河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形
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常用的二次曲面方程及其图形
这些交线都是椭圆。
3） 再看这个曲面平行于 xoy 的平面 z= z1 ( z1 c )的交线
x 2 y 2 z12 1 a2 b2 c2
a2 c2
x2 (c2
z
2 1
)
b2 c2
y2 (c2
z12 )
1
z= z 1
4） 如果 a=b,那么方程变为：
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
x2 y2 a2
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 1 a2 b2
2） 当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
Z= z1
x 2 y 2 1 z12
a2 b2
c2
-------------椭圆
3） 当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
x2 z2 1 a2 c2
4） 当用平行 y=0 的平面 y= y1（ y1 ≠±b）截得曲面为中心在 y 轴上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线知识回顾：
双曲线定义 图形
m MF1 MF2 2a2a F1F2
常用的二次曲面方程及其图形
旋转曲面：L 是 XOZ 平面内的一个曲面
p0
P
f (x, z) 0
y0
其方程是：
得到旋转面的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
柱面： 是空间的一个曲线，直线 L 沿着 平行移动 所形成的曲面，叫做柱面， 称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。
附录 二次曲面
2
2
2
河海大学理学院《高等数学》
x y z 2 2 1 2 a b c (2) 用坐标面 yoz( x=0 ) 与曲面相截
2 y2 2 z2 1 b c x 0
2
2Leabharlann 2截得中心在原点 的双曲线. 实轴与 y 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
x0
河海大学理学院《高等数学》
二 次 曲 面
河海大学理学院《高等数学》
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相 截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以 综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
三、双曲面
x y z 2 2 1 单叶双曲面 2 a b c (1) 用坐标面 xoy(z=0) 与曲面 相截
2 y2 x2 2 1 a b z 0
2
2
2
截得中心在原 点 O(0,0,0) 的 椭圆.
z0
河海大学理学院《高等数学》
x y z 2 2 1 2 a b c 与平面 z=z1 的交线为 2 x2 y2 z1 2 2 1 2 a b c z z 1 为椭圆. 当 z1 变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
河海大学理学院《高等数学》
（2）用坐标面xoz( y=0)与曲面相截 x y z x 2 2 pz 2 p 2q 截得 为抛物线 z y 0 与平面 y=y1 的交线为
2 2 y1 为抛物线 . z x 2 p 2 q 它的轴平行于z轴 x y y 2 y1 1 顶点 0, y1 ,
8.9 常见的二次曲面
y2 b y2
2 2
z2 c
2
x2 a
2
1
x a
用 x h ( h a ) 截椭球面得截痕曲线
z2
2
b c xh
h2 a
2
1
曲面在 xy , xz 平面上的截痕曲线为
x2 a
2
y2 b
2
1
x2 a
2
z2 c
2
1
z0
y0
是一对正交的双曲线 , 有公共的实轴 x 轴 , 实轴长为 a , 顶点 ( a , 0 , 0)
图形: 不妨设 p , q > 0 用 x h ( h 0) 截曲面得截痕曲线
h2 y 2 2q( z ) 2p xh
一族顶点在 xz 平面上的抛物线
用 y 0 截曲面得截痕曲线
x 2 2 pz
z
y0
双曲抛物面也常称为马鞍面 马鞍面的另一种形式 :
x
o
z xy
y
例 画出下列曲面所界立体的图形
曲面在 yz , xz 平面上的截痕曲线为
y 2qz
2
