高数第七章第九节-二次曲面

一、基本内容
二次曲面的定义：
三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为一次曲面．
讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后
加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
o z y
x （一）椭球面
1222222=++c z b y a
x 椭球面与
三个坐标面
的交线：
,012222⎪⎩⎪⎨⎧==+y c z a x .012222⎪⎩⎪⎨⎧==+x c z b y ,012222⎪⎩⎪⎨⎧==+z b y a x
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面与平面
的交线为椭圆1z z =同理与平面
和 的交线也是椭圆.1x x =1y y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==−+−1212222
2122221)()(z z z c c b y z c c a x c z <||1
椭球面的几种特殊情况：
,)1(b a =122
2222=++c
z a y a x 旋转椭球面12222=+c
z a x 由椭圆 绕 轴旋转而成．z 旋转椭球面与椭球面的区别：122222=++c
z a y x 方程可写为与平面
的交线为圆.1z z =)||(1c z <
,
)2(c b a ==1222222=++a z a y a x 球面.
2222a z y x =++.)(121222
22⎪⎩⎪⎨⎧=−=+z z z c c a y x 截面上圆的方程方程可写为
（二）抛物面
z q
y p x =+222
2（ 与 同号）p q 椭圆抛物面
用截痕法讨论：（1）用坐标面 与曲面相截
)0(=z xoy 截得一点，即坐标原点)0,0,0(O 设0
,0>>q p 原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面
的交线为椭圆.1z z =⎪⎩⎪⎨⎧==+11212122z z qz y pz x 当 变动时，这种椭圆的中心都在
轴上.1z z )0(1>z 与平面
不相交.1z z =)0(1<z （2）用坐标面 与曲面相截
)0(=y xoz ⎩⎨⎧==022
y pz x 截得抛物线
与平面
的交线为抛物线.1y y =⎪⎩⎪⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=121222y y q y z p x 它的轴平行于 轴z 顶点⎟⎠⎞⎜⎝⎛q y y 2,,0211（3）用坐标面 ， 与曲面相截
)0(=x yoz 1x x =均可得抛物线.
同理当
时可类似讨论.0,0<<q p
z
x y o
x y
z
o 椭圆抛物面的图形如下：
0,0<<q p 0,0>>q p
特殊地：当
时，方程变为q p =z p y p x =+2222旋转抛物面)
0(>p （由
面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）
xoz pz x 22=⎩⎨⎧==+11222z z pz y x 与平面
的交线为圆.1z z =)0(1>z 当 变动时，这种圆的中心都在
轴上.1z z
z q
y p x =+−2222（ 与 同号）p q 双曲抛物面（马鞍面）
用截痕法讨论：
设0
,0>>q p 图形如下：x y
z
o
（三）双曲面
单叶双曲面122
2222=−+c
z b y a x （1）用坐标面 与曲面相截)0(=z xoy 截得中心在原点 的椭圆.
)0,0,0(O ⎪⎩⎪⎨⎧==+012222z b y a x
与平面
的交线为椭圆.1z z =当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.1z z ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1
22
122221z z c z b y a x （2）用坐标面 与曲面相截)0(=y xoz 截得中心在原点的双曲线.
⎪⎩⎪⎨⎧==−012222y c z a x 实轴与 轴相合，虚轴与
轴相合.x z
⎪⎩⎪⎨⎧=−=−122
122221y y b y c z a x 双曲线的中心都在 轴上.y 与平面
的交线为双曲线.1y y =)(1b y ±≠,)
1(221b y <′x 实轴与 轴平行,z 虚轴与 轴平行.,)
2(221b y >′z 实轴与 轴平行,x 虚轴与 轴平行.,)3(1b y =′截痕为一对相交于点
的直线.)0,,0(b
,0⎪⎩⎪⎨⎧==−b y c z a x .0⎪⎩⎪⎨⎧==+b
y c z a x ,)4(1b y −=′截痕为一对相交于点
的直线.)0,,0(b −,0⎪⎩⎪⎨⎧−==−b y c z a x .0⎪⎩⎪⎨⎧−==+b
y c z a x （3）用坐标面 ， 与曲面相截
)0(=x yoz 1x x =均可得双曲线.
单叶双曲面图形
x y
o
z
平面 的截痕是两对相交直线.a x ±=
双叶双曲面
1222222−=−+c z b y a x x y
o
二、小结
椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
思考题
方程⎩⎨⎧−==+−3254222x z y x 表示怎样的曲线？
思考题解答
⎩⎨
⎧−==+−3
2542
2
2
x z y x ⇒.316
42
2
⎩⎨⎧−==+−x z y 表示双曲线.
一、 求曲线
⎪
⎩
⎪⎨⎧=−
+32
2z z y ，在
面上的投影曲线 的方程，并指出原曲线是什么曲线 .二、画出方程所表示的曲面：
1、；
2、 .三、 画出下列各曲面所围成的立体的图形：1、
4
,2,1,0,0y
z y x z x =
====；2、
,
(在第一卦限内) .
练 习 题
四、 试用截痕法讨论双曲抛物面
z
q
y
p
x
=+
−
222
2
（）.
练习题答案
一、
⎩
⎨
⎧=−
=
22
z x y ,位于平面上的抛物线.x
y
z
o
o x
y
z
二、.
1.
2
.2.1
三、
x1
y z
o
2
x
y z
o
R
R
R。