4_势垒贯穿
量子力学——谐振子、势垒贯穿
量子隧道效应
量子力学中散射问题通常当作 定态问题处理
一维散射的核心问题是透射率 和反射率的计算
E
有限深方势阱
• 方势阱存在束缚 态,也存在散射态
E U0 散射态
U0
E U0
束缚态
E
U ( ) U0
势垒问题
E>0， U ( ) 0
粒子能量大于无穷远势能
没有束缚态(可以出现在无穷远)
A-振幅； 0 初始相位
量子谐振子的例子
• 电磁场量子运动可以借助于谐振子模型（量子光 学课程） • 微观粒子在平衡位置附近的微小振动可以近似当 作谐振子（统计物理部分） • U 1 2U
U ( x ) U(0)+ x x
x=0
2 x 2 U x
x 2 ....
x=0
n2
线 性 谐 振 子 位 置 概 率 密 度
x
n=11 时的概率密度分布
11
2
n 11
x
（经典力学最 1 远点）临界点
2
m x 0 E x 0
2 2
2E 2 m
经典粒子不能出现在E < U 区，量子粒子则 可以！
U( x )
基态E0
0
0
2
x
E0 U“经典禁区” ( )
d 2 2 E 2 2 2 2 2 x 0. 2 dx
无量纲化变换： x x ,
2E
得到
d 2 2 ( ) ( ) 0. 2 d
无量纲化的定态方程
d 2 2 ( ) ( ) 0. 2 d
取U(0)=0；因平衡位置 1 2U U ( x) 2 x 2
S(五章3讲)势垒贯穿
令
k2 ik3
1 2
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
2 其中 k3 2 (U 0 E )
是实数
在(6)和(7)式中，把 k2换为 ik3， 得：
透射系数:
T
2 4k12 k3 2 , 2 2 2 2 2 (k1 k3 ) sh k3a 4k1 k3
反射系数:
2 2 (k12 k3 ) sh2 k3a R 2 2 2 2 (k1 k3 ) sh2 k3a 4k12k3
宾尼
罗赫尔
鲁斯卡
例1：
U(x)
U0
I 0 II
作业1： 作业２： 作业３：已知核的势能曲线如图，计算α 粒子的透射系数
１.
2.电子通过单一势垒时，透射系数一般很小，但是 在通过双势垒时，却可以出现透射系数为100%的情况，
称为共振隧穿，试研究这种情况并给出共振隧穿发生的条件
附录１：了解纳米与分子电子学
ik1a
可得透射波振幅 C 与入射波振幅 A 间的关系
4k1k 2 e C A 2 ik2 a 2 ik2 a (k1 k 2 ) e (k1 k 2 ) e
（4）
以及反射波振幅A '与入射波振幅A间的关系
2i(k k ) sin ak2 A A 2 ik2 a (k1 k 2 ) e (k1 k 2 ) e
(x a )
由左向右的透射波
因Ⅲ区无由右向左传播 的平面波，故 C 0
定系数：
由 波 函 数 的 连 续 性 条 件
I Aeik1x A eik1x III C eik1x
( x 0) (x a )
(1) (2) (3)
δ势垒贯穿问题研究 毕业设计
湖南文理学院毕业论文论文题目：δ势垒贯穿问题研究系别：物理与电子科学系专业：物理学学号： 5099104姓名：王辉霞指导老师：姚春梅提交日期：2003年 5 月 30 日δ势垒贯穿问题研究摘要介绍了δ势垒及δ势垒贯穿问题的研究现状，在对δ势垒贯穿问题研究的基本方法进行分析、总结的基础上，处理了几个更为复杂的δ势垒贯穿问题，如：两个强度不等的双δ势垒贯穿问题和一个δ势垒与其它势垒相结合的势垒贯穿问题。
得到了在不同情形下波函数的解以及在势垒贯穿问题中所要研究的反射系数和透射系数的值，并就这些值分析了影响反射系数和透射系数的因素和入射波产生共振透射的条件。
最后将δ势垒贯穿问题推广到多个势垒相结合的情形，讨论了它的求解方法和计算手段。
关键词δ势垒；双δ势垒；势垒贯穿；薛定谔方程The Study of δBarrier Penetration in Quantum MechanicsAbstract The research present situation of δpotential barrier and δpotential barrier penetration problem are introduced in this paper. Several more complicated δpotential barrier penetration problem are studied on the basis of summarizing δpotential barrier penetration problem's research method , such as a double unequal strengths and oneδpotential barrier combined with one square