x 2 2 pz
x0
y0
一对正交的抛物线 , 都以原点为顶点
y2
z
o
x
y
5º 双曲抛物面 ( 马鞍面 )
x2 y2 2z p q ( pq 0)
特点: (1) 无界曲面
(2) 关于xz , yz 平面 , z 轴对称 , 无对称中心
y b
2 2
z c
2 2
1
x a
2 2
z c
2 2z1x0y0xo
2 2
z2 c
2
x2 a
2
1
x a
用 x h ( h a ) 截椭球面得截痕曲线
z2
2
b c xh
h2 a
2
1
曲面在 xy , xz 平面上的截痕曲线为
x2 a
2
y2 b
2
1
x2 a
2
z2 c
2
1
z0
y0
是一对正交的双曲线 , 有公共的实轴 x 轴 , 实轴长为 a , 顶点 ( a , 0 , 0)
图形: 不妨设 p , q > 0 用 x h ( h 0) 截曲面得截痕曲线
h2 y 2 2q( z ) 2p xh
一族顶点在 xz 平面上的抛物线
用 y 0 截曲面得截痕曲线
x 2 2 pz
z
y0
双曲抛物面也常称为马鞍面 马鞍面的另一种形式 :
x
o
z xy
y
例 画出下列曲面所界立体的图形
曲面在 yz , xz 平面上的截痕曲线为
y 2qz
2
x 2 2 pz
x0
y0
一对正交的抛物线 , 都以原点为顶点
y2
z
o
x
y
5º 双曲抛物面 ( 马鞍面 )
x2 y2 2z p q ( pq 0)
特点: (1) 无界曲面
(2) 关于xz , yz 平面 , z 轴对称 , 无对称中心
y b
2 2
z c
2 2
1
x a
2 2
z c
2 2z1x0y0xo
常见的二次曲面
(1)
所确定的曲面称为椭球面.
用Oxy坐标平面(即z=0)截所给曲面，截痕为椭圆
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平行于Oxy坐标平面的平面z=h截所给曲面，截
痕为椭圆
x2 y2 h2 2 2 1 2 , a b c z h.
x y 当h=±c时，截痕为 2 2 0，即截痕缩为一 a b 点.当|h|>c时，截痕为虚椭圆，说明椭球面与平面
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕方程为
y2 z2 2 2 1, b c x 0.
无图形.
用平面x=h截所给曲面，其截痕方程为
y 2 z 2 h2 2 2 2 1, b c a x h.
b 2 当|h|>a时，其图形为椭圆，半轴分别为 h a2 a c 2 2 和 h a ； a
方程
x2 y2 z ( p, q同号) 2 p 2q
(5)
所确定的曲面为椭圆抛物面. 若p>0，q>0.利用截痕法可作出其图形.
六、双曲抛物面
x2 y2 z ( p, q同号) 方程 2 p 2q
确定的曲面为双曲抛物面.
(6)
设p>0，q>0.
用Oxy坐标面截所给曲面，截痕为两条直线
由方程
x2 y2 z 2 2 2 1 2 a b c
(3)
所确定的曲面称为双叶双曲面.
用Oxy坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 2 2 1, a b z 0.
用平面z=h截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 y2 Βιβλιοθήκη 2 2 2 1 2 , a b c z h.
常见的二次曲面
用平行于Oxy面的平面z=h截所给曲面，截痕为
x2 y2 1, 2 ph 2qh z h.
当h<0时，是实轴与y轴平行的双曲线.
用Oxz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
2 x 2 pz, y 0. 它是以z轴为对称轴，开口朝上的抛物线.
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
因此，椭球面介于 a x a .
二、单叶双曲面
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 a b c
所确定的曲面称为单叶双曲面.
(2)
用平行于Oxy坐标面的平面截所给曲面，得截 痕为椭圆
x2 y2 h2 1 2 , 2 2 a b c z h.
当|h|=a时，截痕为一个点；
当|h|<a时为虚椭圆，即无图形. 可见所给图形介于| x | a 的范围内，因此图形为
两支. 常称(a,0,0)和(–a,0,0)为双叶双曲面的顶点.
用Oxz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 z 2 2 2 1, a c y 0.
用平面y=h截所给曲面，得截痕为双曲线
2 x2 z 2 h 2 2 1 2 , a c b y h.
