结 布置作业
S
（1）证明： 在等腰△SAC中，∵SA＝SC，D为AC中点， ∴AC⊥SD. 如图，取AB中点E，连接SE、DE， 在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点， 故DE∥BC，且DE⊥AB， ∵ △SAB为等腰三角形,∴SE⊥AB. 又∵SE∩DE＝E，∴AB⊥面SDE. 而SD⊂面SDE，∴AB⊥SD. 又∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB＝A， ∴SD⊥面ABC.