potential barrier’sδpotential barrier penetration problem. The wave functions and the coefficients of reflection and transmission in different situations are obtained. The factors of affecting these coefficients and the resonance condition are analyzed. In the end, the above method is generalized to oneδpotential barrier combined with other potential barriers.Key words δpotential barrier; double δpotential barriers; potential barrier penetration; schrÖdinger equation.1.引言势垒贯穿又称隧道效应，它是一种微观效应，指的是当一束微时，仍能贯穿势垒的现象。
势垒贯穿的量子力学解释和应用
如果是经典力学问题，由于E >0ν，粒子不能越过势垒，将在0=x 处被势垒反弹回去。
作为量子力学问题，由于粒子的波动性，结论就不一样，可以证明，粒子将有一定概率透过势垒进入a x >区域而继续前进。
由于粒子的能量是给定的，而且粒子是从-∞=x 处射来，这是属于游离态的定态，波函数可以表示成()() /,iEt ex t x -=ψψ (2)空间波函数()x ψ满足定态薛定谔方程： ()ψψψνψmk x m 22222 =E =+''- (3) 亦即⎩⎨⎧≤≤=-''><=+''a x a x x k 0,0,0,022ψβψψψ (3a)(3b) 其中,2 mE k =)(20E m -=νβ (4) （3a ）式的解为ikx e ±~ψ，考虑到“粒子由左方入射”这个边界条件，应取()⎩⎨⎧><+=-)5(,)5(0,Re b a x De a x Ae x ikx ikx ikx ψA 项为入射波，R 项为反射波，D 项为透射波。
由于并无粒子从右方入射，所以a x > 区域没有ikx e -项。
（3b ）式的解为())5(0,c a x Ce Be x x x <<+=-ββψ透射概率相当大，由此可见在微观领域势垒贯穿现象是容易发生的。
隧道扫描显微镜就是用原子尺度的探针针尖在不到一个纳米的高度上扫描样品时，外加一电压（2mV～2V），针尖与样品之间产生隧道效应而有电子逸出，形成隧道电流．电流强度随针尖与样品间的距离的减少而呈指数上升，当探针沿物质表面按给定高度扫描时，因样品表面原子凹凸不平，使探针与物质表面间的距离不断发生改变，从而引起隧道电流不断发生改变．将电流的这种改变图象化就显示出原子水平的凹凸形态。
势垒贯穿解读课件
微电子学
微电子学是研究在微米和纳米尺度下电子行为和应用的科学 。在微电子学中，势垒贯穿是一个重要的概念，用于描述电 子通过势垒的传输过程。
在微电子器件中，如晶体管、二极管和集成电路，势垒贯穿 决定了电子的流动和器件的性能。通过优化势垒参数，可以 提高器件的开关速度和降低能耗。
量子计算
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有经典 计算无法比拟的并行性和计算速度。势垒贯穿在量子计算 中扮演着关键角色。
结构设计
通过改变势垒的结构设计，如采用多 级势垒、异质结等结构，实现对电子 传输的更精细调控。
势垒贯穿与其他领域的交叉研究
物理与化学
势垒贯穿涉及到物理和化学等多个学 科领域，交叉研究有助于深入理解势 垒贯穿的机制和拓展其应用范围。
生物医学应用
势垒贯穿技术在生物医学领域如传感 器、诊断和治疗等方面具有潜在的应 用价值，开展交叉研究有助于推动相 关领域的发展。
量子比特是量子计算的基本单元，而势垒贯穿决定了量子 比特的相干性和演化过程。通过控制势垒参数，可以实现 量子比特的逻辑门操作和量子算法的实现。
纳米科技
纳米科技是一门研究在纳米尺度上设计和制备材料、器件和系统的科学。在纳米 科技中，势垒贯穿是一个重要的物理现象，影响纳米器件的性能和稳定性。
在纳米尺度下，材料和系统的性质与宏观尺度有很大的不同，因此需要深入研究 势垒贯穿的机制和规律。通过优化势垒参数，可以提高纳米器件的效率、稳定性 和可靠性。
深入了解实验中如何 观测和验证量子力学 中的现象。
THANKS
感谢观看
确保实验过程中使用的电压和电 流在安全范围内，避免对实验人
员和设备造成伤害。
实验精度要求
在实验过程中，要确保显微镜的焦 距、电压和电流的测量精度，以提 高实验结果的准确性。
势垒贯穿与应用解读
势垒贯穿与应用 势垒贯穿设一个质量为m 的粒子，沿x 轴正方向运动，其势能为： U(x)=0 x<0 和x>a U(x)=U 0 0≤x ≤a这种势能分布称为一维势垒。