由上述截痕的分析，可画出双叶双曲面的图形.
四、二次锥面
x2 y2 z 2 方程 2 2 0 2 a b c 所确定的曲面称为二次锥面. (4)
五、椭圆抛物面
当|h|<a时，截痕为双曲线.它的实轴平行于y轴， 虚轴平行于z轴.
当|h|>a时，截痕为双曲线，它的实轴平行于z轴，
虚轴平行于y轴.
当|h|=a时，截痕为两条直线
y z y z 0, 0. b c b c
河海大学理学院《高等数学》常用二次曲面图形
椭球面
椭球面是一种中心在某一点的平面距 离都相等的点集，其形状类似于椭圆， 但具有三个不同轴。在几何学中，椭 球面常用于描述某些天体的形状。
在物理学中的应用
旋转抛物面
旋转抛物面是抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面，在物理学中常用于描述光学透镜的形状和光学系统的成像原理。
双曲面
双曲面是中心在某一点的平面距离不相等的点集，分为椭圆双曲面和双曲线双曲面两种。在物理学中，双曲面常 用于描述电磁波的传播和波动现象。
性分析。
05
总结与展望
总结
二次曲面图形分类
二次曲面图形是高等数学中一个重要的知识点，根据其方程形式的不同可以分为椭球面、 抛物面和双曲面等类型。这些不同类型的曲面在几何形状、性质和应用方面都有所不同。
二次曲面图形的性质
每种类型的二次曲面图形都有其独特的性质，如对称性、曲率、渐近线等。了解这些性质 有助于更好地理解二次曲面图形的几何特征，为后续的学习和应用打下基础。
二次曲面图形在科技领域的应用前景
随着科技的发展，二次曲面图形在科技领域的应用前景将更加广阔。例如，在计算机图形学中，二次曲面图形可以用 于制作更加逼真的三维模型；在航天工程中，可以利用二次曲面图形来设计更加优化的飞行器外形。
二次曲面图形的教育价值
在高等数学教育中，二次曲面图形是一个重要的知识点，对于培养学生的空间想象能力和几何直觉具有 重要意义。未来，随着教育理念和教学方法的改进，二次曲面图形的教育价值将得到更加充分的体现。
04
几何特性
双曲面的几何特性包括对称性和 旋转对称性，它在三维空间中呈 现出规则的形状。
01 03
总结词
双曲面是一种常见的二次曲面图 形，它由两个主轴和两个副轴组 成，形状类似于马鞍形。
椭球面是一种中心在某一点的平面距 离都相等的点集，其形状类似于椭圆， 但具有三个不同轴。在几何学中，椭 球面常用于描述某些天体的形状。
在物理学中的应用
旋转抛物面
旋转抛物面是抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面，在物理学中常用于描述光学透镜的形状和光学系统的成像原理。
双曲面
双曲面是中心在某一点的平面距离不相等的点集，分为椭圆双曲面和双曲线双曲面两种。在物理学中，双曲面常 用于描述电磁波的传播和波动现象。
性分析。
05
总结与展望
总结
二次曲面图形分类
二次曲面图形是高等数学中一个重要的知识点，根据其方程形式的不同可以分为椭球面、 抛物面和双曲面等类型。这些不同类型的曲面在几何形状、性质和应用方面都有所不同。
二次曲面图形的性质
每种类型的二次曲面图形都有其独特的性质，如对称性、曲率、渐近线等。了解这些性质 有助于更好地理解二次曲面图形的几何特征，为后续的学习和应用打下基础。
二次曲面图形在科技领域的应用前景
随着科技的发展，二次曲面图形在科技领域的应用前景将更加广阔。例如，在计算机图形学中，二次曲面图形可以用 于制作更加逼真的三维模型；在航天工程中，可以利用二次曲面图形来设计更加优化的飞行器外形。
二次曲面图形的教育价值
在高等数学教育中，二次曲面图形是一个重要的知识点，对于培养学生的空间想象能力和几何直觉具有 重要意义。未来，随着教育理念和教学方法的改进，二次曲面图形的教育价值将得到更加充分的体现。
04
几何特性
双曲面的几何特性包括对称性和 旋转对称性，它在三维空间中呈 现出规则的形状。
01 03
总结词
双曲面是一种常见的二次曲面图 形，它由两个主轴和两个副轴组 成，形状类似于马鞍形。
二次曲面【高等数学PPT课件】
（一）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1(
x
a,
y
b,
z
c)
椭球面与三个坐标面的交线：
x
2
a
2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
y
0
z2 c2
1,
z
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
z
o
o
y
y
y
x
x
x
（二）双曲面
第八节 二 次 曲 面
二次曲面的定义：
a11 x2 a22 y2 a33 z2 2a12 xy 2a23 yz
2a13 xz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌．
z
z
z
o
y
o
x oy x
y x
z x2 y2 y x2 z2
x y2 z2
(2)
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2
z（ p 与 q 同号）
pq
z
o x
z o x
y
z x>0x<0
o y
y x
x2 y2 z
pq
y>0
y<0
x2 y2 z
高等数学-几种常见的二次曲面
母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
y x l1
x z l3
z l2 y
母线 平行于 y 轴;
x
准线 xoz 面上的曲线 l3.
y
9
注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆,应该
例如 :
11
下面我们重点讨论母线在坐标面,旋转轴是坐标轴 的旋转曲面.
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
z
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有 f ( y1, z1) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
