第12章势垒贯穿-谐振子-氢原子
量子力学——谐振子、势垒贯穿
量子隧道效应
量子力学中散射问题通常当作 定态问题处理
一维散射的核心问题是透射率 和反射率的计算
E
有限深方势阱
• 方势阱存在束缚 态,也存在散射态
E U0 散射态
U0
E U0
束缚态
E
U ( ) U0
势垒问题
E>0， U ( ) 0
粒子能量大于无穷远势能
没有束缚态(可以出现在无穷远)
A-振幅； 0 初始相位
量子谐振子的例子
• 电磁场量子运动可以借助于谐振子模型（量子光 学课程） • 微观粒子在平衡位置附近的微小振动可以近似当 作谐振子（统计物理部分） • U 1 2U
U ( x ) U(0)+ x x
x=0
2 x 2 U x
x 2 ....
x=0
n2
线 性 谐 振 子 位 置 概 率 密 度
x
n=11 时的概率密度分布
11
2
n 11
x
（经典力学最 1 远点）临界点
2
m x 0 E x 0
2 2
2E 2 m
经典粒子不能出现在E < U 区，量子粒子则 可以！
U( x )
基态E0
0
0
2
x
E0 U“经典禁区” ( )
d 2 2 E 2 2 2 2 2 x 0. 2 dx
无量纲化变换： x x ,
2E
得到
d 2 2 ( ) ( ) 0. 2 d
无量纲化的定态方程
d 2 2 ( ) ( ) 0. 2 d
取U(0)=0；因平衡位置 1 2U U ( x) 2 x 2
量子力学英语词汇
1、microscopic world 微观世界2、macroscopic world 宏观世界3、quantum theory 量子[理]论4、quantum mechanics 量子力学5、wave mechanics 波动力学6、matrix mechanics 矩阵力学7、Planck constant 普朗克常数8、wave-particle duality 波粒二象性9、state 态10、state function 态函数11、state vector 态矢量12、superposition principle of state 态叠加原理13、orthogonal states 正交态14、antisymmetrical state 正交定理15、stationary state 对称态16、antisymmetrical state 反对称态17、stationary state 定态18、ground state 基态19、excited state 受激态20、binding state 束缚态21、unbound state 非束缚态22、degenerate state 简并态23、degenerate system 简并系24、non-deenerate state 非简并态25、non-degenerate system 非简并系26、de Broglie wave 德布罗意波27、wave function 波函数28、time-dependent wave function 含时波函数29、wave packet 波包30、probability 几率31、probability amplitude 几率幅32、probability density 几率密度33、quantum ensemble 量子系综34、wave equation 波动方程35、Schrodinger equation 薛定谔方程36、Potential well 势阱37、Potential barrien 势垒38、potential barrier penetration 势垒贯穿39、tunnel effect 隧道效应40、linear harmonic oscillator 线性谐振子41、zero proint energy 零点能42、central field 辏力场43、Coulomb field 库仑场44、δ-function δ-函数45、operator 算符46、commuting operators 对易算符47、anticommuting operators 反对易算符48、complex conjugate operator 复共轭算符49、Hermitian conjugate operator 厄米共轭算符50、Hermitian operator 厄米算符51、momentum operator 动量算符52、energy operator 能量算符53、Hamiltonian operator 哈密顿算符54、angular momentum operator 角动量算符55、spin operator 自旋算符56、eigen value 本征值57、secular equation 久期方程58、observable 可观察量59、orthogonality 正交性60、completeness 完全性61、closure property 