考点2 命题及其关系
理科数学学霸笔记02命题及其关系、充分条件与必要条件
考点02命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题及其关系1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若非p则非q；逆否命题：若非q则非p(2)四种命题间的关系(3)常见的否定词语正面词语：=、>(<)、是、都是、任意(所有)的、任两个、至多有1(n)个、至少有1个否定词：≠、≤（≥）、不是、不都是、某个、某两个、至少有2(n+1)个、1个也没有3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．提醒：当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．二、充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且q/⇒p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p/⇒q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p/⇒q且q/⇒p，则p是q的既不充分也不必要条件.2．必记结论(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p是q的充分不必要条件⇔非q是非p的充分不必要条件；②p是q的必要不充分条件⇔非q是非p的必要不充分条件；③p是q的充要条件⇔非q是非p的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件⇔非q是非p的既不充分也不必要条件.例2：设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由(a－b)a2<0可知a2≠0，则一定有a－b<0，即a<b；但a<b即a－b<0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2<0不一定成立，故“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件，故选 A.。
高考数学专题知识突破：考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
考点二命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p q，且q p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．典例剖析题型一四种命题及其相互关系例1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题，故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．变式训练命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数答案 C解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x ＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.解题要点 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2.一些常见词语的否定例2有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确．变式训练下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题．答案 ④解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．解题要点 1.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．2.根据“原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题也是等价的”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二 充分条件与必要条件例3 已知p ：“a ，b ，c 成等比数列”，q ：“b ＝ac ”，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a ，b ，c 成等比数列，则有b 2＝ac ，所以b ＝±ac ，所以充分性不成立．当a ＝b ＝c ＝0时，b ＝ac 成立，但此时a ，b ，c 不成等比数列，所以必要性不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件．变式训练 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案 A解析 由正弦定理，知a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A ≤sinB ． 例4 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案 必要不充分解析 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的必要不充分条件．变式训练 设x ∈R ，则“x >1”是“220x x +->”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由不等式220x x +->得(2)(1)0x x +->，即2x <-或1x >，所以由1x >可以得到不等式220x x +->成立，故充分性成立；但由220x x +->不一定得到1x >，所以必要性不成立，即“x >1”是“220x x +->”的充分而不必要条件．解题要点 1．充要条件问题应首先弄清问题中条件是什么，结论是什么，再进一步判断条件与结论的关系，解题过程分为三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．2．充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p q ，q p 进行判断； (2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．当堂练习1. 设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 条件．5.U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅” 条件．课后作业一、 选择题1．下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.A.0B.1C.2D.32．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”6．若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤07．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．48．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9．x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的____________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．11．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件． (2) 设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的________条件．12．下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a ＞1b，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题，其中是假命题的是________.13．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．当堂练习答案1. 答案 A解析 当1<x <2时，2<2x <4，∴p ⇒q ；但由2x >1，得x >0，∴q p ，故选A.2答案 A解析 由(a －b )a 2<0⇒a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ⇒a －b <0，当0＝a <b 时 (a －b )·a 2<0，必要性不成立；故选A.3．答案 D解析 对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确．4．答案 充分不必要条件解析 当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．5.答案 充要条件解析 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．课后作业答案二、 选择题1．答案 D2．答案 A解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件．3．答案 A4．答案 C解析 ∵x <3－1<x <3，但－1<x <3⇒x <3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.5．答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C. 6．答案 D解析 原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若q ，则p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．7．答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.8．答案 B解析 m ⊂α，m ∥βα∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． 二、填空题9．答案 必要不充分解析 设p ：x ＝3且y ＝5，q ：x ＋y ＝8，显然p 是q 的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，即x ≠3或y ≠5是x ＋y ≠8的必要不充分条件．10．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．答案 (1)充分不必要 (2)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0， 即x >y >0或y <x <0或x <0<y .所以x >y >0 ⇒1x <1y ，但反过来1x <1y， 所以是充分不必要条件．(2) 构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |. 所以是充要条件．12．答案 ①②解析 对于①其否命题为“若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，为假命题；②的逆命题为“若a ＜b ，则1a ＞1b”，为假命题；③中原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题. 13．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．。
