16-3势垒贯穿

四、扫描隧道显微镜（STM） 扫描隧道显微镜（ ） Scanning tunneling microscopy 扫 描 隧道 由于电子的隧道效应， 由于电子的隧道效应，金 探 针 属中的电子并不完全局限于表 扫描 面边界之内， 面边界之内，电子密度并不在 表面边界处突变为零， 表面边界处突变为零，而是在 表面以外呈指数形式衰减，衰 表面以外呈指数形式衰减， 减长度约为1nm。 减长度约为1nm。 只要将原子线度的极细 若在样品与针尖之间 探针以及被研究物质的表面 加一微小电压U 作为两个电极， 作为两个电极，当样品与针 加一微小电压U0 ，电子 就会穿过电极间的势垒形 尖的距离非常接近时， 尖的距离非常接近时，它们 成隧道电流。 成隧道电流。 的表面电子云就可能重叠。 的表面电子云就可能重叠。
1 = 1 k1 k3 2k3a ( + )e +1 16 k3 k1
且
a
x
U0 >> E
1 D≈ = 1 k1 k3 2k3a ( + )e 16 k3 k1
D0e
2k3a
D = 0
1 k 1 k1 ( + 3 )2 16 k3 k1
D ≈ D0e
2a 2m(U0 E) h
2m(U0 E) k = h2
2 2 1 2 2 ik2a
情况下入射粒子 入射粒子的 在E>U0情况下入射粒子的 ∵透射系数： 透射系数：
D=
3 1
2
2 2
=
2
C A
2 2
反射系数： 反射系数：
R=′ A A来自2 2将 C , A , A' 代入得
4k1 k2 D= 2 2 2 2 2 2 (k1 k2 ) sin (k2a) + 4k1 k2
U
隧道效应
U0
II
III
o a
x
隧道效应对经典理论来讲是无法解释的。经典理论认为，一 隧道效应对经典理论来讲是无法解释的。经典理论认为， 隧道效应对经典理论来讲是无法解释的 个粒子的能量E 粒子是不能穿过势垒的。因为E 个粒子的能量 < U 时，粒子是不能穿过势垒的。因为 是总 要是E 能量，进入Ⅱ 能量，进入Ⅱ区E = Ek+ U，要是 < U 则Ek < 0 ，这是经典 理论所不允许的。 理论所不允许的。 而量子力学认为，描述微观粒子的坐标和动量不可能同时具有 而量子力学认为， 而量子力学认为 确定的值，势能和动能也不可能同时具有确定的值， 确定的值，势能和动能也不可能同时具有确定的值，对于微观 粒子来说总能量等于动能和势能之和已不再有明确的意义。 粒子来说总能量等于动能和势能之和已不再有明确的意义。 隧道效应是微观粒子波动性的表现。它的表现类似于光波在 隧道效应是微观粒子波动性的表现。 隧道效应是微观粒子波动性的表现 介质表面的传播行为，在两种不同介质的分界面上， 介质表面的传播行为，在两种不同介质的分界面上，波既可 能反射，也可能透射。 能反射，也可能透射。
2 3
上式表明， 上式表明，透射系数 D 随势垒的高 和宽度a的增大呈指数性衰减 的增大呈指数性衰减. 度U0和宽度 的增大呈指数性衰减 如：当U0-E=1MeV时，势垒的宽度为 时 a =10-5 nm时，透射系数 D = 10-4； nm时 透射系数 若 a =10-4 nm 时，透射系数 D = 10-38 ， 透射系数 I 隧道效应在实际上已经没有意义了，量子 隧道效应在实际上已经没有意义了， 概念过渡到经典。 概念过渡到经典。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控 制隧道电流不变， 制隧道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度 变化就能反映样品表面的起伏。 变化就能反映样品表面的起伏。 利用STM可以分辨表面上原子的台阶、 STM可以分辨表面上原子的台阶 利用STM可以分辨表面上原子的台阶、平台和原 子阵列。可以直接绘出表面的三维图象。 子阵列。可以直接绘出表面的三维图象。 STM 使人类第一次能够实时地 观测到单个原子在物质表面上的排 列状态以及表面电子量子行为的有 关性质。在表面科学、 关性质。在表面科学、材料科学和 生命科学等领域中有着重大的意义 和广阔的应用前景。 和广阔的应用前景。 著名的量子围栏（ 著名的量子围栏（图16-8）是 ） 1993年IBM公司制作的。 公司制作的。 年 公司制作的
h2 2 v v v [ +U(r )](r ) = E(r ) 2m
（1） ）
E > U0
（1） ）
E > U0
2
在三个区间内波函数应遵从的 薛定谔方程分别为： 薛定谔方程分别为：