封闭性62、normalization 归一化63、orthonormalized functions 正交归一化函数64、quantum number 量子数65、principal quantum number 主量子数66、radial quantum number 径向量子数67、angular quantum number 角量子数68、magnetic quantum number 磁量子数69、uncertainty relation 测不准关系70、principle of complementarity 并协原理71、quantum Poisson bracket 量子泊松括号72、representation 表象73、coordinate representation 坐标表象74、momentum representation 动量表象75、energy representation 能量表象76、Schrodinger representation 薛定谔表象77、Heisenberg representation 海森伯表象78、interaction representation 相互作用表象79、occupation number representation 粒子数表象80、Dirac symbol 狄拉克符号81、ket vector 右矢量82、bra vector 左矢量83、basis vector 基矢量84、basis ket 基右矢85、basis bra 基左矢86、orthogonal kets 正交右矢87、orthogonal bras 正交左矢88、symmetrical kets 对称右矢89、antisymmetrical kets 反对称右矢90、Hilbert space 希耳伯空间91、perturbation theory 微扰理论92、stationary perturbation theory 定态微扰论93、time-dependent perturbation theory 含时微扰论94、Wentzel-Kramers-Brillouin method W. K. B.近似法95、elastic scattering 弹性散射96、inelastic scattering 非弹性散射97、scattering cross-section 散射截面98、partial wave method 分波法99、Born approximation 玻恩近似法100、centre-of-mass coordinates 质心坐标系101、laboratory coordinates 实验室坐标系102、transition 跃迁103、dipole transition 偶极子跃迁104、selection rule 选择定则105、spin 自旋106、electron spin 电子自旋107、spin quantum number 自旋量子数108、spin wave function 自旋波函数109、coupling 耦合110、vector-coupling coefficient 矢量耦合系数111、many-particle system 多子体系112、exchange forece 交换力113、exchange energy 交换能114、Heitler-London approximation 海特勒-伦敦近似法115、Hartree-Fock equation 哈特里-福克方程116、self-consistent field 自洽场117、Thomas-Fermi equation 托马斯-费米方程118、second quantization 二次量子化119、identical particles 全同粒子120、Pauli matrices 泡利矩阵121、Pauli equation 泡利方程122、Pauli’s exclusion principle泡利不相容原理123、Relativistic wave equation 相对论性波动方程124、Klein-Gordon equation 克莱因-戈登方程125、Dirac equation 狄拉克方程126、Dirac hole theory 狄拉克空穴理论127、negative energy state 负能态128、negative probability 负几率129、microscopic causality 微观因果性本征矢量eigenvector本征态eigenstate本征值eigenvalue本征值方程eigenvalue equation本征子空间eigensubspace (可以理解为本征矢空间)变分法variatinial method标量scalar算符operator表象representation表象变换transformation of representation表象理论theory