粒子在 x < 0 区域里，若其能量小于势垒高度，经典物理来看是不能越过势垒达到 x > a 的区域。
在量子力学中，情况又如果呢？为讨论方便，我们把整个空间分成三个区域： 在各个区域的波函数分别表示为ψ1 ψ2 ψ3三个区间的薛定谔方程简化为：求出解的形式是)(),0(),0(a x a x x ≥I ∏≤≤∏≤I ),()(212122x E dx x d m ϕϕ=- 0≤x ),()()(22202222x E x U dxx d m ϕϕϕ=+- ax ≤≤0),()(232322x E dxx d m ϕϕ=- a x ≥222 mEk =2021)(2 E U m k -=,0)()(12212≤=+x x k dxx d ϕϕa x x k dxx d ≤≤=-0,0)()(221222ϕϕa x x k dxx d ≥=+,0)()(32232ϕϕikxikx e A Ae -'+=ψ1x ik Be 12+=ψikx Ce =ψ3O(1)E>U 0按照经典力学观点,在E>U 0情况下，粒子应畅通无阻地全部通过势垒，而不会在势垒壁上发生反射而在微观粒子的情形，却会发生反射。
(2)E<U 0从解薛定谔方程的结果来看，在势垒内部存在波函数ψ。
即在势垒内部找出粒子的概率不为零，同时，在x>a 区域也存在波函数，所以粒子还可能穿过势垒进入x>a 区域粒子在总能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应定义粒子穿过势垒的贯穿系数是：透射波的概率密度与入射波概率密度的比值。
势垒高度U 0越低、势垒宽a 度越小，则粒子穿过势垒的概率就越大。
隧道效应是经典力学所无法解释的由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度约为1nm只要将原子线度的极细探针以及被研究物质的表面作为两个电极，当样品与针尖的距离非常接近时，它们的表面电子云就可能重叠若在样品与针尖之间加一微小电压U b 电子就会穿过电极间的势垒形成隧道电流。
势垒隧穿
求解线性方程组
4k1k 2 e ik1a C A 2 ik2 a 2 ik2 a ( k1 k 2 ) e ( k1 k 2 ) e
A
( k1 k 2 ) e
2
ik2 a
( k1 k 2 ) e
2
ik2 a
因为 E > 0, E > U0, 所以 k1 > 0, k2 > 0. 上面的方程写为：
0 xa
令：k
2 k2
2 E 2 2 ( E U 0 ) 2
k 2 0 1 1 1 2 2 k2 2 0 2 3 k1 3 0
解得： 1 Ae ik1 x A e ik1 x ik x ik x 2 Be 2 Be 2 ik1 x ik1 x Ce C e 3
1 , 2 中第一项是沿x正向传播的平面波，
第二项是沿x负向传播的平面波； 在 x > a 的III 区没有反射波，所以 C‘=0。
A
2
（2） 几率流密度和粒子数守恒 J 2i [ ]
J
i 2
[
d dx
d dx
]
对一维定态问题， J i d ik1x d k [ Aeik1x Ae Ae ik1x Aeik1x 1 | A |2 2 dx dx
1
x0 0 xa xa
I
区
II 区 III 区
用波函数的标准条件求解 波函数连续
x 0 : 1 (0) 2 (0) A A B B x a : 2 (a) 3 (a) Be ik2 a Be ik2 a Ceik1a
势垒贯穿
之后利用波函数及其微商在x=0和x=a连续的条件确定其他的系数
在经典力学中
在量子力学中
根据公式，将上述三个式子转化为定态波函数后，可 以得出这样的结论： 上述的三个式子中右边的第一项是由左向右 传播的平面波，第二项是由右向左传播的平面波。第 一个式子右边第一项是入射波，第二项是反射波。在 x>0的区域内，没有向右运动的粒子，因而只有向右 传播的透射波，不应有向左传的波，所以在第三个式 子中必须令C’=0.势能在无限远处 是无限大的，波函数在无限远处为0，这个条件使得体系的 能级是分立的，属于束缚态。今天我们探讨的问题将体系 的势能在无限远处为有限的（下面取为0）。这时粒子可以 在无限远处出现，波函数在无限远处不为0.没有了无限远处 波函数为0的限制，体系能量可以取任何值，即组成连续谱。 这属于粒子被势场散射的问题，粒子从无线远来，被 势场散射后又回到了无限远处。这类问题中，粒子的能量 是预先确定的。
一一一维维维势势势垒垒垒贯贯贯穿穿穿
(2.88)
(2.89)
在x < 0, x > a的区域, 就是 ψ (x) + k = 0, 在0 ≤ x ≤ a, ψ (x) − β = 0,
�� 2 �� 2
k=
�
2mE �2
(2.90)
β=
�
2m(V0 − E ) . �2
.