h2 2 v v v [ +U(r )](r ) = E(r ) 2m U
U0
h d 1 ( x) = E1 ( x), 2 2m dx
U
三、隧道效应
U0
4k k D= 2 2 2 2 2 (k1 + k3 ) sh (k a) + 4k1 k3
2 2 1 3 2 3
I
0
II
III
a
x
当粒子能量E＜ 其透射系数D不为零 不为零， 当粒子能量 ＜U0时，其透射系数 不为零，即粒 子可以穿过势垒而到达势垒的另一侧， 子可以穿过势垒而到达势垒的另一侧，这种现象称 为势垒贯穿或隧道效应。 为势垒贯穿或隧道效应。隧道效应只在微观领域才 有意义。 有意义。
Be
ik2a
+ B′e
ik2a
= ce
ik1a
B 2e k
ik2a
′k2eik2a = ck1eik1a +B
解方程得： 解方程得：透射系数 C 和反射系数 A'
4k1k2eik1a C= A 2 ik2a 2 ik2a (k1 + k2 ) e (k1 k2 ) e
2i(k k ) sin k2a A′ = A 2 ik2a (k1 + k2 ) e (k1 k2 ) e
§16-3 势垒
一、势垒
隧道效应
在原子核衰变过程会放射出α粒子后变成另一种原子核。 在原子核衰变过程会放射出 粒子后变成另一种原子核。 粒子后变成另一种原子核 原子核表面有40 的势能， 原子核表面有 MeV的势能，核内 粒子的能量约为 4~9 的势能 核内α粒子的能量约为 MeV ,能量较小的 粒子怎么会穿过那么高的势垒从核内放 能量较小的α粒子怎么会穿过那么高的势垒从核内放 能量较小的 射出来？利用量子力学理论能够给出很好的解释。 射出来？利用量子力学理论能够给出很好的解释。
U 0 U ( x) = 0
0< x<a x ≤ 0, x ≥ a
U
U0
表示核内 x <0 和核外 x >0,可以自 可以自 由运动， 势能为常数， 由运动，而核表面 0<x<a势能为常数， 势能为常数 称为方势垒。 称为方势垒。
I
O
II
a
III
x
U
二、反射和透射
就是求一个动量p和能量 已知的粒 就是求一个动量 和能量E已知的粒 和能量 子受到势场U的作用后 的作用后， 子受到势场 的作用后，被散射到各个方 向去的几率。 向去的几率。 在经典力学中,若 在经典力学中 若粒子的能量 E < U0, 它不可能穿过势垒。 它不可能穿过势垒。
(k k2 ) sin (k2a) R= 2 2 2 2 (k1 k ) sin (k2a) + 4k1 k2
2 1 2 2 2 2
=1 D
可见
D + R =1
D 与R的和等于 ，说明入射粒子一部 的和等于1， 分反射，一部分透射，不会停留在势垒中。 分反射，一部分透射，不会停留在势垒中。
2 （2） E < U0的情况 k2 = 2m(E2 U0 ) 为虚数 ） h
U
d 21(x) 2 + k1 1(x) = 0, 2 dx
x≤0
U0
d 2 ( x) 2 + k2 2 ( x) = 0, 2 dx
2
I
II
0≤ x≤a
III
o
a
x
d 3 ( x) 2 + k1 3 ( x) = 0, 2 dx
2
x≥a
U
若考虑粒子是从 I 区入 射，在 I 区中有入射波和反 射波；粒子从II区穿过势垒 射波；粒子从 区穿过势垒 到III 区，在 II 区中同样有 入射波和反射波， 入射波和反射波，在III区只 区只 有透射波。 有透射波。
2
x≤0
I
O
II III
a
h d 2 ( x) + U 0 2 ( x) = E 2 ( x), 2 2m dx
2 2
x
0≤ x≤a
h 2 d 2 3 ( x) = E 3 ( x), 2 2m dx
2mE 令：k = 2 h
2 1
2 2
x≥a
2m( E U 0 ) k = h2
三个区间的薛定谔方程化为： 三个区间的薛定谔方程化为：
探针
电子云
样品
STM工作示意图 工作示意图
扫描隧道显微镜是一种新型 的表面分析工具， 的表面分析工具，能够操纵 原子。扫描隧道显微镜， 原子。扫描隧道显微镜，实 际上就是一个由电子计算机 操纵控制的长探针， 操纵控制的长探针，它的一 头变得越来越细， 头变得越来越细，细到尖端 就只有几个原子的厚度了。 就只有几个原子的厚度了。 利用探针和材料平面间的电 流，科学家们可以用扫描隧 道显微镜调度材料平面上的 原子， 原子，而且通过调节电流的 大小， 大小，可逐个地把原子吸起 来并放置到其他地方
令 k2 = ik3
将
k2 = ik3
2m(U0 E) 则 k = h2