求旋转曲面方程C时，平面
z oy
27
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt)2
1,
zt
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
绕 y 轴旋转时得旋转曲面方程:
o
f ( y, x2 z2 ) 0
y
例3. 旋转抛物面
x
特点:母线C为抛物线,旋转轴L为抛物线的对称轴。
例如:将yoz平面上的抛物线C: z2 2 py
绕 y 轴旋转一周所产生的抛物面为:
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z0
2020/4/4
67
图36：以下函数的图形：
z sin x cos y cosx y
0 x ,0 y
2
2
z sin x cos y cosx y 0 x ,0 y
2
2
2020/4/4
68
图37：锥面 z x2 y2 被柱面 z 2 2x
割下部分的曲面图形如下：
处的切平面及法线的图形如下：
P1,1,1
2020/4/4
40
图9：
（9）、 x t sin t, y 1 cos t, z 4 sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
2
x t sin t, y 1 cost, z 4sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
34
图6：
2020/4/4
35
图7：
（7）、x 0, y 0, z 0, y 1, z 4 2x2 y 2 ;
所围 图形如下：
2020/4/4
36
图7：
2020/4/4
37
图7：
2020/4/4
38
图7：
2020/4/4
39
图8：
（8）、椭球面 2x2 3y2 z2 6 在点 P 1,1,1
其中： p, q 为正常数。
2020/4/4
9
椭圆抛物面的图形
2020/4/4
10
双曲抛物面（马鞍面） 方程
方程： 其中：
x2 y2 2z
pq p, q 为正常数。
2020/4/4
11
双曲抛物面（马鞍面） 图形
2020/4/4
12
圆锥面方程
方程： z2 a2 x2 y2
其中：
a
a 为正常数。
53
图22：由 2z x2 y2 , z 1, z 2 所围成的图形如下：
2020/4/4
54
图23：球面 x2 y2 z2 1 的图形如下：
x 0, y 0 z 0, x y z 1
2020/4/4
55
图24：由 x 0 , y 0, z 0,
x 1 围成的图形如下： y 1
z 1
2020/4/4
56
图25：由平面 x 0, y 0 围成的图形如下： z 0, x y z 1
2020/4/4
57
图26： y x 由抛物柱面 y x
及平面
y 0,
z0
x z
围成的图形如下：
2
y 0, z 0 x z 2
2020/4/4
58
图27：由曲面 z xy 与平面 y x, x 1, z 0
z2 2x
2020/4/4
69
图38：锥面 z2 x2 y2 被圆柱面 x2 y2 2x
所截部分的曲面图形如下：
x2 y2 2x
2020/4/4
70
图39：由曲面 z x2 y2 和平面
z 0, x 1, y 1 围成图形如下：
z 0, x 1, y 1
2020/4/4
71
3 3
c
处的切平面。
3 a, 3
3 b, 3
3 3
c
2020/4/4
48
图17： 函数
z
4
x
y
x2
y2
的极值图形如下：
z 4x y x2 y2
2020/4/4
49
图18：求函数
z
x 2
xy
y 2
在区域
x y 1
上的最大值、最小值的图形。
x y 1
2020/4/4
50
图19：在直线
围成的图形如下：
2020/4/4
59
图28：由平面 z 0, z y , y 1 及抛物柱面
y x2 围成的区域如下：
x2 y2 z2 1, y 0, y 2
2020/4/4
60
图29：由 x2 y2 z2 1, y 0, y 2
围成的图形如下：
2020/4/4
61
图30：由 z x2 y2 , z x2 y2 围成的图形如下：
图40：双曲抛物面 z xy 被柱面 x2 y 2 1
所截得的图形如下：
x2 y2 1
2020/4/4
72
图41：曲面由三部分组成：（1）、 z 1 x2 y2 , x2 y2 1
（2）、x2 y2 1, 1 z 0 （3）、z 1, x2 y2 1
z 1, x2 y2 1
82
图51：柱面 y sin x 的图形如下：
y sin x
2020/4/4
83
图52： 曲面 z x2 2 y 2 及 z 2 x2 所
围成区域图形如下：
2020/4/4
84
图53： 曲面 x y z 2 ， y x 2， y 4x 2 及 y 1所围成的区域图形如下：
2020/4/4
13
圆锥面图形
2020/4/4
14
圆柱面方程（1）
方程： 其中：
x2 y2 a2 a 为正常数。
2020/4/4
15
圆柱面图形（1）
2020/4/4
16
圆柱面方程（2）
方程： y 2 z 2 a 2
a 其中：
为正常数。
2020/4/4
17
圆柱面图形（2）
2020/4/4
2020/4/4
79
图48：曲面 z xy2 D: x y 1
2020/4/4
80
图49： 锥面 z 1 x2 y2 与半球面
z 1 x2 y2 所围立体表面的内侧图形如下：
z 1 x2 y2
2020/4/4
81
图50：曲线
x z 1
x
2
y2
的图形如下：
2020/4/4
抛物柱面方程
方程： 其中：
y 2 px2
p 为正常数。
2020/4/4
23
抛物柱面图形
2020/4/4
24
常见空间图形
以下收集了《高等数学》课程中常用的空间图形， 这些图形准确，对学好《高等数学》很有帮助。
2020/4/4
25
图1（1）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形如下：
x 0, y 0 和 z 0 在第一象限内
围成的立体图形如下：