高考数学真题分类汇编 考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件 理(含解析)
高考数学真题分类汇编 考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件 理（含解析）一、选择题1. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ5）已知命题:P xxR x 32,<∈∀；命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是（ ） A. p ∧qB.￢p ∧qC.p ∧￢qD.￢p ∧￢q【解题指南】对命题:P 采用特值法判断为假命题，命题q 利用存在零点的条件0)1()0(<f f 判断为真命题，然后根据四种命题的关系求解.【解析】选B.对于命题:P 取1-=x ，可知为假命题，命题q ：令1)(23-+=x x x f ，且0)1)(0(<f ，故)(x f 有零点，即方程3210x x +-=有解，231,:x x R x q -=∈∃为真命题，2. （2013·湖南高考文科·Ｔ2） “1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解题指南】若A B ≠⊂,则A 是B 的充分不必要条件，反之，A 是B 的必要不充分条件， 若A=B ，则A 是B 的充要条件。
【解析】选A ，因为集合(1,2)是(-∞,2)的真子集,所以“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件,故选A.3.（2013·安徽高考文科·Ｔ4）“(21)0x x”是“0x ”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】解出一元二次方程的解,根据充分必要条件的概念判定. 【解析】选B. 由12（2x-1）x=0x=0或x=，所以应选B.4.(2013·北京高考理科·T3)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】先将φ=π代入,得出曲线是否过原点,再求出过原点时φ的值,进而判断充分必要条件.【解析】选A.φ=π时,y=sin(2x+π)=-sin2x,过原点,但是函数过原点的时候φ=k π(k ∈Z). 5.(2013·福建高考文科·T2)设点(),P x y ,则“x=2且y=-1”是“点P 在直线l :x+y-1=0上”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解题指南】先判断是否充分,再判断是否必要.【解析】选A.由P ()2,1-在l 上,但l 上的点不止P,故选A.6.（2013·湖北高考文科·Ｔ3）与（2013·湖北高考理科·Ｔ3）相同在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A.（﹁p ）∨（﹁q ） B. p ∨（﹁q ） C. （﹁p ）∧（﹁q ） D.p ∨q 【解题指南】本题考查了逻辑联结词的应用.【解析】选A. 因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则﹁p 是“没有降落在指定范围”， ﹁q 是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝ .7.（2013·陕西高考理科·Ｔ3）设b a ,为向量, 则“=⋅”是“b a //”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【解题指南】根据充要关系的概念从两个方面进行推理.【解析】选C..a ,,θ的夹角为与设为向量b b a 由=⋅=⋅θcos 从而得1cos ,1cos ±==θθ,所以πθ或0=，能够推得b //a ，反之也能够成立，为充分必要条件.8.(2013·天津高考文科·T4)设a,b ∈R,则“(a-b)a 2<0”是“a<b ”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解题指南】依据充分必要条件的定义进行判断.【解析】选A.由(a-b)a 2<0知,a 2>0,a-b<0,即a<b 成立,反之,当a<b 时,由于a 2可能为0,故(a-b)a 2≤0,因此“(a-b)a 2<0”是“a<b ”的充分而不必要条件. 9.(2013·天津高考理科·T4)已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12,则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等; ③直线x+y+1=0与圆x 2+y 2=12相切. 其中真命题的序号是 ( )A.①②③B.①②C.①③D.②③【解析】选C.命题①由球的体积公式可知,一个球的半径缩小到原来的12,则其体积缩小到原来的18,正确;命题②两组数据的平均数相等,若其离散程度不同,则它们的标准差也不相等,故该命题错误;命题③圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离=d ,与圆x 2+y 2=12的半径相等,故直线与圆相切,该命题正确.10.(2013·浙江高考理科·T4)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“2πϕ=”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】先由f(x)是奇函数可以得到φ的取值,再由2πϕ=判断f(x)是否为奇函数,最后再判断.【解析】选B.f(x)是奇函数⇒,2k k Z πϕπ=+∈; 2=πϕ⇒f(x)是奇函数,所以“f(x)是奇函数”是“2πϕ=”的必要不充分条件.11.(2013·浙江高考文科·T3)若α∈R,则“α=0”是“sin α<cos α”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解题指南】让“α=0”和“sin α<cos α”其中一个作条件,另一个作结论,判断命题是否正确. 【解析】选A.当α=0时,sin α=0,cos α=1,所以sin α<cos α;若sin α<cos α,则52,22,2244k k k k k z ππαπππππ⎛⎫⎛⎫∈+++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 12.（2013·上海高考理科·T16）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A ．充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 【解析】选B .根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．13.（2013·上海高考文科·T17）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件 【解析】选B.由题意可知,好货⇒不便宜,故选A.。
高考文科数学热点题型02 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0/⇒ f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.答案：A2．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分不必要条件是a >b ＋1，选A.答案：A3．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B4．若集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，B ＝{x ||x －a |<1}，则“a ∈(2,3)”是“B ⊆A ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |－1＋a <x <1＋a }，若B ⊆A ，则－1＋a≥1，1＋a≤4，解得2≤a ≤3，所以必要性不成立．反之，若2<a <3，则必有B ⊆A 成立，所以充分性成立，故选A.答案：A5．设函数f (x )＝log 2x ，则“a >b ”是“f (a )>f (b )”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故选B.答案：B6．已知p ：x ≥k ，q ：x ＋13<1，若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：∵q ：x ＋13<1，∴x ＋13－1<0，∴x ＋12－x<0. ∴(x －2)·(x ＋1)>0，∴x <－1或x >2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，故选B. 答案：B7．已知a ，b 为非零向量，则“函数f (x )＝(ax ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C8．“若a ，b ∈R ＋，a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b ”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ，b ∈R ＋，若a 2＋b 2<1，则a 2＋2ab ＋b 2<1＋2ab <1＋2ab ＋(ab )2，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，所以a ＋b <1＋ab 成立；当a ＝b ＝2时，有1＋ab >a ＋b 成立，但a 2＋b 2<1不成立，所以“a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b ”的充分不必要条件，故选C.