(2.106)
2.4. 一维势垒贯穿
37
在以上计算的基础上, 我们来讨论些物理问题. 首先我们看到S 不等于零! 这意味着我们可以在势垒的右边找到粒子! 这一完 全不同于经典力学的结论称为隧 道 效 应 (tunneling effect). 下面作更详细的分析. 在势垒左边, x < 0区域, 我们可以计算几率流密度j . j= 1 ˆψ − ψ p ˆψ ∗ ), (ψ ∗ p 2m (2.107)
2 sinh2 βa V0 4E (V0 −E )
CHAPTER 2. 一维问题
= =
A + B, (A − B )β.
(2.95)
= =
Байду номын сангаас
Seika , ikSeika
(2.96)
= =
β + ik + R(β − ik ) β − ik + R(β + ik ). (2.97)
= =
eika−βa S (β + ik ) eika+βa S (β − ik ).
2 sin2 αa V0 4E (E −V0 )
(2.111) . (2.112)
我们应该可以观察到所谓的共振透射。当αa = nπ , n = 1, 2, 3, · · · , |S |2 = 1. 如果粒子遇到一个势井，V0 < 0, 会怎样？(2.112)仍然适用。唯一要注意的 是：当E → 0, T → 0.
势垒贯穿动态随机过程的计算机模拟
收稿日期:2006203201基金项目:江苏省现代教育技术研究立项项目(20052R 21172)・作者简介:罗礼进(1964-),男,广西钦州人,南通大学副教授・第24卷 第3期2006年7月沈阳师范大学学报(自然科学版)Journal of S henyang Norm al U niversity (N atural Science )V ol 124,N o.3J ul.2006文章编号:1673-5862(2006)03-0296-04势垒贯穿动态随机过程的计算机模拟罗礼进(南通大学理学院,江苏南通 226007)摘 要:依据微观粒子贯穿势垒的透射系数,运用蒙特卡罗随机模拟方法,借助Matlab 软件的编程及数据可视化功能,实现势垒贯穿动态随机过程的演示・关 键 词:势垒贯穿;透射系数;蒙特卡罗;Matlab 中图分类号:O 641 文献标识码:A量子力学是描述微观粒子运动规律的理论,由于其研究对象(微观粒子)特有的波粒二象性和遵循的不确定关系,・随着计算机技术的不断发展,不少学者借助计算机的图形技术,对量子力学的可视表述做了不懈的努力[123]・作为量子力学可视表述的尝试之一,作者依据微观粒子贯穿势垒的透射系数,运用蒙特卡罗随机模拟方法,借助计算机的数据可视化技术、绘图技术,构建微观粒子势垒贯穿的动态随机过程・1 势垒贯穿的蒙特卡罗随机模拟微观粒子贯穿势垒是一种随机现象,可用蒙特卡罗方法对其进行模拟・运用蒙特卡罗方法处理此文的问题,首先根据要处理问题的规律,构建一个概率模型・然后依据概率模型进行随机抽样,得出一组按已知分布的随机数序列・最后依据这一随机数序列,借助计算机程序设计语言或图形软件,实现微观粒子势垒贯穿的动态随机过程的模拟・1.1 概率模型的构建图1 一维方势垒设质量为μ、能量为E 的粒子,沿x 轴正方向射向方势垒(图1)・方势垒的势函数为:U (x )=U 00<x <a0x <0,x >a(1)粒子的波函数Ψ所满足的定态薛定谔方程为:d 2Ψd x 2+2μ2E Ψ=0x <0,x >ad 2Ψd x 2+2μ2(E -U 0)Ψ=00<x <a(2)通过求解上述方程,可求出透射系数D 和反射系数R ,其结果为[4]:D =4k 21k 22(k 21-k 22)2sin 2k 2a +4k 21k 22E >U 04k 21k 23(k 21+k 23)2sh 2k 3a +4k 21k 23E <U 0(3)R =1-D(4)式中,k 1=2μE 212,k 2=2μ(E -U 0) 212,k 3=2μ(U 0-E )212・透射系数D 是透射波几率流密度与入射波几率流密度之比,其意义为贯穿到x >a 区域的粒子在单位时间内流过垂直于x 方向的单位面积的数目,与入射粒子在x <0区域单位时间内流过垂直于x 方向的单位面积的数目之比,即是粒子贯穿势垒的概率・反射系数R 是反射波几率流密度与入射波几率流密度之比,其意义为反射回x <0区域的粒子在单位时间内流过垂直于x 方向的单位面积的数目,与入射粒子在x <0区域单位时间内流过垂直于x 方向的单位面积的数目之比,也即是粒子被势垒反射的概率・式(4)说明,粒子射向势垒,只有两种可能,贯穿或反射,且两种可能的概率之和为1・若用概率语言来描述,粒子射向方势垒或者贯穿或者反射的过程就是一随机试验,贯穿和反射是这一随机试验的两个随机事件・现引入一随机变量X i (i =1,2)来表示这一随机试验,且:X i =0(i =1)反射1(i =2)贯穿(5)根据上述的讨论,随机变量X i 的分布律为:X i 01P i1-DD或随机变量X i 的分布函数为:F (X )=6X i<XP i =X <01-D 0≤X <11X ≥1(6)此即为对要处理问题构建的概率模型・1.2 数据的生成根据上述粒子入射方势垒的概率模型进行随机抽样,便得到按随机变量X i 的分布函数F (X )分布的随机数序列・在蒙特卡罗方法中,有多种方法实现按已知分布的随机抽样・根据此文要处理问题的特点,采用离散型随机变量的直接抽样法・对于任意的离散型分布:F (X )=6X i<XP i (7)直接抽样的方法如下[5]:X F =X i ′,当6i ′-1i =1P i <r <6i ′i =1P i (8)式中,X F 表示由分布F (X )抽样产生的简单子样中的个体,r 为0至1之间均匀分布的随机数・根据式(8),分别令i ′=1和i ′=2便得:X F =X 1当0<r ≤P 1X F =X 2当P 1<r ≤P 1+P 2(9)即:X F =0当0<r ≤1-D X F =1当1-D <r ≤1(10)据此,产生按式(6)分布的随机数序列的步骤如下:1)计算机产生一个0至1均匀分布的随机数r ;2)若满足1-D <r ≤1,则X F =1(表示粒子贯穿势垒),否则X F =0(表示粒子被势垒反射);3)重复上述步骤便可产生按式(6)分布的、只有两个取值(0和1)的随机数序列・这个随机数序列便是实现势垒贯穿动态随机过程的依据・1.3 势垒贯穿动态随机过程的实现利用上述生成的按F (X )分布的只有0和1两种取值的随机数序列,借助计算机程序设计语言或图形软件,就可实现势垒贯穿动态随机过程的模拟・作者采用编写Matlab 程序的方法来实现・Matlab 软件是由美国Mathworks 公司开发,集编程、科学运算、系统仿真、数据可视化等功能于一身,适合众多学科和多种工作平台的数学软件・792第3期 罗礼进:势垒贯穿动态随机过程的计算机模拟在编写Matlab 程序时,用Matlab 的rand 函数产生0至1之间均匀分布的随机数,利用EraseMode属性的X or 值,可实现对图形对象本身的擦除,从而实现动画模式・程序设计的流程如图2所示・图2 势垒贯穿动态随机过程程序设计的流程2 势垒贯穿动态随机过程的Matlab 程序下面以电子贯穿方势垒为例进行说明・设入射电子的能量E =3eV ,势垒高度U 0=6eV (E <U 0),势垒宽度a 0=2!,则相应的Matlab 程序如下:a 0=2;a =a 031e -10;U 0=6;U =U 031.602192e -19; %势垒宽度、势垒高度E =4.806e -19;m =9.10908e -31;h =1.0545e -34;%入射粒子的能量、质量和普朗克常数(h/23p i )k 1=((23m 3E )∧(1/2))/h ;k 3=((23m 3(U -E ))∧(1/2))/h ;sh =(exp (k 33a )-exp (-k 33a ))/2;D =(43(k 1∧2)3(k 3∧2))/(((k 1∧2+k 3∧2)∧2)3sh ∧2+43(k 1∧2)3(k 3∧2)); %计算透射系数Dpatch ([9,10,10,9],[0,0,5,5],′y ′) %绘制矩形势垒hold on for i 1=1∶500%用循环语句控制粒子入射的次数 r =rand ; if 1-D <r &r ≤1%满足条件:1-D <r ≤1的粒子透射 x 4=0;y 4=3; p =plot (x 4,y 4,′.′,′EraseMode ′,′xor ′,′MarkerSize ′,16,′color ′,′w ′); axis ([01908]) axis manual for i 2=1∶200 if i 2<90%模拟粒子的入射运动 x 4=x 4+0.1; set (p ,′XData ′,x 4,′Y Data ′,y 4) drawnow i 2=i 2+1; pause (0.01) elseif 90≤i 2&i 2≤100%模拟粒子贯穿势垒的运动 x 4=x 4+0.1; y 4=3+sin (83p i 3x 4); set (p ,′XData ′,x 4,′Y Data ′,y 4) drawnow i 2=i 2+1; pause (0.035) else %模拟粒子的出射运动 x 4=x 4+0.1; set (p ,′XData ′,x 4,′Y Data ′,y 4) drawnow i 2=i 2+1;892沈阳师范大学学报(自然科学版) 第24卷 pause (0.01) end end else %不满足条件:1-D <rand ≤1的粒子反射 x 4=0;y 4=3; p =plot (x 4,y 4,′.′,′EraseMode ′,′xor ′,′MarkerSize ′,16,′color ′,′w ′); axis ([01908]) axis manual for i 3=1∶200%模拟粒子的入射运动 if i 3<90 x 4=x 4+0.1; set (p ,′XData ′,x 4,′Y Data ′,y 4) drawnow i 3=i 3+1; pause (0.01) else%模拟粒子的反射运动图3 势垒贯穿动态随机过程的图形用户界面 x 4=x 4-0.1; set (p ,′XData ′,x 4,′Y Data ′,y 4) drawnow i 3=i 3+1; pause (0.01) end end end end图3是势垒贯穿动态随机过程演示的图形用户界面・参考文献:[1]勃莱恩脱S ,达曼恩H D ・图解量子力学[M ]・上海:上海科学技术出版社,1988・[2]卢志恒,费义艳,李雪春・量子力学可视化的计算机辅助表述[J ]・物理,2001,30(4):2412246・[3]赵 亮,傅 玮,王小东,等・逐个电子双柱衍射和势垒贯穿的Monte Carlo 计算机模拟[J ]・北京师范大学学报:自然科学版,2001,37(3):3692372・[4]周世勋・量子力学教程[M ]・北京:高等教育出版社,1979:47248・[5]裴鹿成,张孝泽・蒙特卡罗方法及其在粒子输运问题中的应用[M ]・北京:科学出版社,1980:58・Computer Simulation of Dynamic Stochastic Process of PotentialB arrier PenetrationL