组合数学-第九节：容斥原理

3.2 容斥原理将3.1节讨论的原理进一步推广，总结成一般性规律，就得到定理3.2.1所描述的容斥原理。

定理3.2.1 设S 是有限集合，12,m P P P 是同集合S 有关的m 个性质，设i A 是S 中具有性质i P 的元素构成的集合()1i m ≤≤，i A 是S 中不具有性质i P 的元素构成的集合()1i m ≤≤，则S 中不具有性质12,m P P P 的元素个数为{}{}()1211,2,21,2,2121m mi i ji m i ji k m mmA A A S A A A A A A A A A ==-+-++-∑∑∑的合的合（3.2.1）证明 可以利用等式（3.1.1），通过对m 作归纳进行证明。

下面通过其组合意义来证明。

等式（3.2.1）的左端表示的是S 中不具有性质12,m P P P 的元素的个数。

下面我们来证明：对于S 中每个元素x ，若x 不具有性质12,m P P P ，则对等式（3.2.1）的右端贡献1；否则，若x 具有某个性质()1i P i m ≤≤，则对等式（3.2.1）的右端贡献0，从而证（3.2.1）式。

任给x S ∈，则（1）若x 不具有性质12,m P P P ，即12,,m x A x A x A ∉∉∉ ，则x 在集合S 中，但不在（3.2.1）式右端的任一其他集合中。

所以，x 对（3.2.1）式右端的贡献为()1000101m-+-+-⨯=（2）若x 恰具有12,m P P P 中的()1n n ≥个性质12,i i i nP P P ，则x 对S 的贡献为10n ⎛⎫= ⎪⎝⎭因x 恰具有n 个性质12,i i i n P P P ，所以x 恰属于集合12,,n i i i A A A ，共n 个。

于是，x 对iA∑的贡献为1n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭从12,i i i nP P P 中选出两个性质，共有2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭种，所以x 恰在2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭个形如()k l i i A A k l ≠ 的集合中，x 对i j A A ∑的贡献为2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭；……；同理，x 对12n i i i A A A ∑ 的贡献为n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

而当k n >时，0n k ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

所以x 对（3.2.1）式右端的贡献为()()()1101231012310m n n x n n n n n m n n n n n n x =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-= 综上所述，（3.2.1）式的右端是集合S 中不具有性质12,m P P P 的元素的个数。

证毕。

若3m =，则（3.2.1）式变成()()123123121323123A A A S A A A A A A A A A A A A =-+++++-上面等式的右端共有13318+++=项。

若4m =，则（3.2.1）式变成()()()()()1234123412131412132312310002001661253325418600A A A A S A A A A A A A A A A A A A A A A A A A =-+++++++++-=-+++++-=例2 求由,,,a b c d 四个字符构成的n 位符号串中，,,,a b c d 至少出现一次的符号串的数目。

解 设1234,,,A A A A 分别为不出现,,,a b c d 的n 位符号串的集合。

由于n 位符号串的每一位都可取,,,a b c d 四个符号中的任一个，所以共有4n 个。

其中，不出现a 的符号串的每一位都可取,,b c d 中的任一个，共有3n个。

类似地，有()()()123431,2,3,42,,1,2,3,41,,;,,1,2,3,40n i n i j i j k A i A A i j i j A A A i j k i j k A A A A ===≠==== 互不相等而,,,a b c d 至少出现一次的符号串集合即为1234A A A A ，于是()()()1234123412131423243412312413423412344443624n n n n A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A =-+++++++++-++++=-⋅+⋅-例3 欧拉函数()n ϕ表示小于n 且与n 互素的整数的个数。

求()n ϕ。

解 将n 分解成素因子的乘积形式：1212q iiiq n p p p =设i A 为不大于n 且为i p 的倍数的自然数的集合()1i q ≤≤，则：()1,2,i inA i q p == 因i p 与j p 互素()i j ≠，所以i p 与j p 的最小公倍数为i j p p ，所以();,1,2,,i j i jnA A i j i j q p p =≠= ……。

小于n 并与n 互素的自然数是集合{}1,2,,A n = 中那些不属任何一个集合{}1,2,,i A i q == 的数，由容斥原理知()()()124111121111211qi i ji i j qi j k i j qqq qi i j q i j q i i j i j kqqn A A An A A A A A A A A A n n n n p p p p p p n p p p ϕ=≤≤≤≤≤≤=≤≤≤≤≤≤==-+-++-=-+-++-∑∑∑∑∑∑上面的和式正好是下列乘积的展开式：()12111111q n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭欧拉函数常用于数论中。