答案：C9．在△ABC 中，设p ：sinB a ＝sinC b ＝sinA c；q ：△ABC 是正三角形，那么p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C10．以下四个命题中，真命题的个数是( )①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题．②存在正实数a，b，使得lg(a＋b)＝lg a＋lg b.③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．④在△ABC中，∠A<∠B是sin A<sin B的充分不必要条件．A．0 B．1C．2 D．3解析：对于①，原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg(a＋b)＝lg a＋lg b，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知∠A<∠B⇔a<b(a，b为角A，B所对的边)⇔2R sin A<2R sin B(R 为△ABC外接圆的半径)⇔sin A<sin B，故∠A<∠B是sin A<sin B的充要条件，故④是假命题．选C.答案：C11．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若a>－6，则a>－3”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.12．命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是( ) A ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0 B ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0 C ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 都不为0 D ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 都不为0 答案：B解析：否命题既否定条件又否定结论．13．若命题p 的否命题是命题q 的逆否命题，则命题p 是命题q 的( ) A ．逆命题 B ．否命题C ．逆否命题D ．p 与q 是同一命题 答案：A解析：设p ：若A ，则B ，则p 的否命题为若綈A ，则綈B ，从而命题q 为若B ，则A ，则命题p 是命题q 的逆命题，故选A.14．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a>b ，则a 1<b 1”的逆否命题答案：A15．A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格 B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分 答案：C解析：根据原命题与它的逆否命题之间的关系，命题p ：“若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格”的逆否命题是“若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分”．故选C.16． “x 1>1”是“e x －1<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：∵x 1>1，∴x ∈(0，1)．∵e x －1<1，∴x<1. ∴“x 1>1”是“e x －1<1”的充分不必要条件．17．在△ABC 中，“sinB ＝1”是“△ABC 为直角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：A18．若“x>1”是“不等式2x>a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a>3 B ．a<3 C ．a>4 D ．a<4答案：A解析：若2x>a －x ，即2x＋x>a.设f(x)＝2x＋x ，则函数f(x)为增函数．由题意知“2x＋x>a 成立，即f(x)>a 成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当x>1时，f(x)>3，∴a>3.19．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：p ⇒q ，而q p ，∴选A.20．若不等式31<x<21的必要不充分条件是|x －m|<1，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－34，21] B ．[－21，34] C ．(－∞，21) D ．(34，＋∞) 答案：B解析：由|x －m|<1，解得m －1<x<m ＋1.因为不等式31<x<21的必要不充分条件是|x －m|<1，所以≤m ＋1，1且等号不能同时取得，解得－21≤m ≤34，故选B.21．已知函数f(x)＝x 2－2x ＋3，g(x)＝kx －1，则“|k|≤1”是“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A22．已知集合A ＝{x|a －2<x<a ＋2}，B ＝{x|x ≤－2或x ≥4}，则A ∩B ＝∅的充要条件是________．答案：0≤a ≤2解析：A ∩B ＝∅⇔a －2≥－2a ＋2≤4，⇔0≤a ≤2.23．如果对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的________条件．解析：可举例子，比如x ＝－0.5，y ＝－1.4，可得〈x 〉＝0，〈y 〉＝－1；比如x ＝1.1，y ＝1.5，〈x 〉＝〈y 〉＝2，|x －y |<1成立．因此“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的必要不充分条件．答案：必要不充分24．集合A ＝<0x －1，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．答案：(－2,2)25．已知A 为xOy 平面内的一个区域． 命题甲：点(a ，b )∈{(x ，y )|3x ＋y －6≤0x≥0，}； 命题乙：点(a ，b )∈A .如果甲是乙的充分条件，那么区域A 的面积的最小值是________．解析：设3x ＋y －6≤0x≥0，所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN 为集合B .由题意，甲是乙的充分条件，则B ⊆A ，所以区域A 面积的最小值为S △PMN ＝21×4×1＝2.答案：226．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程m －1x2＋2－m y2＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ， 即命题p ：3a <m <4a ，a >0.由m －1x2＋2－m y2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m >m －1>0， 解得1<m <23，即命题q ：1<m <23. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以 23或，3解得31≤a ≤83，所以实数a 的取值范围是[31，83]． 答案：[31，83]。
考点02 命题及其关系、充分条件和必要条件(解析版)
考点02 命题及其关系、充分条件和必要条件【考纲要求】理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 【命题规律】考查充分条件与必要条件的题型一般以选择题或填空题的形式出现，以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，难度一般不大． 【典型高考试题变式】（一）充分条件与必要条件的判定例1．（2021全国甲卷理7）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则 （ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【解析】由题，当数列为2,4,8,---时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，∴甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，∴甲是乙的必要条件，故选B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．【变式1】【2018年北京卷文】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 分析：证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.【名师点睛】充分条件、必要条件的判断方法：①定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．②等价法：利用p ⇒q 与⌝q ⇒⌝p ，q ⇒p 与⌝p ⇒⌝q ，p ⇔q与⌝q ⇔⌝p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 【变式2】【变式1中的条件与结论换位】设a,b,c,d 是非零实数，则“a,b,c,d 成等比数列”是“ad=bc ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由a,b,c,d 成等比数列可得ad=bc ，当时，a,b,c,d 不是等比数列，所以“a,b,c,d成等比数列”是“ad=bc ”的充分而不必要条件，故选A.例2．（2021年高考天津卷2）已知a ∈R ，则“6>a ”是“362>a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解．【解析】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立；若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，必要性不成立；∴“6a >”是“236a >”的充分不必要条件，故选A ． 【名师点睛】充分条件与必要条件的两个特征：①对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即“p ⇒q ”⇔“q ⇐p ”．②传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)． 