第12章势垒贯穿-谐振子-氢原子
量子力学——谐振子、势垒贯穿
量子隧道效应
量子力学中散射问题通常当作 定态问题处理
一维散射的核心问题是透射率 和反射率的计算
E
有限深方势阱
• 方势阱存在束缚 态,也存在散射态
E U0 散射态
U0
E U0
束缚态
E
U ( ) U0
势垒问题
E>0， U ( ) 0
粒子能量大于无穷远势能
没有束缚态(可以出现在无穷远)
A-振幅； 0 初始相位
量子谐振子的例子
• 电磁场量子运动可以借助于谐振子模型（量子光 学课程） • 微观粒子在平衡位置附近的微小振动可以近似当 作谐振子（统计物理部分） • U 1 2U
U ( x ) U(0)+ x x
x=0
2 x 2 U x
x 2 ....
x=0
n2
线 性 谐 振 子 位 置 概 率 密 度
x
n=11 时的概率密度分布
11
2
n 11
x
（经典力学最 1 远点）临界点
2
m x 0 E x 0
2 2
2E 2 m
经典粒子不能出现在E < U 区，量子粒子则 可以！
U( x )
基态E0
0
0
2
x
E0 U“经典禁区” ( )
d 2 2 E 2 2 2 2 2 x 0. 2 dx
无量纲化变换： x x ,
2E
得到
d 2 2 ( ) ( ) 0. 2 d
无量纲化的定态方程
d 2 2 ( ) ( ) 0. 2 d
取U(0)=0；因平衡位置 1 2U U ( x) 2 x 2
量子力学英语词汇
1、microscopic world 微观世界2、macroscopic world 宏观世界3、quantum theory 量子[理]论4、quantum mechanics 量子力学5、wave mechanics 波动力学6、matrix mechanics 矩阵力学7、Planck constant 普朗克常数8、wave-particle duality 波粒二象性9、state 态10、state function 态函数11、state vector 态矢量12、superposition principle of state 态叠加原理13、orthogonal states 正交态14、antisymmetrical state 正交定理15、stationary state 对称态16、antisymmetrical state 反对称态17、stationary state 定态18、ground state 基态19、excited state 受激态20、binding state 束缚态21、unbound state 非束缚态22、degenerate state 简并态23、degenerate system 简并系24、non-deenerate state 非简并态25、non-degenerate system 非简并系26、de Broglie wave 德布罗意波27、wave function 波函数28、time-dependent wave function 含时波函数29、wave packet 波包30、probability 几率31、probability amplitude 几率幅32、probability density 几率密度33、quantum ensemble 量子系综34、wave equation 波动方程35、Schrodinger equation 薛定谔方程36、Potential well 势阱37、Potential barrien 势垒38、potential barrier penetration 势垒贯穿39、tunnel effect 隧道效应40、linear harmonic oscillator 线性谐振子41、zero proint energy 零点能42、central field 辏力场43、Coulomb field 库仑场44、δ-function δ-函数45、operator 算符46、commuting operators 对易算符47、anticommuting operators 反对易算符48、complex conjugate operator 复共轭算符49、Hermitian conjugate operator 厄米共轭算符50、Hermitian operator 厄米算符51、momentum operator 动量算符52、energy operator 能量算符53、Hamiltonian operator 哈密顿算符54、angular momentum operator 角动量算符55、spin operator 自旋算符56、eigen value 本征值57、secular equation 久期方程58、observable 可观察量59、orthogonality 正交性60、completeness 完全性61、closure property 封闭性62、normalization 归一化63、orthonormalized functions 正交归一化函数64、quantum number 量子数65、principal quantum number 主量子数66、radial quantum number 径向量子数67、angular quantum number 角量子数68、magnetic quantum number 磁量子数69、uncertainty relation 测不准关系70、principle of complementarity 并协原理71、quantum Poisson bracket 量子泊松括号72、representation 表象73、coordinate representation 坐标表象74、momentum representation 动量表象75、energy representation 能量表象76、Schrodinger representation 薛定谔表象77、Heisenberg representation 海森伯表象78、interaction representation 相互作用表象79、occupation number representation 粒子数表象80、Dirac symbol 狄拉克符号81、ket vector 右矢量82、bra vector 左矢量83、basis vector 基矢量84、basis ket 基右矢85、basis bra 基左矢86、orthogonal kets 正交右矢87、orthogonal bras 正交左矢88、symmetrical kets 对称右矢89、antisymmetrical kets 反对称右矢90、Hilbert space 希耳伯空间91、perturbation theory 微扰理论92、stationary perturbation theory 定态微扰论93、time-dependent perturbation theory 含时微扰论94、Wentzel-Kramers-Brillouin method W. K. B.