例如，若21223n ==⋅，则()11121211423ϕ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭小于12并与12互素的正整数为1，5，7和11例4 若图G 有n 个顶点，且不含有完全k 子图()2k ≥，则它的顶点的次数()d x 满足不等式()()2min 1x X k n d x k ∈-⎢⎥≤⎢⎥-⎣⎦（3.2.3）其中，X 为图G 的顶点集。

证明 设()()()2102k n p k r r k -=-+≤≤-若不等式（3.2.3）不成立，则对任意的x X ∈，均有()1d x p ≥+。

在图G 中任取一个顶点1x X ∈，用1A 和相应的集合2A ，由容斥原理得到121212220A A A A A A p n =+-≥+->这是因为集合1A 和2A 中的每一个至少包含1p +个元素，而12A A 中至多只有n 个元素（G 中全部顶点）。

再任取一个顶点312x A A ∈ ，同上，由容斥原理可得()1233120A A A p n ≥+->等等。

这样，我们可由归纳法得到对于211k k jj x A--=∈，取G 中与1k x -相邻的顶点集1k A -，有()()()()()()()12111221111121311210k k j j k j j k k k jk jj j A A A A AA A p k p k n n k p k n k r ---==----==⎛⎫= ⎪⎝⎭=+-≥++-+---=-+--=--> 因此，至少有一个顶点211k k jj x A--=∈。

由j A 的定义知12,,k x x x 之间相互相邻，所以顶点集合{}12,,k x x x 构成的导出子图是图G 的完全k 子图，这与题设矛盾。

故不等式（3.2.3）成立。

利用定理3.2.1和推论3.2.1，我们可以算出S 中不具有性质12,m P P P 的元素个数和S 中具有12,m P P P 中某个性质的元素个数。

下面我们将其推广到更一般的情形。

设S 是一有限集合，{}12,m P P P P = 是S 上的性质集合。

现在的问题是要求出集合S 中恰好具有P 中r 个性质的元素个数()()1N r r m ≤≤。

现用()12,i i i kN P P P 表示S 中具有性质12,,k i i i P P P 的元素个数，规定()0w S =，令()()12121,,k k i i i i i i mw k N P P P ≤≤<<≤=∑若S 中某元素x 恰好具有P 中()0k r r +≥个性质12,,k r i i i P P P + ，则从12,,k r i i i P P P + 中取出k 个性质的方法数为k r k +⎛⎫⎪⎝⎭，因而x 在()w k 中计算了k r k +⎛⎫ ⎪⎝⎭次。

而对于SK 具有P 中少于k 个性质的元素，则不计算在内。

例如，在本节的例1中，有()()()()()()()123121323123200,166,125,,33,,25,,41,,,8,N P N P N P N P P N P P N P P N P P P ======= 于是()()()()01000,1200166125491,233254199,38.w w w w ==++==++==在()2w 中，对具有3个性质123,,P P P 的元素，在()()1213,,,N P P N P P 和()23,N P P 中各计算了一次，共3次。

例如，120能被5，6，8整除，所以，121323120,120,120A A A A A A ∈∈∈ ，即120在()2w 中共计算了3次。

定理3.2.2 设集合S 中具有性质集合{}12,m P P P P = 恰好r 个性质的元素个数为()N r ，则()()()()()()12121.m r r r N r w r w r w r r m w m r -++⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-+- ⎪⎝⎭（3.2.4）证明 设x 是集合S 的一个元素，则（1）若x 具有少于r 个性质，则x 对()()(),1,w r w r w m + 的贡献均为0，从而对（3.2.4）式右端的贡献为0。

（2）若x 恰好具有r 个性质，则x 对()w r 的贡献为1，而对()()()1,2,w r w r w m ++ 的贡献均为0，从而对（3.2.4）式右端的贡献为1。

（3）若x 恰好具有()k k r >个性质，则它对()w r 的贡献为k r ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对()1w r +的贡献为,,1k r ⎛⎫⎪+⎝⎭对()w k 的贡献为k k ⎛⎫⎪⎝⎭；当k l m ≤≤时，它对()w l 的贡献为0。

从而，它对（3.2.4）式右端的贡献为()()()()()11212111110l r kl r l r kl r l r k l l r k lx k r k r k r r r r r k k r k k l l r k k r l l r k k r r l k x r --=-==-=++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑∑综上所述，（3.2.4）式的右端是S 中恰好具有r 个性质的元素个数。