2020/4/4
88
图57：由曲面 z xy 与平面 z 0, x 1, y 0 和 y 9x 所围成的区域图形如下：
2020/4/4
89
图58：曲面 z 0, z y,，y 1 与柱 面 y x 2 所围成的区域图 形如下：
2020/4/4
85
图54：
由曲 z 1 x2 y 2 及平面
z xx 0, x 0 所围成的区域图形如下：
2020/4/4
86
图55：由曲面 z x2 y2, y x2 及平面
y 1, z 0 所围成的区域图形如下：
2020/4/4
87
图56：曲面 x y2 z 2 1 及坐标面
方程： 其中：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
a, b, c 为正常数。
2020/4/4
5
单叶双曲面图形
2020/4/4
6
双叶双曲面方程
方程：
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
其中： a, b, c 为正常数。
2020/4/4
7
双叶双曲面的图形
2020/4/4
8
椭圆抛物面方程
方程：
x2 y2 2z pq
z
1 ey
cos x ye y
有无穷多个
极大值，但无极小值。
z 1 e y cos x yey
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46
图15：抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1
截成一椭圆。
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47
图16：椭球面
x2
y2
z2
a2 b2 c2
1 在
点
3 a, 3
3 b, 3
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90
图59： 由平面 x 0, x 1, y x, y 1 以及 z x, z y 所围成的图形如下：
x 0, x 1, y x , y 1, z x, z y
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91
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73
图42：平面曲线 y
x
0 x 1
z 0
x 绕
轴旋转一周所得曲面图形如下：
x
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74
图43：曲面 4 y x2 z 2 的图形如下：
z
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75
图44：平面曲线 z ey 0 y 2 绕 z 轴
旋转一周所得旋转面图形如下：
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26
图1（2）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形在第一卦限部分如下：
x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
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27
图2：
（2）、曲线
图形如下：
xyz 1
y
2
x
在点 1,1,1
处的切线
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28
图3：
（3） 曲线
2x2 y2 z2 16
常用二次曲面图形
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1
目录
1、椭球面 2、双曲面 3、抛物面 4、圆锥面 5、常见柱面 6、常见空间图形
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67
图36：以下函数的图形：
z sin x cos y cosx y
0 x ,0 y
2
2
z sin x cos y cosx y 0 x ,0 y
2
2
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68
图37：锥面 z x2 y2 被柱面 z 2 2x
割下部分的曲面图形如下：
处的切平面及法线的图形如下：
P1,1,1
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40
图9：
（9）、 x t sin t, y 1 cos t, z 4 sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
2
x t sin t, y 1 cost, z 4sin t , 2
在 1，1，2 2 处的切线和法平面如下 ：
34
图6：
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35
图7：
（7）、x 0, y 0, z 0, y 1, z 4 2x2 y 2 ;
所围 图形如下：
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36
图7：
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37
图7：
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38
图7：
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39
图8：
（8）、椭球面 2x2 3y2 z2 6 在点 P 1,1,1
其中： p, q 为正常数。
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9
椭圆抛物面的图形