近似法95、elastic scattering 弹性散射96、inelastic scattering 非弹性散射97、scattering cross-section 散射截面98、partial wave method 分波法99、Born approximation 玻恩近似法100、centre-of-mass coordinates 质心坐标系101、laboratory coordinates 实验室坐标系102、transition 跃迁103、dipole transition 偶极子跃迁104、selection rule 选择定则105、spin 自旋106、electron spin 电子自旋107、spin quantum number 自旋量子数108、spin wave function 自旋波函数109、coupling 耦合110、vector-coupling coefficient 矢量耦合系数111、many-particle system 多子体系112、exchange forece 交换力113、exchange energy 交换能114、Heitler-London approximation 海特勒-伦敦近似法115、Hartree-Fock equation 哈特里-福克方程116、self-consistent field 自洽场117、Thomas-Fermi equation 托马斯-费米方程118、second quantization 二次量子化119、identical particles 全同粒子120、Pauli matrices 泡利矩阵121、Pauli equation 泡利方程122、Pauli’s exclusion principle泡利不相容原理123、Relativistic wave equation 相对论性波动方程124、Klein-Gordon equation 克莱因-戈登方程125、Dirac equation 狄拉克方程126、Dirac hole theory 狄拉克空穴理论127、negative energy state 负能态128、negative probability 负几率129、microscopic causality 微观因果性本征矢量eigenvector本征态eigenstate本征值eigenvalue本征值方程eigenvalue equation本征子空间eigensubspace (可以理解为本征矢空间)变分法variatinial method标量scalar算符operator表象representation表象变换transformation of representation表象理论theory of representation波函数wave function波恩近似Born approximation玻色子boson费米子fermion不确定关系uncertainty relation狄拉克方程Dirac equation狄拉克记号Dirac symbol定态stationary state定态微扰法time-independent perturbation定态薛定谔方程time-independent Schro(此处上面有两点)dinger equation 动量表象momentum representation角动量表象angular mommentum representation占有数表象occupation number representation坐标（位置）表象position representation角动量算符angular mommentum operator角动量耦合coupling of angular mommentum对称性symmetry对易关系commutator厄米算符hermitian operator厄米多项式Hermite polynomial分量component光的发射emission of light光的吸收absorption of light受激发射excited emission自发发射spontaneous emission轨道角动量orbital angular momentum自旋角动量spin angular momentum轨道磁矩orbital magnetic moment归一化normalization哈密顿hamiltonion黑体辐射black body radiation康普顿散射Compton scattering基矢basis vector基态ground state基右矢basis ket ‘右矢’ket基左矢basis bra简并度degenerancy精细结构fine structure径向方程radial equation久期方程secular equation量子化quantization矩阵matrix模module模方square of module内积inner product逆算符inverse operator欧拉角Eular angles泡利矩阵Pauli matrix平均值expectation value （期望值）泡利不相容原理Pauli exclusion principle氢原子hydrogen atom球鞋函数spherical harmonics全同粒子identical particles塞曼效应Zeeman effect上升下降算符raising and lowering operator 消灭算符destruction operator产生算符creation operator矢量空间vector space守恒定律conservation law守恒量conservation quantity投影projection投影算符projection operator微扰法pertubation method希尔伯特空间Hilbert space线性算符linear operator线性无关linear independence谐振子harmonic oscillator选择定则selection rule幺正变换unitary transformation幺正算符unitary operator宇称parity跃迁transition运动方程equation of motion正交归一性orthonormalization正交性orthogonality转动rotation自旋磁矩spin magnetic monent(以上是量子力学中的主要英语词汇，有些未涉及到的可以自由组合。
第12章-56-谐振子,氢原子
12.6-7 薛定谔方程小结 （Summary and revision) 1、薛定谔得出的波动方程
定义: 能量算符,动量算符和坐标算符 ˆ ˆ x i ˆx E i p x t x 2 哈密顿算符 ˆ H 2 U 2m 定态薛定谔方程（一维） 2 2 Ψ Ψ 条件：U=U(x,y,z) U ( x )Ψ i 2 2 m x t 不随时间变化。
3 i Y sin e 1 1 8 Y 3 cos 1 0 4
§ 12.8.2 氢原子 (Hydrogen atom)
一、氢原子的薛定谔方程
薛定谔方程提出后，首先被用于求解氢原子，取 得了巨大成功。在氢原子中，电子在原子核的库仑 场中运动，势能函数为： e2
即 m l 0,1,2,
由波函数的归一化条件
2
0
( ) d A
2
2
2
0
d 2 A 1
2
得 A 1 / 2 ，则角动量在z轴上的投影 ˆ l 的归一化本征波函数为:
m l ( ) 1 iml e , 2 m l 0,1, 2,...