of representation波函数wave function波恩近似Born approximation玻色子boson费米子fermion不确定关系uncertainty relation狄拉克方程Dirac equation狄拉克记号Dirac symbol定态stationary state定态微扰法time-independent perturbation定态薛定谔方程time-independent Schro(此处上面有两点)dinger equation 动量表象momentum representation角动量表象angular mommentum representation占有数表象occupation number representation坐标（位置）表象position representation角动量算符angular mommentum operator角动量耦合coupling of angular mommentum对称性symmetry对易关系commutator厄米算符hermitian operator厄米多项式Hermite polynomial分量component光的发射emission of light光的吸收absorption of light受激发射excited emission自发发射spontaneous emission轨道角动量orbital angular momentum自旋角动量spin angular momentum轨道磁矩orbital magnetic moment归一化normalization哈密顿hamiltonion黑体辐射black body radiation康普顿散射Compton scattering基矢basis vector基态ground state基右矢basis ket ‘右矢’ket基左矢basis bra简并度degenerancy精细结构fine structure径向方程radial equation久期方程secular equation量子化quantization矩阵matrix模module模方square of module内积inner product逆算符inverse operator欧拉角Eular angles泡利矩阵Pauli matrix平均值expectation value （期望值）泡利不相容原理Pauli exclusion principle氢原子hydrogen atom球鞋函数spherical harmonics全同粒子identical particles塞曼效应Zeeman effect上升下降算符raising and lowering operator 消灭算符destruction operator产生算符creation operator矢量空间vector space守恒定律conservation law守恒量conservation quantity投影projection投影算符projection operator微扰法pertubation method希尔伯特空间Hilbert space线性算符linear operator线性无关linear independence谐振子harmonic oscillator选择定则selection rule幺正变换unitary transformation幺正算符unitary operator宇称parity跃迁transition运动方程equation of motion正交归一性orthonormalization正交性orthogonality转动rotation自旋磁矩spin magnetic monent(以上是量子力学中的主要英语词汇，有些未涉及到的可以自由组合。
第12章-56-谐振子,氢原子
12.6-7 薛定谔方程小结 （Summary and revision) 1、薛定谔得出的波动方程
定义: 能量算符,动量算符和坐标算符 ˆ ˆ x i ˆx E i p x t x 2 哈密顿算符 ˆ H 2 U 2m 定态薛定谔方程（一维） 2 2 Ψ Ψ 条件：U=U(x,y,z) U ( x )Ψ i 2 2 m x t 不随时间变化。
3 i Y sin e 1 1 8 Y 3 cos 1 0 4
§ 12.8.2 氢原子 (Hydrogen atom)
一、氢原子的薛定谔方程
薛定谔方程提出后，首先被用于求解氢原子，取 得了巨大成功。在氢原子中，电子在原子核的库仑 场中运动，势能函数为： e2
即 m l 0,1,2,
由波函数的归一化条件
2
0
( ) d A
2
2
2
0
d 2 A 1
2
得 A 1 / 2 ，则角动量在z轴上的投影 ˆ l 的归一化本征波函数为:
m l ( ) 1 iml e , 2 m l 0,1, 2,...
5 E 2 h 2