【变式1】【改变例题的条件】设，则“24x >”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由242x x >⇔>或2x <-，所以“24x >”是“||2x >”的充分必要条件，故选C. （二）充分条件与必要条件的运用例3．【2019·全国Ⅱ卷】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行，故选B ．【变式1】【改变例题中的问法】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】//m β不能推出//αβ，而//αβ，//m β⇒，∴“//m β”是“//αβ”的必要不充分条件，故选B ． 例4.【2011全国卷】下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是( ) A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b > D ．33a b > 【答案】A【解析】由1a b >+，得a b >；反之不成立，故选A.【名师点津】命题p 是q 的必要不充分条件⇔p q ⇒且q p ⇒；命题p 的必要不充分条件是q ⇔q p ⇒且p q ⇒. 这两种说法有区别，不能混淆.【变式1】【改变例题中的问法】下面四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是( ) A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b > D ．33a b > 【答案】B【解析】由a b >，可得1a b >-；反之不成立，故选B.【变式2】【改变例题中的条件、问法】下面四个条件中，使33a b >成立的充要的条件是( ) A ．1a b >+ B ．a b <C ．22a b >D ．a b > 【答案】C【解析】由a b >，可得33a b >；反之也成立，故选C. （三）新定义问题例5.【2011湖北卷】若实数a ，b 满足0,0,0a b ab ≥≥=且，则称a 与b 互补，记()22,a b a b a b ϕ=+-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】C【名师点津】紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．【变式1】【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】记实数1x ，2x ，……n x 中的最大数为max {}12,,......n x x x ，最小数为min {}12,,......n x x x 。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解2---命题及其关系、充分条件与必要条件
高考数学一轮复习考点知识专题讲解命题及其关系、充分条件与必要条件考点要求1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．知识梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．①若p是q的充分条件，则A⊆B；②若p是q的充分不必要条件，则A B；③若p是q的必要不充分条件，则B A；④若p是q的充要条件，则A＝B.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2－2x－3>0”是命题．(×)(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(√)教材改编题1．“a>b”是“ac2>bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b⇏ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．2．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____________________________．答案两直线不平行，同位角不相等3．方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是________．答案a∈(－∞，1)解析依题意得a－1<0，∴a<1.题型一命题及其关系例1(1)(2022·玉林质检)下列四个命题为真命题的个数是()①命题“若x>1，则x2>1”的否命题；②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题；③命题“全等三角形面积相等”的否命题；④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题．A．1B．2C．3D．4答案B解析 ①命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，不正确，例如取x ＝－2.②命题“梯形不是平行四边形”是真命题，因此其逆否命题也是真命题．③命题“全等三角形面积相等”的否命题“不是全等三角形的面积不相等”是假命题． ④命题“若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线”的逆命题“若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点”是真命题．综上可得真命题的个数为2.(2)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________________．答案f (x )＝sin x ，x ∈[0,2](答案不唯一)解析设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．教师备选(2022·合肥模拟)设x ，y ∈R ，命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是()A ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1或y 2≤1B ．若x 2＋y 2>2，则x 2≤1或y 2≤1C ．若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1且y 2≤1D ．若x 2＋y 2>2，则x 2≤1且y 2≤1答案C解析根据否命题的定义可得命题“若x 2＋y 2>2，则x 2>1或y 2>1”的否命题是“若x 2＋y 2≤2，则x 2≤1且y 2≤1”．思维升华 判断命题真假的策略(1)判断一个命题为真命题，需要推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．跟踪训练1(1)(2022·安顺模拟)命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是()A ．若x ，y 都是偶数，则x ＋y 是奇数B ．若x ，y 都不是奇数，则x ＋y 不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 都不是奇数D ．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数答案D解析命题“若x ，y 都是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数”．(2)命题p ：若m ≤a －2，则m <－1.若p 的逆否命题为真命题，则a 的取值范围是________． 答案(－∞，1)解析依题意，命题p 的逆否命题为真命题，则命题p 为真命题，即“若m ≤a －2，则m <－1”为真命题，则a －2<－1，解得a <1.题型二 充分、必要条件的判定例2(1)已知p ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B 解析由⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)， 由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的x 的范围为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则()A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a 1<0，q >1时，a n ＝a 1q n －1<0，此时数列{S n }单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n }单调递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，不存在．所以甲是乙的必要条件．教师备选在△ABC 中，“AB 2＋BC 2＝AC 2”是“△ABC 为直角三角形”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练2(1)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．(2)(2022·成都模拟)若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为a⊥b，所以a·b＝0，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件．故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件．题型三充分、必要条件的应用例3已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B 的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}．由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.则⎩⎨⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈A 是x ∈B 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．延伸探究本例中，若把“x ∈A 是x ∈B 的必要条件”改为“x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件”，求m 的取值范围．解∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，∴A B ，则⎩⎨⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10，解得m ≥9， 故m 的取值范围是[9，＋∞)． 