5 E 2 h 2
1 E 0 h 2 x
3 E1 h 2
零点能：谐振子的最低 能量不等于零，即它永 n=3 远不能静止不动。这与 经典力学截然不同, 是波 n=2 粒二向性的表现，可用 不确定关系加以说明。 n=1 3. 谐振子运动中可能 进入势能大于其总能 量的区域。
U ( x)
第二激发态(n=3) 帕邢系(m=3,红外光) 第一激发态(n=2)
巴耳末系(m=2, 可见光,400nm—700nm)
2.8势垒贯穿
求解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性方程组
4k1k2e−ik1a C= A 2 −ik2a 2 ik2a (k1 +k2) e −(k1 −k2) e
′ A=
2 2 2i(k1 −k2 )sin k2a
(k1 −k2) e
2 ik2a
−(k1 +k2) e
2 −ik2a
A
（3）讨论
关心的问题：粒子被反射 和透射的可能性有多大？
（2）解方程
ψ ″ + k 2ψ = 0 1 1 1 ″ ψ 2 + k 22ψ 2 = 0 ″ ψ 3 + k12ψ 3 = 0
x≤0 0< x<a x≥a
I II III
解得： ψ 1 = Aeik1x + A′e −ik1 x ψ 2 = Beik2 x + B′e −ik2 x ψ 3 = Ce ik1x + C ′e −ik1x
其中k3=[2µ(V0-E)/ ℏ]1/2。 把前面公式中的 k2 换成 ik3， 并注意 sin ik3a = i sh k3a，得：
4 k12 k 32 = 2 ( k1 + k 32 ) 2 sh 2 k 3 a + 4 k12 k 32 ( k12 + k 32 ) 2 sh 2 k 3 a = 2 ( k1 + k 32 ) 2 sh 2 k 3 a + 4k12 k 32
′ A=
2 2i(k12 −k2 )sin k2a
(k1 +k2) e
2 −ik2a
−(k1 −k2) e
2 ik2a
A
透射系数
2 J D | C |2 4 k 12 k 2 D= = = 2 2 2 2 JI | A| ( k1 − k 2 ) 2 sin 2 k 2 a + 4 k 12 k 2
4线性谐振子与势垒贯穿
U r r r0处U r 有极小值 0 r r0
2U r 令k r 2 r 0 1 3U r g 2 r 3 r
0
1 1 2 3 U r U r0 k r r0 g r r0 1 2 3
线性谐振子 n=10时的几率密度分布
表明： 当n很大时， 量 迅速振荡，此时其平均值和经典振子
的概率密度已经接近，说明在n很大时即能量很高时， 量子振子的行为可以用经典振子来代替。
1 n x 例：设谐振子的初态为 x,0 A n 0 2
求(a)求归一化常数A；(b) x, t ? 解：(a)
1 2
1 2
(1)、(2)式改写为：
d 2 2 k1 0, 2 dx 2 d k22 0, dx2
x 0, x a 3
0 x a 4
x 0 :1 Aeik x Aeik x
E
1 En n , n 0,1,2,9 2
1 讨论： En n , n 0,1,2, 2
1、量子力学中一维线性谐振子的能量是不连续的，即量子化的。 2、能级的间隔等距，即
U(x)
n=3
En En1 En
/2
舍去！
应有限
方程(4)的渐进解为：
e
2 / 2
设方程(4)的一般解为： e
2
2 / 2
H ( )
2
6
2
代 入
d dH d H 2 2 H 2 H e 2 2 d d d
波函数、势井中的粒子、氢原子(公式讲解).ppt
2 2m
2x x 2
E x x
一维自由粒子薛定谔方程
2 2 U E
2m
三维势场粒子的薛定谔方程
U E 是 x y z 的函数
12
例：已知氢原子中电子的径向波函数为
r
Ae a
A、ar为常数，求 r r dr
之间电子出现的概率。在何处这个 概率最大？
解：先归一化求出常数A
4r 2r
2
dr
4
A
2
r
2e
2r a
dr
1
0
0
13
A
a3
1 2
归一化波函数
r
1
r
ea
a3
在 r r dr之间出现的概率
Wr
r
2 4r 2dr
4 a3
e
2r a
r
2dr
wrdr
14
dwr dr
4 a3
2re 2r / a 1 r 0 a