1 E 0 h 2 x
3 E1 h 2
零点能：谐振子的最低 能量不等于零，即它永 n=3 远不能静止不动。这与 经典力学截然不同, 是波 n=2 粒二向性的表现，可用 不确定关系加以说明。 n=1 3. 谐振子运动中可能 进入势能大于其总能 量的区域。
U ( x)
第二激发态(n=3) 帕邢系(m=3,红外光) 第一激发态(n=2)
巴耳末系(m=2, 可见光,400nm—700nm)
量子力学3.4666势垒贯穿
（7）
以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到 x a 的III区域， 另一部分则被势垒反射回来。
D R 1
表明粒子数守恒
§2.8 势垒贯穿续5
（2）E<U0情形
V ( x)
1 2
2 k2 2 (E U0 )
令 其中
V0
是虚数
k 2 ik 3
1 2
I
II
III
4k12 k32 D 2 (k1 k32 ) 2 sh 2 ak3 4k12 k32
（9）
此结果表明，即使 E U 0，透射系数 D 一般不等于零。 隧道效应 （tunnel effect） 粒子能够穿透比它动 能更高的势垒的现象称为 隧道效应.它是粒子具有 波动性的生动表现。当然， 这种现象只在一定条件下 才比较显著。右图给出了 势垒穿透的波动图象。
代入
k1 k1 ik1a 1 C ik2 a { ( A A ') ( A A ')}e (1 )e 2 2k 2 2 k2
{ A(k1 k2 ) A '(k2 k1 )}eik2 a C (k1 k2 )eik1a
k2 k1 ik2 a ik1a C {A A ' }e e k1 k2
(k1 k2 ) 2 (k2 k1 ) 2 ) ik1a C { } Ae (k1 k2 ) 2 e ik2 a (k2 k1 ) 2 eik2 a
4k1k2 e ik1a C A 2 ik2 a 2 ik2 a (k1 k2 ) e (k2 k1 ) e
(k2 k1 ) (e e ) ik2 a ik1a C {1 } Ae e 2 ik2 a 2 ik2 a (k1 k2 ) e (k2 k1 ) e
2.8势垒贯穿
求解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性方程组
4k1k2e−ik1a C= A 2 −ik2a 2 ik2a (k1 +k2) e −(k1 −k2) e
′ A=
2 2 2i(k1 −k2 )sin k2a
(k1 −k2) e
2 ik2a
−(k1 +k2) e
2 −ik2a
A
（3）讨论
关心的问题：粒子被反射 和透射的可能性有多大？
（2）解方程
ψ ″ + k 2ψ = 0 1 1 1 ″ ψ 2 + k 22ψ 2 = 0 ″ ψ 3 + k12ψ 3 = 0
x≤0 0< x<a x≥a
I II III
解得： ψ 1 = Aeik1x + A′e −ik1 x ψ 2 = Beik2 x + B′e −ik2 x ψ 3 = Ce ik1x + C ′e −ik1x
其中k3=[2µ(V0-E)/ ℏ]1/2。 把前面公式中的 k2 换成 ik3， 并注意 sin ik3a = i sh k3a，得：
4 k12 k 32 = 2 ( k1 + k 32 ) 2 sh 2 k 3 a + 4 k12 k 32 ( k12 + k 32 ) 2 sh 2 k 3 a = 2 ( k1 + k 32 ) 2 sh 2 k 3 a + 4k12 k 32
′ A=
2 2i(k12 −k2 )sin k2a
(k1 +k2) e
2 −ik2a
−(k1 −k2) e
2 ik2a
A
透射系数
2 J D | C |2 4 k 12 k 2 D= = = 2 2 2 2 JI | A| ( k1 − k 2 ) 2 sin 2 k 2 a + 4 k 12 k 2
4线性谐振子与势垒贯穿
U r r r0处U r 有极小值 0 r r0
2U r 令k r 2 r 0 1 3U r g 2 r 3 r
0
1 1 2 3 U r U r0 k r r0 g r r0 1 2 3
线性谐振子 n=10时的几率密度分布
表明： 当n很大时， 量 迅速振荡，此时其平均值和经典振子
的概率密度已经接近，说明在n很大时即能量很高时， 量子振子的行为可以用经典振子来代替。
1 n x 例：设谐振子的初态为 x,0 A n 0 2
求(a)求归一化常数A；(b) x, t ? 解：(a)
1 2
1 2
(1)、(2)式改写为：
d 2 2 k1 0, 2 dx 2 d k22 0, dx2
x 0, x a 3
0 x a 4
x 0 :1 Aeik x Aeik x
E
1 En n , n 0,1,2,9 2
1 讨论： En n , n 0,1,2, 2
1、量子力学中一维线性谐振子的能量是不连续的，即量子化的。 2、能级的间隔等距，即