教师备选(2022·泰安检测)已知p ：x ≥a ，q ：|x ＋2a |<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[1，＋∞) D．(1，＋∞)答案A解析因为q ：|x ＋2a |<3，所以q ：－2a －3<x <－2a ＋3，记A ＝{x |－2a －3<x <－2a ＋3}，p ：x ≥a ，记为B ＝{x |x ≥a }．因为p 是q 的必要不充分条件，所以AB ，所以a ≤－2a －3，解得a ≤－1.思维升华 求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3(1)使2x≥1成立的一个充分不必要条件是() A ．1<x <3B ．0<x <2C ．x <2D ．0<x ≤2答案B解析由2x≥1得0<x ≤2， 依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选B.(2)若不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件是1<x <2，则实数a 的取值范围是________． 答案[1,2]解析由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1，因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎨⎧ a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取到，解得1≤a ≤2.课时精练1．(2022·韩城模拟)设p：2<x<3，q：|x－2|<1，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析解不等式|x－2|<1得－1<x－2<1，解得1<x<3，因为{x|2<x<3}{x|1<x<3}，因此p是q的充分不必要条件．2．(2022·马鞍山模拟)“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是() A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0答案C解析根据命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，可以写出“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y∈R，x，y 不全为0，则x2＋y2≠0”．3．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a·c＝b·c，得到(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．4．已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．5．(2022·太原模拟)下列四个命题：①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的逆否命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题．其中是真命题的为()A．①④B．②③C．①③D．②④答案C解析①“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的逆命题是“在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC”，是真命题；②“若ab＝0，则a＝0”是假命题，所以其逆否命题也是假命题；③“若ac＝cb，则a＝b”的逆命题是“若a＝b，则ac＝cb”，是真命题；④“若a＝b，则a2＝b2”的否命题是“若a≠b，则a2≠b2”，是假命题．6．(2022·青岛模拟)“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是()A．a>2B．a≥2 C．a<2D．a≤2答案D解析因为x>0，所以x＋4x＋2＝x＋2＋4x＋2－2≥2(x＋2)×4x＋2－2＝2，当且仅当x＋2＝4x＋2，即x＝0时等号成立，因为x>0，所以x＋4x＋2>2，所以“∀x>0，a≤x＋4x＋2”的充要条件是a≤2.7．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题是真命题，则m的取值范围是() A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]答案D解析命题的逆命题“若1<x<2，则m－1<x<m＋1”成立，则⎩⎨⎧ m ＋1≥2，m －1≤1，得⎩⎨⎧ m ≥1，m ≤2，得1≤m ≤2，即实数m 的取值范围是[1,2]．8．(2022·厦门模拟)已知命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为()A ．m >12B ．m ≥12C ．m >1D ．m ≥1答案D解析∵命题p ：x <2m ＋1，q ：x 2－5x ＋6<0，即2<x <3，p 是q 的必要不充分条件，∴(2,3)(－∞，2m ＋1)，∴2m ＋1≥3，解得m ≥1.实数m 的取值范围为m ≥1. 9．(2022·延边模拟)若“方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a 的取值范围是________．答案a <98且a ≠0 解析由题意知⎩⎨⎧ Δ＝(－3)2－8a >0，a ≠0，解得a <98且a ≠0. 10．(2022·衡阳模拟)使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．答案x<－1(答案不唯一)解析由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0}的子集即可．11．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝a2(a>0)有公共点的充要条件是________．答案a∈[1，＋∞)解析直线y＝kx＋1过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆x2＋y2＝a2内部(包含边界)，∴a2≥1.又a>0，∴a≥1.12．给出下列四个命题：①命题“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题；④命题“直线l与平面α垂直的充要条件是l与平面α内的两条直线垂直．”其中真命题是________．(填序号)答案①③解析对于①，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，①是真命题；②“若数列{a n}是等比数列，则a22＝a1a3”的否命题是“若数列{a n}不是等比数列，则a22≠a1a3”，取a n＝0，可知②是假命题；③已知a，b是非零向量，“若a·b>0，则a与b的夹角为锐角”的逆命题“若a与b的夹角为锐角，则a ·b >0”为真命题；④直线l 与平面α内的两条直线垂直是直线l 与平面α垂直的必要不充分条件，④是假命题．13．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p 和q 中有且只有一个为真命题，则实数a 的取值范围是()A ．0<a <1或a ≥2B．0<a <1或a >2C ．1<a ≤2D．1≤a ≤2答案C解析若p 和q 中有且只有一个为真命题，则有p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，则⎩⎨⎧ －2－a <1<a ≤2，a >0，解得1<a ≤2；当p 假q 真时，则⎩⎨⎧ 1≤－2－a <2<a ，a >0，无解，综上，1<a ≤2.14．若“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案m ≥5解析依题意有 x 2－4x ＋3<0⇒1<x <3，x 2－mx ＋4<0⇒mx >x 2＋4，∵1<x <3，∴m >x ＋4x，设f (x )＝x ＋4x(1<x <3)，则函数f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增， ∴f (1)＝5，f (2)＝4，f (3)＝133， 因此函数f (x )＝x ＋4x(1<x <3)的值域为[4,5)， ∵“x 2－4x ＋3<0”是“x 2－mx ＋4<0”的充分条件，∴m ≥5.15．若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4答案A解析若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是________．答案⎝⎛⎦⎥⎤0，255 解析画出|x |＋|y |2≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p 对应的平面区域是一个菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线的方程为x ＋y 2＝1，即2x ＋y －2＝0.由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝222＋1＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255.。
考点02 命题及其关系、充分条件和必要条件典型高考数学试题解读与变式(详解版)
②等价法：利用 p⇒q 与 q⇒ p，q⇒p 与 p⇒ q，p⇔q 与 q⇔ p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． ③集合法：若 A⊆B，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A＝B，则 A 是 B 的充要条件．
【变式 1】【改变例题中的条件】设 x R ，则“| x −1| 1”是“ 2 − x 0 ”的（ ）
maxx1, x2,......xn，最小数为 minx1, x2,......xn 。已知 ABC 的三边长位 a,b,c（ a b c ），定义它的倾
斜度为
l
=
max
a b
,
b c
,
c a
.min
a b
,
b c
,
c a
,
则“ l =1”是“ ABC 为等边三角形”的（
）
A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】 A
A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由| x −1| 1得 0 x 2 ，由 2 − x 0 得 x 2 ，所以“| x −1| 1”是“ 2 − x 0 ”的充分而不必
要条件，故选 A.