d2wr 0 dr 2 r a 处出现的概率密度最大
等于零（否则 x 0 ）。系数行列式必须
等于零。
eika eika
eika =0 eika
18
用欧拉公式展开 sin2ka=0
2ka n
kn 2a n
n 1,2,
n 不能取零，n=o,k=0 , x 在 x
a
区间内是一常数，无物理意义
将kn En
2a 2kn2
2m
n回代k 2
2 2
8ma 2
n2
2mE 2
n
得
1,2,
19
将 kn 代入 Aeika Be ika 0
i n
势垒贯穿的量子力学解释和应用
如果是经典力学问题，由于E >0ν，粒子不能越过势垒，将在0=x 处被势垒反弹回去。
作为量子力学问题，由于粒子的波动性，结论就不一样，可以证明，粒子将有一定概率透过势垒进入a x >区域而继续前进。
由于粒子的能量是给定的，而且粒子是从-∞=x 处射来，这是属于游离态的定态，波函数可以表示成()() /,iEt ex t x -=ψψ (2)空间波函数()x ψ满足定态薛定谔方程： ()ψψψνψmk x m 22222 =E =+''- (3) 亦即⎩⎨⎧≤≤=-''><=+''a x a x x k 0,0,0,022ψβψψψ (3a)(3b) 其中,2 mE k =)(20E m -=νβ (4) （3a ）式的解为ikx e ±~ψ，考虑到“粒子由左方入射”这个边界条件，应取()⎩⎨⎧><+=-)5(,)5(0,Re b a x De a x Ae x ikx ikx ikx ψA 项为入射波，R 项为反射波，D 项为透射波。
由于并无粒子从右方入射，所以a x > 区域没有ikx e -项。
（3b ）式的解为())5(0,c a x Ce Be x x x <<+=-ββψ透射概率相当大，由此可见在微观领域势垒贯穿现象是容易发生的。
隧道扫描显微镜就是用原子尺度的探针针尖在不到一个纳米的高度上扫描样品时，外加一电压（2mV～2V），针尖与样品之间产生隧道效应而有电子逸出，形成隧道电流．电流强度随针尖与样品间的距离的减少而呈指数上升，当探针沿物质表面按给定高度扫描时，因样品表面原子凹凸不平，使探针与物质表面间的距离不断发生改变，从而引起隧道电流不断发生改变．将电流的这种改变图象化就显示出原子水平的凹凸形态。
第4：量子力学应用谐振子,势垒贯穿
d2 ∞ ψ −ξ 2 ∞ = 0 ψ 2 dξ
其解为： exp[± /2]， 其解为：ψ∞ = exp[±ξ2/2]，
dψ∞ d ±ξ 2 / 2 验证： e 验证： = dξ dξ
= ±ξe
±ξ 2 / 2
= ±ξψ∞
dψ∞ = ±ξψ∞ dξ
d2 ∞ d ψ [±ξψ∞ ] = 2 dξ dξ
dψ∞ = ± ∞ ±ξ ψ dξ
ξ2 >> ± 1
= [ξ 2 ± 1] ∞ ≈ ξ 2ψ∞ ψ
所以： exp[± /2]， 所以：ψ∞ = exp[±ξ2/2]， 波函数有限性条件当ξ→± 波函数有限性条件当ξ→±∞ 时，ψ＝0 ξ→
ψ∞ = e
−ξ 2 / 2
d 2ψ ψ ψ 为了使方程 2 +[λ −ξ 2 ] ( x) = 0 的波函数 dξ 在无穷远处有 ∞ = e ψ
则 Schrödinger Schr dinger 方程可写为 ：
h2 d 2 1 2 2 + [E − mω x ] ( x) = 0 ψ 2 2 2m dx
d2 2m 1 2 2 ψ 或： 2 + 2 [E − mω x ] ( x) = 0 h 2 dx
ψ(ξ ) = u(ξ )e
−ξ 2 / 2
式中 u = ∑ akξ k
k=0
为此考察相邻两项之比： 为此考察相邻两项之比：
2k + 1− λ 2 ak+2ξ k+2 ξ = k akξ (k + 1)(k + 2)
k→∞
→
2 2 ξ k
考察幂级数exp[ξ2}的展开式的收敛性 考察幂级数exp[ξ
谐振子
h S s( s 1) 2
自旋在外场方向的投影 h 对电子s=1/2 Sz ms 2 ms为自旋磁量子数, ms=±1/2 (5) 电子的分布概率及电子 云 由氢原子定态薛定谔方程， 可求得氢原子波函数为
ml = 0, ±1, ±2, …±l
h Lz ml 2
ml为轨道角动量磁量子数, ( r , , ) R ( r ) ( ) ( ) nlm nl lm m 简称磁量子数 其概率密度 ||2 给出在空间 各处,电子出现的概率.