U O L i 2ji n(School of Science ,Nantong University ,Nantong 226007,China )Abstract :This paper demonstrates the dynamic and stochastic process of the potential barrier penetration of microcosmicparticle ,based on Monte Carlo method and the transmission coefficient of microcosmic particle potential barrier penetration ,by using the programming and visualization of Matlab.K ey w ords :potential barrier penetration ;transmission coefficient ;Monte Carlo ;Matlab992第3期 罗礼进:势垒贯穿动态随机过程的计算机模拟。
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应用
基于量子阱的半导体激光和探测器
清华大学材料系◎2008
量子与统计:4-2
Content of lecture 4
Mathematical analysis of Schrö dinger equation
– –
Symmetry and conservation
Energy, parity, etc. Oscillatory vs. exponential Continuum vs. discrete
Physically, it means space confinement = quantized bound energy
–
The scientific base for nanotechnology based on quantum effect
清华大学材料系◎2008
量子与统计:4-11
Quantum physics of the continuum states
势垒贯穿
势能
0, x 0, x a V ( x) V0 , 0 x a
粒子的能量给定E < V0，而且从 x = -处射来，属于游离态的定 态问题，波函数可表示为
( x, t ) ( x)eiEt/
空间波函数满足定态薛定谔方程
2 2k 2 V ( x) E 2m 2m
V(x) E Vn E
总透射概率
x2 2 D D0 exp[ 2m V ( x) E dx ] x1
x1 x
x2
x
x1, x2为经典回转点, 即V(x1)=V(x2)=E。
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量子与统计:4-21
Field emission
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量子与统计:4-22
Finite square well
E<V
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E>V
E<V E<V
E>V
E<V
量子与统计:4-5
Wavefunctions and particle density
SHO
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量子与统计:4-6
Symmetry and Conservation law
Symmetry of the systems often implies certain properties to be invariant or conserved
–
Time symmetry means energy conserved
Time independent potential energy is eigenvalue
the waveform is oscillatory The energy eigenvalue is continuous The higher the E-V locally, the rapid the spatial oscillation The waveform is oscillatory only at the classically allowed regions. The waveform is exponential otherwise The matching of the wavefunction at the boundary is only valid for discrete values of energy
V ( x) V ( x)
–
then the wavefunctions have definite parities, i.e. in most atomic and nuclear physics.
( x) ( x)
清华大学材料系◎2008 量子与统计:4-8
Parity conservation During the most nuclear decay and transmutation process, the parity is in general conserved. Lee and Yang in 1956 predicted that the parity is not conserved in beta decay. C.S. Wu and coworkers confirmed this prediction in 1957.