【变式 2】【改变例题中的条件】设 x R ，则“ m2 − 4 − x 0 (m R) ”是“| x −1| 1”的必要而不充分
【答案】B
【解析】由等比数列的定义数列，若乙：{an} 是等比数列，公比为 q ，即
an+1 an
=q
a2 n+1
a2 n+1
=
q2
则甲命
a2 n+1
题成立；反之，若甲：数列
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件
p是q的充 分条件
p⇒q
A⊆B
p是q的必要条件
q⇒p
A⊇B
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒p A＝B
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p A B
p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p A B
p是q的既不充分条件 也不必要条件
p q且q p A B且A B
二、“基本技能”运用好 1．通过对四种命题及其相互关系的复习，提高学生的抽象概
答案：A
[一“点”就过] 判断命题真假的 2 种方法
直接 判断
判断一个命题为真命题，要给出严格的推理 证明；说明一个命题是假命题，只需举出一 个反例即可
根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题 间接 与否命题同真同假”这一性质，当一个命题 判断 直接判断不易进行时，可转化为判断其逆否
命题的真假
[提醒] (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改 写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前 提．(3)命题的否命题是条件和结论都否定，而命题的否定是条 件不变只否定结论．
答案：充分不必要 充要
三、“基本思想”很重要 1．利用等价转化思想判断命题真假及充分与必要条件． 2．利用集合思想、数形结合思想解决充分、必要条件的应用
问题．
1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是
()
A．若α≠π4，则tan α≠1
B．若α＝π4，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠π4
答案：C
3．(2020·广东中山一中第一次统测)下列命题中为真命题的是
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
()
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
第2节命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.知识梳理1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇒p1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同.3.充要关系与集合的子集之间的关系，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}， (1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.(2)若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件. (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件.4.p 是q 的充分不必要条件，等价于綈q 是綈p 的充分不必要条件.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“x 2＋2x －3<0”是命题.( )(2)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件.( )(3)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”.( )(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√解析 (1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.2.设a ，b ∈R 且ab ≠0，则ab >1是a >1b 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D解析 若“ab >1”，当a ＝－2，b ＝－1时，不能得到“a >1b ”，若“a >1b ”，例如当a ＝1，b ＝－1时，不能得到“ab >1”，故“ab >1”是“a >1b ”的既不充分也不必要条件.3.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A.若α≠π4，则tan α≠1B.若α＝π4，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠π4D.若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”.4.(2020·长春模拟)已知命题α：如果x <3，那么x <5，命题β：如果x ≥3，那么x ≥5，则命题α是命题β的( ) A.否命题 B.逆命题 C.逆否命题 D.否定形式答案 A解析 两个命题之间只是条件、结论都作出否定，故为否命题关系. 5.(2020·天津卷)设a ∈R ，则“a ＞1”是“a 2＞a ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 由a 2＞a ，得a 2－a ＞0， 解得a ＞1或a ＜0，∴“a ＞1”是“a 2＞a ”的充分不必要条件.6.(2021·合肥七校联考)已知集合A ＝{x |13<3x <27，x ∈R }，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<3x <27，x ∈R ＝{x |－1<x <3}.∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， 所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.考点一 命题及其关系1.(2020·太原质检)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A.若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bB.若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋cC.若a ＋c >b ＋c ，则a >bD.若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c答案 B解析 将条件和结论都进行否定，即命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”.2.(2021·成都七中检测)给出下列命题： ①“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”的逆命题； ②“若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )”的否命题；③“若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 D解析 对于①，“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”的逆命题为“若lg x ＋lg y ＝0，则xy ＝1”，该命题为真命题；对于②，“若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )”的否命题为“a ·b ≠a ·c ，则a 不垂直于(b －c )”，由a ·b ≠a ·c 可得a ·(b －c )≠0，据此可得a 不垂直于(b －c )，该命题为真命题；对于③，若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0的根的判别式Δ＝(－2b )2－4(b 2＋b )＝－4b ≥0，方程有实根，原命题为真命题，则其逆否命题为真命题；对于④，“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题.3.(2018·北京卷)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0，2]都成立，则f (x )在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.答案 f (x )＝sin x ，x ∈[0，2](答案不唯一 ，再如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＝0，1x，0<x ≤2)解析 根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0).