nlm ( r , , ) Rnl ( r ) lm ( ) m ( )
4 - r/r1 R( r ) 3 e r1 r1为玻尔半径. 电子在径向r—r+dr中出 现的概率正比于 p(r)dr=R2r2dr
当r=r1时,径向概率最大. 电子在r1及附近都有出现 概率,因此形象地称为电子 云.
六.量子力学对氢原子的处理
2. 主要结果
1. 处理方法
(1) 假定原子核是静止的, 氢原子的状态由核外电子 的运动状态来决定; (2) 用波函数描述处于原 子势场中的电子; (3) 写出波函数满足的薛 定谔方程,在球坐标系中 求解; (4) 得出结果(波函数、能 量、角动量、概率密度等）
当r=r1时,径向概率最大. 电子在r1及附近都有出现 概率,因此形象地称为电子 云.
1/ 2
r1
r
七. 多电子原子 多电子原子的状态由各电子 的状态(电子组态)决定.
确定电子组态有以下规律: 1. 每个单电子仍用四个量 子数(n, l, ml , ms)来描述.
1/ 2
其概率密度 ||2 给出在空间 各处,电子出现的概率.
把波函数对角度(,)积分, 可得波函数的径向分布R(r) 如基态径向波函数为
量子力学练习答案
《量子力学》试题(A) 答案及评分标准一、简答题（30分，每小题5分） 1．何谓势垒贯穿？是举例说明。
答：微观粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。
它是一种量子效应，是微观粒子波粒二象性的体现。
例如金属电子冷发射、α衰变等现象都是由隧道效应产生的，利用微观粒子势垒贯穿效应的特性制造了隧道二极管。
2．波函数()t r ,ψ是应该满足什么样的自然条件？()2,t r ψ的物理含义是什么？ 答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。
()2,t r ψ表示在t 时刻r 附近τd 体积元中粒子出现的几率密度。
3．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态、正宇称态和负宇称态？答：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。
若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是本征值相应的简并度。
将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数一样，则称其为正宇称态；将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
4．物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？答：物理上可观测量对应线性厄米算符。
线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与观测值比较。
5．坐标x 分量算符与动量x 分量算符x pˆ的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。
答：对易关系为[] i ˆ,=x px ，测不准关系为2≥∆⋅∆x p x 6．厄米算符F ˆ的本征值nλ与本征矢n 分别具有什么性质？ 答：本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系二、证明题：（10分，每小题5分）（1）证明：i z y x =σσσˆˆˆ 证明：由对易关系z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=-及反对易关系0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ ，得z y x i σσσˆˆˆ=上式两边乘z σˆ，得2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ ∴ i z y x =σσσˆˆˆ （2）证明幺正变换不改变矩阵的本征值。
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U x kx 2 m x 2