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量子与统计:4-25
Summary 4
Mathematically analysis of Stationary Schrö dinger equation
– –
Reflection symmetry => parity symmetry and parity conservation In non-confinement potential,
w( x, t ) dJ ( x, t ) t dx This is an one dimensional form of continuity equation w( x, t ) J t
Can prove
量子与统计:4-13
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Probabilty density flux 概率流密度
Scanning tunneling microscope
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量子与统计:4-23
Visualization of surface wave function
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量子与统计:4-24
Scanning tunneling microscope and Atomic force microscope
Quantum flux of probability density Transmission of potential barrier
–
Tunneling
Field emission Scanning tunneling microscopy
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量子与统计:4-12
–
Reflection symmetry (反射对称) means Parity (宇称) is conserved
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量子与统计:4-7
Parity and Reflection Symmetry
Parity definition (宇称)
–
If the potential is symmetry with respect to reflection about origin,
量子与统计:4-19
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势垒贯穿
反射系数定义为
jR R e e R 2 a 2 a jA A e e ( 2 *2 )
2
a
a 2
透射系数定义为
* jD D D 2 a 2 a jA A e e ( 2 *2 )
Formulism for free particles
Probability Density
w( x, t ) * ( x, t )( x, t )
If we define
i d* ( x, t ) d( x, t ) * J ( x, t ) ( x, t ) ( x, t ) 2 dx dx
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量子与统计:4-17
势垒贯穿
定态薛定谔方程
k 2mE / k 2 0, x 0, x a 其中 2 2m(V0 E ) / 0 , 0 x a 试探解 Aeikx R e ikx , x 0 ( x) Be x Ce x , 0 x a
Quantum and Statistical 4 Mechanics
Review of lecture 3
One-dimensional quantum confinement 一维量子束缚 可解问题
方势阱 简谐振子
概念
边界条件 束缚态能量量子化的起源 消失波(Evescenent wave)
Field emission, scanning tunneling microscopy
量子与统计:4-3
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Wavefunctions and particle density
Square well
2
n=3
n=2
n=1
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量子与统计:4-4
Wavefunctions and particle density
–
Qualitatively description of eigenfunction and eigenvalues
Origin of energy quantization
Quantum physics of 1D continuum state
– –
–
Quantum flux of probability density Transmission of potential barrier Quantum tunneling
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量子与统计:4-14
Tunneling and Resonance
Penetrating of potential barrier (tunneling)