感悟升华 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.考点二充分条件与必要条件的判定【例1】(1)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B(2)A解析(1)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内.故选B.(2)因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.感悟升华充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【训练1】 (1)(2021·昆明诊断)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≥0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ＋1≥0.则“x ∈A ”是“x ∈B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 (1)B (2)C解析 (1)集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≥0}＝{x |x ≥2，或x ≤－1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ＋1≥0＝{x |x ≥2，或x <－1}.∴B A ，∴“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件.(2)若存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β，则当k ＝2n (n ∈Z )，α＝2n π＋β，有sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )，α＝(2n ＋1)π－β，有sin α＝sin[(2n ＋1)π－β]＝sin β. 若sin α＝sin β，则α＝2k π＋β或α＝2k π＋π－β(k ∈Z )， 即α＝k π＋(－1)k β(k ∈Z ).故选C. 考点三 充分、必要条件的应用【例2】 (经典母题)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求实数m 的取值范围. 解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0. 综上，m 的取值范围是[0，3].【迁移1】 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.【迁移2】 设p ：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， p 是q 的充分不必要条件. ∴p ⇒q 且q ⇒p ，即P S .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，又因为S 为非空集合， 所以1－m ≤1＋m ，解得m ≥0， 综上，实数m 的取值范围是[9，＋∞).感悟升华 1.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键 (1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.2.解题时要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【训练2】 设p ：ln(2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 p 对应的集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x ≤1，q 对应的集合B ＝{x |(x －a )[x －(a＋1)]≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}.由q 是p 的必要而不充分条件，知A B .所以a ≤12且a ＋1≥1，因此0≤a ≤12.A 级 基础巩固一、选择题1.(2019·天津卷)设x ∈R ，则“0<x <5”是“|x －1|<1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 由|x －1|<1可得0<x <2，由“0<x <5”不能推出“0<x <2”，但由“0<x <2”可以推出“0<x <5”. 故“0<x <5”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件.2.(2021·百校联考考前冲刺)已知命题p ：“任意a >0，且a ≠1，函数y ＝1＋log a (x －1)的图象过点P ”的逆否命题为真，则P 点坐标为( ) A.(2，1) B.(1，1) C.(1，2) D.(2，2)答案 A解析 由逆否命题与原命题同真同假，可知命题p 为真命题，由对数函数性质可知，函数y ＝1＋log a (x －1)的图象过定点(2，1)，所以点P 的坐标为(2，1).3.(2019·北京卷)设函数f (x )＝cos x ＋b sin x (b 为常数)，则“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C解析 当b ＝0时，f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )为偶函数，则f (－x )＝cos(－x )＋b sin(－x )＝cos x －b sin x ＝f (x )，∴－b sin x ＝b sin x 对x ∈R 恒成立，∴b ＝0. 故“b ＝0”是“f (x )为偶函数”的充分必要条件. 4.设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( )A.ac 2>bc 2B.a b >1C.a －c >b －cD.a 2>b 2答案 C解析 对于A ，a >b ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错误；对于B ，a >b ，若a >0，b <0，则ab <1，故B 错误；对于C ，a >b ，则a －c >b －c ，故C 正确；对于D ，a >b ，若a ，b 均小于0，则a 2<b 2，故D 错误.5.(2020·长沙检测)若l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，且m ⊥α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 当直线l ⊂α时，“l ⊥m ” ⇒ “l ∥α”，充分性不成立.若l ∥α，由线面平行的性质，可知在平面α内一定存在一条直线n 与l 平行，又m ⊥α，所以m ⊥n ，则m ⊥l ，可知必要性成立. 所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件. 6.(2020·石家庄模拟)下列说法中正确的是( ) A.若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0B.若数列{a n }为常数列，则{a n }既是等差数列也是等比数列C.在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的充要条件D.命题“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”的逆命题为假命题答案 C解析 A 错误，f (x )＝1x 为奇函数，但f (0)无意义；B 错误，a n ＝0为常数列，但{a n }不是等比数列；C 正确，由于A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .D 错误，若{a n }递减，则a n ＋1<a n ⇒a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，所以逆命题为真命题，D 不正确.7.(2021·贵阳模拟)设函数f (x )＝e x 2－3x ，则使f (x )<1成立的一个充分不必要条件是( ) A.0<x <1B.0<x <4C.0<x<3D.3<x<4答案 A解析f(x)<1⇔e x2－3x<1⇔x2－3x<0，解得0<x<3.又“0<x<1”可以推出“0<x<3”，但“0<x<3”不能推出“0<x<1”.故“0<x<1”是“f(x)<1”的充分不必要条件.8.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]答案 A解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.二、填空题9.(2021·河南名校联考)设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).