2 2 2
m：振子质量，：固有频率，x：位移
2 d2 1 2 2 ˆ 哈密顿量 H m x 2 2 2 m dx
有一维定态薛定谔方程
U(x) E 0
d 2 2m 1 2 2 E kx 0 2 dx 2
I
由于这一贡献，宾尼格、罗 赫尔和鲁斯卡三人分享了 1986 年度的诺贝尔物理奖。
由于这一贡献，宾尼格、罗赫尔和鲁斯卡 三人分享了 1986 年度的诺贝尔物理学奖。
前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者， 第三人是 1932 年电子显微镜的发明者， 这里是为了追朔他的功劳。
宾尼格
罗赫尔
鲁斯卡
硅表面7×7重构图
原子操纵
1994年初，中国科学院真空物理实验室的研究人 员成功地利用一种新的表面原子操纵方法，通过 STM 在硅单晶表面上直接提走硅原子，形成平均 宽度为2纳米(3至4个原子)的线条。从STM获得的 照片上可以清晰地看到由这些线条形成的“100” 字样和硅原子晶格整齐排列的背景。
§12.7.3 谐振子(Harmonic oscillator)
期末考试题型分为三类：
选择题、 填空题、计算题
试卷给定的基本常数为： 普朗克常数， 真空介电常数， 真空磁导率， 电子的静止质量。
2 2 i r , t U r , t r , t t 2m
定态薛定谔方程
2 d 2 U E 2 2m dx
入射波 反射波
2m
E 0
d
2m
( E U 0 ) 0
“有限”要求 D = 0，
U U0 0 E x
2 Ce
k 2 x
（E U0，衰减解）
Ⅰ区 Ⅱ区
U
粒子仍有可能在Ⅱ 区出现！！ 如果势能曲线如图所示， 有一个“势垒”。 可以想见，原来在Ⅰ区的粒子也 可以在势垒的另一边 Ⅲ 区出现！ 这称为“量子隧道效应”。
波长也量子化了，它是势阱长度 a 的 (1/n)的两倍。粒子的每 一个能量本征态对应于一个特定德布罗意波长的驻波。
§12.7.2 势垒穿透(Barrier penetration)
自由电子逸出金属表面时，实际遇到 的是势垒 U = U0。如图所示：
U E x
0 粒子能量 E < U0，在 x < 0 区，经 典力学认为它是不能越过 U0 势垒。 Ⅰ区 Ⅱ区 由量子力学： Ⅰ区： Ⅱ区： 2 2
E4 E3 E2 E1 E0 0
零点能：谐振子的最低能量不等于零，即它永远不能静 止不动。这与经典力学截然不同，是波粒二 向性的表现，可用不确定关系加以说明。
3. 概率密度分布 量子：概率密度呈波动状， 在 E U 的区域也有出现概率， n = 0 ，x = 0 处粒子出现概率最大 经典：E U 的区域不可能出现， x = 0 处粒子速度最大，概率最小 当 n 时： 量子概率分布几乎 经典分布
2 2 2 2
L
得
L 3
c
30 L
5
L 3 30
2
30 L
2
5
x L x
17 P | | dx 5 x L x dx 0.21 81 0 0 L
2
Axe ax， 当 x 0 [例] 设一维运动粒子的波函数为 x 。 当x0 0， 其中 a 为大于零的常数。 求：(1) 归一化因子 A；(2) 粒子坐标的平均值？
0 ( x 0) U ( x) U 0 ( x 0)
U0
d
dx 2
令
2 dx 2 2 2m 2 2m 2 令 k2 k1 2 E (U 0 E ) 2 k 2 x ik 1 x k2x ik 1 x 2 Ce De 1 Ae Be
本学期大学物理不考的内容为
第 7章
第 9章 第10章 第11章 第12章 第13章
7.4.6
9.3.3 9.6.3 9.7.5 10.2.3 10.6 11.6 12.1.1 12.7.2 12.9 13.1.3 13.3.3
电势梯度
运动电荷产生的磁场 霍耳效应 铁磁质 涡电流及电磁阻尼 超导 广义相对论简介 黑体辐射 势垒贯穿 激光 态密度、费米狄拉克分布 半导体器件
能级间隔 ΔE 1.05 10 34 10 1.05 10 33 J 1 2 1 3 2 8 宏观振子总能量 E kA 0.1 10 5 10 J 2 2 E 1 1 由 E n 得量子数 n 4.7 1025 2 2 可见，宏观谐振子是处于非常高的能级。相邻能级间隔 小得完全可以忽略，因此它的能量是连续变化的。 1 E n n ( n 0， ，2， ) 1 2