U(x)
n=3
En En1 En
/2
舍去！
应有限
方程(4)的渐进解为：
e
2 / 2
设方程(4)的一般解为： e
2
2 / 2
H ( )
2
6
2
代 入
d dH d H 2 2 H 2 H e 2 2 d d d
波函数、势井中的粒子、氢原子(公式讲解).ppt
2 2m
2x x 2
E x x
一维自由粒子薛定谔方程
2 2 U E
2m
三维势场粒子的薛定谔方程
U E 是 x y z 的函数
12
例：已知氢原子中电子的径向波函数为
r
Ae a
A、ar为常数，求 r r dr
之间电子出现的概率。在何处这个 概率最大？
解：先归一化求出常数A
4r 2r
2
dr
4
A
2
r
2e
2r a
dr
1
0
0
13
A
a3
1 2
归一化波函数
r
1
r
ea
a3
在 r r dr之间出现的概率
Wr
r
2 4r 2dr
4 a3
e
2r a
r
2dr
wrdr
14
dwr dr
4 a3
2re 2r / a 1 r 0 a
d2wr 0 dr 2 r a 处出现的概率密度最大
等于零（否则 x 0 ）。系数行列式必须
等于零。
eika eika
eika =0 eika
18
用欧拉公式展开 sin2ka=0
2ka n
kn 2a n
n 1,2,
n 不能取零，n=o,k=0 , x 在 x
a
区间内是一常数，无物理意义
将kn En
2a 2kn2
2m
n回代k 2
2 2
8ma 2
n2
2mE 2
n
得
1,2,
19
将 kn 代入 Aeika Be ika 0
i n
势垒贯穿的量子力学解释和应用
如果是经典力学问题，由于E >0ν，粒子不能越过势垒，将在0=x 处被势垒反弹回去。
作为量子力学问题，由于粒子的波动性，结论就不一样，可以证明，粒子将有一定概率透过势垒进入a x >区域而继续前进。
由于粒子的能量是给定的，而且粒子是从-∞=x 处射来，这是属于游离态的定态，波函数可以表示成()() /,iEt ex t x -=ψψ (2)空间波函数()x ψ满足定态薛定谔方程： ()ψψψνψmk x m 22222 =E =+''- (3) 亦即⎩⎨⎧≤≤=-''><=+''a x a x x k 0,0,0,022ψβψψψ (3a)(3b) 其中,2 mE k =)(20E m -=νβ (4) （3a ）式的解为ikx e ±~ψ，考虑到“粒子由左方入射”这个边界条件，应取()⎩⎨⎧><+=-)5(,)5(0,Re b a x De a x Ae x ikx ikx ikx ψA 项为入射波，R 项为反射波，D 项为透射波。
由于并无粒子从右方入射，所以a x > 区域没有ikx e -项。
（3b ）式的解为())5(0,c a x Ce Be x x x <<+=-ββψ透射概率相当大，由此可见在微观领域势垒贯穿现象是容易发生的。
隧道扫描显微镜就是用原子尺度的探针针尖在不到一个纳米的高度上扫描样品时，外加一电压（2mV～2V），针尖与样品之间产生隧道效应而有电子逸出，形成隧道电流．电流强度随针尖与样品间的距离的减少而呈指数上升，当探针沿物质表面按给定高度扫描时，因样品表面原子凹凸不平，使探针与物质表面间的距离不断发生改变，从而引起隧道电流不断发生改变．将电流的这种改变图象化就显示出原子水平的凹凸形态。
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(2) 定态波函数为： n ( x)
2 sin nπ x aa
全部波函数为： Ψ n ne iEnt 称为能量本征波函数。
(3) 势阱中粒子的动量为：
pn
2mE n
n π a
k
德布罗意波长为：
n
h pn
nh
h
2a
2a n
2π k
波长也量子化了，它是势阱长度 a 的 (1/n)的两倍。粒子的每
由于这一贡献，宾尼格、罗赫尔和鲁斯卡 三人分享了 1986 年度的诺贝尔物理学奖。
前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者， 第三人是 1932 年电子显微镜的发明者， 这里是为了追朔他的功劳。
宾尼格
罗赫尔
鲁斯卡
硅表面7×7重构图
硅表面硅原子的排列图
砷化镓表面砷原子的排列 碘原子在铂晶体上的吸附
电势梯度
运动电荷产生的磁场 霍耳效应 铁磁质 涡电流及电磁阻尼 超导
第11章 第12章
第13章
11.6 12.1.1 12.7.2 12.9 13.1.3 13.3.3
广义相对论简介 黑体辐射 势垒贯穿 激光 态密度、费米狄拉克分布 半导体器件
期末考试题型分为三类： 选择题、 填空题、计算题
试卷给定的基本常数为： 普朗克常数， 真空介电常数， 真空磁导率， 电子的静止质量。
x 3 2a
1. 在单缝电子衍射实验中，若缝宽为 a = 0.1 nm (1 nm = 10-9 m)，电子束垂直射在单缝上，则衍射的电子横