答案充分不必要解析由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，∴p是q 的充分不必要条件.10.有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.答案②③解析①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误；②原命题的逆命题为“若x，y 互为相反数，则x＋y＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确.11.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.答案－1<k<3解析 直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k |2<2， 解得－1<k <3.12.已知不等式|x －m |<1成立的一个充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，43 解析 解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ＋1.由题意可得⎝⎛⎭⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎨⎧m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43. B 级 能力提升13.(2020·武昌调研)给出下列说法：①命题“若x 2＝1，则x ≠1”的否命题是“若x 2＝1，则x ＝1”；②命题“若a >2且b >2，则a ＋b >4且ab >4”的逆命题为真命题；③命题“若函数f (x )＝x 2－ax ＋1有零点，则a ≥2或a ≤－2”的逆否命题为真命题；④命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x >0”. 其中正确的序号为( )A.②B.③C.①③D.②④答案 B解析 对于①，由于否命题既否定条件又否定结论，因此命题“若x 2＝1，则x ≠1”的否命题是“若x 2≠1，则x ＝1”，所以①错误；对于②，原命题的逆命题为“若a ＋b >4且ab >4，则a >2且b >2”，取a ＝1，b ＝5，满足a ＋b >4且ab >4，但不满足a >2且b >2，所以②错误；对于③，若函数f (x )＝x 2－ax ＋1有零点，则Δ＝a 2－4≥0，解得a ≥2或a ≤－2，原命题为真命题，由于原命题与其逆否命题同真同假，所以③正确；对于④，命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≥0”，所以④错误. 14.已知偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a ，b ，“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |).又y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若a >|b |，则f (a )>f (|b |)＝f (b )，即充分性成立；若f (a )>f (b )，则等价为f (|a |)>f (|b |)，即|a |>|b |，即a >|b |或a <－|b |，即必要性不成立，则“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的充分不必要条件. 15.能说明“若a >b ，则1a <1b”为假命题的一组a ，b 的值依次为________. 答案 a ＝1，b ＝－1(答案不唯一，只需a >0，b <0)解析 若a >b ，则1a <1b 为真命题，则1a －1b ＝b －a ab<0，∵a >b ，∴b －a <0，则ab >0.故当a >0，b <0时，均能说明“若a >b ，则1a <1b”为假命题. 16.已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________________.答案 ⎣⎡⎦⎤13，38解析 由2－m >m －1>0，得1<m <32，即q ：1<m <32. 因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38.。
002命题及其关系
常用逻辑用语1、四种命题：①四种命题：原命题：若p 则q ；逆命题： 、否命题： 逆否命题： .②四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题 、否命题 、逆否命题 ．原命题与它的逆否命题同 、否命题与逆命题同 ．③反证法：欲证“若p 则q ”为真命题，从否定其 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法． 2、充要条件①充分条件：如果p q ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件． ②必要条件：如果q p ⇒则p 叫做q 的 条件，q 叫做p 的 条件． ③充要条件：如果p q ⇒且q p ⇒则p 叫做q 的 条件．注：①p 是q 的充分不必要条件等价于 ②p 的充分不必要条件是q 等价于 ③p 是q 的必要不充分条件等价于 ②p 的必要不充分条件是q 等价于 3、全称量词与存在量词①全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示。
②存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示。
③全称命题：含有全称量词的命题。
“对∀x ∈M ，有p （x ）成立”简记成“∀x ∈M ，p （x ）”。
否定形式是 ④存在性命题：含有存在量词的命题。
“∃x ∈M ，有p （x ）成立” 简记成“∃x ∈M ，p （x ）”。
否定形式是 三、课前热身：1. 对原命题及其逆命题，否命题，逆否命题这四个命题而言，假命题的个数是____ __．2. 命题“若b a >，则122->ba”的否命题为__ ___ 3. 命题“0x ∃<，有20x >”的否定是 ．4.设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x x －1<0，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的_ _条件．5. 已知条件p ：（x+1）2>4，条件q:x>a,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，则a 的取值范围是6.若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围为______________．四、例题选讲：例1：已知0c >且1c ≠，设:p 函数(21)xy c c =-⋅在R 上为减函数，:q 不等式2(2)1x x c +->的解集为R .若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数c 的取值范围.例2：已知p ： |1－31-x |≤2，q ：:x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.例3：若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋2π，b ＝y 2－2z ＋3π，c ＝z 2－2x ＋6π．求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．例4：设,OA OB 是不共线的向量，若(,)OP aOA bOB a b R =+∈，求三点,,A B P 共线的充要条件。
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考点2 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题
1.（2014·安徽高考理科·Ｔ2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
2.(2014·广东高考文科·T7)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,则“a ≤b ”是“sinA ≤sinB ”的 ( )
A.充分必要条件
B.充分非必要条件
C.必要非充分条件
D.非充分非必要条件
3.（2014·上海高考理科·Ｔ15）
,,422()a b R a b a b A ∈+>>>设则“”是“且”的（ ）.
充分条件 (B)必要条件
（C)充分必要条件 （D)既非充分又非必要条件
4.（2014·浙江高考文科·Ｔ2）设四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
5.（2014·浙江高考理科·Ｔ2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件。