e2 r U 4 π 0 r
2 2 2 1 2 2 sin 2 2 m r r r r sin 2 1 2 e2 E 2 2 2 4 π r 2m r sin 0 求解上式，得波函数： r，， Rr
U0 0 a
E
x
Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ 区
隧道效应已经被实验完全证 实。 粒子从放射性核中放出就 A B S 是隧道效应的例子，黑洞的量子 蒸发、热核反应也是隧道效应的 结果。隧道效应的重要应用是扫 扫描探针 A S 10 Å 描隧道显微镜(STM)。 STM (Scanning Tunneling 样品 B Microscope) 是观察固体表面原子情况的 超高倍显微镜。 原理： 隧道电流 I 与样品和针尖间 的距离 S 关系极为敏感。
对此题有
d
2
2m 1 2 2 2 E m x 0 2 2 dt
ax 2
将 0 Ae
代入，整理后可得
2 m2 2 2 4a x 2 a m E0 2 2
由于此式在 x 为任何值时均成立，应有 x2 项的系数为零， 而上式等式右侧也为零。由此得
11(x)
2
U(x) E3 E2 E1 E0 0
U
x
E
量子 量子
经典
n = 11 时的概率密度分布
[例] 弹簧振子质量 m = 1g，弹性系数 k = 0.1N/m，振幅 A = 1mm，求能级间隔，估算总能量所对应的量子数 n。 解：弹簧振子的角频率
k 0.1 10 s 1 m 10 3
[例] 对谐振子，其基态波函数为 0 A e ，其中 A、a 为常量。将此式代入薛定谔方程，试根据所得出的式子 在 x 为任何值时均成立的条件得出谐振子的零点能为
ax 2
E 0 h 2
解： 一维定态薛定谔方程
d U ( x ) E 2 2 m dx
2 2
4a
2
m2
2
0
2
a
m
2
E0 0
由前式求出 a，代入后式即可得
h E0 2 2
§12.8.2 氢原子 (H于求解氢原子，取得了 巨大成功。 一、氢原子的薛定谔方程 在氢原子中，系统的势能
其中 r 为电子到质子的距离。由于势能具有球对称， 所以利用球坐标的薛定谔方程比较方便。 代入定态薛定谔方程中，得 将 U r
px
h
p x
h
x p x
2 x p x 2π
2
练习：
已知： cx( L x ) L：无限深势阱宽度，c 待定。 求： 0 ~ L 区间发现粒子的概率。 3
解：
由归一化条件
L
1 2 5 | | dx c x L x dx c L 1 30 0 0
1. 在单缝电子衍射实验中，若缝宽为 a = 0.1 nm，电子 束垂直射在单缝上，则衍射的电子横向动量的最小不确 定量 py = 6.63 10 24 N·。 s
2. 波长为 4000 Å 的平面光波朝 X 轴正向传播。若波长的相 对不确定量 / = 10-6，则光子动量数值的不确定量 m/s px = 1.6610-33 kg· ，而光子坐标的最小不确定量 x = 63.7 mm 。 3. 己知粒子在宽度为 L 的一维无限深方势阱中运动，其波函数 为： cx( L x ) ，其中 c 待定， 则 0 ~ L/3 区间发现粒 子的概率为 0.21 。
—— 一维变系数常微分方程
x
可用级数展开法解上述方程，求解超出本课程的范围。
为使波函数应满足自然条件(连续、有限、单值)，谐振子 的能量必须是量子化的。求得能级公式为(其中 n 为量子数)：
1 En n 2
结论
n 0，，， 1 2
E
1. 普朗克假设的谐振子能量量子 化是解薛定谔方程的自然结果。 2. 能级是等间隔的，能量间隔 h —— 与黑体辐射理论同。 基态能量为 E0 = h/2 /2， 称为零点能。
d 2 dx
2
2m
2
E U 0
讨论
E
π 2 2 2ma
n2 2
n 1，2，3，
能量是量子化的：在经典力学中，粒子的动能可连续取值； 而量子力学的结果是，能量是量子化的。且由薛定谔方程自 然而然地得到，不需人为假定。 相邻两个能级之差 ΔE En1 En 2n 1 可看作连续变化，这和经典理论相对应。 零点能：最低的能级是 n = 1 能级 E1 根据不确定关系， ΔxΔp x 2 若 E = 0， p