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10
双曲抛物面（马鞍面） 方程
方程： 其中：
x2 y2 2z
pq p, q 为正常数。
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11
双曲抛物面（马鞍面） 图形
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12
圆锥面方程
方程： z2 a2 x2 y2
其中：
a
a 为正常数。
53
图22：由 2z x2 y2 , z 1, z 2 所围成的图形如下：
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54
图23：球面 x2 y2 z2 1 的图形如下：
x 0, y 0 z 0, x y z 1
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55
图24：由 x 0 , y 0, z 0,
x 1 围成的图形如下： y 1
z 1
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56
图25：由平面 x 0, y 0 围成的图形如下： z 0, x y z 1
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57
图26： y x 由抛物柱面 y x
及平面
y 0,
z0
x z
围成的图形如下：
2
y 0, z 0 x z 2
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58
图27：由曲面 z xy 与平面 y x, x 1, z 0
z2 2x
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69
图38：锥面 z2 x2 y2 被圆柱面 x2 y2 2x
所截部分的曲面图形如下：
x2 y2 2x
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70
图39：由曲面 z x2 y2 和平面
z 0, x 1, y 1 围成图形如下：
z 0, x 1, y 1
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71
3 3
c
处的切平面。
3 a, 3
3 b, 3
3 3
c
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48
图17： 函数
z
4
x
y
x2
y2
的极值图形如下：
z 4x y x2 y2
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49
图18：求函数
z
x 2
xy
y 2
在区域
x y 1
上的最大值、最小值的图形。
x y 1
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50
图19：在直线
围成的图形如下：
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59
图28：由平面 z 0, z y , y 1 及抛物柱面
y x2 围成的区域如下：
x2 y2 z2 1, y 0, y 2
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60
图29：由 x2 y2 z2 1, y 0, y 2
围成的图形如下：
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61
图30：由 z x2 y2 , z x2 y2 围成的图形如下：
图40：双曲抛物面 z xy 被柱面 x2 y 2 1
所截得的图形如下：
x2 y2 1
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72
图41：曲面由三部分组成：（1）、 z 1 x2 y2 , x2 y2 1
（2）、x2 y2 1, 1 z 0 （3）、z 1, x2 y2 1
z 1, x2 y2 1
82
图51：柱面 y sin x 的图形如下：
y sin x
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83
图52： 曲面 z x2 2 y 2 及 z 2 x2 所
围成区域图形如下：
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84
图53： 曲面 x y z 2 ， y x 2， y 4x 2 及 y 1所围成的区域图形如下：
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13
圆锥面图形
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14
圆柱面方程（1）
方程： 其中：
x2 y2 a2 a 为正常数。
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15
圆柱面图形（1）
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16
圆柱面方程（2）
方程： y 2 z 2 a 2
a 其中：
为正常数。
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17
圆柱面图形（2）
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79
图48：曲面 z xy2 D: x y 1
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80
图49： 锥面 z 1 x2 y2 与半球面