向动量的最小不确定量 py = 6.63 1024 N·s。
解：根据 ypy h
y a
py h a 6.631024
2. 波长为 4000 Å 的平面光波朝 X 轴正向传播。若波长的相
3. 己知粒子在宽度为 L 的一维无限深方势阱中运动，其波函数
为： cx(L x) ，其中 c 待定， 则 0 ~ L/3 区间发现粒
子的概率为 0.21 。
4. 设一维运动粒子的波函数为
其中 a 为大于零的常数。
x
Axeax， 0，
当 当
x x
0 0
求：(1) 归一化因子 A；(2) 粒子坐标的平均值？ A 2a3 2
1. 在单缝电子衍射实验中，若缝宽为 a = 0.1 nm，电子
束垂直射在单缝上，则衍射的电子横向动量的最小不确
定量 py = 6.63 1024 N·s。
2. 波长为 4000 Å 的平面光波朝 X 轴正向传播。若波长的相
对不确定量 / = 10-6，则光子动量数值的不确定量
px = 1.6610-33 kg·m/s ，而光子坐标的最小不确定量 x = 63.7 mm 。
解：(1) 由归一化条件
2d
x
A2
x
2e2axdx
1
0
因积分
0
x 2e 2axdx
1 4a 3
解得
A 2a3 2
(2)
x
x
2 dx
4a3
x
3e
2axdx
0
3 2a
大学物理期末考试复习范围 本学期大学物理不考的内容为
第 7章 第 9章
第10章
7.4.6
9.3.3 9.6.3 9.7.5 10.2.3 10.6
i t
r,
t
2 2m
2
U
r,
t
r,
t
定态薛定谔方程
2 d2
2m dx2
U
E
d2
dx2
2m 2
E
U
0
讨论
E
π22 2ma 2
n2
n 1，2，3，
能量是量子化的：在经典力学中，粒子的动能可连续取值；
而量子力学的结果是，能量是量子化的。且由薛定谔方程自
然而然地得到，不需人为假定。
相邻两个能级之22 2ma 2
，可
见，a 越大 E 越小，当 a 大到宏观尺度时，E 0，能量
可看作连续变化，这和经典理论相对应。
零点能：最低的能级是
n
=
1
能级 E1
π22 2ma 2
0
；
对经
典物理来说这是不可理解的，而按量子理论是可以理解的。
根据不确定关系， ΔxΔp x 2
若E = 0， p 2mE 0，Δpx 0， 则 Δx
一个能量本征态对应于一个特定德布罗意波长的驻波。
§12.7.2 势垒穿透(Barrier penetration)
自由电子逸出金属表面时，实际遇到
U
的是势垒 U = U0。如图所示：
0 ( x 0)
U0
U ( x) U0 ( x 0)
粒子能量 E < U0，在 x < 0 区，经 典力学认为它是不能越过 U0 势垒。
对不确定量 / = 10-6，则光子动量数值的不确定量
px =1.6610-33 kg·m/s ，而光子坐标的最小不确定量
x = 63.7 mm 。
解：
px
h
px
h
2
xpx
x 2 px 2π
练习： 已知： cx(L x)
解：
L：无限深势阱宽度，c 待定。
求： 0 ~ L 3区间发现粒子的概率。 由归一化条件
L
|
0
|2dx
L c2 x2L
0
x 2 dx
1 c2L5 30
1
得
c
30 L5
30 L5
xL
x
L
L
P
3
|
|2
dx
0
3
0
30 L5
x
2
L
x 2 dx
17 81
0.21
[例] 设一维运动粒子的波函数为
x
Axeax， 0，
当 当
x x
0 0
。
其中 a 为大于零的常数。
求：(1) 归一化因子 A；(2) 粒子坐标的平均值？
0
Ⅰ区 Ⅱ区
由量子力学： Ⅰ区：
Ⅱ区：
E x
d 2
dx 2
2m 2
E
0
d 2
dx 2
2m 2
(
E
U0 )
0
令
k12
2m 2
E
令
k22
2m 2
(U0
E)
1 Aeik1x Beik1x 2 Cek2 x Dek2x
入射波 反射波
“有限”要求 D = 0，
2 Cek2 x
（E U0，衰减解）
U U0
E
0
x
Ⅰ区 Ⅱ区
U
粒子仍有可能在Ⅱ 区出现！！
如果势能曲线如图所示， 有一个“势垒”。
U0
E
可以想见，原来在Ⅰ区的粒子也
可以在势垒的另一边 Ⅲ 区出现！
0a
x
这称为“量子隧道效应”。 Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ 区
I
隧道效应已经被实验完全证
实。 粒子从放射性核中放出就
A
是隧道效应的例子，黑洞的量子
蒸发、热核反应也是隧道效应的
结果。隧道效应的重要应用是扫 扫描探针 A
描隧道显微镜(STM)。
STM (Scanning Tunneling
Microscope) 是观察固体表面原子情况的 超高倍显微镜。
S 样品 B
B S 10 Å
原理：
隧道电流 I 与样品和针尖间 的距离 S 关系极为敏感。
由于这一贡献，宾尼格、罗 赫尔和鲁斯卡三人分享了 1986 年度的诺贝尔物理奖。