z 1 x2 y2 所围立体表面的内侧图形如下：
z 1 x2 y2
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81
图50：曲线
x z 1
x
2
y2
的图形如下：
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抛物柱面方程
方程： 其中：
y 2 px2
p 为正常数。
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抛物柱面图形
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24
常见空间图形
以下收集了《高等数学》课程中常用的空间图形， 这些图形准确，对学好《高等数学》很有帮助。
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25
图1（1）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形如下：
x 0, y 0 和 z 0 在第一象限内
围成的立体图形如下：
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88
图57：由曲面 z xy 与平面 z 0, x 1, y 0 和 y 9x 所围成的区域图形如下：
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89
图58：曲面 z 0, z y,，y 1 与柱 面 y x 2 所围成的区域图 形如下：
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85
图54：
由曲 z 1 x2 y 2 及平面
z xx 0, x 0 所围成的区域图形如下：
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86
图55：由曲面 z x2 y2, y x2 及平面
y 1, z 0 所围成的区域图形如下：
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87
图56：曲面 x y2 z 2 1 及坐标面
方程： 其中：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
a, b, c 为正常数。
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5
单叶双曲面图形
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6
双叶双曲面方程
方程：
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
其中： a, b, c 为正常数。
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7
双叶双曲面的图形
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8
椭圆抛物面方程
方程：
x2 y2 2z pq
z
1 ey
cos x ye y
有无穷多个
极大值，但无极小值。
z 1 e y cos x yey
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46
图15：抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1
截成一椭圆。
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47
图16：椭球面
x2
y2
z2
a2 b2 c2
1 在
点
3 a, 3
3 b, 3
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90
图59： 由平面 x 0, x 1, y x, y 1 以及 z x, z y 所围成的图形如下：
x 0, x 1, y x , y 1, z x, z y
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91
2020/4/4
73
图42：平面曲线 y
x
0 x 1
z 0
x 绕
轴旋转一周所得曲面图形如下：
x
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74
图43：曲面 4 y x2 z 2 的图形如下：
z
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75
图44：平面曲线 z ey 0 y 2 绕 z 轴
旋转一周所得旋转面图形如下：
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2020/4/4
26
图1（2）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形在第一卦限部分如下：
x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
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27
图2：
（2）、曲线
图形如下：
xyz 1
y
2
x
在点 1,1,1
处的切线
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图3：
（3） 曲线
2x2 y2 z2 16
常用二次曲面图形
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目录
1、椭球面 2、双曲面 3、抛物面 4、圆锥面 5、常见柱面 6、常见空间图形
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